( ) T Q. Divergenza V (2, ξ, 3) [numero puro]: 2. Un blocco di ferro, di massa pari a m 1 = 1

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1 Numero progressivo: 3 ξ = 829 Turno: Fila: 2 Posto: Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). È dato il campo vettoriale V (x,y,z) = 2 x2 yî+xyĵ xyz 2ˆk. Determinare il valore della divergenza del campo vettoriale V nel punto P di coordinate cartesiane (2,ξ,3). ( ) Divergenza V (2, ξ, 3) [numero puro]: 2. Un blocco di ferro, di massa pari a m = 500 ξ kg e calore specifico pari a c = 444 Jkg K, alla temperatura t = 300 C, viene posto a contatto termico con un blocco di piombo, di massa m 2 = 6 ξ kg e calore specifico c2 = 67 Jkg K, alla temperatura t 2 = 0 C. I due blocchi non scambiano calore con alcun altro sistema. (a) Trovare la temperatura dei due blocchi (in C) una volta che è stato raggiunto l equilibrio termodinamico. (b) Trovare la variazione di entropia del blocco di ferro. (c) Trovare la variazione di entropia del blocco di piombo. Temperatura finale dei due blocchi [ C]: Variazione di entropia del blocco di ferro [J/K]: Variazione di entropia del blocco di piombo [J/K]: 3. In astronomia, il termine galassia designa un sistema, legato dalla forza di gravità e costituito da stelle, gas interstellare, polveri e, probabilmente, da un tipo di materia ancora sconosciuto denominato materia oscura in grado di interagire soltanto gravitazionalmente e non osservabile direttamente tramite emissione elettromagnetica (mediante telescopi, radiotelescopi, ecc.). Si schematizzi la galassia nella figura con un nucleo sferico centrale (denominato bulge), omogeneo, di densità ρ = 0 25 g/cm 3 (densità della materia ordinaria) e raggio R = kpc, e un disco attorno a esso di massa trascurabile. Sapendo che è stata misurata la velocità di rotazione delle stelle (si ipotizzi un orbita circolare) e che, a una distanza r = 0 kpc dal centro, essa è risultata pari a v s = (800+3ξ) m/s, si valuti il rapporto tra la massa totale M (materia oscura + materia ordinaria) e la massa della sola materia ordinaria M g affinché la galassia sia un sistema stabile e non si disgreghi. [pc = m]. Rapporto M/M g [numero puro]: T T2 T2 Q Te Te Esercizio n. 2

2 Numero progressivo: 2 ξ = 936 Turno: Fila: 2 Posto: 5 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Sia dato il sistema meccanico rappresentato nella figura (verricello semplice) costituito da un disco omogeneo di massa M dotato di due scanalature, poste a distanza r e r 2 = r (2+0 2 ξ) dall asse del disco (con r < r 2 ), all interno delle quali può essere avvolto un filo. Nell ipotesi in cui una massa m sia sospesa a un filo inestensibile di massa trascurabile passante nella scanalatura esterna e il dispositivo sia sospeso a sua volta mediante un filo inestensibile di massa trascurabile avvolto nella scanalatura interna, determinare il rapporto delle masse ρ = M m affinché il disco sia in equilibrio. Rapporto ρ = M m [adimensionale]: 2. Un pallone di lattice immerso nell aria è gonfiato con gas metano. Il pallone è sferico, con raggio di 0.8 m. (a) Determinare il numero di moli di metano contenute nel pallone sapendo che la pressione interna del pallone è pari a p = ξ 300 p A (dove p A = 0325 Pa è la pressione atmosferica) e che la temperatura del sistema aria-pallone è pari a 27 C. (b) Determinare la densità del metano contenuto nel pallone. (c) Sapendo che la massa del lattice è pari a 0. kg e che la densità dell aria è.27 kg/m 3 quanto vale la componente verticale R z della forza risultante che agisce sul pallone pieno di metano? (Scrivere R z positiva se la forza è diretta in basso e negativa se la forza è diretta in alto). Quantità di metano n contenuta nel pallone [mol]: Densità ρ del metano nel pallone [ kg/m 3] : Componente R z della forza risultante R [N]: 3. La lastra rettangolare mostrata nella figura ha base l = 20 ξ m e altezza h = 0 m. Inoltre, nel sistema di coordinate mostrato nella figura, la densità superficiale di massa è data da σ(x,y) = c 0 + c xy, dove c 0 = 3 kg/m 2 e c = 8 kg/m 4. Determinare il momento d inerzia rispetto all asse delle ordinate. Momento d inerzia [ kgm 2] : y h Esercizio n. 0 0 l x

3 Numero progressivo: 23 ξ = 73 Turno: Fila: 2 Posto: 0 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Un punto materiale si muove in un piano seguendo la legge oraria s(t) = kt 2, con k = 2.00 m/s 2. Trovare il raggio di curvatura della traiettoria al tempo t = ξ s, se il modulo dell accelerazione cresce con il tempo, secondo la legge: a(t) = 2k + ( ) t 4, T con T = 00 ξ s. Raggio di curvatura [m]: 2. Un punto materiale di peso p = 200 ξ N è situato all estremità di una sbarretta indeformabile, di peso trascurabile e lunghezza r = 0. m (vedi figura). L estremità opposta della sbarra è incernierata in O a una parete verticale in modo tale che la sbarra stessa si possa muovere soltanto in senso verticale. A una distanza h = 0.2 m da O, verticalmente sopra al punto, è fissato l estremo di una molla, di costante elastica pari a k = 50 N/m e lunghezza a riposo pari a l 0 = 0. m. La molla è fissata al punto materiale nel suo estremo opposto. Determinare, all equilibrio statico, l allungamento l della molla. Allungamento l della molla [m]: 3. Un sistema termodinamico, composto da m = 0 ξ g di elio, si trova inizialmente nello stato, con pressione p = 75 Pa e volume V = 30 m 3. Il sistema subisce una successione di trasformazioni quasi-statiche. La prima, ( 2), è una trasformazione isobara che lo porta al volume V 2 = 40 m 3. La seconda, (2 3), è una trasformazione adiabatica che lo porta al volume V 3 = 80 m 3. Calcolare la variazione di entropia del sistema. Variazione di entropia [J/K]: Esercizio n. 2

