Indice. 1 Introduzione 1

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1 Ai miei genitori

2 Indice 1 Introduzione 1 2 La Diffusione profondamente anelastica in corrente neutra Cinematica del processo Il Modello a Partoni Le funzioni di struttura adroniche Le funzioni di distribuzione partoniche Il problema delle divergenze Divergenze ultraviolette Divergenze infrarosse Evoluzione delle PDF Contributo della corrente neutra debole Accoppiamento leptonico Accoppiamento adronico Modifica delle ampiezze di transizione Sottrazione delle divergenze Hors d œuvre Cenni sulle tecniche Monte Carlo Monte Carlo semplice Campionamento stratificato Campionamento d importanza Monte Carlo multicanale Osservabili di getto Metodo slicing Metodo di sottrazione Sottrazione di Catani-Seymour Formule di dipolo e operatori di inserzione Processi con adroni nello stato iniziale i

3 INDICE 4 Il Monte Carlo DISENT Struttura del programma Considerazioni generali Generazione dello spazio delle fasi Il sistema di riferimento di Breit La subroutine user La subroutine disent Contributo in approssimazione di Born Generazione dello stato a due partoni Calcolo dell ampiezza di transizione Contributi all ordine dominante Contributo virtuale finito Residuo collineare finito Generazione dello stato a tre partoni Contributo reale finito Contributi all ordine sottodominante Contributo virtuale finito Residuo collineare finito Generazione dello stato a quattro partoni Contributo reale finito Inclusione della Z Inclusione agli ordini più bassi Contributo (pv) al livello di Born Contributo (pv) all ordine dominante Inclusione all ordine sottodominante Formalismo di Weyl-van der Waerden Implementazione del prodotto spinoriale interno Contributo virtuale finito Contributo reale finito Conclusioni e Sviluppi Futuri Conclusioni Sviluppi Futuri Bibliografia 101 ii

4 Elenco delle figure 2.1 Diffusione profondamente anelastica di leptoni da adroni Funzioni di distribuzione partoniche misurate ad HERA Cono di getto adronico e cono di slicing Fattorizzazione di dipolo DIS nel sistema del laboratorio e nel sistema di Breit Ciclo primario della subroutine principale Diffusione leptone-partone al livello di Born Correzioni ad un gluone virtuale all ordine dominante Diagrammi ad albero con due partoni nello stato finale Correzioni ad un gluone virtuale all ordine sottodominante Diagrammi ad albero con tre partoni nello stato finale iii

5 Elenco dei codici 4.1 Struttura generale del programma DISENT Argomenti della subroutine utente Argomenti della subroutine principale Implementazione del prodotto spinorale interno in DISENT Implementazione del prodotto scalare in DISENT iv

6 Capitolo 1 Introduzione Per quanto una teoria fisica possa apparire complessa e formalmente ardua, l origine della sua eleganza risiede quasi sempre in un idea semplice e concreta. Il Modello Standard (MS) delle particelle elementari, solidamente edificato sull esistenza di costituenti fondamentali di natura fermionica che interagiscono tra loro attraverso lo scambio di bosoni vettori intermedi, è tra gli esempi più significativi. I fermioni elementari sono i leptoni, i quali risentono delle interazioni elettromagnetica e debole, e i quark, soggetti anche all interazione forte. Nell ambito del MS, i fenomeni elettromagnetici sono descritti dall Elettrodinamica Quantistica (o QED), ovvero una teoria di gauge abeliana con gruppo di simmetria U(1) e densità di Lagrangiana L QED = 1 4 F µνf µν + ψ l (i /D m)ψ l (1.1) l dove ψ l è il campo spinoriale che descrive leptoni e antileptoni di sapore l, D µ = µ + iea µ (1.2) 1

7 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE è la derivata covariante, e la costante di accoppiamento (uguale alla carica elementare), A µ il campo di gauge e F µν = [D µ, D ν ] = µ A ν ν A µ (1.3) il tensore del campo elettromagnetico. Si tratta di una teoria rinormalizzabile [1] con un solo bosone vettore a massa nulla, il fotone. La scoperta dell interazione debole e i primi modelli che su di essa vennero elaborati, erano basati sulla fenomenologia del decadimento β. Il primo modello teorico, proposto da Fermi 1 [3] e costruito in modo analogo al caso elettromagnetico, prevede un interazione di contatto descritta da una densità di Lagrangiana d interazione del tipo L F I = G F 2 J α (x)j α(x) (1.4) dove G F 10 5 /m 2 p (1.5) è la costante d accoppiamento di Fermi con m p la massa del protone, e [4] J α (x) = ψ l γ α (1 γ 5 )ψ νl (1.6) l con ψ νl lo spinore associato al neutrino di sapore l. I limiti di tale teoria 1 L inclusione della violazione della parità fu effettuata da Gamow e Teller attraverso le cosiddette Trasformazioni di Gamow-Teller. [2] 2

8 emersero subito: la non rinormalizzabilità infatti impediva il calcolo delle correzioni agli ordini superiori [5]. Verso la fine degli anni 50, con l intento di spiegare il motivo per cui le sezioni d urto associate ai processi deboli fossero così piccole, e superare le difficoltà del modello di Fermi [6], fu ipotizzata l esistenza di bosoni vettori intermedi carichi e massivi. La nuova teoria, nota come IVB Theory, è descritta dalla densità di Hamiltoniana d interazione: H IVB I = g w J α(x)w α (x) + g w J α (x)w α (x) (1.7) dove g w è una costante di accoppiamento adimensionale e W α (x) descrive i bosoni intermedi W ±. Tale modello non era tuttavia esente da problemi: esso infatti non prevedeva correttamente le sezioni d urto per processi quali la diffusione ν µ e mentre la forma del propagatore massivo ne impediva la rinormalizzazione [7]. La soluzione giunse con l emergere delle teorie di gauge con rottura spontanea della simmetria 2 e la rinormalizzabilità fu ottenuta grazie all unificazione dell interazione debole con quella elettromagnetica. La simmetria di gauge richiesta è SU(2) L U(1) 3 e i generatori sono le tre cariche di isospin debole T i (i = 1, 2, 3) e l ipercarica Y. Avendo notato la natura vettoriale di entrambe le interazioni, Schwinger [9] fu il primo ad avanzare l idea dell unificazione debole ed elettromagnetica, mentre Glashow [10] propose la simmetria di gauge sopra citata. Infine, la rinormalizzabilità con masse dei bosoni intermedi finite - generate dalla rottu- 2 La rottura della simmetria avviene tramite il Meccanismo di Higgs [8]. 3 Poiché non si osservano neutrini levogiri, i leptoni di sapore l possono essere raggruppati nel doppietto di SU(2) L levogiro L l = (ν l L, l L ) dove l L = 1 2 (1 γ 5)l, e in un singoletto R = l R = 1 2 (1 + γ 5)l. 3

