Descrizione per la costruzione del modello di regressione

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1 Descrizione per la costruzione del modello di regressione Formulazione delle Ipotesi Ricerca delle variabili esplicative Dati Modello Stima dei parametri Verifica Modello

2 IL MODELLO DI REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA L analisi della regressione multipla è una tecnica statistica che può essere impiegata per analizzare la relazione tra una variabile dipendente e diverse variabili indipendenti (predittori). L OBIETTIVO dell analisi è prevedere i valori assunti da una variabile dipendente a partire dalla conoscenza di quelli osservati su più variabili indipendenti. Se il problema coinvolge una sola variabile indipendente, la tecnica statistica viene definita regressione semplice. Quando invece il problema coinvolge due o più variabili indipendenti, è detta, appunto, regressione multipla.

3 La relazione tra le variabili esplicative e la variabile dipendente può essere scritta come: Y f X, X,..., X ) + ε f ( ) + ε ( m X Se si esplicita una relazione di tipo lineare si ottiene l equazione: Y β + β X + β X β + ε Xβ + ε 0 m X m nella quale dovranno essere stimati i parametri β i Metodo dei minimi quadrati A tal scopo è necessario osservare le variabili esplicative e la variabile dipendente su un campione di n osservazioni

4 Regressione lineare semplice ( dip, indip) Y a + bx i i + ε i intercetta pendenza variabile indipendente errore Y i b + b X + b X 0 i i + ε i Regressione lineare multipla ( indip, dip)

5 RAPPRESENTAZIONE MATRICIALE Dato il modello ε Xβ Y + la rappresentazione dei dati campionari potrà allora essere la seguente: y n y y... y nm n n m m x x x x x x x x x X β m β β... 0 β ε n ε ε... ε

6 Y i b + b X + b X 0 i i + ε i y 3 X X 3β 0 +β +β +e 3 5 β 0 +3β +5β +e β 0 +5β +3β +e β 0 +7β +6β +e β 0 +8β +7β +e 5

7 3β 0 +β +β +e β 0 +3β +5β +e 4β 0 +5β +3β +e 3 5β 0 +7β +6β +e 4 8β 0 +8β +7β +e y Xβ e 5 β 0 3 β 6 β 7 + e e e e e 3 4 5

8 IPOTESI DEL MODELLO DI REGRESSIONE MULTIPLA Corretta specificazione del modello E ( ) 0 E( Y) VAR ε Xβ ( ε) E( ε ε) I VAR( Y) σ σ n Normalità distributiva della variabile d errore e, da cui segue la normalità distributiva della variabile dipendente Matrice di osservazioni X non stocastica, e rango(x) m+ Quando m queste ipotesi coincidono con quelle del modello di regressione semplice. OSSERVAZIONI La terza ipotesi include sia la omoschedasticità ( ) I n VAR ε i σ che l incorrelazione delle variabili casuali errori (, ) 0 COVAR ε per ogni i e j L assunzione riguardante il rango della matrice X impone in pratica che il numero di informazioni campionarie non ridondanti sia almeno pari al numero dei parametri da stimare. ε i j

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11 STIMA DEI PARAMETRI: METODO DEI MINIMI QUADRATI L obiettivo è determinare, sulla base dei dati campionari, il vettore b delle stime che minimizza: Φ n ( β) ε i ε ε ( y Xβ) ( y Xβ) i y y y Xβ β X y + β X Xβ y y β X y + β X Xβ Derivando rispetto a b e uguagliando a zero di ottiene: Φ β ( β) X y + ( X X) βˆ 0 da cui si ricava il vettore b delle stime dell intercetta e dei coefficienti di regressione: b ( X X) X y

12 βˆ (X'X) X'y N x, x X X x, x x x X X 30 0

13 0,8 0,098 0,07 0,098 0,4.38 0, , X X inversa Calcolare l inversa Calcolare l inversa La diamo per scontata

14 X'y (X'X) β ˆ y y x y x X y X y

15 ,8 0,098 0,07 0,098 0,4.38 0, ,0 i i i X X Y ).5 (.50 ˆ + +

16 La correlazione fra variabili è la somma delle influenze dirette e indirette delle due variabili.50 X Z b* b*.65 Y.70 r xz.5 r xy.65 r zy.70 r xy b* +b* r zx r zy b* +b* r zx b* r xy -r xz b* b* b* r zy -r xz b* b*