4 Numero progressivo: 3 ξ = 80 Turno: Fila: 2 Posto: 4 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Un punto materiale è vincolato a una guida circolare di raggio r = 4 m, su cui può scorrere senza attrito. Esso si muove secondo la legge oraria s(t) = kt 2, con k = 200 ξ m/s2. Calcolare la componente tangenziale e la componente normale dell accelerazione nell istante t = 2 s. Componente tangenziale dell accelerazione a t [ m/s 2 ] : Componente normale dell accelerazione a n [ m/s 2 ] : 2. Una piattaforma circolare ruota con velocità angolare costante ω = 0 s attorno a un asse normale a essa, passante per il suo centro. Solidale con la piattaforma, in direzione radiale, è fissata una guida priva di attrito sulla quale può scorrere una massa puntiformem = kg, a sua volta attaccata all estremo libero di una molla di costante elasticak = 00 ( ξ ) N/m e lunghezza a riposo L = m. L altro estremo della molla è fissato all asse di rotazione della piattaforma. Determinare la deformazione L della molla se la massa puntiforme ha velocità radiale nulla (si consideri la deformazione L positiva se la molla è allungata rispetto alla lunghezza a riposo, negativa se la molla è accorciata). Deformazione della molla L [m]: 3. Un blocco di ferro, di massa pari a m = 000 ξ kg e calore specifico pari a c = 444 Jkg K, alla temperatura T = (0+2ξ) C, è lasciato cadere nell acqua del mare, a temperatura T 2 = 0 C. Trovare: (a) quanto varia l entropia del blocco di ferro nel raggiungimento dell equilibrio termico; (b) quanto varia l entropia del mare nel raggiungimento dell equilibrio termico; (c) quanto varia l entropia dell universo nel raggiungimento dell equilibrio termico. Si supponga che il blocco e il mare non scambino calore con altri sistemi. Variazione dell entropia del blocco di ferro [J/K]: Variazione dell entropia del mare [J/K]: Variazione dell entropia dell universo [J/K]: Esercizio n. 2

5 Numero progressivo: 29 ξ = 287 Turno: Fila: 4 Posto: Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). È dato il campo scalare f (x,y,z) = x 2 y+y 2 z. Determinare i valori delle componenti cartesiane del gradiente del campo scalare f nel punto P di coordinare ( 3,ξ, 3). ( ) ( Componente x del gradiente f 3,ξ, 3) [numero puro]: x ( ) ( Componente y del gradiente f 3,ξ, 3) [numero puro]: y ( ) ( Componente z del gradiente f 3,ξ, 3) [numero puro]: z 2. Dato il disco sottile e omogeneo di raggio R = ξ m e massa m = 200 g, mostrato nella figura, calcolarne il momento d inerzia rispetto a un suo diametro. Momento d inerzia [ kgm 2] : 3. Un sistema termodinamico è costituito da n = 7 mol di freon (CCl 2 F 2 ). Calcolare il lavoro compiuto dal sistema se esso subisce un espansione isoterma quasi-statica alla temperatura T = ( ξ) K che lo porta dal volume iniziale V i = 0 l al volume finale V f = ( + 00 ξ) V i, nelle seguenti due ipotesi: (a) il sistema è un gas ideale; (b) il sistema è un fluido che segue l equazione di Van der Waals, con costante della pressione interna a =.078 Jm 3 mol 2 e covolume molare b = m 3 mol. Lavoro compiuto (gas ideale) [J]: Lavoro compiuto (gas di Van der Waals) [J]: Esercizio n. 2

6 Numero progressivo: 6 ξ = 394 Turno: Fila: 4 Posto: 5 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Due vettori, di norma rispettivamente a = 2 e b = 4, posti con l origine coincidente, formano tra loro un angolo di θ = π 000 ξrad. Trovare la norma del vettore c = a b. Trovare inoltre l angolo ϕ (espresso in radianti, nell intervallo [0,π]) compreso tra i vettori a e c (posto c con l origine coincidente con l origine comune di a e b). c : ϕ [rad]: 2. Un sistema termodinamico, costituito di n = 7 mol di gas perfetto biatomico, compie una trasformazione quasi-statica γ, lungo la quale il calore molare ha l espressione c γ (T) = c V +art 3, con a = 3 0 ξ K 3. Nello stato iniziale il volume è V i = 7 l e la temperatura è T i = 30 K, mentre nello stato finale la temperatura è T f = 700 K. Determinare il volume V f del sistema nello stato finale. Volume finale V f [l]: 3. Un asta omogenea di massa m e lunghezza l = 00 cm reca agli estremi due masse puntiformi: m = 0 3 ξm ed m 2 = ( 0 3 ξ ) m. L asta è posta in rotazione con una certa velocità angolare attorno a un asse, a essa ortogonale, passante per il punto dell asta che si trova a distanza x dalla massa m. Sapendo che il sistema è soggetto a una coppia frenante di momento costante, determinare il valore di x affinché esso si fermi nel minor tempo possibile. Distanza x [cm]: c a Esercizio n. b

7 Numero progressivo: 3 ξ = 50 Turno: Fila: 4 Posto: 0 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Dato un punto materiale che si muove con velocità v(t) = Aî+Bt 2 ĵ, dove A = 0 ξm/s e B = 0.2 m/s3, trovare il raggio di curvatura della traiettoria al tempo t = s. Raggio di curvatura [m]: 2. Il punto di ebollizione normale dell anidride solforosa è pari a t PEN = 0.0 C e il suo calore latente di vaporizzazione è c l = 389 J/g. (a) Calcolare il calore Q che è necessario sottrarre a una massa m = ξ kg di anidride solforosa gassosa a temperatura t PEN per farla condensare. (b) Calcolare la variazione di entropia S di una massa m di anidride solforosa durante la condensazione alla temperatura t PEN, e specificare se essa è positiva, negativa o nulla. Calore Q [J]: Variazione di entropia S [J/K]: 3. La posizione iniziale di un pendolo costituito da un filo inestensibile di massa trascurabile e lunghezza l cui è sospeso un punto materiale di massa m forma un angolo α con la verticale. Determinare l angolo α in modo che la tensione del filo nel punto più basso della traiettoria sia, in modulo, pari a R = (2+0 3 ξ)mg. Angolo α [ ]:

8 Numero progressivo: 20 ξ = 608 Turno: Fila: 4 Posto: 4 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Il punto di ebollizione normale dell alcool etilico è pari a t PEN = 78.5 C e il suo calore latente di vaporizzazione è c l = 885 J/g. (a) Calcolare il calore Q che è necessario cedere a una massa m = ξ kg di alcool etilico liquido a temperatura t PEN per farlo evaporare. (b) Calcolare la variazione di entropia S di una massa m di alcool etilico durante l evaporazione alla temperatura t PEN, e specificare se essa è positiva, negativa o nulla. Calore Q [J]: Variazione di entropia S [J/K]: 2. Uno yo-yo è costituito da un cilindro omogeneo scanalato, di raggio R = 7 cm e massa m = 00 g (scanalatura di larghezza trascurabile), sulla cui gola, di raggio r = ( ξ) cm, è avvolto uno spago, fissato, all altra estremità, al soffitto. Calcolare l accelerazione dello yo-yo. Accelerazione [ m/s 2] : 3. Una persona, di peso p = 800 N, si trova su di una bilancia pesapersone all interno di un ascensore che si muove verso l alto con accelerazione costante di norma a 0 = 00+ξ 4000 g. Se la bilancia è costruita come un dinamometro, opportunamente tarato, che misura la deformazione di una molla ideale, qual è il peso della persona indicato dalla bilancia all interno dell ascensore? Peso p indicato dalla bilancia [N]: a 0 Esercizio n. 2

