IL RIGHELLO NELLA FASE MANIPOLATIVA

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1 IL RIGHELLO NELLA FASE MANIPOLATIVA Premessa In questa prima esperienza vederemo come i risultati ottenuti dimostrino come sia naturale e spontaneo per quasi tutte le bambine e i bambini prendere il righello, che di consueto si trova nella loro cartella, per misurare la lunghezza della striscia di carta data dall insegnante, nonostante a scuola non si fossero mai organizzate attività di misura che richiedevano l uso di tale strumento. Questo fatto ci ha indotto a pensare che il righello come artefatto culturale era già presente nella realtà extrascolastica degli alunni e la consegna ha richiamato alla loro memoria interazioni avvenute precedentemente nell ambiente familiare e sociale di appartenenza. Ha attivato in ciascun bambino conoscenze e apprendimenti avvenuti in situazioni di vita reale relative a problemi di misurazioni in cui adulti e bambini interagivano insieme di fronte a situazioni che richiedevano soluzioni fornite dal falegname, dalla sarta, dall imbianchino, dal cartolaio, dal commerciante,.

2 Obiettivi - Lettura e analisi individuale dei segni contenuti nel righello - Esplicitazione personale del risultato di una misurazione - Relatività dei risultati in una misurazione - Modalità d uso dello strumento - Relazione tra centimetro e millimetro presente nel righello - Senso del numero-misura - Individuazione del decimetro sul righello - Trasformazione di un numero-misura in scritture equivalenti.

3 Soggetti L esperienza è stata condotta dall insegnante-ricercatore Milena Basso alla presenza dell insegnante ufficiale dell area logico-matematica a partire dall inizio dell anno scolastico 1995/96 con alunni di classe III.

4 Procedura E stata consegnata a ciascun bambino una strisciolina di carta della medesima lunghezza (12,5 cm), altezza (1 cm) e dello stesso colore verde. La consegna del lavoro da svolgere è stata trascritta alla lavagna con questa domanda: Quanto è lunga la striscia di carta che ti è stata consegnata? A voce è stato detto agli alunni di scrivere la loro risposta sul quaderno. Non si è chiesto volutamente ai bambini di usare il righello e non si è data alcuna indicazione di come svolgere il compito per poter meglio rilevare le loro strategie e procedure. La strisciolina di carta da incollare faceva parte di un collage in cui c era da costruire l immagine di un bosco visto in collina dai bambini durante una loro uscita scolastica avvenuta ai primi di ottobre.

5 Metodologia di lavoro I dati di questo studio sono stati raccolti attraverso registrazioni uditive, osservazioni dei partecipanti alla ricerca (insegnante ufficiale di classe e insegnante-ricercatore), discussioni collettive. La metodologia qui usata è caratterizzata da uno snodarsi continuo di azioni e voci degli alunni tra loro interattive, di discussioni a piccoli gruppi (4 o 5 bambini) sull esito delle misurazioni, di intuizioni espresse a voce da alcuni bambini sul senso personale del numero-misura individuato e letto sul righello, di annotazioni fatte dall insegnante-ricercatore che costituivano poi la base per successive domande rivolte a tutta la classe. Talvolta le richieste erano sollecitate dagli stessi alunni e spesso emergevano da reali situazioni problematiche, quali: - le modalità d uso del righello - la lettura dell etichetta posta sul righello acquistato dal cartolaio e quindi il significato, ad esempio, di doppiodecimetro, triplodecimetro.