9 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ra della simmetria - fu proposta indipendentemente da Weinberg [11] e da Salam [12], i quali diedero il nome all attuale teoria standard elettrodebole, nota come Modello di Glashow-Weinberg-Salam [13]. Si tratta, dunque, di una teoria non abeliana con quattro bosoni intermedi: ai bosoni massivi carichi W ± e al γ, si aggiunge il bosone massivo neutro Z 0. Gli esperimenti condotti negli anni 50 e 60 presso gli acceleratori di particelle hanno mostrato come protone e neutrone facciano parte di una più ampia classe di particelle, gli adroni 4. La scoperta di un numero sempre maggiore di tali particelle (zoo adronico [14]) e gli studi sul loro momento magnetico anomalo indussero a pensare che esse non potevano essere considerate particelle elementari. I risultati provenienti dai successivi esperimenti sulla diffusione elettrone-nucleone portarono a ritenere valida l assunzione secondo cui l elettrone, nella fase di interazione con il nucleone, urti con dei suoi costituenti puntiformi e quasi liberi, chiamati partoni [15]. Gell-Mann [16] e Zweig [17] introdussero delle particelle elementari identificabili con i partoni, i quark. Accettando questa visione, la dinamica che governa il sistema di partoni prevede che essi interagiscano tra loro debolmente a piccole distanze. Grazie ai lavori di t Hooft [18], Gross e Wilczek [19] e Politzer [20] si capì che la proprietà richiesta, nota come libertà asintotica, è esibita solo da teorie di gauge non abeliane, le quali erano state originariamente introdotte da Yang e Mills [21]. Tuttavia, il modello a quark incontrò subito grosse difficoltà: alla presunta violazione del principio di Pauli manifestata dalla risonanza protonica ++, seguirono la non osservabilità di quark isolati e la discre- 4 Dal greco ἁδρός, forte. I nucleoni sono adroni poiché risentono della forza nucleare, la quale è una manifestazione dell interazione forte. 4

10 panza tra predizioni e esperimenti sulla sezione d urto totale del processo: e + e adroni e sulla frequenza di decadimento per il processo: π 0 2γ. La soluzione venne fornita da Han e Nambu [22], i quali suggerirono per i quark un nuovo numero quantico, il colore [23] e la teoria dell interazione forte fu chiamata Cromodinamica Quantistica (o QCD). Come il fotone, che è un campo di gauge abeliano, media l interazione elettromagetica tra particelle cariche in QED, i campi di gauge non abeliani mediano le interazioni di colore tra i quark in QCD. Essi sono chiamati gluoni 5. Mentre i fotoni non posseggono carica elettrica e, quindi, non possono interagire tra di loro, i gluoni posseggono carica di colore ed interagiscono tra loro anche in assenza di quark. La richiesta di non osservabilità degli stati di colore implica l esistenza di una nuova simmetria, descritta dal gruppo di Lie SU(3) C, la cui invarianza ha come conseguenza il confinamento dei quark all interno degli adroni. Questi ultimi sono dunque descritti da stati (neutri nello spazio del colore) legati di quark. La densità di Lagrangiana della QCD è (a meno di termini di gauge): L QCD = 1 4 F(a) µν F (a)µν + ψ i q (i /D ij m q )ψq j (1.8) q dove F a µν = µ A ν ν A µ + g s f abc A b µa c ν (1.9) è il tensore del campo gluonico, 5 Dall inglese glue, colla. I possibili stati di colore per un quark di sapore definito sono tre, mentre per i gluoni sono otto. 5

11 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE (D µ ) ij = δ ij µ ig s A a µt a ij (1.10) è la derivata covariante, T a sono i generatori della rappresentazione fondamentale di SU(3) C (normalizzate in modo che tr(t a T b ) = δ ab /2), f abc sono le costanti di struttura che definiscono l algebra del gruppo, ψ i q è il campo spinoriale associato ai quark di colore i e sapore q e gli A a µ sono i campi gluonici. È il termine d accoppiamento gluonico presente nel membro destro dell eq. (1.8) a distinguere la QCD dalla QED (eq. 1.1): esso da origine, infatti, ai vertici a tre e a quattro gluoni e grazie ad esso si ha la proprietà di libertà asintotica (si veda [24]). Allo stesso modo, l intima natura della QCD fornisce una chiara spiegazione del confinamento [25]: l accoppiamento forte α s = g2 s 4π decresce all aumentare di Q2 (quadrimpulso trasferito al quadrato). Se, ad alto Q 2, α s diventa piccola, rendendo applicabile la teoria perturbativa, al decrescere di Q 2 il valore di α s aumenta, confinando quindi permanentemente i quark all interno degli adroni. In questa rappresentazione, se, ad esempio, si tentasse di separare un quark da un barione (qqq), i gluoni mediatori si opporrebbero alla loro separazione. Incrementando l energia, dal campo dell interazione forte viene generata una coppia quark-antiquark, in modo che il quark strappato si lega all antiquark, dando origine ad un mesone (q q), mentre il quark appena generato va a ricostituire il barione. Il processo di ricombinazione di quark prende il nome di adronizzazione e, avendo luogo a basse energie, non può essere trattato perturbativamente. Gli esperimenti di diffusione rappresentano uno strumento molto importante nella fisica delle alte energie, in quanto permettono di studiare le interazioni fra particelle e, dunque, corroborare le teorie quantistiche 6

12 di campo che le descrivono. In particolare, gli esperimenti di diffusione profondamente anelastica (DIS) di leptoni da adroni, condotti inizialmente a SLAC [26] alla fine degli anni 60 e, successivamente, presso l acceleratore HERA, aprirono una nuova era nello studio delle interazioni forti, gettando le basi del modello a quark e gluoni. Per DIS s intende il processo in cui una sonda leptonica interagisce con un adrone trasferendo un alto impulso Q 2. Per il principio d indeterminazione, il bosone scambiato ad alto Q 2 è in grado di risolvere lunghezze molto piccole, fornendo informazioni importanti sulla struttura intima dell adrone. Se il leptone entrante è un elettrone e lo è anche quello uscente, si parlerà di diffusione in corrente neutra, dal momento che gli unici mediatori possono essere quelli con carica elettrica nulla, ossia il fotone e la Z 0. Il calcolo delle sezioni d urto per processi come il DIS non è affatto banale e, nella maggior parte dei casi, richiede l utilizzo di programmi numerici. Tuttavia, oltre agli errori dovuti alle approssimazioni numeriche (risolvibili o, comunque, controllabili mediante l utilizzo di tecniche di integrazione Monte Carlo), sorge il problema delle divergenze ultraviolette (UV) e, in particolare, delle divergenze infrarosse e collineari (IR). Infatti, come in ogni teoria quantistica di campo, anche in QCD tale problema affiora non appena si spinge il calcolo delle sezioni d urto agli ordini superiori. Le divergenze UV devono essere rimosse analiticamente attraverso la consueta procedura di rinormalizzazione, mentre i risultati teorici assicurano la cancellazione delle divergenze IR presenti nei contributi virtuali (partone scambiato in un loop) della sezione d urto con quelle relative ai contributi reali (partone emesso nello stato finale). Pur essendo tale cancellazione garantita dalla teoria, la sua implementazione in un programma numerico è estremamente complessa, risultando impossibile per un calcolatore 7