9 Numero progressivo: 2 ξ = 75 Turno: Fila: 6 Posto: Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Una sfera avente massa m = 0.7 kg cade da un altezza h = (3+ξ) m. Alla distanza di d = 3 m dal suolo viene frenata da una forza costante F f fino a raggiungere il suolo con velocità nulla. Trascurando la resistenza dell aria: (a) Calcolare l intensità F f della forza frenante; (b) calcolare l intensità a (2) dell accelerazione durante la frenata. Forza frenante F f [N]: Accelerazione durante la frenata a (2) [ m/s 2] : 2. Si consideri una ruota a forma di disco che rotola su di un piano orizzontale. La ruota è soggetta alla forza d attrito radente statico F a e a una forza costante F. La forza F agisce nello stesso verso della velocità del centro di massa del disco ed è applicata alla ruota in un punto a una quota h da terra, sulla verticale contenente il punto istantaneo di contatto con il terreno e il centro di massa della ruota. Se R è il raggio del disco, il moto è di puro rotolamento e tra le intensità delle due forze vale la relazione F a = F, determinare il rapporto r = h R. Rapporto r = h R [adimensionale]: ξ 3. Una mole di gas perfetto monoatomico, inizialmente all equilibrio termodinamico a temperatura T = 300 K e volume V = dm 3, compie un ciclo costituito dalle seguenti trasformazioni: 2: espansione isobara ottenuta ponendo in contatto il sistema con un termostato a temperatura T 2 incognita; 2 3: espansione libera adiabatica; 3 4: abbassamento isocoro della temperatura ottenuto ponendo in contatto il sistema con un termostato a temperaturat 4 incognita; 4 : compressione adiabatica quasi-statica. Sapendo che V 2 = ( + 00 ξ) V e che V 3 = ( ξ) V determinare: (a) Il rendimento η del ciclo; (b) la variazione di entropia del sistema in un ciclo, S S ; (c) la variazione di entropia dell ambiente in un ciclo, S A. Rendimento η [adimensionale]: Variazione di entropia del sistema S S [J/K]: Variazione di entropia dell ambiente S A [J/K]: p 2 Esercizio n. 2 adiabatica libera adiabatica quasi-statica 3 4 V V V V V 2 3 4

10 Numero progressivo: 9 ξ = 822 Turno: Fila: 6 Posto: 5 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Sia dato il sistema di carrucole di massa trascurabile mostrato in figura. Determinare la forza F necessaria per stabilizzare il sistema se la massa M ha peso p = ξ N. Determinare inoltre la reazione vincolare totale R del soffitto (N.B.: la carrucola più a sinistra nella figura è fissata a una parete, non appesa al soffitto). Forza stabilizzante F [N]: Reazione vincolare totale R del soffitto [N]: 2. Un punto materiale si trova sul ciglio di una parete alta h 0 = 50 m. A distanza D da tale parete si trova una seconda parete, alta h f = 50 m (vedi figura). Il punto materiale viene lanciato con alzo θ = 0.5 rad e velocità iniziale v 0 = 00 ξ m/s e raggiunge esattamente il ciglio della parete opposta. Determinare la distanza D fra le due pareti. Distanza [m]: 3. Un sistema termodinamico, composto da n = 0 ξ mol di gas perfetto monoatomico, si trova nello stato iniziale, con pressione p = ( ξ) Pa e volume V = 92 m 3. Il sistema subisce le seguenti trasformazioni quasi-statiche: ( 2) trasformazione adiabatica fino alla pressione p 2 = ( ξ) Pa; (2 3) trasformazione isobara che raddoppia il volume del sistema; (3 4) trasformazione adiabatica; (4 ) trasformazione isobara che chiude il ciclo. Determinare il lavoro compiuto dal sistema in un ciclo e il rendimento del ciclo. Lavoro in un ciclo [J]: Rendimento η [adimensionale]: Esercizio n. Esercizio n. 2

11 Numero progressivo: 25 ξ = 929 Turno: Fila: 6 Posto: 0 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Un punto materiale è vincolato a una guida circolare di raggio r = 4 m, su cui può scorrere senza attrito. Esso si muove secondo la legge oraria s(t) = kt 4, con k = 200 ξ m/s4. Calcolare la componente tangenziale e la componente normale dell accelerazione nell istante t = 2 s Componente tangenziale dell accelerazione a t [ m/s 2 ] : Componente normale dell accelerazione a n [ m/s 2 ] : 2. Il punto di fusione normale dell alcool etilico è pari a t PFN = 5 C e il suo calore latente di fusione è c l = 04 J/g. (a) Calcolare il calore Q che è necessario sottrarre a una massa m = ξ kg di alcool etilico liquido a temperatura t PFN per farlo solidificare. (b) Calcolare la variazione di entropia S di una massa m di alcool etilico durante la solidificazione alla temperatura t PFN, e specificare se essa è positiva, negativa o nulla. Calore Q [J]: Variazione di entropia S [J/K]: 3. Si consideri il sistema meccanico in figura, costituito da un blocco di massa m, fissato a un cavo ideale, a sua volta avvolto attorno a una carrucola cilindrica omogenea, di massa M = 2m = (+0 2 ξ) kg, libera di ruotare attorno al proprio asse. L asse della carrucola è montato su di una molla di costante elastica k = 50 N/m. Determinare la deformazione della molla l, durante la discesa della massa m. Deformazione l [m]:

12 Numero progressivo: ξ = 66 Turno: Fila: 6 Posto: 4 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Un grave si trova a un certo istante alla quota h = 20 m rispetto alla superficie terrestre, con velocità di modulo v 0 = 50 m/s e direzione che forma un angolo α = 9 00 ξ rispetto alla verticale discendente (vedi figura). Calcolare il raggio di curvatura della traiettoria in tale istante. Raggio di curvatura [m]: 2. Un rullo cilindrico omogeneo, di massa m = kg, rotola senza strisciare, con l asse parallelo alle isoipse e in assenza di attrito volvente, lungo il piano inclinato di un cuneo, di massa M = 2 kg e inclinazione α = 4 00 ξ. Il cuneo, a sua volta, può muoversi senza attrito su di un piano orizzontale. Calcolare la norma dell accelerazione del cuneo. Accelerazione [ m/s 2] : 3. Un recipiente cilindrico, dotato di una base mobile (pistone) contiene 3 moli di gas perfetto biatomico alla temperatura t i = 0 C. Mediante lo spostamento del pistone, si comprime quasi staticamente il gas, riducendone il volume dal valore iniziale V i = 2 l al valore finale V f = 000 ξ l. Se la capacità termica del contenitore è C c = 0 ξr, supponendo che il contenitore non scambi calore con sistemi esterni, calcolare la temperatura finale del gas. Temperatura finale del gas t f [ C]: h α v 0 C c C V Esercizio n. Esercizio n. 2

