Esercizio 8. Ne segue, ovviamente che le aree geografiche di riferimento sono Africa e America del Sud.

Transcript

1 Esercizio 8 La Swiss Economic Research della Union Bank of Switzerland conduce un controllo periodico dei livelli dei prezzi e dei salari nella principali città del mondo. Una delle variabili rilevate è il prezzo dell hamburger Big Mac, Y (misurato in termini del logaritmo del numero di minuti-lavoro necessari per acquistare un Big Mac). Il Big Mac è un bene di consumo assai comune, le cui caratteristiche sono identiche in tutto il mondo e, quindi, ci si aspetta che il suo prezzo, in termini reali, sia identico ovunque. Ovviamente, questa affermazione non è vera e gli economisti utilizzano il cosiddetto indice di parità Big Mac per valutare l inefficenza del sistema di cambi valutari. Ci si pone l obbiettivo di costruire un modello di regressione lineare multipla che spieghi la variabilitá di Y in 57 città (l anno di riferimento è il 2000) utilizzando i seguenti predittori (tutte le variabili sono contenute nel file ubs.txt: ˆ X 1 : logaritmo naturale del salario reale medio. Il salario reale medio (ovvero il potere d acquisto del salario medio) di ogni città è commisurato, in termini percentuali, al salario reale medio di Zurigo. La variabile X 1 è quindi il logaritmo (naturale) di questa percentuale. ˆ X 2 : logaritmo naturale del numero di minuti-lavoro necesari per acquistare un Kg. di riso ˆ X 3 : logaritmo naturale del numero di giorni di vacanza remunerati nell arco dell anno ˆ X 4 : logaritmo naturale del numero di minuti-lavoro necesari per acquistare un Kg. di pane ˆ D 5 : variabile indicatrice = 1 se la città si trova in Asia, = 0 altrimenti ˆ D 6 : variabile indicatrice = 1 se la città si trova in Europa, Nord-America o Oceania, = 0 altrimenti Ne segue, ovviamente che le aree geografiche di riferimento sono Africa e America del Sud. 1. Disegnare i diagrammi di dispersione di Y contro X j, j = 1,..., 4 utilizzando simboli diversi per ciascuna area geografica di riferimento e proporre dei commenti adeguati. 2. Stimare un modello di regressione lineare multipla in cui le variabili esplicative siano costituite da X j, j = 1,..., 4, D 5 e D 6. Analizzare i residui del modello e commentare i risultati. 3. Generalizzare il modello da cui si è partiti nel punto 2., inserendo i seguenti otto termini di interazione:x j D s, j = 1,..., 4, s = 5, 6. e selezionare le variabili in modo adeguato. 4. Scrivere l equazione stimata del modello a cui si è pervenuti 5. Analizzare i residui del modello a cui si è giunti e commentare i risultati. 6. Un economista affermerebbe che, al crescere del salario reale e a parità di ogni altra condizione, il costo di un Big Mac diminuirebbe (per acquistare un Big Mac sarebbe necessario un minor numero di minuti-lavoro). Secondo il modello che abbiamo costruito, l economista avrebbe ragione? 7. L economista sostiene anche che, a parità di ogni altra condizione, all aumentare del numero di giorni di vacanza remunerati, il costo del Big Mac diminuisce (infatti, per acquistare un Big Mac sarebbe necessaria una quantitá inferiore di minuti-lavoro). Possiamo essere d accordo con l economista? 8. L economista sostiene inoltre che, se il costo del pane aumenta, allora, a parità di ogni altra condizione, aumenta anche il costo del Big Mac. Possiamo essere d accordo con lei/lui? Soluzione. 1. Per cancellare tutto ciò che è memorizzato in R, chiudere le finestre grafiche, caricare i dati e disegnare i grafici diamo i seguenti comandi: > rm(list = ls()) > graphics.off() > ubs = read.table("ubs.txt", header = T) > attach(ubs) > plot(x1, Y, type = "n") > points(x1[d5 == 1], Y[D5 == 1], col = "blue", pch = 19) > points(x1[d6 == 1], Y[D6 == 1], pch = 19) > points(x1[d5 == 0 & D6 == 0], Y[D5 == 0 & D6 == 0], col = "red", + pch = 19)