13 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE sottrarre termini opposti ma teoricamente infiniti in un dato punto dello spazio delle fasi. Tali termini devono, dunque, essere rimossi prima di effettuare l integrazione delle ampiezze di transizione. La rimozione può essere effettuata mediante diversi tipi di algoritmo, tra cui spicca la procedura nota come Sottrazione di Catani-Seymour [27]. Il programma Monte Carlo DISENT, creato dagli stessi autori, permette di calcolare le sezioni d urto differenziali per la produzione di getti in processi di DIS utilizzando il metodo di sottrazione per la rimozione delle divergenze IR. Sebbene il calcolo si spinga fino all ordine sottodominante (NLO), esso contempla il solo contributo proveniente dallo scambio del fotone, mentre, per valori di molto alti, il contributo della Z 0 e il termine d interferenza γ Z non sono più trascurabili. Il presente lavoro di tesi verte sull inclusione della Z 0 in DISENT, la cui implementazione all ordine sottodominante ha richiesto uno studio dettagliato dei contributi, virtuali e reali, provenienti dai processi dominanti a tale ordine. ***** Il lavoro di tesi presenta la seguente struttura: Nel prossimo capitolo si introduce la diffusione profondamente anelastica di leptoni da adroni in corrente neutra. Dopo una breve descrizione della cinematica del processo, sono discussi aspetti generali quali il modello a partoni, le funzioni di struttura adroniche, le densità partoniche e i problemi legati alla rimozione delle divergenze. Si introducono infine gli effetti associati all inclusione della Z 0, fornendo una descrizione generale della modifica delle ampiezze di transizione. 8

14 Nel terzo capitolo è affrontata in dettaglio la rimozione delle divergenze e si introducono le tecniche Monte Carlo di base. Il quarto capitolo entra nei meandri della struttura del programma DISENT attraverso la descrizione dettagliata delle subroutine principali. Particolare attenzione è posta al modo in cui sono implementati i contributi alla sezione d urto, specifici per ordine perturbativo e dinamica dei processi. Nel quinto capitolo è presentata l inclusione della Z 0, il cui effetto è la comparsa di contributi d ampiezza aggiuntivi che violano la parità. Vengono fornite le espressioni per tali contributi, specifici per ordine perturbativo e tipo di processo considerato. Sono inoltre suggerite le modifiche da apportare alle singole subroutine al fine di completare la loro implementazione. Nell ultimo capitolo sono riassunti i risultati di questo lavoro e discusse le prospettive future. 9

15 Capitolo 2 La Diffusione profondamente anelastica in corrente neutra 2.1 Cinematica del processo Si consideri il processo (Fig. 2.1): L(l) + H(P) L(l ) + X (2.1) dove X è un generico stato adronico inclusivo 1, residuo dell adrone H iniziale, mentre L e L rappresentano rispettivamene il leptone entrante e quello uscente. In approssimazione di Born ( O(α 0 s) ), la reazione avviene attraverso lo scambio di uno dei bosoni vettori γ, Z 0 e W ±, il quale è indicato genericamente con V. È utile definire le seguenti variabili cinematiche: 1 Il DIS è, in genere, un esperimento totalmente inclusivo nello stato finale adronico, cosicché risulta necessario osservare il solo leponte uscente, di momento l. 10

16 2.1. Cinematica del processo S = (P + l) 2, q 2 = Q 2 < 0, ν = P q M H = (E l E l ) LAB, W 2 = (P + q) 2 = 2M H ν Q 2 + M 2, x = Q2 2P q = Q2 2M H ν (2.2) dove S è il quadrato dell energia totale disponibile per il processo, q è il quadrimpulso trasferito - puramente di tipo spazio - tra leptone e adrone, ν è l energia trasferita nel sistema del laboratorio (esperimento a targhetta fissa) e W rappresenta l energia del centro di massa del sistema V - H con M H la massa dell adrone. La quantità adimensionale x, nota come di variabile di scala di Bjorken, misura l anelasticità del processo. Nel caso della diffusione elastica, in cui W = M H, dalla (2.2) segue che 2M H ν Q 2 = 0 x = 1. (2.3) Viceversa, in regime anelastico, in cui W > M H, si ha che 2M H ν Q 2 > 0 0 < x < 1. (2.4) Si noti, inoltre, che la variabile ν è strettamente connessa alla quantità adimensionale y = P q ( ) ν P l = E l E l, (2.5) LAB 11

17 CAPITOLO 2. LA DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA IN CORRENTE NEUTRA la quale misura la frazione di energia trasferita al sistema adronico rispetto all energia leptonica disponbile nel LAB. A fisso x, la massa invariante W è una funzione crescente di Q 2 è facile, infatti, convincersi che vale la W = M 2 H + Q2 (1 x) (2.6) x La regione di regime anelastico è definita dai limiti: (ν) x=cost. +, (Q 2 ) x=cost. +. (2.7) L l l L H P Figura 2.1: Diffusione profondamente anelastica di leptoni da adroni. 12

18 2.2. Il Modello a Partoni 2.2 Il Modello a Partoni Se per valori di massa invariante minori di 2.5 GeV la diffusione è quasi-elastica [14] e la sezione d urto è data dalla formula di Rosenbluth [28], al crescere di W e, dunque, di Q 2 (eq. (2.6)), il bosone virtuale V possiede l energia necessaria per risolvere i costituenti dell adrone. Oltre il valore sopra citato si osserva una produzione di un alto numero di adroni, la cui dinamica può essere descritta mediante particolari fattori di forma, detti funzioni di struttura, che compaiono nell espressione della sezione d urto [29]. Sul finire degli anni 70, grazie ai lavori di Bjorken [30], emerse che tali funzioni in regime di DIS sono quasi indipendenti da Q 2 - fenomeno noto come invarianza di scala di Bjorken. La conferma sperimentale, giunta poco tempo dopo, ispirò il modello a partoni (accennato nell Introduzione di questo lavoro): fattori di forma indipendenti da Q 2 indicano infatti diffusione su costituenti puntiformi. L ipotesi di lavoro che sta alla base del modello a partoni è la validità dell approssimazione d impulso (IA) per i costituenti dell adrone, detti partoni e identificati con quark e gluoni. Tenendo conto dell IA e del fatto che, ad alto impulso trasferito, le masse delle particelle in gioco possono essere trascurate, si può dare un interpretazione fisica immediata della variabile di Bjorken introdotta in sez. 2.1: essa rappresenta la frazione del momento dell adrone trasportata dal partone diffusore, il cui quadrimpulso sarà dunque p 0 = xp. D altro canto, il bersaglio adronico può essere pensato come una collezione di partoni virtuali quasi-liberi, ciascuno dei quali trasporta una frazione d impulso quasi-collineare. Sia ξ i (0 < ξ i < 1) la frazione d impulso del partone virtuale i-esimo. È fondamentale osservare che tale stato virtuale è caratterizzato da un tem- 13