13 Numero progressivo: 22 ξ = 73 Turno: Fila: 8 Posto: Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Tre corpi omogenei, una sfera, un cilindro e un tubo di spessore trascurabile, tutti di raggio R = 2 cm, e aventi la medesima massa m = 300 g, scendono lungo un piano inclinato, di inclinazione α = 2000 ξπ rad, rotolando senza strisciare, in assenza di attrito volvente e con l asse di rotazione parallelo alle isoipse. Determinare le accelerazioni dei 3 corpi. Accelerazione della sfera [ m/s 2] : Accelerazione del cilindro [ m/s 2] : Accelerazione del tubo [ m/s 2] : 2. Un punto materiale si muove lungo una guida circolare di raggio r = 3 m, con la componente intrinseca s dell accelerazione costante (essendo s lo spostamento lungo la guida). In un certo istante t, l accelerazione a del punto materiale forma un angolo α(t ) = π 2000 ξ rad con la direzione radiale centripeta ˆn e la norma della velocità è pari a v(t ) = 0 m/s. Di quanto aumenta, in mezzo secondo, la norma della velocità? Quanto vale, all istante t, la norma dell accelerazione? v [m/s]: a(t ) [ m/s 2] : 3. Quattro moli di gas perfetto monoatomico compiono un ciclo termodinamico, composto dalle tre seguenti trasformazioni quasi statiche: 2 isoterma a temperatura T = ( ξ) K; 2 3 isobara con V 3 = m 3 ; 3 isocora. Calcolare il rendimento η del ciclo sapendo che p 2 = 00 Pa. Rendimento [numero puro]: v a r O Esercizio n. Esercizio n. 2

14 Numero progressivo: 4 ξ = 280 Turno: Fila: 8 Posto: 5 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Un punto materiale di massa m = 2 kg partendo da fermo è sottoposto alla forza F = 3ct 2 î. Se il corpo passa per l origine del sistema di coordinate al tempo t = 2 s e posto c = N/s 2, determinare la posizione al tempo t = 50 ξ s. Posizione [m]: 2. Un punto materiale è vincolato, da un filo inestensibile e di massa trascurabile, a percorrere su di un piano orizzontale una traiettoria circolare avente raggio R = m. Il coefficiente di attrito dinamico con la superficie di appoggio è µ = ( ξ). All istante iniziale la velocità del blocco (nel SdR che ha origine nel centro della traiettoria) è v 0 = gr ( +0 2 ξ ) ĵ m/s. Calcolare: (a) il modulo della velocità v quando il blocco ripassa per la prima volta per il punto di lancio; (b) il numero n di giri completi compiuti dal blocco al momento in cui si arresta. Velocità v [m/s]: Numero giri completi [adimensionale]: 3. Un sistema termodinamico, composto da n = 0 ξ mol di gas perfetto biatomico, si trova nello stato iniziale, con pressione p = ( ξ) Pa e volume V = 32 m 3. Il sistema subisce le seguenti trasformazioni quasi-statiche: ( 2) trasformazione isocora che permette di raggiungere la pressione p 2 = 234 Pa; (2 3) trasformazione isoterma fino al raggiungimento del volume V 3 = 0 ξv 2; (3 4) trasformazione isocora; (4 ) trasformazione isoterma che chiude il ciclo. Determinare il lavoro compiuto dal sistema in un ciclo e il rendimento del ciclo. Lavoro in un ciclo [J]: Rendimento η [adimensionale]:

15 Numero progressivo: 34 ξ = 387 Turno: Fila: 8 Posto: 0 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Una sbarra rigida di peso trascurabile e lunghezza pari a l = 30 cm è sospesa al soffitto tramite due cavi inestensibili (vedi figura), entrambi di lunghezza h = 20 cm e peso trascurabile, applicati alla sbarra a distanze (misurate a partire dall estremo sinistro) pari rispettivamente ad a = 0 e a 2 = 2 3 l. Alla sbarra sono inoltre appese tre massette di peso p = 500 ξ N, p 2 = 5 N e p 3 = 0 6 ξ 2 N a distanze rispettivamente di b = 3 l, b 2 = 2 3 l e b 3 = l (misurate a partire dall estremo sinistro della sbarra). Determinare, nelle condizioni di equilibrio statico, le tensioni dei due cavi. Tensione del cavo sinistro T [N]: Tensione del cavo destro T 2 [N]: 2. Un mattone di massa m = kg scivola senza attrito lungo il piano inclinato di un cuneo, di massa M = 2 kg e inclinazione α = 8 00 ξ. Il cuneo, a sua volta, può muoversi senza attrito su di un piano orizzontale. Calcolare la norma dell accelerazione del cuneo. Accelerazione [ m/s 2] : 3. Una mole di gas perfetto monoatomico è inizialmente in equilibrio termodinamico in uno stato, alla temperatura T = (400+ξ) K, in un volume V = 0 2 m 3. A un certo istante il gas viene portato in uno stato 2 da un espansione adiabatica quasi-statica 2. In tale trasformazione il gas compie un lavoro pari a L 2 = 800 J. (a) Calcolare il rapporto ρ = V V 2, essendo V 2 il volume del gas al termine della trasformazione 2. A questo punto, tramite la successione di una compressione 2 3, isoterma, e una trasformazione 3, isocora, (entrambe quasi-statiche) il sistema è riportato alle condizioni iniziali. (b) Calcolare il rendimento η del ciclo. Rapporto ρ = V V 2 [adimensionale]: Rendimento η [adimensionale]: p Esercizio n. Esercizio n V

16 Numero progressivo: 24 ξ = 494 Turno: Fila: 8 Posto: 4 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Un asta omogenea, di peso p = ξ 0 N (vedi figura), è appoggiata su due supporti A e B, distanti, dal baricentro G dell asta, rispettivamente a =. m e b = ξ 000 m. Calcolare la forza d appoggio dell asta sul supporto A. Forza d appoggio sul supporto A [N]: 2. L energia interna di un gas dipende da temperatura e pressione del gas come U (T,p) = 6nRT εp 2 + cost., dove n = 6.0 mol e ε = J/Pa 2. Determinare quanto varia la temperatura del gas, se esso, partendo da una pressione iniziale p i = Pa, raggiunge la pressione finale p f = 000 ξp i mediante un espansione libera adiabatica. Variazione di temperatura T = T f T i [K]: 3. Un punto materiale P di massa m si muove in un piano verticale, appeso a un filo inestensibile, di massa trascurabile e lunghezza l, vincolato in un punto fisso O. Se il punto P, lanciato parallelamente al suolo, ha una velocità iniziale di norma maggiore di v (f) A = 500+ξ 200 m/s, esso raggiunge la quota massima della traiettoria circolare in figura. Si determini la minima norma della velocità v (s) A con cui deve essere lanciato, parallelamente al suolo, lo stesso punto m per raggiungere la quota massima della traiettoria nel caso in cui il filo venga sostituito da una sbarretta indeformabile, di densità uniforme, massa pari a M = 200 mξ e lunghezza l, libera di ruotare attorno a O. Velocità minima v A [m/s]: O G l A a b B Esercizio n. Esercizio n. 2

