Statistica. Lezioni: 3, 4. Statistica Descrittiva Univariata 2

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1 Corsi di Laurea: a.a Diritto per le Imprese e le istituzioni Sienze Internazionali dello Sviluppo e della Cooperazione Statistica Statistica Descrittiva Univariata 2 Lezioni: 3, 4

2 Contenuti La rilevazione dei dati: variabili e mutabili statistiche Primi strumenti di sintesi: Distribuzioni di frequenze 1

3 Sintetizziamo le prime fasi di un indagine di statistica descrittiva: Vogliamo studiare un FENOMENO di MASSA Dobbiamo individuare la POPOLAZIONE di riferimento Determinare i CARATTERI che forniscono le informazioni circa il fenomeno Scegliere la scala di misura e individuare l INSIEME DELLE MODALITA di ciascun carattere SOLO ORA SI PUO RILEVARE I CARATTERI su ciascuna unità statistica 2

4 La rilevazione di un carattere sugli elementi della popolazione Rilevare un carattere sulla popolazione (cioè misurare come questo si esprime su ogni unità statistica) induce una corrispondenza tra gli elementi dell insieme Ω e quelli dell insieme M delle modalità del carattere Ω ω 1 ω 2 m4 M ω N ω 3 ω α m3 m2 m1 3

5 La Variabile e la Mutabile Statistica DEFINIZIONE: L applicazione che associa a ciascuna unità ω α del collettivo Ω uno ed un solo elemento dell insieme M delle modalità del carattere viene detta: VARIABILE Statistica se gli elementi di M sono numeri (cioè se il carattere e quantitativo) MUTABILE Statistica: se gli elementi di M sono (cioè se il carattere e qualitativo) 4

6 Insieme dei dati individuali Disporre di una Variabile (o di una Mutabile) statistica significa possedere l insieme dei valori che questa assume su ciascuna unità statistica,cioè dell insieme dei dati individuali che è composto da N elementi che saranno numeri nel caso di Variabile Statistica o attributi nel caso di Mutabile. Data la V.S. X indichiamo il suo insieme di dati individuali con: { x α } α =1,...,N = x 1, x 2,..., { x N } Insieme formato da numeri appartenenti all insieme delle modalità del carattere non necessariamente tutti diversi Data la M.S. A indichiamo il suo insieme di dati individuali con: { a α } α =1,...,N = a 1, a 2,..., { a N } Insieme formato da attributi appartenenti all insieme delle modalità del carattere non necessariamente tutti diversi 5

7 ESEMPIO: MUTABILE STATISTICA Popolazione: insieme delle fatture emesse nel mese di marzo Carattere: Giudizio sulla irregolarità di compilazione della fattura ω α = Insieme modalità del carattere M = {Nulla, Lieve, Grave, GraviSsima} Ω ω 6 ω 10 ω 9 ω 4 ω1 ω 2 ω 7 ω 8 ω 3 ω 5 A G L GS N M INSIEME DEI DATI INDIVIDUALI DELLA MUTABILE STATISTICA { a α } α =1,...,N = a 1, a 2,..., { a 10 } = L,N,N,L,N,GS,N,N,L,GS { } 6

8 ESEMPIO: VARIABILE STATISTICA discreta Popolazione: insieme delle fatture emesse nel mese di marzo Carattere: Numero di irregolarità della fattura Insieme modalità del carattere M = {0, 1, 2,,10} Ω ω 6 ω 10 ω 9 ω 4 ω1 ω 2 ω 7 ω 8 ω 3 ω 5 0 X IR INSIEME DEI DATI INDIVIDUALI DELLA VARIABILE STATISTICA { x α } α =1,...,N = x 1, x 2,..., { x 10 } = 2,0,0,1,0,7,0,0,1,6 { } 7

9 ESEMPIO: VARIABILE STATISTICA continua Popolazione: insieme delle fatture emesse nel mese di marzo Carattere: Importo della fattura Insieme modalità del carattere M = [0; 50] mila euro Ω ω 6 ω 10 ω 9 ω 4 ω1 Y 500 ω 2 ω 7 ω 8 ω 3 ω 5 0 INSIEME DEI DATI INDIVIDUALI DELLA VARIABILE STATISTICA { y α } α =1,...,N = y 1, y 2,..., { y 10 } = 250,120,100,150,180,450,110,85,270,350 { } Esercizio: ricavare dall insieme dei dati individuali le frecce delle corrispondenze tra unità stastitiche e modalità del carattere 8