2 > legend(x = 1.5, y = 3, legend = c("asia", "Europa", "Africa e Sud America"), + pch = c(19, 19, 19), col = c("blue", "black", "red")) > plot(x2, Y, type = "n") > points(x2[d5 == 1], Y[D5 == 1], col = "blue", pch = 19) > points(x2[d6 == 1], Y[D6 == 1], pch = 19) > points(x2[d5 == 0 & D6 == 0], Y[D5 == 0 & D6 == 0], col = "red", + pch = 19) > legend(x = 3.5, y = 3, legend = c("asia", "Europa", "Africa e Sud America"), + pch = c(19, 19, 19), col = c("blue", "black", "red")) > plot(x3, Y, type = "n", ylim = c(2, 6.5)) > points(x3[d5 == 1], Y[D5 == 1], col = "blue", pch = 19) > points(x3[d6 == 1], Y[D6 == 1], pch = 19) > points(x3[d5 == 0 & D6 == 0], Y[D5 == 0 & D6 == 0], col = "red", + pch = 19) > legend(x = 2.4, y = 6.4, legend = c("asia", "Europa", "Africa e Sud America"), + pch = c(19, 19, 19), col = c("blue", "black", "red")) > plot(x4, Y, type = "n") > points(x4[d5 == 1], Y[D5 == 1], col = "blue", pch = 19) > points(x4[d6 == 1], Y[D6 == 1], pch = 19) > points(x4[d5 == 0 & D6 == 0], Y[D5 == 0 & D6 == 0], col = "red", + pch = 19) > legend(x = 2, y = 5, legend = c("asia", "Europa", "Africa e Sud America"), + pch = c(19, 19, 19), col = c("blue", "black", "red")) I quattro grafici richiesti sono rappresentati in Figura 1. Da questa figura si evince che: ˆ Il logaritmo del costo del Big Mac (Y) decresce al crescere del logaritmo del salario reale (X 1 ): al crescere del logaritmo del salario reale, il logaritmo della quantità di lavoro necessaria per comprare un Big Mac diminuisce. Questa relazione non sembra essere influenzata dalla zona geografica di appartenenza: i punti neri, rossi e blu possono essere interpolati da un unica retta. ˆ Il logaritmo del costo del Big Mac cresce al crescere del logaritmo del costo di un chilogrammo di riso (X 2 ) e al crescere del logaritmo del costo del pane (X 4 ). La relazione positiva tra Y e X 4 è ovvia ed intutitiva; non altrettanto possiamo dire della relazione tra Y e X 2. Come spesso avviene per i prezzi delle derrate alimentari, è facile verificare che esiste una correlazione positiva tra il prezzo del riso e quello del pane (e quindi tra i logaritmi dei due prezzi). Questa correlazione positiva implica anche che il logaritmi del prezzo del Big Mace sia correlato positivamente con il logaritmo del prezzo del riso. In realtà la variabile che influenza direttamente il logaritmo del costo del Big Mac è il logaritmo del prezzo del pane, non il logaritmo del prezzo del riso: questo è un esempio di ciò che tecnicamente si definisce correlazione spuria. ˆ Non sembra esistere alcuna relazione tra il costo del Big Mac e il logaritmo del numero di giorni di vacanza remunerati nell arco dell anno. 2. Dobbiamo stimare un modello del tipo Per far questo utilizziamo il comando Y i = β 0 + β 1 X 1,i + β 2,i X 2,i + β 3 X 3,i + β 4 X 4,i + β 5 D 5,i + β 6 D 6,i + ε i. (1) > ubs.0.lm = lm(y ~ X1 + X2 + X3 + X4 + D5 + D6) Disegnamo innanzitutto il grafico dei residui e il diagramma di dispersione dei residui (e i ) contro i valori stimati della funzione di regressione (ŷ i ) (si osservi come, utilizzando la funzione par(), si possano disegnare più grafici un una singola finestra grafica): > par(mfrow = c(2, 1)) > plot(resid(ubs.0.lm), ylab = "residui") > plot(fitted(ubs.0.lm), resid(ubs.0.lm), ylab = "residui", xlab = expression(hat(y)[i])) I due grafici sono riportati nella Figura 2:

