1 Esercizi 41. Anno Pop. (in miliardi)

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1 Esercizi 4. Nella seguente tabella abbiamo la popolazione mondiale a partire dal 95 in intervalli di anni. Supponendo una crescita esponenziale stimare la popolazione mondiale nel. Anno Pop. (in miliardi) Soluzione. Poniamo t = nell anno 95 e t = nel 96 e così via, contando in periodi di anni. Una crescita esponenziale significa supporre che il modello di crescita sia dato dalla funzione p = ae αt dove a è la popolazione al tempo t = e α è una costante da determinarsi. Abbiamo t log p log a

2 Il sistema è Ax = b dove.7.7 A =, b = Le equazioni normali sono A T Ax = A T b dove A T A = ( ) = 9, A T b = ( ).7.56 = 5.7, e dunque dobbiamo risolvere l equazione 9x = 5.7 da cui x = =.7. La funzione dell evoluzione della popolazione è quindi p =.56e.7t Sostituendo t = 7 nell equazione troviamo una popolazione di oltre 8 miliardi e mezzo.

3 . Nella seguente tabella abbiamo il prezzo di una tazzina di caffè a partire dal 945 in intervalli di 5 anni. Assumendo una crescita esponenziale, stimare il prezzo di una tazzina per il. Anno Prezzo (in lire) Soluzione. I calcoli del tutto analoghi al caso precedente (si può usare Geogebra per questo) ci danno la funzione 7.48e.t che per t = 5 (5 lustri) dà un prezzo di lire pari a.44 euro.. Consideriamo l applicazione di R R R che ad ogni coppia di vettori di R associa uno scalare secondo la seguente formula x x y 5 y ( ) ( ) Per esempio, se u = e v = allora a questi due vettori associamo lo scalare = ( ) ( ) = = 8. 5 Verificare che questa applicazione soddisfa le quattro proprietà fondamentali del prodotto scalare.

4 Soluzione. Simmetria: x x y 5 y = xx + xy + yx + 5yy Scambiando l ordine dei due vettori abbiamo ( ( ) ( ) x y ) x = x x + x y + y x + 5y y 5 y che coincide col precedente. Dunque la simmetria vale. Linearità (additività): x x + x y + y 5 y = (x + x )x + (x + x )y + (y + y )x + 5(y + y )y = x x + x y + y x + 5y y + x x + x y + y x + 5y y = x x y 5 y + x x y 5 Linearità (omogeneità): x αx αy 5 y y = αxx + αxy + αyx + 5αyy = α(xx + xy + yx + 5yy ) [ (x ) ( ) ( )] x =α y 5 y () () Positività: x x y = x + 6xy + 5y () 5 y 4

5 Dobbiamo assicurarci che questa espressione, al variare di x e y sia sempre positiva o nulla. Per far ciò osserviamo che con la tecnica del completamento del quadrato otteniamo: (x + xy) + 5y = (x + xy + ( y) ) ( y) + 5y = (x + y) 9 y + 5y = (x + y) + y e questa espressione è evidentemente non negativa in quanto somma di due quadrati. Per finire, bisogna sincerarsi che se questa espressione è zero allora deve essere nullo anche il vettore. Cioè, se abbiamo allora necessariamente (x + y) + y = { (x + y) = y = Dalla seconda equazione si ha y = e quindi dalla prima si ha che anche x =, come desiderato. 4. Nell esercizio precedente abbiamo dimostrato che lo spazio vettoriale R può essere dotato di un prodotto scalare diverso da quello standard. Parliamo allora di un diverso spazio euclideo: stesso spazio vettoriale ma diversa nozione di prodotto scalare con tutto quello che ciò comporta. Ad esempio, si chiede di disegnare il luogo dei punti del piano in cui la distanza dall origine sia. Questa è la definizione di circonferenza. Tuttavia, la figura ci illustra il fatto che il prodotto scalare che stiamo prendendo è non standard. ( ) x Soluzione. La lunghezza di un vettore v = è definita dalla y radice quadrata del prodotto scalare di v con se stesso. In questo caso abbiamo v = 5

6 e quindi Il disegno è x + 6xy + 5y = 5. Determinare tutti i vettori ( ) del piano che sono ortogonali (non standard) al vettore v =. Soluzione. Per distinguere il prodotto non standard da quello( standard usiamo una notazione ad hoc. Scriviamo, per u = e ) x ( ) y x v = y (u v) = xx + xy + yx + 5yy Essendo il prodotto scalare non standard non ci aspettiamo che( i vettori vengano ortogonali nel senso solito del termine. Se v =, ) calcoliamo (u v) = x() + x( ) + y() + 5y( ) = x y = Questa è l equazione di una retta per l origine che contiene tutti i vettori perpendicolari a quello dato. La figura è la seguente: 6

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