10 TUTTA L INFORMAZIONE RILEVATA SUL COLLETTIVO E CONTENUTA IN QUESTA MATRICE Gli insiemi dei dati individuali di più variabili e mutabili statistiche rilevate sullo stesso collettivo possono essere organizzati nella MATRICE DEI DATI INDIVIDUALI. OGNI RIGA contiene tutta l informazione rilevata su una unità statistica OGNI COLONNA contiene tutta l informazione rilevata della variabile (o della mutabile) statistica GLI STRUMENTI DELLA STATISTICA DESCRITTIVA CONSENTONO DI SINTETIZZARE TALE INFORMAZIONE 9

11 La matrice dei dati individuali in excel Gli insiemi dei dati individuali della mutabile e delle variabili dei tre esempi precedenti in forma matriciale: 10

12 Contenuti La rilevazione dei dati: variabili e mutabili statistiche Primi strumenti di sintesi: Distribuzioni di frequenze 11

13 DISTRUBUZIONE DI FREQUENZE Come si e`detto, gli insiemi dei dati individuali di una v.s. (o di una m.s.) contengono tutte le informazioni circa i caratteri rilevati sulla popolazione. Un primo modo per visualizzare sinteticamente l insieme dei dati individuali e` ricorrere alla distribuzione di frequenze assolute (o relative o cumulate). Individuare tra i dati individuali quelli distinti Se possibile metterli in ordine crescente Contare quante unità statistiche posseggono la stessa modalità Formare le coppie modalità distinta frequenza assoluta associata Saranno tutti i k valori diversi che la v.s. (o la m.s.) ha assunto: MODALITA DISTINTE Indicando, per una v.s., la generica modalità distinta con si avrà: x 1 < x 2 <... < x i <... < x k Il numero di unità statistiche per cui la v.s. assume la stessa modalità distinta è detto frequenza assoluta Distribuzione di frequenze assolute: un insieme di coppie che contiene sinteticamente tutta l informazione {( x i,n i )} = (x 1,n 1 ),(x 2,n 2 ),...,(x k,n k ) i=1,...,k { } 12

14 Ω ω 6 ω 10 n 2 = 2 ω 4 n 1 = 5 Esempio: DISTRIBUZIONE DI FREQUENZE ASSOLUTE v.s. numero di irregolarità fatture n 4 =1 ω 9 ω1 n 3 =1 ω 2 ω 7 ω 8 ω 3 ω 5 { x 1, x 2,..., x 10 } = 2,0,0,1,0,7,0,0,1,6 { } 0 X 1 2 I dati diversi sono: 2,0,1,7,6 Modalità distinte sono k=5: {0,1,2,6,7} Frequenze assolute associate a ciascuna modalità {5,2,1,1,1} DISTRIBUZIONE DI FREQUENZE ASSOLUTE n 5 = = x = x 3 2 = x = x 5 = x 4 10 IR {(x i,n i )} = (0;5),(1;2),(2;1),(6;1),(7;1) i=1,...,k { } 13

15 Frequenze Relative e Cumulate DALLE FREQUENZE ASSOLUTE SI RICAVANO: FREQUENZE RELATIVE f i = n i N La proporzione di unità statistiche per cui la v.s. assume la stessa modalità xi -Sono numeri compresi tra 0 e 1 e se moltiplicate per 100 forniscono la percentuale di unità statistiche per cui la v.s. assume la stessa modalità. -La distribuzione di frequenze relative è utile per confrontare v.s. (o m.s.) rilevate su collettivi diversi. FREQUENZE CUMULATE F j = j i=1 N n i La proporzione di unità statistiche per cui la v.s. assume modalità minori o uguali a x j - Se moltiplicate per 100 forniscono la percentuale di unità statistiche per cui la v.s. assume modalità minori o uguali a x j - Come vedremo in seguito, la distribuzione di frequenze cumulate è utile per individuare i quantili. 14