19 CAPITOLO 2. LA DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA IN CORRENTE NEUTRA po proprio (nel LAB) τ che dipende dalla struttura dell adrone, mentre, a causa della dilatazione dei tempi, il leptone relativistico attraverserà la nuvola dei costituenti - la quale, per la contrazione di Lorentz, apparirà come un disco - in un tempo t nel sistema del CM. Inoltre, per il principio d indeterminazione, lo scambio di V (in approssimazione di Born) avviene solo se il parametro d impatto, ovvero la separazione trasversa tra gli impulsi delle particelle incidenti, risulta essere minore di Q 1. Dunque, la probabilità di trovare un altro partone abbastanza vicino da poter partecipare alla diffusione è soppressa dal fattore geometrico 1/Q 2 πr 2 0 (2.8) dove R 0 è il raggio adronico, e svanisce al crescere di Q 2. Pertanto, il leptone vedrà una configurazione partonica congelata, urterà con il partone i-esimo e sarà successivamente rivelato nello stato finale. Sempre in approssimazione di Born, il processo di adronizzazione avviene ad una scala temporale più grande, senza influenzare la diffusione elementare. Si ha, quindi, una fattorizzazione tra la diffusione vera e propria (sottoprocesso duro) e processi a basso Q 2 tra partoni, che portano alla ricombinazione degli stessi e alla formazione di adroni nello stato finale. Il sottoprocesso duro ammette predizioni teoriche attraverso la teoria perturbativa (pqcd), mentre i processi relativi all adronizzazione sono descritti in forma di funzioni fenomenologiche a priori sconosciute, dette funzioni di distribuzione partoniche (PDF), le quali vengono estratte dal confronto con gli esperimenti. 14

20 2.3. Le funzioni di struttura adroniche 2.3 Le funzioni di struttura adroniche All ordine più basso della teoria debole, la sezione d urto è data, a meno di costanti moltiplicative, dalla contrazione dei tensori leptonico L V µν e adronico W µν. Mentre, fissato V, L V µν è noto, la dipendenza di Wµν V dalle funzioni di struttura e dallo stato finale adronico ne rende difficile la scrittura esplicita e la sua stessa conoscenza non è scontata al variare dei processi. Un epressione generalmente valida per il caso di diffusione non polarizzata è la seguente: W V µν = π m=1 dφ (m) M µ (m)m ν (m) (2.9) dove [32] dφ (m) = ( m j=1 d D p j (2π) D 1 δ(+)( p 2 ) ) ( ) j (2π) n δ (D) m p 0 + q p j j=1 (2.10) è il differenziale dello spazio delle fasi ad m partoni nello stato finale, mentre M µ (m) denota l ampiezza per il sottoprocesso V - partone V + p 0 p 1 + p p m. (2.11) Per la conservazione della corrente elettrodebole si ha µ J V µ = 0. (2.12) 15

21 CAPITOLO 2. LA DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA IN CORRENTE NEUTRA La particolare dipendenza di M µ (m) da J V µ - tenendo conto della (2.12) - implica q µ W V µν = 0. (2.13) Dunque, sviluppando Wµν V sulla base di tutte le strutture tensoriali indipendenti che possono essere costruite con i vettori indipendenti P e q, imponendo l invarianza per inversione spaziale e, tenendo presente la (2.13), si ottiene l espressione del tensore adronico in termini delle funzioni di struttura 2 : W V µν = Λ µν W V 1 ( x, Q 2 ) +Ξ µν 1 M 2 W2 V H ( x, Q 2 ) iυ µν 1 M 2 W3 V H ( x, Q 2 ) (2.14) con Λ µν = Ξ µν = ( ) g µν q µq ν q 2 ( )( ) P q P q P µ q µ P q 2 ν q ν q 2 (2.15) Υ µν = ɛ µναβ P α q β. L invarianza per trasformazioni di parità implica che, per lo scambio di soli fotoni, si abbia: 2 Le funzioni di struttura Wi V dipendono dagli invarianti che si possono costruire con P e q, ovvero Q 2 e x. 16

22 2.3. Le funzioni di struttura adroniche W γ 3 ( x, Q 2 ) = 0. (2.16) È conveniente riscrivere le W V i struttura adimensionali dell eq. (2.14) in termini delle funzioni di F V 1 ( x, Q 2 ) = M H W V 1 ( x, Q 2 ), F V 2 F V 3 ( x, Q 2 ) = νw V 2 ( x, Q 2 ) = νw V 3 ( x, Q 2 ), ( x, Q 2 ). (2.17) Si può ottenere un altra base equivalente per le funzioni di struttura assegnando specifiche polarizzazioni al bosone V nel sistema del laboratorio: ɛ R (q) = 1 2 (0, 1, i, 0) ɛ L (q) = 1 2 (0, 1, +i, 0) (2.18) ɛ long (q) = 1 Q 2 ( Q 2 + ν 2, 0, 0, ν), le quali corrispondono agli stati di elicità ±1 e alla polarizzazione longitudinale (o scalare) per il bosone scambiato. Rispetto ad esse, W V µν ha espansione: Wµν V = ɛλ (q) µɛ λ (q) ν F V ( λ x, Q 2 ). (2.19) λ={r,l,long} In questa approssimazione, le F V λ relazioni sono legate alle FV i dell eq. (2.17) dalle F V L,R = FV 1 ± FV 3, FV long = FV 2 2x FV 1. (2.20) 17