6 Analisi dei risultati Le risposte scritte fornite dagli alunni con maggiore frequenza sono esemplificate dai seguenti protocolli: Protocollo Martina: Ho misurato la lunghezza di questa striscia ed è lunga dodici centimetri più 7 millimetri. Protocollo Simone: Questa striscia di carta verde è lunga 12 centimetri e 5 millimetri. Il mio righello misura fino a diciassette centimetri. Ha pressappoco 170 millimetri. In entrambi i casi la lunghezza della striscia è stata individuata nell intervallo tra il dodicesimo e il tredicesimo centimetro del righello esprimendo il numero intero 12 e aggiungendo i millimetri, definiti dagli alunni talvolta lineette talvolta tacchette mediante l espressione e o più. Nel seguente protocollo l alunna punta l attenzione sul numero intero successivo (a 12 centimetri) e conta, poi, le linee mancanti per raggiungere i 13 centimetri: Protocollo Desirèe: Ho misurato la lunghezza ed è di 13 cm e 2 linee di meno. Alcuni bambini hanno prodotto elaborati di questo tipo: Protocollo Fabio: La striscia è lunga 25 quadretti e i centimetri sono 12 e mezzo. Ho trovato la lunghezza guardando il righello. Protocollo Claudio: Questa striscia di carta misura in tutto 25 quadretti. Ho preso la stecca, la colla e ho incollato la striscia di carta, ho misurato con la stecca e ho guardato quanto misurava e misurava 12-1/2. La lunghezza della striscia è stata calcolata sia servendosi dei quadretti del foglio, utilizzati come unità di misura rientrante in un codice condiviso all interno della classe, che del righello anche se le due misure ottenute non sono state messe in relazione reciproca. In questa prima fase di interazione individuale tra strumento e alunno il righello è stato usato come mezzo sul quale leggere, analizzare, dare un senso personale ai segni e ai numeri-misura.

7 Comunicazione e interazione sui risultati ottenuti L uso pratico dello strumento In questa fase le risposte fornite dai bambini sono state trascritte alla lavagna e discusse insieme. La prima osservazione degli alunni si è riferita al fatto che non tutti hanno usato gli stessi numeri o le stesse parole per descrivere la lunghezza della striscia di carta. Ciò ha stimolato gli studenti a ripetere le misurazioni concordando le seguenti modalità d uso del righello: -far coincidere lo zero con uno dei due estremi della striscia di carta -osservare fino a che numero si arriva e, nel caso in cui la fine della striscia non coincida con un numero intero, contare le tacchette in più. Nonostante gli accordi presi su come servirsi dello strumento, i numeri trovati dopo la seconda misurazione risultavano ancora diversi e ciò ha spinto gli alunni a osservare più da vicino i propri righelli sovrapponendoli a quelli dei compagni in modo che lo zero coincidesse con lo zero, l uno con l uno, e così via. E stato possibile individuare allora un altro motivo a cui risalire per giustificare numeri-misura differenti: i righelli presenti in classe non riportano sempre la stessa distanza tra un numero e il successivo (errore dovuto all imprecisione dello strumento).

8 La lunghezza dei righelli Durante la discussione Carlo ha fatto notare che per misurare la striscia di carta si era servito del triplodecimetro acquistato dal cartolaio e Desirèe del doppiodecimetro e tali termini si leggevano sull involucro degli strumenti. Indagando sul significato di questi nomi e in base alle esperienze dei bambini circa l acquisto dei righelli si è visto come il triplodecimetro corrispondesse allo strumento che consente di misurare lunghezze fino a 30 cm, mentre il doppiodecimetro si limitasse a 20 centimetri. La presenza nel doppiodecimetro di 20 cm ha aiutato i bambini a scoprire che 1 dm equivale a 10 cm perché è la metà di 20. Così attraverso riflessioni di tipo linguistico (doppio, triplo, quadruplo, ), si è giunti a dire che 10 dm sono una lunghezza corrispondente a 100 cm. E possibile che tali considerazioni nascano dall utilizzo, seppure ancora ad un livello intuitivo, dei rapporti scalari: se doppiodecimetro è 20 cm, se triplo è 30, se quadruplo è 40, allora 10 dm è 100 cm. A questo punto Martina, Fabio hanno detto: Cento centimetri sono un metro. Simone: Io sono alto più di un metro, di 100 centimetri, cioè 136 centimetri, mi sono misurato con mio papà e anche a scuola. L alunno fa riferimento sia alle sue esperienze extrascolastiche e anche scolastiche in quanto l anno precedente si erano compiute, in classe seconda, attività di misurazione con il metro da falegname per vedere l altezza di ciascun bambino.