16 Esempio: DISTRIBUZIONI DI FREQUENZE RELATIVE E CUMULATE della v.s. numero di irregolarità fatture DISTRIBUZIONE DI FREQUENZE ASSOLUTE {(x i,n i )} i=1,...,k = {(0;5),(1;2),(2;1),(6;1),(7;1) } f 1 = n 1 N = 5 10 = 0.5, f 2 = n 2 N = 2 10 = 0.2, f 3 = n 3 N = 1 10 = 0.1, f 4 = n 4 N = 1 10 = 0.1, f 5 = n 5 N = 1 10 = 0.1 DISTRIBUZIONE DI FREQUENZE RELATIVE {(x i, f i )} i=1,...,k = (0;0.5),(1;0.2),(2;0.1),(6;0.1),(7;0.1) { } Leggiamo ad esempio: il 20% delle fatture ha 1 irregolarità e il 10% ne ha 2. F 1 = n 1 N = 5 10 = 0.5, F 2 = n 1 + n 2 N F 4 = n 1 + n 2 + n 3 + n 4 = 9 N DISTRIBUZIONE DI FREQUENZECUMULATE 10 = 0.9, (x i,f i ) = 7 10 = 0.7, F 3 = n 1 + n 2 + n 3 N F 5 = n 1 + n 2 + n 3 + n 4 + n 5 N = =1, = 8 10 = 0.8, { } i=1,...,k = (0;0.5),(1;0.7),(2;0.8),(6;0.9),(7;1) { } Leggiamo ad es.: il 70% delle fatture ha al più 1 irregolarità e l 80% ne ha al più 2. Ma anche che il 30% ha più di una irregolarità! 15

17 La Tabella delle distribuzioni di frequenze Comunemente si utilizza una tabella per rappresentare in poco spazio e in modo facilmente leggibile tutte le distribuzioni di frequenze di una v.s. Leggendo congiuntamente la prima e la seconda colonna si ha la distribuzione di frequenze assolute, la prima e la terza colonna quella di frequenze relative ecc.. Tra i primi risultati delle indagini statistiche rese pubbliche compaiono le tabelle delle frequenze delle v.s. o delle m.s. analizzate. Un errore comune e` quello di considerare tale tabelle come punto iniziale dell indagine eseguita piuttosto che come primo importante risultato di sintesi dei dati. Si tende a dimenticare che le tabelle di frequenze sono un modo di rappresentare la distribuzione di frequenze mentre va ricordato il significato degli elementi che le compongono. 16

18 Esempio: La Tabella delle distribuzioni di frequenze della v.s. numero di irregolarità 17

19 NON TUTTE LE TABELLE SONO DISTRIBUZIONI DI FREQUENZE Mentre una distribuzione di frequenze puo` sempre essere posta in forma tabellare, non tutte le tabelle pubblicate riflettono in effetti distribuzioni di frequenze. 18

20 RACCOGLIMENTO IN CLASSI (i) Trattando con v.s. continue spesso accade che l insieme dei dati individuali sia costituito da elementi tutti diversi tra loro; di conseguenza le distribuzioni di frequenza non fornirebbero alcuna sintesi. In tali situazioni abitualmente si ricorre a raccogliere i dati individuali in classi di misure e si presenta la distribuzione di frequenze dei dati raccolti in classi. Vediamo con l esempio della v.s. importo della fattura con insieme di dati individuali { x α } α =1,...,N = { x 1, x 2,..., x 10 } = 250,120,100,150,180,450,110,85,270,350 Le modalità distinte: x 1,x 2,...,x 10 Le frequenze assolute: n 1,n 2,...,n 10 { } { } = 85,100,110,120,150,180,250,270,350,450 { } = { 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1 } { } LA DISTRIBUZIONE DI FREQUENZE NON SINTETIZZA 19

21 RACCOGLIMENTO IN CLASSI (ii) Raccogliere i dati individuali nelle tre classi: LA DISTRIBUZIONE DI FREQUENZE CON DATI RACCOLTI IN CLASSI SINTETIZZA Si guadagna in sintesi ma si perde informazione!! Ad esempio, delle due fatture attribuite alla prima classe abbiamo perso l importo esatto siamo certi che è compreso tra zero (escluso) e 100 compreso. Per entrambi gli importi sceglieremo il valore centrale di classe (50) per calcolare eventuali parametri di interesse. 20

22 Concetti Introdotti Variabili e Mutabili Statistiche e insieme dei dati individuali Distribuzioni di frequenze (assolute, relative e cumulate) come primo strumento di sintesi dell informazione rilevata. La distribuzione di frequenze con dati raccolti in classi 21