17 Sviluppando poniamo XX, ZX r xy b +b r zx r zy b +b r zx r y b r +b r b r +b r r y b r +b r b r +b r r r r yx y y R r r xx b * yx r r b b * *

18 r R b* yx xx yx yxrxxb* b*r - r r y b* y.3 r +b* y.3 r +b* y3. r 3 r y b* y.3 r +b* y.3 r +b* y3. r 3 r y3 b* y.3 r 3 +b* y.3 r 3 +b* y3. r 33 con r ij r ji b * yx b b b * y.3 * y.3 * y3. R XX r r 3 r r 3 r r 3 3 r yx r r r y y y3

19 Regressione matriciale β formule alternative: β β * (X'X) C xx R c xx yx r yx X'y C xx è la matrice varianza/covarianza fra le X c yx è il vettore delle covarianze fra le x e la y R xx è la matrice di correlazione fra le X r yx è il vettore delle correlazioni fra le x e la y

20 Esempio di bc - c C XX c xy varianza e covarianza calcolate con N b 0.5 b b 0 Y ( b X i i ) 4.4 (5) (.5)

21 Beta standardizzati b b * i yx yx i i b yx b * yx i i s s s s x y x y i Con i dati dell esempio precedente: *.54 b yx.09.3 *.408 b yx (.5)

22 Esempio con b*r - r RXX r xy b 0 0

23 Propor Propor. di. di varianza varianza spiegata spiegata generico * X con *. *. ˆ ) ( ˆ) ( ) ( ) ( ) ˆ ( + i yi y y y y yy b r b r b r Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y totale spiegata r r

24 Stimatore dei Minimi Quadrati: le proprietà B ( X ' X ) Var( B) X ' Y E( B) β Stimatore Corretto ( X ' X ) σ Cosa fare se σ è incognito? Stimare σ ˆ σ MSE SSE n m n i ( y i yˆ n m i ) Var( Bi ) MSE * cii con i,,..., m c ii Dove rappresenta l i-esimo elemento sulla diagonale della matrice ( X X)

25 MISURE DI BONTA DEL MODELLO: INDICE DI DETERMINAZIONE LINEARE Devianza di regressione R Devianza totale Nel modello di regressione multipla l indice di determinazione lineare può presentare alcuni problemi calcolatori e di interpretazione. Ad esempio, in caso di assenza di relazione lineare non è pari a zero. R tende ad aumentare al numero delle X E bene ricorrere perciò all indice R corretto: che varia sempre tra zero e uno. R mnumero di variabili indipendenti (X) m n R n n m n adjr ( R ) n m

26 CONTROLLO D IPOTESI SUL MODELLO: esiste un legame effettivo tra la variabile dipendente e i regressori? Si tratta di saggiare l ipotesi nulla H 0 : β β... β m 0 Tale ipotesi si controlla con il test F di Fisher. La statistica test si ottiene dal rapporto tra la varianza di regressione e la varianza di dispersione del modello: F Dev( Y ) regr m Dev( Y ) n m residua Var( Y ) Var( Y ) regr residua SSR / m MSE L ipotesi nulla viene rigettata se, a un prefissato livello di significatività α, la F così calcolata sui dati campionari è maggiore del valore della F di Fisher tabulato in corrispondenza di m e (n-m-) gradi di libertà: F α, m, n m

27 un test globale: che include tutte le variabili Confronto fra: Y b 0 + ε df r N- (ristretto) Y b + b X + b X 0 + ε df f N-3 (completo) H : b b 0 0 Usiamo la statistica F di Fisher Se è significativa, c è una relazione consistente fra le x e la y; la regressione ha senso. N.B.: In genere è significativa

28 F ( Rf Rr )/( dr d f ) ( Rf ) / d f ˆ ( Y Y) ( Y Y) /( dr d f ) ˆ ( Y Y) / d f R f ( Rf ) /( N m ) / m ffull (completo) rristretto [R 0]

29 Se il modello globale è significativo, si può fare: un test per ciascuna var. indip. (X) Anche se il modello globale è significativo, questo non significa che tutte le X siano significativamente associate a Y La maggior parte dei programmi utilizza un semplice t-test. Se il test è significativo, la X n può stare nel modello, altrimenti si dovrebbe togliere.