17 Numero progressivo: 32 ξ = 60 Turno: Fila: 0 Posto: Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Il punto di fusione normale del piombo è pari a t PFN = 327 C e il suo calore latente di fusione è c l = 23 J/g. (a) Calcolare il calore Q che è necessario cedere a una massa m = ξ kg di piombo solido a temperatura t PFN per farlo fondere. (b) Calcolare la variazione di entropia S di una massa m di piombo durante la fusione alla temperatura t PFN, e specificare se essa è positiva, negativa o nulla. Calore Q [J]: Variazione di entropia S [J/K]: ( ) 2. Un asta rigida omogenea AB, di massa m = 4 kg e lunghezza l = 78+ ξ 2 cm, ruota attorno a un asse u, passante per l estremo A e formante un angolo α = 30 con l asta stessa. Calcolare il momento d inerzia dell asta rispetto a tale asse. Momento d inerzia [ kgm 2] : 3. Due blocchi sono collegati tra loro da una funicella inestensibile di massa trascurabile, libera di scorrere senza attrito nella scanalatura sottile di una carrucola cilindrica omogenea. Nell ipotesi che i blocchi abbiano massa m = m e m 2 = ρm e che la carrucola abbia massa M = 2m( ξ), determinare il valore di ρ affinché il blocco di massa m 2 cada con un accelerazione pari a 6 g. Rapporto ρ = m2 m [adimensionale]:

18 Numero progressivo: 7 ξ = 708 Turno: Fila: 0 Posto: 5 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Un dardo viene lanciato orizzontalmente nella direzione del centro A di un bersaglio, alla velocità v 0 = 20 m/s. Dopo un tempo t = 00 ξ s, esso si conficca nel punto B, situato sotto il centro A. Quanto vale la distanza AB? Quanto dista il lanciatore dal bersaglio? Si trascuri la resistenza dell aria. Distanza AB [cm]: Distanza del lanciatore dal bersaglio [m]: 2. Negli ultimi anni sono stati scoperti numerosi oggetti planetari oltre all orbita del pianeta Nettuno con caratteristiche fisiche comparabili a quelle del pianeta nano Plutone. Supponendo che uno di tali pianetini abbia massa M = 0 6 ξ 2 m p e raggio R = r p, dove r p = 50 km e m p = kg sono rispettivamente il raggio e la massa e di Plutone, determinare la velocità di fuga dal pianetino. Velocità di fuga [m/s]: 3. Un recipiente è costituito da una cavità cilindrica adiabatica entro cui possono scorrere senza attrito due pistoni, anch essi adiabatici e soggetti alla pressione atmosferica. Il volume tra i due pistoni è suddiviso in due parti da una parete diatermica fissa. La parte (), a sinistra della parete diatermica, è riempita con n = 2 mol di gas perfetto biatomico, mentre la parte (2), a destra della parete diatermica, è riempita con n 2 = ( ξ) mol di gas perfetto monoatomico. Se il gas (2) viene compresso in maniera quasi-statica finché il suo volume diventa un terzo di quello iniziale, calcolare il rapporto ρ = V f V i tra il volume finale e il volume iniziale del gas (). Rapporto ρ [adimensionale]: A B Esercizio n.

19 Numero progressivo: 6 ξ = 85 Turno: Fila: 0 Posto: 0 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Un punto materiale è vincolato a muoversi su di una guida rettilinea. Al tempo t = 0 il punto materiale si trova in quiete. Se il punto accelera con accelerazione a(t) = kt 2, dove k = 000 ξ m/s4, trovare la velocità raggiunta e lo spazio percorso al tempo t = 50 ξ s. Velocità raggiunta [m/s]: Spazio percorso [m]: 2. Un punto materiale, di massa m = 2 kg, si muove con velocità di modulo pari a v = 0 m/s, avente direzione orizzontale e giacente su di un piano verticale. Il punto materiale urta elasticamente e istantaneamente nel punto A (vedi figura) una sbarra rigida omogenea di massa pari a M = kg e lunghezza pari ad a = m, incernierata allo stesso piano verticale nel punto O, con d = 2000 ξa e b = ( 000 ξ) a. Determinare la velocità del punto materiale subito dopo l urto (indicandola positiva se concorde alla velocità prima dell urto e negativa in caso contrario) e la velocità angolare della sbarra subito dopo l urto. Velocità del punto materiale subito dopo l urto [m/s]: Velocità angolare della sbarra subito dopo l urto [rad/s]: 3. Una mole di gas perfetto monoatomico, inizialmente all equilibrio termodinamico a temperatura T = 300 K e volume V = dm 3, compie un ciclo costituito dalle seguenti trasformazioni: ( 2) espansione isobara ottenuta ponendo in contatto il sistema con un termostato a temperatura T 2 incognita; (2 3): espansione adiabatica quasi-statica; (3 4): abbassamento isocoro quasi-statico della temperatura; (4 ): compressione adiabatica quasi-statica. Sapendo che V 2 = ( + 00 ξ) V e V 3 = ( ξ) V determinare: (a) Il rendimento η del ciclo; (b) la variazione di entropia del sistema in un ciclo S S ; (c) la variazione di entropia dell ambiente in un ciclo S A. Rendimento η [adimensionale]: Variazione di entropia del sistema S S [J/K]: Variazione di entropia dell ambiente S A [J/K]: m d b v A Esercizio n. 2 O M a p 2 adiabatica adiabatica quasi-statica quasi-statica 3 4 V

20 Numero progressivo: 5 ξ = 922 Turno: Fila: 0 Posto: 4 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). L energia interna di un gas dipende da temperatura e volume del gas comeu (T,V) = 5nRT ε V 3+cost., doven = 20.0 mol e ε = Jm 9. Determinare quanto varia la temperatura del gas, se esso, partendo da un volume iniziale V i = dm 3, raggiunge il volume finale V f = ( ξ) V i mediante un espansione libera adiabatica. Variazione di temperatura T = T f T i [K]: 2. Una sfera rigida, omogenea, di centro A, raggio R = 4 cm e massa M = 250 g, inizialmente in quiete, è urtata da un altra sfera rigida, omogenea, di centro B, raggio r = 3 cm e massa m = 00 g, che un attimo prima dell urto trasla con una velocità nota w di modulo pari a w = 00 cm/s. L urto è perfettamente elastico e non c è attrito tra le superfici delle due sfere. Se la distanza di A dalla retta passante per B e parallela a w subito prima dell urto è pari a d = 7ξ 000 cm (vedi figura), determinare gli angoli α ( [0,90 [ ) e β ( [0,80 ] ) che le velocità delle due sfere formano con quella iniziale w della sfera B. Angolo α (sfera A) [ ]: Angolo β (sfera B) [ ]: 3. La lastra quadrata mostrata nella figura ha i lati lunghi l = 30 ξ cm. Inoltre, nel sistema di coordinate mostrato nella figura, la densità superficiale di massa è data da σ(x,y) = c 0 + c y 2, dove c 0 = 2 kg/m 2 e c = 4 kg/m 4. Determinare il momento d inerzia della lastra rispetto all asse delle ordinate. Momento d inerzia [ kgm 2] : m w B r R d A M v w V y l/2 -l/2 l x Esercizio n. Esercizio n. 2