3 Y Asia Europa Africa e Sud America Y Asia Europa Africa e Sud America X1 X2 Y Asia Europa Africa e Sud America Y Asia Europa Africa e Sud America X3 X4 Figura 1: Diagrammi di dispersione di Y contro X j, j = 1,..., 4. ˆ Nel primo grafico nella Figura 2 si osserva che i residui sembrano oscillare in modo casuale intorno allo zero, senza particolari regolarità e con una variabilità stabile; ˆ il secondo grafico rappresenta i residui contro i valori stimati della funzione di regressione. Questo grafico rappresenta una sintesi dei diagrammi di dispersione dei residui contro le variabili esplicative, essendo i termini ŷ i, i = 1,..., n delle combinazioni lineari dei regressori inclusi nel modello. Non emergono particolari relazioni tra le due variabili e questo depone a favore della bontà del modello stimato. Esaminiamo ora i diagrammi di dispersione dei residui contro i regressori quantitativi inclusi nel modello (Figura 3): > par(mfrow = c(2, 2)) > plot(x1, resid(ubs.0.lm), ylab = "residui") > plot(x2, resid(ubs.0.lm), ylab = "residui") > plot(x3, resid(ubs.0.lm), ylab = "residui") > plot(x4, resid(ubs.0.lm), ylab = "residui") Non appaiono evidenti forme di dipendenza tra i residui, che rappresentano la parte di variabilità delle variabile risposta non spiegabile dal modello, e i regressori, che rappresentano la parte di informazione campionaria che utilizziamo per spiegare il comportamento della variabile risposta. Cerchiamo ora di capire se il modello sia gaussiano, prendendo in considerazione il grafico quantile-quantile dei residui standardizzati (Figura 4):

4 residui Index residui y^i Figura 2: Grafico dei residui e diagramma di dispersione dei residui contro i valori stimati della funzione di regressione. > qqnorm(rstandard(ubs.0.lm)) > qqline(rstandard(ubs.0.lm)) (il comando rstandard(ubs.0.lm) fornisce i residui standardizzati del modello, ed il suo output è equivalente a quanto si otterrebbe dividendo il vettore dei residui (che si ottiene con il comando resid(ubs.0.lm)) per la radice quadrata della stima della varianza dei disturbi). Il grafico in Figura 4 è coerente con l assunzione di gaussianità del modello. Esaminiamo ora la sintesi dei risultati della stima del modello: > summary(ubs.0.lm) Call: lm(formula = Y ~ X1 + X2 + X3 + X4 + D5 + D6) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-09 *** X e-10 *** X

5 residui residui X1 X2 residui residui X3 X4 Figura 3: Diagrammi di dispersione dei residui contro i regressori quantitativi X X D D Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: on 50 degrees of freedom Multiple R-Squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 6 and 50 DF, p-value: < 2.2e-16 Il coefficiente di determinazione lineare multipla assume un valore soddisfacente (0.8776) e così pure il coefficiente di determinazione lineare multipla corretto (0.8629). La radice quadrata della stima della varianza dei residui è pari a Poichè l analisi dei residui depone a favore dell attendibilità dei test che abbiamo studiato (le assunzioni su cui essi si basano sembrano valere), possiamo saggiare alcuni sistemi di ipotesi di particolare interesse. Il test congiunto sui coefficienti di regressione ci induce a ritenere che, ad un livello di significatività pari a 0.05, almeno uno di essi sia diverso da 0 (il livello di significatività osservato è inferiore a A questo punto dobbiamo chiederci se nel modello siano state incluse delle variabili ridondanti. I passi da seguire sono i seguenti: a) Per ogni j, 0 j 6, impostare il sistema di ipotesi: H 0 : β j = 0