30 CONTROLLO D IPOTESI SUL MODELLO: esiste un legame lineare tra la variabile dipendente e il singolo regressore Xi? Si tratta di saggiare l ipotesi nulla H : β 0 i,..., m 0 i le ipotesi si controlla con il test t di Student. La statistica test si ottiene: t B i var( B ) i B i MSE c ii Errore Standard dell i-esimo coefficiente di regressione Dove c ii rappresenta l i-esimo elemento sulla diagonale della matrice ( X X) L ipotesi nulla viene rigettata se, a un prefissato livello di significatività α, la t così calcolata sui dati campionari è maggiore del valore della t di Student tabulato in corrispondenza di (n-m-) gradi di libertà: t α, n m

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32 ANALISI DEI RESIDUI L analisi grafica dei residui consente di valutare, a posteriori, se il modello ipotizzato è corretto. In tal caso, infatti, gli errori dovrebbero distribuirsi in modo normale. Ancora, la rappresentazione grafica dei residui rispetto ai valori stimati della variabile dipendente consente di valutare la sussistenza delle ipotesi del modello: E () ε 0 e VAR( ε) σ I n Nel caso in cui si disponga di dati temporali, si può valutare l esistenza di autocorrelazione tra i residui con il test di Durbin-Watson, che saggia l ipotesi nulla di ASSENZA DI AUTOCORRELAZIONE tra i residui. La statistica test è: Un valore tra,3 e,4 indica autocorrelazione tra i residui d n ( ei ei ) i n ( ei ) i

33 Residui e si I residui (ey-y ) dovrebbero essere dispersi casualmente attorno a Y 0 e 0 NO e 0 Y Se non sono dispersi casualmente, esiste un altra variabile X che può spiegarne una parte, oppure la relazione non è lineare Y Y

34 MULTICOLLINEARITA on il termine multicollinearità ci si riferisce alla correlazione fra le variabili dipendenti di un modello di regressione. l suo effetto consiste nel ridurre la capacità previsiva di ogni singola variabile dipendente in modo proporzionale alla forza della sua associazione con le altre ariabili indipendenti. effetto della multicollinearità può interessare sia la capacità di spiegazione del odello (capacità della procedura di regressione e del ricercatore di rappresentare e apire l influenza di ciascuna variabile indipendente) sia la sua stima (la sua presenza ende problematica la determinazione dei contributi individuali delle variabili dipendenti, perché i loro effetti vengono mescolati o confusi). a pertanto valutata e individuata. Due strumenti a disposizione sono la Tolleranza Tolerance) e il Fattori di Accrescimento della Varianza (Variance Inflaction Factor). Tolerance R i0 VIF i R i 0 dove R i0 rappresenta il quadrato del coefficiente che misura la correlazione fra la i-esima variabile esplicativa e tutte le altre. In generale un VIF>5 è indice di alta multicollinearità.

35 Multicollinearità La situazione ideale per una regressione multipla dovrebbe essere: ogni X è altamente correlata con Y, ma le X non sono correlate fra loro Y X X.60 X.50.0 X X.0 Idealmente, le correlazioni tra le X, dovrebbero essere 0; in questo modo beta dovrebbe coincidere con r e non con r parzializzato

36 Multicollinearità Spesso però, due o più X sono correlate fra loro Y X.60 X.50 X 3.70 X X.0 Quando due variabili X o più, sono tra loro correlate (moderatamente o più), parliamo di multicollinearità.

37 Problemi della multicollinearità fa diminuire la R multipla l effetto dei predittori si confonde aumenta la varianza e l instabilità dell equazione

38 Diminuire la multicollinearità combinare fra loro i predittori altamente correlati (ad esempio sommandoli) se ci sono molti predittori altamente correlati, usare un analisi delle componenti principali per ridurre il numero delle X

39 Scegliere i predittori Usare la teoria (ricerca bibliografica) metodi semi-automatici sequenziali forward stepwise backward

40 Regressione standard Tutte le variabili X vengono considerate assieme e tutti i coefficienti di regressione (B o beta) stimati contemporaneamente

41 Forward Le variabili X vengono inserite una alla volta (in genere la X con la correlazione XY più alta) e vengono poi calcolate le correlazioni parziali e i test di significatività di tutte le altre. Una nuova variabile viene inserita se risulta statisticamente associata al modello Ci si ferma quando non ci sono variabili signficative

42 Backword Le X vengono inserite tutte assieme e poi pian piano tolte se non risultano significative al t-testt test Ci si ferma quando tutte le non significative sono state tolte

43 Stepwise Si parte con alcune variabili X e poi Le altre X vengono inserite e / o tolte a seconda della loro importanza e significatività Il modello finale identificato dovrebbe essere il migliore