21 Numero progressivo: 33 ξ = 59 Turno: Fila: 2 Posto: Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). È dato il campo vettoriale V (x,y,z) = 2 x2 yî+xyĵ xyz 2ˆk. Determinare il valore della divergenza del campo vettoriale V nel punto P di coordinate cartesiane (2,ξ,3). ( ) Divergenza V (2, ξ, 3) [numero puro]: 2. Un sistema termodinamico, costituito di n = 3 mol di gas perfetto biatomico, compie una trasformazione quasi-statica γ, lungo la quale il calore molare ha l espressione c γ (T) = c V +art, con a = 0 5 ξ K. Nello stato iniziale il volume è V i = 7 l e la temperatura è T i = 30 K, mentre nello stato finale la temperatura è T f = 700 K. Determinare il volume V f del sistema nello stato finale. Volume finale V f [l]: 3. In una regione di spazio è presente una forza conservativa di intensità F(x,y,z) = c ( yz y 2) î+c(xz 2xy)ĵ+cxyˆk, dove c = N/m 2. Determinare la variazione dell energia potenziale di un punto materiale che si sposta dalla posizione iniziale P i = (2ξ,,) alla posizione finale P f = (ξ, 2, 2 ξ). Variazione di energia potenziale V [J]:

22 Numero progressivo: 26 ξ = 66 Turno: Fila: 2 Posto: 5 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Sia dato il sistema meccanico rappresentato nella figura (verricello semplice) costituito da un disco omogeneo di massa M dotato di due scanalature, poste a distanza r e r 2 = r (2+0 2 ξ) dall asse del disco (con r < r 2 ), all interno delle quali può essere avvolto un filo. Nell ipotesi in cui una massa m sia sospesa a un filo inestensibile di massa trascurabile passante nella scanalatura esterna e il dispositivo sia sospeso a sua volta mediante un filo inestensibile di massa trascurabile avvolto nella scanalatura interna, determinare il rapporto delle masse ρ = M m affinché il disco sia in equilibrio. Rapporto ρ = M m [adimensionale]: 2. Un blocco di ferro, di massa pari a m = 500 ξ kg e calore specifico pari a c = 444 Jkg K, alla temperatura t = 300 C, viene posto a contatto termico con un blocco di piombo, di massa m 2 = 6 ξ kg e calore specifico c2 = 67 Jkg K, alla temperatura t 2 = 0 C. I due blocchi non scambiano calore con alcun altro sistema. (a) Trovare la temperatura dei due blocchi (in C) una volta che è stato raggiunto l equilibrio termodinamico. (b) Trovare la variazione di entropia del blocco di ferro. (c) Trovare la variazione di entropia del blocco di piombo. Temperatura finale dei due blocchi [ C]: Variazione di entropia del blocco di ferro [J/K]: Variazione di entropia del blocco di piombo [J/K]: 3. Un proiettile viene sparato con velocità v 0 di modulo v 0 = 2( ξ) m/s in direzione orizzontale a un altezza h dal suolo. Determinare quale debba essere il rapporto ρ = v0 h affinché il proiettile raggiunga il suolo con il vettore velocità inclinato di un angolo di 30 rispetto alla verticale. Rapporto ρ = v0 [ ] h s : T T2 T2 Q Te Te Esercizio n. Esercizio n. 2

23 Numero progressivo: 28 ξ = 273 Turno: Fila: 2 Posto: 0 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). È dato il campo vettoriale V (x,y,z) = 2 x2 î+xyĵ+xyzˆk. Determinare il valore della divergenza del campo vettoriale V nel punto P di coordinate cartesiane (2,ξ,3). ( ) Divergenza V (2, ξ, 3) [numero puro]: 2. Un pallone di lattice immerso nell aria è gonfiato con gas metano. Il pallone è sferico, con raggio di 0.8 m. (a) Determinare il numero di moli di metano contenute nel pallone sapendo che la pressione interna del pallone è pari a p = ξ 300 p A (dove p A = 0325 Pa è la pressione atmosferica) e che la temperatura del sistema aria-pallone è pari a 27 C. (b) Determinare la densità del metano contenuto nel pallone. (c) Sapendo che la massa del lattice è pari a 0. kg e che la densità dell aria è.27 kg/m 3 quanto vale la componente verticale R z della forza risultante che agisce sul pallone pieno di metano? (Scrivere R z positiva se la forza è diretta in basso e negativa se la forza è diretta in alto). Quantità di metano n contenuta nel pallone [mol]: Densità ρ del metano nel pallone [ kg/m 3] : Componente R z della forza risultante R [N]: 3. In astronomia, il termine galassia designa un sistema, legato dalla forza di gravità e costituito da stelle, gas interstellare, polveri e, probabilmente, da un tipo di materia ancora sconosciuto denominato materia oscura in grado di interagire soltanto gravitazionalmente e non osservabile direttamente tramite emissione elettromagnetica (mediante telescopi, radiotelescopi, ecc.). Si schematizzi la galassia nella figura con un nucleo sferico centrale (denominato bulge), omogeneo, di densità ρ = 0 25 g/cm 3 (densità della materia ordinaria) e raggio R = kpc, e un disco attorno a esso di massa trascurabile. Sapendo che è stata misurata la velocità di rotazione delle stelle (si ipotizzi un orbita circolare) e che, a una distanza r = 0 kpc dal centro, essa è risultata pari a v s = (800+3ξ) m/s, si valuti il rapporto tra la massa totale M (materia oscura + materia ordinaria) e la massa della sola materia ordinaria M g affinché la galassia sia un sistema stabile e non si disgreghi. [pc = m]. Rapporto M/M g [numero puro]:

