Test di restrizioni lineari nel MRLM: Esempi

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Sara Porta
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1 Test di restrizioni lineari nel MRLM: Esempi Eduardo Rossi Università degli Studi di Pavia Corso di Econometria Marzo 2012 Rossi Test F: esempi / 23

2 Funzione di produzione Cobb-Douglas Esempio GDP Messicano: GDP Messicano GDP Rossi Test F: esempi / 23

250000 200000 150000 100000 1956 1958 1960 1962

3 Funzione di produzione Cobb-Douglas Funzione di produzione economia messicana Modello teorico: La funzione di produzione Cobb-Douglas per l economia messicana nel periodo Funzione di produzione Cobb-Douglas: Y = AK α L β Y output K capitale L lavoro Rossi Test F: esempi / 23

4 Funzione di produzione Cobb-Douglas Modello di regressione lineare Prendiamo i logaritmi: ln Y t = β 1 + β 2 ln L t + β 3 ln K t + ɛ t t = 1,..., 20 Campione: (T = 20) Variabile dipendente: ln Y t Coefficiente Errore Std. rapporto t p-value const 1,6524 0,6062 2,7259 0,0144 ln L t 0,3397 0,1857 1,8295 0,0849 ln K t 0,8460 0,0933 9,0625 0,0000 Media var. dipendente 12,22605 SQM var. dipendente 0, Somma quadr. residui 0, E.S. della regressione 0, R 2 0, R 2 corretto 0, F (2, 17) 1719,231 P-value(F ) 2,41e 20 Rossi Test F: esempi / 23

rapporto t p-value const 1,6524 0,6062 2,7259 0,0144 ln L t 0,3397 0,1857 1,8295 0,0849 ln K t 0,8460 0,0933 9,0625 0,0000 Media var.

5 Funzione di produzione Cobb-Douglas Rendimenti costanti di scala Nel periodo l economia messicana è stata caratterizzata da rendimenti costanti di scala? α + β = 1 Nel modello di regressione lineare questa ipotesi corrisponde a β 2 + β 3 = 1 Regressione ristretta imponendo β 2 = 1 β 3 ln Y t = β 1 + (1 β 3 ) ln L t + β 3 ln K t + ɛ t ln Y t ln L t = β 1 + β 3 (ln K t ln L t ) + ɛ t [ Y ] [ K ] ln = β 1 + β 3 ln + ɛ t t = 1,..., 20 L t L t Rossi Test F: esempi / 23

α + β = 1 Nel modello di regressione lineare questa ipotesi corrisponde a β 2 + β 3 = 1 Regressione ristretta imponendo

6 Funzione di produzione Cobb-Douglas Test di restrizioni lineari Variabile dipendente: ln [ Y L Coefficiente Errore Std. rapporto t p-value const [ ] 0, 495 0,122 4, 061 0,001 ln K L 1, 015 0,036 28, 106 0,000 t Media var. dipendente 2, SQM var. dipendente 0, Somma quadr. residui 0, E.S. della regressione 0, R 2 0, R 2 corretto 0, F (1, 18) 789,9271 P-value(F ) 2,53e 16 ] t Rossi Test F: esempi / 23

rapporto t p-value const [ ] 0, 495 0,122 4, 061 0,001 ln K L 1, 015 0,036 28, 106 0,000 t Media var.

7 Funzione di produzione Cobb-Douglas Test di restrizioni lineari Test F: F = ɛ ɛ ɛ ɛ N K ɛ ɛ r = 0, , = 3, 78 0, Il p-value è pari a Accettiamo l ipotesi di rendimenti costanti di scala. Rossi Test F: esempi / 23

78 0, 013604 1 Il p-value è pari a 0.06861.

8 I t i t log p t Y t t Variabili investimento reale tasso d interesse nominale tasso d inflazione prodotto reale trend Dati: osservazioni. log I t = β 1 + β 2 i t + β 3 log p t + β 4 log Y t + β 5 t + ε t t = 1,..., N il modello dice che gli investitori sono sensibili al tasso d interesse nominale, i t, al tasso d inflazione, log p t, all output reale (log Y t ), e ad altri fattori che hanno un trend crescente. Rossi Test F: esempi / 23

log I t = β 1 + β 2 i t + β 3 log p t + β 4 log Y t + β 5 t + ε t t = 1,.

9 Stime OLS con 203 osservazioni 1950 : : 4 Variabile Dipendente: log I t Variabile Stima Std. Error t p-value const i t log p t log Y t t Rossi Test F: esempi / 23

0086 0.0032-2.6906 0.0077 log p t 1.32248 0.9348 1.4147 0.1587 log Y t 1.93016 0.

10 Modello investimentto Media campionaria della y 6,30947 Deviazione standard della y 0, SSR 1,47057 Standard error dei residui (s) 0, R 2 0, R 2 0, F (4.198) 2395,23 Statistica Durbin-Watson 0, Rossi Test F: esempi / 23

dei residui (s) 0,0861806 R 2 0,979752 R 2 0,979343 F (4.