6 Normal Q Q Plot Sample Quantiles Theoretical Quantiles Figura 4: grafico quantile-quantile dei residui standardizzati H 1 : β j 0 e controllare il livello di significatività osservato corrispondente al valore osservato della statistica test. b) Confrontare il livello di significatività osservato con il livello di significatività che abbiamo fissato. Assumiamo di avere fissato un livello di significatività pari a c) Poniamo uguale a zero quel coefficiente in corrispondenza del quale abbiamo riscontrato il più alto livello di significatività tra tutti quelli che eccedono il livello d) Ristimiamo il modello e ripetiamo i passi a)-d) fino a quando i livelli di significatività osservati, associati ai test indicati nel punto a), risultano tutti inferiori a Applicando questa procedura, giungiamo al modello finale: > ubs.2.lm = lm(y ~ X1 + X2 + D5 + D6) > summary(ubs.2.lm) Call: lm(formula = Y ~ X1 + X2 + D5 + D6) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Y i = β 0 + β 1 X 1,i + β 2 X 2,i + β 5 D 5,i + β 6 D 6,i + ε i : (2)

7 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** X e-12 *** X * D * D * --- Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: on 52 degrees of freedom Multiple R-Squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 4 and 52 DF, p-value: < 2.2e-16 L equazione di regressione stimata è quindi: con s 2 = = ŷ i = x 1,i x 2,i d 5,i d 6,i 3. Per generalizzare il modello introdotto nell equazione (1), dobbiamo stimare il seguente modello: Y i = β 0 + β 1 X 1,i + β 2,i X 2,i + β 3 X 3,i + β 4 X 4,i + β 5 D 5,i + β 6 D 6,i + +β 7 X 1,i D 5,i + β 8 X 2,i D 5,i + β 9 X 3,i D 5,i + β 10 X 4,i D 5,i + (3) +β 11,i X 1,i D 6,i + β 12,i X 2,i D 6,i + β 13 X 3,i D 6,i + β 14 X 4,i D 6,i + ε i. Stimiamo il modello ed esaminiamo una sintesi dei risultati inferenziali con i seguenti comandi: > ubs.3.lm = lm(y ~ X1 + X2 + X3 + X4 + D5 + D6 + X1:D5 + X2:D5 + + X3:D5 + X4:D5 + X1:D6 + X2:D6 + X3:D6 + X4:D6) > summary(ubs.3.lm) Call: lm(formula = Y ~ X1 + X2 + X3 + X4 + D5 + D6 + X1:D5 + X2:D5 + X3:D5 + X4:D5 + X1:D6 + X2:D6 + X3:D6 + X4:D6) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) * X X X X * D D X1:D X2:D X3:D * X4:D * X1:D X2:D X3:D * X4:D Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