23 CAPITOLO 2. LA DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA IN CORRENTE NEUTRA Il valore delle funzioni di struttura, al variare di x e Q 2, può essere misurato direttamente mediante esperimenti di DIS inclusivo (ottenendo conferma della validitià dell invarianza di scala, la quale autorizza ad eliminare nelle formule la dipendenza di esse da Q 2 ). Ad esempio, la sezione d urto differenziale in x e y non polarizzata, ristretta al caso V = γ, è data da [13] [33] [34]: d 2 σ dx dy = ( 2πα {[1 ) Q 2 2 S + (1 y) 2] F γ ( 2 x, Q 2 ) y 2 F γ ( L x, Q 2 )} (2.21) dove α 1/137 è la costante di struttura fine. 2.4 Le funzioni di distribuzione partoniche Alla fine della sez. 2.2 sono state mostrate le ipotesi per cui il processo inclusivo possa essere pensato come una diffusione elastica incoerente da costituenti puntiformi quasi liberi. Se tali constituenti sono i quark e i gluoni, allora solo i quark si accoppieranno alla corrente elettrodebole in approssimazione di Born. La sezione d urto ha la forma di una convoluzione rispetto ad x della sezione d urto partonica ˆσ q relativa al sottoprocesso duro con le funzioni di distribuzione partoniche f q (x), le quali descrivono la probabilità che il leptone venga diffuso da un quark di sapore q e frazione d impulso adronico x. È valida, dunque la seguente espressione per il differenziale 1 dσ = dx f q (x)dˆσ q (xp) (2.22) q 0 18

24 2.4. Le funzioni di distribuzione partoniche La sezione d urto partonica descrive la struttura dell interazione a piccole distanze (alto Q 2 ) e ammette sviluppo perturbativo. Le funzioni di distribuzione partoniche contengono la descrizione a grandi distanze (basso Q 2 ) della struttura intima dell adrone e non sono predicibili dalla pqcd, ma necessitano delle basi fenomenologiche fornite da esperimenti come il DIS, il processo e + e adroni e il processo di Drell-Yan [35]. Esse costituiscono sostanzialmente il contributo non perturbativo alle funzioni di struttura adronica, le quali possono essere riespresse come la seguente convoluzione di Mellin 1 dz F i (x) = x q x z f q(x/z)f (pc) i,q (z) (2.23) dove F (pc) i,q (z) è il contributo perturbativo alla F i (x) - la cui dipendenza da V è stata omessa per semplicità di notazione - e viene chiamato funzione di distribuzione partonica [34]. Per V = γ, sempre all ordine O(α 0 s), sono valide le F γ 1 F γ 2 ( x ) = 1 2 q=u,d e 2 q f q (x) ( x ) = x q=u,d e 2 q f q (x) (2.24) con e 2 q la carica del quark di sapore q in unità della carica elementare, da cui si evince la relazione di Callan-Gross [36] 2xF γ 1 ( ) x = γ( ) F 2 x. (2.25) Tuttavia, all ordine perturabivo successivo (O(α s )), le f q (x) non sono più 19

25 CAPITOLO 2. LA DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA IN CORRENTE NEUTRA sufficienti a descrivere il prcesso. Infatti, non è più trascurabile il contributo dovuto alla diffusione sui quark del mare, ossia le coppie virtuali q q di ogni sapore che si creano ad annichilano continuamente nell adrone. È utile, inoltre, definire la distribuzione dei quark di valenza f (v) q (x) = f q (x) f q (x) (2.26) e la distribuzione dei quark del mare f q (s) (x) = f q (x) + f q (x) f q (v) (x). (2.27) La sommatoria nell eq. (2.22) dovrà includere, dunque, le PDF associate ai quark strange, charm, bottom e top, ai rispettivi antiquark e la densità gluonica f g (x). 2.5 Il problema delle divergenze Come ogni teoria quantistica di campo, anche in QCD il problema delle divergenze affiora non appena si spinge il calcolo delle sezioni d urto agli ordini superiori. Esso si manifesta quando un quadrimpulso su cui si integra assume valori molto piccoli o molto grandi, dando origine rispettivamente a quantità divergenti ultraviolette (UV) e infrarosse (IR). 20

26 2.5. Il problema delle divergenze Divergenze ultraviolette La cancellazione delle divergenze ultraviolette avviene utilizzando dapprima la procedura di regolarizzazione, che può essere la regolarizzazione dimensionale. Essa consiste [7] nel valutare gli integrali in uno spazio D- dimensionale, i quali mostreranno una dipendenza analitica dalla dimensione D e le divergenze risulteranno isolate e appariranno sotto forma di poli lungo il prolungamento analitico del dominio d integrazione. Alla regolarizzazione segue la procedura di rinormalizzazione, attraverso la quale si riesprime la Lagrangiana in termini di quantità fisiche - quali massa, accoppiamento e intensità dei campi - e di controtermini locali, in modo tale da cancellare le divergenze. Dalla richiesta di invarianza dalla scala di rinormalizzazione si ottengono le relazioni di Callan- Symanzik [37] [38], le quali determinano l andamento di α s al variare della scala µ R. Anche la sezione d urto, dunque, dipenderà dalla scala artificiale introdotta Divergenze infrarosse Il calcolo dei contributi virtuali (partone scambiato in un loop) e reali (partone emesso nello stato finale) alla sezione d urto presenta la comparsa di divergenze di tipo soffice e di tipo collineare. Tali singolarità hanno origine da regioni dello spazio delle fasi caratterizzate da un partone che diventa soffice o collineare ad un altro partone presente nello stato iniziale o in quello finale. La regolarizzazione in D = 4 2ɛ (sez ) consente di esprimere le divergenze in termini di poli singoli (1/ɛ) e doppi (1/ɛ 2 ). Affinché la sezione d urto sia finita, è necessario che i poli provenienti dai 21

27 CAPITOLO 2. LA DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA IN CORRENTE NEUTRA contributi virtuali si cancellino con quelli reali e con le divergenze collineari associate al partone nello stato iniziale. Tale cancellazione, tuttavia, è garantita solo per osservabili sufficientemente inclusive, ovvero definite in modo tale che il loro valore sia indipendente dal numero di partoni soffici e collineari prodotti nello stato finale. In particolare, tale valore non deve variare se si passa da una data configurazione ad m partoni ad un altra a m + 1 partoni cinematicamente degenere - ovvero ottenuta dalla configurazione ad m partoni mediante l aggiunta di un partone soffice oppure rimpiazzando un partone con una coppia di partoni collineari tali che la somma dei loro momenti sia uguale al momento del partone genitore. Formalmente, se la funzione F (n) J fornisce il valore di una certa osservabile in termini degli impulsi relativi allo stato finale a n partoni, deve accadere che F (m+1) J F (m) J, (2.28) ogni volta che le configurazioni ad m e ad m + 1 partoni siano cinameticamente degeneri. Se F (n) J soddisfa questa condizione, allora le divergenze soffici e collineari nello stato finale si cancellano quando si sommano i contributi virtuali e quelli reali (in accordo con il Teorema di Kinoshita- Lee-Nauenberg [39] [40]), mentre le divergenze collineari relative allo stato iniziale possono essere assorbite in densità partoniche rinormalizzate e dipendenti duna scala µ F di fattorizzazione. Tale scala può essere considerata un cut-off per l impulso trasverso p del partone emesso dallo stato iniziale: per p > µ F, si assume che il partone contribuisca allo stato finale; per p < µ F, il partone contribuisce alla (ri)definizione delle PDF. 22