11 t(198,.025) = 1,972 Variabile Stima Intervallo di confidenza 95% const -9,12843 (-11,8202;-6,4367) i t -0, (-0,0149;-0, ) log Y t 1,93016 (1,5687; 2,2916) log p t 1,32248 (-0,5200;3,1659) t -0, (-0,008593;-0,002725) Rossi Test F: esempi / 23

-9,12843 (-11,8202;-6,4367) i t -0,00859785 (-0,0149;-0,0022963)

12 7.5 Fitted Actual Actual and Fitted log_i log(i)_t Rossi Test F: esempi / 23

13 0.4 Residuals Residual Rossi Test F: esempi / 23

14 1 Leverage Influenza Rossi Test F: esempi / 23

Influenza 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0-0.

15 4 Ellisse di confidenza al 95% e intervalli marginali al 95% ld_cpi_u ,93, 1, log_y Rossi Test F: esempi / 23

5 1 1,93, 1,32 0.5 0-0.5-1 1.4 1.5 1.6 1.7 1.

16 Se gli investitori rispondono solo a variazioni dei tassi d interesse reali, nell equazione log I t = β 1 + β 2 i t + β 3 log p t + β 4 log Y t + β 5 t + ε t t = 1,..., N ciò implica che Dobbiamo verificare β 2 + β 3 = 0. H 0 : β 2 + β 3 = 0 H 1 : β 2 + β 3 0 Rossi Test F: esempi / 23

17 Rβ = [0, 1, 1, 0, 0] β 1. β 5 = 0 F = (R β c) [R(X X) 1 R ] 1 (R β c) s 2 s.e.( β 2 + β 3 ) = = ( β 2 + β 3 )[R(X X) 1 R ] 1 ( β 2 + β 3 ) s 2 Var(R β X) = s 2 [R(X X) 1 R ] ( ) 1/2 s.e.( β 2 + β 3 ) = Var(R β X) ( Var[ β2 ] + Var[ β 3 ] + 2Cov[ β 2, β 2 ] ) 1/2 Rossi Test F: esempi / 23

18 F = ( β 2 + β 3 ) ( 2 Var[ β2 ] + Var[ β ) F (1,198) 3 ] + 2Cov[ β 2, β 2 ] with t = F 1/2 ( β 2 + = β 3 ) Var[ β2 ] + Var[ β 3 ] + 2Cov[ β 2, β 2 ] Cov[ β 2, β 2 ] = t (198) s.e.( β 2, β 3 ) = (0, , ( 3, )) 1/2 = 0, t = ( 0, , 00331) 0, = 1, 845 Rossi Test F: esempi / 23

19 Stime ristrette Variabile Stima Std. Error t p-value const 7, , , 589 < 0, *** i t 0, , , 950 0, * log p t 0, , , 950 0, * log Y t 1, , , 987 < 0, *** t 0, , , 308 0, *** Standard error dei residui = 0, ɛ ɛ = (0, ) 2 (203 4), F = 3, 39913, p-value = 0, F (1, 198). Rossi Test F: esempi / 23

log p t 0, 00442654 0, 00227018 1, 950 0, 05260 * log Y t 1, 76406 0, 160561 10, 987 < 0, 00001 *** t 0,

20 Riparametrizzazione del modello in modo tale che la statistica t prodotta dal software sia usata per verificare un ipotesi congiunta. Aggiungiamo e sottraiamo β 2 log p t log I t = β 1 +β 2 (i t log p t )+(β 2 +β 3 ) log p t +β 4 log Y t +β 5 t+ε t t = 1,.. log I t = δ 1 +δ 2 (i t log p t )+δ 3 log p t +δ 4 log Y t +δ 5 t+ε t in questa regressione H 0 : δ 3 = 0 corrisponde alla nulla nel modello precedente t = 1,..., N β 2 + β 3 = 0 Rossi Test F: esempi / 23

Aggiungiamo e sottraiamo β 2 log p t log I t = β 1 +β 2 (i t log p t )+(β 2 +β 3 ) log p t +β 4 log Y t +β 5 t+ε t t

21 Variabile Stime Std.error t p-value const -9, , ,688 < 0, *** log Y t 1, , ,532 < 0, *** log p t -2, , ,844 0,06663 * t -0, , ,803 0,00019 *** i t log p t -0, , ,692 0,00772 *** t( β 3 ) = 1, 844 Rossi Test F: esempi / 23

22 Infine, consideriamo le ipotesi congiunte: β 2 + β 3 = 0 β 4 = 1 β 5 = 0 Rossi Test F: esempi / 23

23 Variabile Stime Std.error t p-value const -2, , ,32 < 0, *** i t 0, , ,029 0,04379 ** log p t -0, , ,029 0,04379 ** log Y t 1 0 t 0 0 F (3, 198) = 109, 841, con p-value = 6, 59341e 042. Rossi Test F: esempi / 23

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