Fallstudium 8 - Soluzioni Dr Giorgio Pioda 15 gennaio 2019

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1 Fallstudium 8 - Soluzioni Dr Giorgio Pioda 15 gennaio 2019 Regressione logistica La regressione logistica è molto utile per valutare l impatto di descrittori (x) scalari o categoriali sulla probabilità di realizzazione di un evento binario (neg/pos, no/sì). Un tipico esempio di regressione logistica è il caso in cui si vuole detettare la soglia di concentrazione tale per cui la probabilità di detezione (decisione tra positivo/negativo) si trova al 50%. Sull asse delle y si hanno solamente due possibili valori mentre su quello delle x si hanno le concentrazioni e l andamento della curva di probabilità ha una forma tipicamente sigmoide. In questo tipo di regressione non si può usare la funzione lm() in quanto i residui NON sono distribuiti in mod normale. Gli algoritmi di ottimizzazione dei coefficienti usano l approccio della massimizzazione del loglikelihood. strepto <- read.csv("~/scuola/ssmt/tab-trm/r2018/tab3/fs8/fs8/strepto.csv") head(strepto) teomed_dil teomed_res_10m alere_dil alere_res_5m biomerieux_dil 1 3.7e e e e e e e e e e e e e e e e e e+07 biomerieux_res_10m quidel_dil quidel_res_10m e e e e e e+07 1 Eseguo una prima regressione logistica andando poi a tracciare la curva sigmoide sul grafico teomed <- glm(teomed_res_10m ~ teomed_dil, family=binomial(logit), data = strepto) summary(teomed) Call: glm(formula = teomed_res_10m ~ teomed_dil, family = binomial(logit), data = strepto) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) e e teomed_dil 2.314e e

2 Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) Null deviance: on 49 degrees of freedom Residual deviance: on 48 degrees of freedom AIC: Number of Fisher Scoring iterations: 6 plot(strepto$teomed_dil,strepto$teomed_res_10m,main="diluizioni vs Risultato") lines(strepto$teomed_dil,teomed$fitted,col="blue") Diluizioni vs Risultato strepto$teomed_res_10m e+00 1e+07 2e+07 3e+07 strepto$teomed_dil Si nota abbastanza bene che ladistribuzione delle diluizioni non è omogenea. La maggioranza dei dati si concentra a valori bassi e pochi sono quelli alti. Pertanto conviene applicare una trasformazione logaritmica delle diuizioni prima di procedere. teomed <- glm(teomed_res_10m ~ log(teomed_dil), family=binomial(logit), data = strepto) summary(teomed) Call: glm(formula = teomed_res_10m ~ log(teomed_dil), family = binomial(logit), data = strepto) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) ** log(teomed_dil) *** --- Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) 2

3 Null deviance: on 49 degrees of freedom Residual deviance: on 48 degrees of freedom AIC: Number of Fisher Scoring iterations: 5 plot(log(strepto$teomed_dil),strepto$teomed_res_10m,main="diluizioni vs Risultato") lines(log(strepto$teomed_dil),teomed$fitted,col="blue") Diluizioni vs Risultato strepto$teomed_res_10m log(strepto$teomed_dil) La regressione con il logaritmo della concentrazione è nettamente migliore in quanto la distribuzione delle concentrazioni risulta essere molto più omogenea. La significatività della concentrazione è ampia. La determinazione del valore LD50 (il termine è mutuato dalla tossicologia), cioè della soglia di concentrazione oltre la quale la probabilità di un risultato positivo è del 50% avviene tramite il pacchetto MASS logd50 <- dose.p(teomed,cf=1:2,p=0.5) logd10 <- dose.p(teomed,cf=1:2,p=0.1) logd90 <- dose.p(teomed,cf=1:2,p=0.9) logd50 Dose SE p = 0.5: logd10 Dose SE p = 0.1: logd90 Dose SE p = 0.9: D50 <- exp(c(logd50 + c(0, -1.96, 1.96) * attr(logd50, "SE"))) Warning in c(0, -1.96, 1.96) * attr(logd50, "SE"): Recycling array of length 1 in vector-array arithm Use c() or as.vector() instead. names(d50) <- c("d50", "lower", "upper") D50 D50 lower upper Si noti come va annullato l effetto della funzione logaritmica e pertanto gli intervalli di confidenza non 3

4 risultano essere simmetrici Esiste anche un alternativa offerta dal pacchetto drc che ha varie varianti di applicazione; in questi esempi si vedono due regressioni log-logistiche (cioè su dat logaritmati) Model fitted: Log-logistic (log(ed50) as parameter) with lower limit at 0 and upper limit at 1 (2 par teo.drm2 <- drm(teomed_res_10m ~ teomed_dil, data=strepto, fct = LL.2()) summary(teo.drm2) Model fitted: Log-logistic (ED50 as parameter) with lower limit at 0 and upper limit at 1 (2 parms) Parameter estimates: Estimate Std. Error t-value p-value b:(intercept) e e * e:(intercept) e e *** --- Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: (48 degrees of freedom) ED(teo.drm2,c(10,50,90),interval="delta") Estimated effective doses Estimate Std. Error Lower Upper e:1: e:1: e:1: teo.drm22 <- drm(teomed_res_10m ~ teomed_dil, data=strepto, fct = LL2.2()) ED(teo.drm22,c(10,50,90),interval="delta") Estimated effective doses Estimate Std. Error Lower Upper e:1: e:1: e:1: summary(teo.drm22) Parameter estimates: Estimate Std. Error t-value p-value b:(intercept) * e:(intercept) <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: (48 degrees of freedom) teo.drm <- drm(teomed_res_10m ~ teomed_dil, data=strepto, fct = L.3()) summary(teo.drm) 4

5 Model fitted: Logistic (ED50 as parameter) with lower limit fixed at 0 (3 parms) Parameter estimates: Estimate Std. Error t-value p-value b:(intercept) e e e d:(intercept) e e e e-07 *** e:(intercept) e e e+05 < 2.2e-16 *** --- Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: (47 degrees of freedom) I 5