24 Numero progressivo: 30 ξ = 380 Turno: Fila: 2 Posto: 4 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Un punto materiale si muove in un piano seguendo la legge oraria s(t) = kt 2, con k = 2.00 m/s 2. Trovare il raggio di curvatura della traiettoria al tempo t = ξ s, se il modulo dell accelerazione cresce con il tempo, secondo la legge: a(t) = 2k + ( ) t 4, T con T = 00 ξ s. Raggio di curvatura [m]: 2. Un sistema termodinamico, costituito di n = 6 mol di gas perfetto monoatomico, compie una trasformazione quasi-statica γ, lungo la quale il calore molare ha l espressione c γ (T) = c V + ar T 2, con a = 00ξ K2. Nello stato iniziale il volume è V i = 7 l e la temperatura è T i = 30 K, mentre nello stato finale la temperatura è T f = 700 K. Determinare il volume V f del sistema nello stato finale. Volume finale V f [l]: 3. La lastra rettangolare mostrata nella figura ha base l = 20 ξ m e altezza h = 0 m. Inoltre, nel sistema di coordinate mostrato nella figura, la densità superficiale di massa è data da σ(x,y) = c 0 + c xy, dove c 0 = 3 kg/m 2 e c = 8 kg/m 4. Determinare il momento d inerzia rispetto all asse delle ordinate. Momento d inerzia [ kgm 2] : y h 0 0 l x

25 Numero progressivo: 7 ξ = 487 Turno: Fila: 4 Posto: 5 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Un razzo, di massa a vuoto pari a M 0 = 20 kg, è rifornito con una quantità di gas pari a M g0 = ( 0 ξ +0) kg. All istante iniziale il razzo inizia a espellere il gas contenuto al suo interno verso il basso, con velocità costante v g, e rateo costante di massa espulsa per unità di tempo pari a k = 0 kg/s. Determinare la minima velocità di espulsione del gas v g affinché il razzo inizi a sollevarsi nel momento in cui si accende il motore. Velocità minima [m/s]: 2. La lastra quadrata mostrata nella figura ha i lati lunghi L = 30 ξ cm. Inoltre, nel sistema di coordinate mostrato nella figura, la densità superficiale di massa è data da σ(x,y) = c 0 + c x, dove c 0 = 2 kg/m 2 e c = 4 kg/m 3. Determinare il momento d inerzia rispetto all asse delle ascisse. Momento d inerzia [ kgm 2] : 3. Un sistema termodinamico, composto da n = 0 ξ mol di gas perfetto monoatomico, si trova nello stato iniziale, con pressione p = 60 Pa e volume V = 08 m 3. Il sistema subisce le seguenti trasformazioni quasi-statiche: ( 2) trasformazione isocora fino alla pressionep 2 = (40+ξ) Pa; (2 3) trasformazione isoterma; (3 ) trasformazione isobara che chiude il ciclo. Determinare il lavoro compiuto dal sistema in un ciclo e il rendimento del ciclo. Lavoro in un ciclo [J]: Rendimento η [adimensionale]: Esercizio n. Esercizio n. 2

26 Numero progressivo: 9 ξ = 594 Turno: Fila: 4 Posto: 0 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Un punto materiale è vincolato a una guida circolare di raggio r = 4 m, su cui può scorrere senza attrito. Esso si muove secondo la legge oraria s(t) = kt 2, con k = 200 ξ m/s2. Calcolare la componente tangenziale e la componente normale dell accelerazione nell istante t = 2 s. Componente tangenziale dell accelerazione a t [ m/s 2 ] : Componente normale dell accelerazione a n [ m/s 2 ] : 2. Una mole di gas perfetto monoatomico, inizialmente all equilibrio termodinamico a temperatura T = 300 K e volume V = dm 3, compie un ciclo costituito dalle seguenti trasformazioni: 2: espansione isobara quasi-statica; 2 3: espansione libera adiabatica; 3 4: abbassamento isocoro quasi-statico della temperatura; 4 : compressione adiabatica quasi-statica. Sapendo che V 2 = ( + 00 ξ) V e V 3 = ( ξ) V determinare: (a) Il rendimento η del ciclo; (b) la variazione di entropia del sistema in un ciclo S S ; (c) la variazione di entropia dell ambiente in un ciclo S A. Rendimento η [adimensionale]: Variazione di entropia del sistema S S [J/K]: Variazione di entropia dell ambiente S A [J/K]: 3. Un punto materiale, di massa m = 00 g è appoggiato su di un cuneo liscio, di massa M = 00 ξm e angolo α = 0. Il cuneo, a sua volta, è vincolato a scorrere senza attrito su di un piano orizzontale liscio. Supponendo che inizialmente tutto sia in quiete e che il punto materiale si trovi a un altezza h 0 = 50 cm rispetto al piano orizzontale, calcolare: (a) la velocità di traslazione del cuneo quando il punto materiale è sceso sul piano orizzontale; (b) supponendo poi che il punto, una volta raggiunto il piano orizzontale, incontri un secondo cuneo liscio, di massa M 2 = 4m e angolo β = 20, anch esso libero di scorrere senza attrito sul piano orizzontale, calcolare la massima altezza h raggiunta dal punto materiale sul secondo cuneo. Velocità di traslazione del cuneo [cm/s]: Altezza raggiunta dal punto sul secondo cuneo [cm]: p 2 adiabatica libera adiabatica quasi-statica 3 4 V V V V V Esercizio n. 2 m h 0 M M 2

27 Numero progressivo: 4 ξ = 70 Turno: Fila: 4 Posto: 4 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). È dato il campo scalare f (x,y,z) = x 2 y+y 2 z. Determinare i valori delle componenti cartesiane del gradiente del campo scalare f nel punto P di coordinare ( 3,ξ, 3). ( ) ( Componente x del gradiente f 3,ξ, 3) [numero puro]: x ( ) ( Componente y del gradiente f 3,ξ, 3) [numero puro]: y ( ) ( Componente z del gradiente f 3,ξ, 3) [numero puro]: z 2. Una piattaforma circolare ruota con velocità angolare costante ω = 0 s attorno a un asse normale a essa, passante per il suo centro. Solidale con la piattaforma, in direzione radiale, è fissata una guida priva di attrito sulla quale può scorrere una massa puntiformem = kg, a sua volta attaccata all estremo libero di una molla di costante elasticak = 00 ( ξ ) N/m e lunghezza a riposo L = m. L altro estremo della molla è fissato all asse di rotazione della piattaforma. Determinare la deformazione L della molla se la massa puntiforme ha velocità radiale nulla (si consideri la deformazione L positiva se la molla è allungata rispetto alla lunghezza a riposo, negativa se la molla è accorciata). Deformazione della molla L [m]: 3. Un sistema termodinamico è costituito di quattro grammi di elio, inizialmente nello stato, caratterizzato dalla pressione p = ξ Pa e dalla temperatura T = ( ξ) K. Il sistema subisce dapprima una trasformazione isobara fino a raggiungere lo stato 2, in cui il volume è raddoppiato; a questo punto una trasformazione adiabatica quasi-statica porta il sistema allo stato finale 3, con temperatura T 3 = 2 3 T. Calcolare la pressione finale p 3 del sistema e i lavori L 2 e L 2 3 compiuti dal sistema nelle due trasformazioni. Pressione finale p 3 [Pa]: Lavoro L 2 [J]: Lavoro L 2 3 [J]: Esercizio n. 2