28 2.5. Il problema delle divergenze Evoluzione delle PDF Il modello presentato in sez. 2.2, corretto attraverso le procedure di rinormalizzazione e fattorizzazione (sezioni 2.5.1, 2.5.2), prende il nome di Modello a Partoni migliorato (IQPM). La sezione d urto totale ora dipende dalle scale µ R e µ F, e l eq. (2.22) diviene dσ = 1 dx f a (x, µ 2 F )dˆσ a(xp, α s (µ R ), µ 2 R, µ2 F ). (2.29) a={q},{ q},g 0 Sebbene le f a (x, µ 2 F ) non siano predicibili dalla pqcd, la loro dipendenza di scala è controllata perturbativamente dalle equazioni di evoluzione DGLAP (Dokshitzer-Gribov-Lipatov-Altarelli-Parisi) [41] [42]: f a (x, µ 2 F ) ln µ 2 F = α s(µ R ) 2π 1 dz b={q},{ q},g x z P ab(α s (µ R ), z) f a (x, µ 2 F ) (2.30) dove i nuclei P ab (α s (µ R ), z) sono le funzioni di splitting di Altarelli-Parisi [43] ed ammettono sviluppo perturbativo. La straordinaria importanza delle equazioni DGLAP risiede nel fatto che, nota la PDF alla scala µ F = Q 2 0, esse permettono di calcolare il valore della PDF ad una scala µ F = Q 2 0 e, dunque, possono essere usate per calcolare il valore della densità partonica a diverse scale di energia trasferita e frazione d impuslo x. Il grafico in figura 2.2 (fit effettuati dalle collaborazioni H1 e ZEUS) mostra l andamento delle PDF in funzione di x, a µ F = Q 2 = 10 GeV 2 fissata 3. Si nota che tutte le densità decrescono al crescere di x. Per valori 3 È conveniente, in genere, attribuire alla scala µ F = Q 2 il valore del quadrato dell impulso di riferimento per il processo considerato - in questo caso, Q 2. 23

29 CAPITOLO 2. LA DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA IN CORRENTE NEUTRA Figura 2.2: Funzioni di distribuzione partoniche misurate ad HERA. di x molto piccoli, le densità dei quark di valenza scompaiono, le densità gluoniche dominano e, aumentando l importanza dei fenomeni di creazione di coppie q q, crescono anche le densità dei quark del mare. 24

30 2.6. Contributo della corrente neutra debole 2.6 Contributo della corrente neutra debole La natura massiva del propagatore bosonico debole rende molto piccolo il contributo proveniente allo scambio del bosone neutro Z 0. Tuttavia, per valori di Q 2 molto alti, il termine d interferenza γ Z e quello dovuto allo scambio della Z 0 puro diventano diventanto anch essi importanti. In questa sezione verrà discussa in breve l origine dei fattori d accoppiamento deboli e si introdurrà la procedura necessaria per implementarne, nella (2.29), il relativo contributo Accoppiamento leptonico La densità di Lagrangiana d interazione per il processo elettrodebole in corrente neutra è: L NC I = s µ (x)a µ (x) g [ J µ cos ϑ 3 (x) s µ ] sin2 ϑ W Z µ (x), (2.31) W e dove s µ (x) è la densità di corrente elettromagnetica, ϑ W è l angolo di Weinberg, J µ 3 (x) è la densità di corrente della terza compompente di isospin debole e Z µ (x) è il campo di gauge che descrive le Z 0. Escludendo i processi di diffusione di neutrini, il terzo termine al membro destro della (2.31) rappresenta la corrente neutra Jµ NC (x) = sin 2 s µ ϑ W e 1 ) ] 4 ψ l (x)γ µ [(1 4 sin 2 ϑ W γ 5 ψ l (x) (2.32) accoppiata al campo Z µ (x). Introducendo le relazioni: 25

31 CAPITOLO 2. LA DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA IN CORRENTE NEUTRA v e = sin 2 ϑ W a e = 1 (2.33) nella (2.32) otteniamo: J NC µ (x) = ψ l (x)γ µ (v e a e γ 5 ) ψ l (x), (2.34) da cui emerge che J NC µ (x) è di tipo V A con pesi v e e a e. La presenza della componente assiale modifica la struttura del tensore leptonico. Infatti, se per lo scambio del solo fotone vale [7]: [ ] L (em) µν Tr γ µ /l γ ν /l ) = 4 (l µl ν + l νl µ k k g µν (2.35) ora si avrà: L (em) µν L (ew) µν = L (S) µν + L (A) µν, (2.36) dove L (S) µν discende dai contributi V V e A A, mentre L (A) µν è memoria dell interferenza V A. Il tensore elettrodebole L (ew) µν contiene, dunque, il fattore di accoppiamento leptonico Γ L µ della Z 0 : Γ L µ = v e a e γ µ + γ µ γ 5. (2.37) 2 sin 2ϑ W 2 sin 2ϑ W 26

32 2.6. Contributo della corrente neutra debole Accoppiamento adronico Analogamente al caso leptonico (2.6.1), è possibile definire una corrente neutra di accoppiamento adronico. L incorporazione degli adroni e, dunque, dei quark nella teoria elettrodebole richiede tuttavia molta attenzione. Ad esempio, la simmetria SU(3) (u,d,s), esatta in QCD pura, viene rotta dall interazione debole [44]. Inoltre, grazie al meccanismo GIM [45], i processi neutri con variazione di stranezza - non osservati sperimentalmente - vengono soppressi 4. La corrente neutra risulta dunque diagonale sulla base del sapore, essendo proporzionale all operatore Q sin 2 ϑ W T 3, dove Q è l operatore di carica elettrica e T 3 è la terza componente dell operatore di carica di isospin debole. Ciò ha degli effetti sul fattore di accoppiamento adronico Γ q µ della Z 0 con i quark di sapore q. Infatti, definiti i coefficienti: v q = 2t q 4e q sin 2 ϑ W, a q = 2t q, (2.38) dove t q denota la terza componente di isospin debole del quark di sapore q (t u,c,t = 1/2, t d,s,b = 1/2), si ha, in analogia al caso leptonico: Γ q µ = v q a q γ µ + γ µ γ 5. (2.39) 2 sin 2ϑ W 2 sin 2ϑ W 4 Per una trattazione dettagliata, si veda anche il capitolo 12 della ref. [13]. 27