44 sercizio sulla regressione Multipla: variabile indipendente (Y) e 3 variabili dipenden X). i vuole analizzare la relazione tra il numero di Carte di Credito di una famiglia in elazione a tre possibili variabili di influenza Numero Carte di Credito (Y) Ampiezza della Famiglia (X) Reddito della Famiglia (in migliaia di ) (X) Numero di auto della famiglia (X3) Fasi dell analisi: ) Stima dei parametri di regressione ) Inferenza sui parametri di Regressione Multipla (Test di Ipotesi,Intervalli di confidenza) 3) Diagnostica di Regressione: Plot dei Residui 4) Previsioni

45 Stima dei Parametri di Regressione (utilizzo di Excel o di software Statistici) Coefficienti Errore standard Stat t Valore di significatività Intercetta 0,86,606 0,78 0,867 Ampiezza della Famiglia 0,635 0,7,34 0,079 Reddito della Famiglia (in migliaia di ) 0,00 0,9,67 0,70 Numero di auto della famiglia 0,7 0,470 0,578 0,594 Y 0,86 + 0,635X + X + 0,X 0, 7 Interpretazione dei Coefficienti : Attenzione La Bontà dell adattamento del Modello Lineare 3 R al quadrato R al quadrato corretto 0,87 0,776

46 Inferenza sui Coefficienti : La significatività dei coefficienti e la Selezione delle Variabili Esplicative egression Model Selection ependent variable: Numero Carte di Credito ndependent variables: AAmpiezza della Famiglia B Numero di Auto CReddito odel Results Adjusted Included SE R-Squared R-Squared Cp Variables ,4 0,0 0,0 5,6,9 75, ,9 3,7954 A,4 4,857 0,0 3,608 B,5 68,79 63,5 5,77594 C,96 78,743 69,58 4,7994 AB,6 86,376 80,59,33369 AC,33 69, ,54 7,4895 BC,70 87,05 77,6 4,0 ABC

47 adjusted R-Squared Adjusted R-Squared Plot for Numero Carte di Credito Number of Coefficients R R m n n n m

48 R-Squared Plot for Numero Carte di Credito 00 R-Squared Number of Coefficients R Devianza di regressione Devianza totale

49 Mallows' Cp Plot for Numero Carte di Credito Cp Number of Coefficients Cp is a measure of the bias in the model based on a comparison of total Mean Squared Error to the true error variance. Unbiased models have an expected Cp value of approximately p, where p is the number of coefficients in the fitted model. Cp is based on the assumption that the model that contains all the candidate variables is unbiased; therefore, the full model will always have Cp p. Look for models that have Cp values close to p.

50 CONTROLLO D IPOTESI SUL MODELLO: esiste un legame effettivo tra la variabile dipendente e i regressori? H 0 : β β... β m 0 F Dev( Y ) regr m Dev( Y ) n m residua Var( Y ) Var( Y ) regr residua Dev (Y) Dev (Y) regressione 9,85 SSR / m MSE 9,09 Da confrontare con il valore tabulato F F 0,05 ;3;4 0,0 ;3;4 9,98 6,59 Dev (Y) residua,85

51 Stima Intervallare dei Coefficienti di Regressione Intercetta Ampiezza della Famiglia Reddito della Famiglia (in migliaia di ) Numero di auto della famiglia B i t α ( ; n m ) * Inferiore 95% -4,7-0, -0,3 -,03 var( B i ) Superiore 95% ; 4,74,39 0,53,58 B i + t Inferiore 90,0% -3,4 0,06-0,06-0,73 α ( ; n m ) * Superiore 90,0% 3,7, 0,45,7 var( B Esempio di Calcolo per il coefficiente della Variabile Ampiezza della Famiglia Coefficiente t di Student Standard Error Limite Inferiore i ) Limite Superiore 90% 0,635,3 0,7 0,057, 95% 0,635,776 0,7-0,8,387

52 Diagnostica di regressione Regression Results for Numero Carte di Credito N Oss. Y Y predetta Errore di regressione 4,0 4,609-0,609 6,0 5,9087 0, ,0 6,606-0, ,0 6, , ,0 7, , ,0 8,93 -,93 7 8,0 7,757 0, ,0 9,65 0,375 d n ( ei ei ) i n ( ei ) i DW,47 (Assenza di correlazione tra i residui) observed Plot of Numero Carte di Credito residual, 0,8 0,4 0-0,4-0,8 Residual Plot predicted -, row number

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