28 Numero progressivo: 2 ξ = 808 Turno: Fila: 6 Posto: Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Due vettori, di norma rispettivamente a = 2 e b = 4, posti con l origine coincidente, formano tra loro un angolo di θ = π 000 ξrad. Trovare la norma del vettore c = a b. Trovare inoltre l angolo ϕ (espresso in radianti, nell intervallo [0,π]) compreso tra i vettori a e c (posto c con l origine coincidente con l origine comune di a e b). c : ϕ [rad]: 2. Dato il disco sottile e omogeneo di raggio R = ξ m e massa m = 200 g, mostrato nella figura, calcolarne il momento d inerzia rispetto a un suo diametro. Momento d inerzia [ kgm 2] : 3. Un blocco di ferro, di massa pari a m = 000 ξ kg e calore specifico pari a c = 444 Jkg K, alla temperatura T = (0+2ξ) C, è lasciato cadere nell acqua del mare, a temperatura T 2 = 0 C. Trovare: (a) quanto varia l entropia del blocco di ferro nel raggiungimento dell equilibrio termico; (b) quanto varia l entropia del mare nel raggiungimento dell equilibrio termico; (c) quanto varia l entropia dell universo nel raggiungimento dell equilibrio termico. Si supponga che il blocco e il mare non scambino calore con altri sistemi. Variazione dell entropia del blocco di ferro [J/K]: Variazione dell entropia del mare [J/K]: Variazione dell entropia dell universo [J/K]: c a b Esercizio n. Esercizio n. 2

29 Numero progressivo: 0 ξ = 95 Turno: Fila: 6 Posto: 5 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). È dato il campo vettoriale V (x,y,z) = xyî yzĵ+3x 2 yˆk. Determinare i valori delle componenti cartesiane del rotore del campo vettoriale V nel punto P di coordinate cartesiane ( ξ, 3 ξ,ξ). ( ) ( Componente x del rotore V ξ, 3 ξ,ξ) [numero puro]: x ( ) ( Componente y del rotore V ξ, 3 ξ,ξ) [numero puro]: y ( ) ( Componente z del rotore V ξ, 3 ξ,ξ) [numero puro]: z 2. Il punto di ebollizione normale dell anidride solforosa è pari a t PEN = 0.0 C e il suo calore latente di vaporizzazione è c l = 389 J/g. (a) Calcolare il calore Q che è necessario sottrarre a una massa m = ξ kg di anidride solforosa gassosa a temperatura t PEN per farla condensare. (b) Calcolare la variazione di entropia S di una massa m di anidride solforosa durante la condensazione alla temperatura t PEN, e specificare se essa è positiva, negativa o nulla. Calore Q [J]: Variazione di entropia S [J/K]: 3. Un disco omogeneo è fatto rotolare lungo un piano inclinato, con l asse di rotazione parallelo alle isoipse, in presenza di attrito radente. Determinare il massimo angolo di inclinazione del piano, θ max, oltre il quale il moto non è più un moto di puro rotolamento, sapendo che il coefficiente di attrito statico è f = 0 4 ξ. Massimo angolo di inclinazione θ max [ ]:

30 Numero progressivo: 8 ξ = 52 Turno: Fila: 6 Posto: 0 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). Il punto di ebollizione normale dell alcool etilico è pari a t PEN = 78.5 C e il suo calore latente di vaporizzazione è c l = 885 J/g. (a) Calcolare il calore Q che è necessario cedere a una massa m = ξ kg di alcool etilico liquido a temperatura t PEN per farlo evaporare. (b) Calcolare la variazione di entropia S di una massa m di alcool etilico durante l evaporazione alla temperatura t PEN, e specificare se essa è positiva, negativa o nulla. Calore Q [J]: Variazione di entropia S [J/K]: 2. Un punto materiale si muove lungo una guida circolare di raggio r = 3 m, con la componente intrinseca s dell accelerazione costante (essendo s lo spostamento lungo la guida). In un certo istante t, l accelerazione a del punto materiale forma un angolo α(t ) = π 2000 ξ rad con la direzione ˆv della velocità e la norma della velocità è pari a v(t ) = 0 m/s. Di quanto aumenta, in mezzo secondo, la norma della velocità? Quanto vale, all istante t, la norma dell accelerazione? v [m/s]: a(t ) [ m/s 2] : 3. Si consideri il sistema meccanico in figura, costituito di due blocchi di massa m e M, in cui m = 2 M. Il blocco M si muove orizzontalmente con accelerazione costante, di norma a = 2 g. Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico fra le superfici a contatto vale µ = 4 e che la tensione del cavo fissato a m ha intensità pari a T = 500+ξ 000 N, si determini l intensità della forza F. Intensità F della forza F [N]: a O v r T m M F Esercizio n. 2

31 Numero progressivo: 5 ξ = 59 Turno: Fila: 6 Posto: 4 Matricola: Cognome e nome: (dati nascosti per tutela privacy). È dato il campo vettoriale V (x,y,z) = 2 3 x2 y 2 î+xyzĵ x 3ˆk. Determinare i valori delle componenti cartesiane del rotore del campo vettoriale V nel punto P di coordinate cartesiane ( ξ, 4,4000). ( ) ( Componente x del rotore V ξ, 4,4000) [numero puro]: x ( ) ( Componente y del rotore V ξ, 4,4000) [numero puro]: y ( ) ( Componente z del rotore V ξ, 4,4000) [numero puro]: z 2. Un punto materiale si trova sul ciglio di una parete alta h 0 = 50 m. A distanza D da tale parete si trova una seconda parete, alta h f = 50 m (vedi figura). Il punto materiale viene lanciato con alzo θ = 0.5 rad e velocità iniziale v 0 = 00 ξ m/s e raggiunge esattamente il ciglio della parete opposta. Determinare la distanza D fra le due pareti. Distanza [m]: 3. Una mole di gas perfetto monoatomico, inizialmente all equilibrio termodinamico a temperatura T = 300 K e volume V = dm 3, compie un ciclo costituito dalle seguenti trasformazioni: 2: espansione isobara ottenuta ponendo in contatto il sistema con un termostato a temperatura T 2 incognita; 2 3: espansione libera adiabatica; 3 4: abbassamento isocoro della temperatura ottenuto ponendo in contatto il sistema con un termostato a temperaturat 4 incognita; 4 : compressione adiabatica quasi-statica. Sapendo che V 2 = ( + 00 ξ) V e che V 3 = ( ξ) V determinare: (a) Il rendimento η del ciclo; (b) la variazione di entropia del sistema in un ciclo, S S ; (c) la variazione di entropia dell ambiente in un ciclo, S A. Rendimento η [adimensionale]: Variazione di entropia del sistema S S [J/K]: Variazione di entropia dell ambiente S A [J/K]: p 2 Esercizio n. 2 adiabatica libera adiabatica quasi-statica 3 4 V V V V V 2 3 4