33 CAPITOLO 2. LA DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA IN CORRENTE NEUTRA Modifica delle ampiezze di transizione L inclusione delle Z 0 comporta la modifica di alcuni termini nella (2.29). In particolare, l implementazione della sezione d urto partonica d ˆσ deve tener conto delle modifiche che subiscono le ampiezze di transizione. In questa sezione introdurremo la procedura di inclusione per tali ampiezze nel modo più generale 5. Per lo scambio del solo bosone γ, la sezione d urto partonica dˆσ ad un ordine perturbativo generico contiene il contributo reale delle ampiezze corrispendenti ai diversi processi ad albero. Tali ampiezze possono essere suddivise in due classi: la prima classe comprende le ampiezze relative ai processi del tipo q( q) partoni, la seconda si riferisce ai processi con gluoni nello stato iniziale, ossia g partoni (tali processi sono presenti dall ordine dominante in su). Indicheremo un generico elemento appartenente alla prima classe come M (pc) q partoni, mentre M(pc) g partoni sarà un elemento appartenente alla seconda classe. L apice (pc parity conserving) si riferisce all accoppiamento vettoriale del fotone ai vertici leptonico e adronico, il quale conserva la parità. Con l inclusione della Z 0, emergono termini ancora di tipo vettoriale, fattorizzabili con le ampiezze (pc), e termini d interferenza V A. L implementazione di questi ultimi richiede l introduzione di ulteriori elementi di matrice del tipo M (pv) p partoni e M(pv) g partoni, dove l apice (pv) indica chiaramente la loro natura che viola la parità. Inoltre, la sezione d urto dˆσ riceve contributo dai termini d interferenza tra le ampiezze per i processi ad albero e le correzioni ad un gluone virtuale. Anche in questo caso è possibile distinguere i contributi in base 5 Il lettore interessato ai dettagli specifici per i processi agli ordini dominante (O(α s )) e sottodominante (O(α 2 s )) può consultare le sezioni 4.3 e 4.4 del capitolo 4. 28

34 2.6. Contributo della corrente neutra debole a quale sia il partone nello stato iniziale. Si ha, dunque: V (pc) q partoni = ( ) M (pc) (pc) q partoni M q partoni, 1 loop + c.c. (2.40) ( V (pc) g partoni = M (pc) g partoni M (pc) g partoni, 1 loop) + c.c. (2.41) Per ciascun fattore V (pc) p, dove p è il partone entrante, vale la seguente decomposizione: V (pc) p = M (pc) p partoni 2 K p + F (pc) p, (2.42) dove il fattore dinamico K p contiene i termini di V (pc) p proporzionali all ampiezza di Born M (pc) (pc) p partoni, mentre la funzione F p è la parte di V (pc) p che non fattorizza M (pc) p partoni. Entrambe le funzioni K p e F (pc) p possono essere ottenute manipolando i contributi relativi ai processi con leptoni nello stato iniziale [46]. L inclusione della Z 0 comporta la comparsa di termini virtuali che violano la parità, i quali in parte vengono assorbiti dalle ampiezze per i processi ad albero, in parte sono contenuti nei fattori aggiuntivi F (pv) p. È conveniente definire i seguenti fattori elettrodeboli [47], specifici per il DIS in corrente neutra: A q (Q 2 ) = e 2 q 2e q v e v q χ Z + (v 2 e + a 2 e)(v 2 q + a 2 q)χ 2 Z (2.43) B q (Q 2 ) = (2e q a e a q χ Z 4v e a e v q a q χ 2 Z ). (2.44) I termini lineari in χ Z nelle (2.43, 2.44) sono dovuti all interferenza γ Z 29

35 CAPITOLO 2. LA DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA IN CORRENTE NEUTRA mentre quelli quadratici provengono dallo scambio puro di Z 0. Il fattore: χ Z (Q 2 ) = 1 Q 2 (2 sin 2θ W ) 2 Q 2 + M 2 Z, (2.45) dove M Z è la massa della Z 0, è proporzionale al rapporto tra il propagatore debole e il propoagatore fotonico. Le sezioni d urto inclusive, complete dei contributi γ γ, γ Z e Z Z, possono essere ottenute attraverso le seguenti sostituzioni [48]: [ ei 2 f i(x)] M (pc) q partoni 2 i=q, q [ A i (Q 2 ) f i (x)] M (pc) q partoni 2 + [ i=q, q i=q B i (Q 2 ) f (v) i (x)] M (pv) q partoni 2 (2.46) [ ei 2 f i(x)] F (pc) q partoni 2 i=q, q [ A i (Q 2 ) f i (x)] F (pc) q partoni 2 + [ i=q, q i=q B i (Q 2 ) f (v) i (x)] F (pv) q partoni 2 (2.47) ( ei 2) f g(x) M (pc) g partoni 2 i=q ( A i (Q 2 )) f g (x) M (pc) g partoni 2 + ( B i (Q 2 )) f g (x) M (pv) g partoni 2. (2.48) i=q i=q 30

36 2.6. Contributo della corrente neutra debole ( ei 2) f g(x) F (pc) g partoni 2 i=q ( A i (Q 2 )) f g (x) F (pc) g partoni 2 + ( B i (Q 2 )) f g (x) F (pv) g partoni 2. (2.49) i=q i=q Si noti che la natura dell accoppiamento V A ha come effetto l associazione delle distribuzioni dei quark di valenza f (v) i (x) (introdotte nella (2.26)) ai contributi di tipo (pv) nel processo di diffusione sui quark. 31

37 Capitolo 3 Sottrazione delle divergenze 3.1 Hors d œuvre Il modello a partoni descritto in sez. 2.2 corrisponde alla cosiddetta approssimazione all ordine dominante (LO). Infatti, il comportamento di α s ad alto Q 2 giustifica la proprietà di libertà asintotica. Tuttavia, se ci si fermasse al LO, le sezioni d urto teoriche σ LO rappresenterebbero solo una stima dell ordine di grandezza di quelle misurate sperimentalmente. Oltre all approssimazione dovuta al troncamento dello sviluppo perturbativo, la forte dipendenza di σ LO dalle scale µ R e µ F introduce, di fatto, un incertezza significativa e non trascurabile. L accuratezza dell espansione in pqcd è, dunque, controllata dal peso delle correzioni agli ordini superiori. Questa è la ragione per cui spingere il calcolo delle osservabili almeno fino all ordine sottodominante (NLO) è d importanza vitale. Il calcolo delle sezioni d urto al NLO per processi come il DIS non è affatto banale e, nella maggior parte dei casi, richiede l utilizzo di programmi numerici. Tuttavia, oltre agli errori dovuti alle approssimazioni numeriche (risolvibili o, comunque, controllabili mediante l utilizzo di tecniche di integrazione Monte Carlo), sorge il problema (vedi sez. 2.5) 32