8 Residual standard error: on 42 degrees of freedom Multiple R-Squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 14 and 42 DF, p-value: < 2.2e-16 Conducendo l analisi dei residui in modo analogo a quanto svolto nel punto precedente, possiamo ritenere di poter condurre dei test su diversi sistemi di ipotesi. In particolare, possiamo procedere alla selezione delle variabili, seguendo la procedura indicata nel punto 2. (continuiamo a fissare un livello di significatività pari a 0.05). Giungiamo quindi al modello finale: Le stime e la sintesi dei risultati si ottengono con i comandi: > ubs.15.lm = lm(y ~ X1 + X4) > summary(ubs.15.lm) Call: lm(formula = Y ~ X1 + X4) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** X e-15 *** X * --- Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: on 54 degrees of freedom Multiple R-Squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 2 and 54 DF, p-value: < 2.2e-16 Y i = β 0 + β 1 X 1,i + β 4 X 4,i + ε i. (4) Ora siamo alle prese con un problema spinoso: partendo da due modelli diversi siamo giunti a due modelli finali diversi, descritti dalle equazioni (2) e (4). Quale dei due dobbiamo scegliere? Stiamo toccando un tema molto difficile, al quale non si possono dare risposte definitive: il tema della scelta di uno tra diversi modelli statistici. Cerchiamo di ragionare sul problema. a) Siamo pervenuti al modello (4) partendo da un modello più generale di quello costituito da (1). Possiamo quindi ritenere di avere sfruttato una maggiore quantità di informazione rispetto al percorso seguito per giungere a (2). b) Il modello (4) è più semplice (nel senso che contiene meno parametri e meno variabili) e, forse, più ragionevole del modello (2). In effetti, appare più sensato far dipendere il logaritmo del prezzo del Big Mac dal logaritmo del costo del pane (X 4 ) piuttosto che dal logaritmo del costo del riso (X 2 ) (si rifletta su quanto detto sopra a proposito della cosiddetta correlazione spuria). La dipendenza della variabile risposta dalle diverse aree geografiche potrebbe essere una complicazione superflua. In effetti, dall analisi grafica delle interazioni tra le variabili in gioco, non sembra che la regione di appartenenza giochi un ruolo fondamentale. Questa, tuttavia, è solo una considerazione di natura euristica. È forse più logico ritenere che le tre regioni geografiche si distinguano essenzialmente per il diverso ammontare e per il diverso modo di distribuirsi della ricchezza. L informazione riguardante questi aspetti è probabilmente fornita più dalle osservazioni sulla variabile X 1 (logaritmo del salario reale), che dalla regione di appartenenza. Nelle città asiatiche presenti nell insieme di dati esaminato, troviamo delle realtà molto variegate: in alcune città il livello del salario compete con quello europeo e nord-americano (Hong Kong e Tokio, ad esempio); in altre (Jakarta e Bombay, ad esempio) il livello di questa variabile è molto basso e simile a quello dei paesi africani e sud-americani. Si esamini l output dei seguenti comandi: > ubs[d5 == 1, 1:8][order(X1[D5 == 1]), ] > ubs[d6 == 1, 1:8][order(X1[D6 == 1]), ] > ubs[d5 == 0 & D6 == 0, 1:8][order(X1[D5 == 0 & D6 == 0]), ]

9 In altri termini, la suddivisione per regione di appartenenza, nel campione esaminato, non discrimina nettamente delle realtà economiche distinte e quindi non appare in grado di fornire particolari spiegazioni sul comportamento della variabile risposta. Alla luce di queste considerazioni, possiamo ritenere che il modello (4) sia da ritenersi più adeguato del modello (2) (si osservi, inoltre, che la perdita di termini di varianza spiegata è trascurabile). 4. L equazione stimata è: con s 2 = = ŷ i = x 1,i x 4,i 5. Si tratta di analizzare i residui del modello a cui si è giunti, in modo analogo a quanto fatto nel punto A questa domanda si risponde saggiando il sistema di ipotesi H 0 : β 1 0 H 1 : β 1 < 0. Fissiamo un livello di significatività Il valore osservato della statistica test è t oss = Accetteremo l ipotesi nulla se toss > t 54,0.05. Il valore del quantile cercato si ottiene con il comando: > qt(0.05, 54) [1] Poiché 10.8 < , ad un livello di significatività 0.05 riteniamo che il valore atteso del logaritmo del prezzo di un Big Mac diminuisca al crescere del logaritmo del salario reale e, quindi, che l economista abbia ragione. 7. In fase di selezione delle variabili, abbiamo visto che, ad un livello di significatività 0.05, il logaritmo del numero di giorni di vacanza remunerati nell arco dell anno (X 3 ) non sembra influire sul logaritmo del prezzo di un Big Mac, quindi, sulla base dell informazione campionaria di cui disponiamo, non siamo d accordo con l economista. 8. A questa domanda si risponde saggiando il sistema di ipotesi H 0 : β 4 0 H 1 : β 4 > 0. Fissiamo un livello di significatività Il valore osservato della statistica test è t oss = Accetteremo l ipotesi nulla se toss < t 54,0.95. Il valore del quantile cercato si ottiene con il comando: > qt(0.95, 54) [1] Poiché 2.07 > , ad un livello di significatività 0.05 riteniamo che il valore atteso del logaritmo del prezzo di un Big Mac cresca al crescere del logaritmo del prezzo del pane e, quindi, che l economista abbia ragione.