38 3.1. Hors d œuvre delle divergenze UV e, in particolare, delle divergenze infrarosse e collineari (IR). Infatti, come in ogni teoria quantistica di campo, anche in QCD tale problema affiora non appena si spinge il calcolo delle sezioni d urto agli ordini superiori. Le divergenze UV possono essere rimosse analiticamente attraverso la consueta procedura di rinormalizzazione, mentre il Teorema di Kinoshita-Lee-Nauenberg assicura la cancellazione delle divergenze IR 1 presenti nei contributi virtuali (partone scambiato in un loop) della sezione d urto con quelle relative ai contributi reali (partone emesso nello stato finale). Pur essendo tale cancellazione garantita dalla teoria, la sua implementazione in un programma numerico è estremamente complessa, risultando impossibile per un calcolatore sottrarre termini opposti ma teoricamente infiniti in un dato punto dello spazio delle fasi. Tali termini devono, dunque, essere prima di tutto isolati attraverso la procedura di regolarizzazione (sez ) e, successivamente, rimossi analiticamente prima di effettuare l integrazione delle ampiezze di transizione. La rimozione può essere effettuata mediante diversi tipi di algoritmo, tra cui spiccano lo slicing method e il subtraction method. In questo capitolo sarà data una breve descrizione delle tecniche d integrazione Monte Carlo (sez. 3.2) e si introdurranno i due metodi sopra citati (sez. 3.4, 3.5). 1 Si ricordi che il Teorema KLN è valido solo per i termini singolari nello stato finale, mentre le le divergenze collineari relative allo stato iniziale possono essere riassorbite e fattorizzate nella ridefinizione delle PDF. 33

39 CAPITOLO 3. SOTTRAZIONE DELLE DIVERGENZE 3.2 Cenni sulle tecniche Monte Carlo Le tecniche Monte Carlo (MC) [49] [50] trovano grande applicazione nel calcolo di integrali analiticamente difficili o irrisolubili. Questo è particolarmente vero nel caso degli integrali multidimensionali, per i quali esistono pochi metodi di computazione e ci si deve accontentare di una stima approssimata. È in tali situazioni che emerge l utilità dei MC: grazie ad essi è possibile ottenere risultati con approssimazioni ragionevoli in un tempo di calcolo molto più veloce rispetto alle altre tecniche. L obiettivo di un MC è quello di eliminare la dipendenza della stima dalla dimensione del dominio d integrazione, in modo da eliminare i problemi di computazione che affliggono gli altri metodi. Si consideri l integrale I = b a d D x f (x) (3.1) di una funzione f (x) definito sull iperintervallo [a, b] di volume V, con x, a, b R D. Inoltre, sia P = {x 1,..., x N } una qualsiasi partizione di [a, b]. La stima MC per I è: E MC = V N N f (x k ), (3.2) k=1 dove V N rappresenta il volume delle singole N cellette in cui è stato suddiviso il dominio d integrazione. La legge dei grandi numeri assicura che E MC converga al valore vero dell integrale: N V lim N N f (x k ) = I. (3.3) k=1 34

40 3.2. Cenni sulle tecniche Monte Carlo Monte Carlo semplice Il metodo MC più semplice consiste nella generazione casuale diretta della partizione P: in questo modo, avendo definito la varianza σ 2 ( f ) della funzione f come la differenza σ 2 ( f ) = b a ( d D x f (x) I ) 2 (3.4) V e, sfruttando la (3.2), si ottiene il seguente risultato per la deviazione standard del MC: σ MC ( f ) = b a b ( ) d D x 1... d D EMC (x 1,..., x N ) I 2 x N = σ( f ) (3.5) a V N L errore dell algoritmo è, dunque, inversamente proporzionale alla radice del numero N di campioni. Tale incertezza può essere migliorata, ma il risultato notevole è che essa non dipende dalle dimensioni del dominio d integrazione Campionamento stratificato Un metodo più sofisticato è il MC a campionamento stratificato (stratified sampling), che consiste nel dividere l intervallo [a, b] in sottointervalli, su ciascuno dei quali si applica separatamente il MC semplice. La varianza σ 2 ( f ) sarà la somma delle varianze relative a ciascun sottointervallo. Si MC 35

41 CAPITOLO 3. SOTTRAZIONE DELLE DIVERGENZE tratta di una soluzione ideale per funzioni definite a tratti o costanti su regioni estese del dominio, dal momento che la deviazione σ MC ( f ) diminuisce sensibilmente [51] Campionamento d importanza Il MC a campionamento d importanza (importance sampling) consiste, sostanzialmente, nel seguente cambio di variabili d integrazione [52]: d D x f (x) = d D xϱ(x) f (x) ϱ(x) = d D P(x) f (x) ϱ(x), (3.6) dove varrho(x) è data dal seguente fattore Jacobiano: ϱ(x) = D P(x) D x. (3.7) Se si richiede che ϱ(x) sia semipositiva ϱ(x) 0 e normalizzata all unità, ossia d D xϱ(x) = 1, (3.8) essa può essere interpretata come densità di probabilità. Avendo generato la partizione P = {x 1,..., x N } secondo la distribuzione P(x), la (3.2) diventa: E (is) MC = V N N k=1 f (x k ) ϱ(x k ). (3.9) 36

42 3.2. Cenni sulle tecniche Monte Carlo Scegliendo P(x) e, dunque, ϱ(x) in modo opportuno, è possibile aumentare la densità del campionamento nelle regioni in cui il gradiente D f (x) assume valori molto grandi, riducendo così l incertezza della stima di I Monte Carlo multicanale Se f (x) presenta molti picchi acuti, il metodo a campionamento migliorato si rivela inefficiente. Risulta infatti impossibile trovare una ϱ(x) in grado di addolcire tutti i picchi simultaneamente. I MC multicanali (multi-channel MC) [53] permettono di associare ad ogni regione con un picco una densità ϱ i (x) e una distribuzione P 1 i (y) che permette di passare dai campioni {y 1,..., y N } i distribuiti casualmente secondo ϱ i (x) agli x k della regione d integrazione: x k = P 1 i (y k ). (3.10) Ognuna di queste trasformazioni è detta canale. Si richiede che ogni ϱ i (x) sia semipositiva e normalizzata all unità. Sia {α 1,..., α m } un insieme di m numeri semipositivi e tali che: m α i = 1, (3.11) i=1 dove m è il numero dei canali. Lo specifico α i rappresenta la probabilità di selezione del canale i-esimo, sul quale l integrando verrà valutato all incirca N i int (α i N) volte. L integrale che si vuole calcolare può essere 37