9 La lettura dei segni e dei numeri sul righello In un secondo momento sono stati analizzati i significati dei segni e dei numeri presenti nel righello. Molti alunni attribuivano ai numeri il nome dei centimetri e, contando ad una ad una le tacche tra un numero e il successivo, ne individuavano nove. Attraverso domande e gli stimoli offerti dai loro interventi, i bambini sono stati invitati a identificare il punto di inizio e quello finale di 1 cm per svincolarli dall idea che questa lunghezza coincida con il numero 1 scritto sul righello e fissare la loro attenzione sul fatto che 1 cm corrisponde ad un intervallo. A questo punto gli alunni hanno cercato di ritrovare la lunghezza di 1cm in parti diverse dello strumento. All inizio la maggior parte di essi forniva risposte del tipo da 6 a 7, da 11 a 12, continuando a utilizzare i numeri interi presenti nel righello. Solo pochi bambini hanno valutato come corretto lo spazio tra due numeri da una metà alla successiva. La richiesta dell insegnante di fornire altri esempi di lunghezze da 1 cm, ha stimolato Martina a esprimersi così: da 2 cm e 8 a 3 cm e 8, suffragando la sua affermazione con la conta visualizzata sul righello 2 e 9, 3, 3 e 1, 3 e 8. Alla domanda dell insegnante: Quanti numeri hai contato?. L alunna ha risposto dieci riproducendo alla lavagna il modello del suo righello e rappresentando il modo in cui aveva proceduto nella conta. Così sono stati evidenziati gli intervalli tra una tacca e l altra che Martina rappresentava con grafi. Il disegno dell alunna fatto alla lavagna (e prima sul suo quaderno) ha permesso a tutti gli alunni di visualizzare i dieci spazi che compongono la lunghezza di 1 cm attribuendo ad essi il nome di millimetri e di stabilire la prima relazione che 1 cm equivale a 10 mm e che 10 mm formano 1 cm, relazione visibile nel righello. Con la numerazione di Martina si è fatto un ulteriore passo in avanti nella lettura dello strumento. L alunna, infatti, ha attribuito ad ogni segno del righello il corrispondente valore numerico superando la primordiale lettura del doppio decimetro come composizione della parte intera (12 cm) con parti più piccole (6 tacchette), per cui l espressione linguistica era del tipo 12 centimetri e 6 tacchette. Martina legge ora ogni tacca del righello scandendo in modo chiaro il numero intero espresso dai centimetri e seguito dai millimetri, come ad esempio: 2 centimetri e 9 millimetri, 3 centimetri e 0 millimetri, 3 centimetri e 1 millimetro, e così via. Supera così la difficoltà legata al passaggio dal 2 e 9 centimetri al 3 perché aiutata dallo strumento stesso. Nel lavoro con i numeri puri (riscontrato nelle nostre indagini

10 sui numeri decimali) gli alunni possono erroneamente contare: 2,8-2,9-2,10-2,11-2,12- interpretando ciò che sta dopo la virgola come numero naturale a sé stante, slegato dalla parte intera. Il raggruppamento dei dieci pezzi più piccoli non è utilizzato per passare alla grandezza di ordine superiore perché la virgola viene valutata come un elemento invalicabile e quindi ciò che sta prima e dopo la virgola sono due numeri interi.

11 Il senso della scrittura di un numero-misura La socializzazione dell idea di Martina ha contribuito a far sì che anche i compagni leggessero ogni segno del righello in forma completa e integrata (esempio: 12 cm e 5 mm). La richiesta dell insegnante di esprimere ogni misurazione con un numero privo di espressioni linguistiche (e, più) ha stimolato questo tipo di risposta avuta da alcuni alunni, come Carlo: 12 cm,5 mm perché la virgola è un divisorio tra i centimetri e i millimetri visto che anche in italiano si usa per separare un nome da un altro in un elenco. Alla successiva richiesta dell insegnante di fornire un altro modo per scrivere la stessa misurazione, Martina ha proposto: I numeri e la virgola insieme e poi i centimetri alla fine, così 12,5 cm. Fabio ha affermato: 12,5 cm per me è la scrittura esatta così come si legge 1,5 l che si trova scritto nella bottiglia dell acqua minerale dove 1 è un litro e sta prima della virgola e 5 è mezzo litro e sta dopo la virgola perché non è un litro. Ancora una volta si ricorre alle esperienze extrascolastiche per dare un senso alla scrittura del numero-misura: ciò è fatto in termini di confronto con un altra situazione riferita alla capacità di una bottiglia di un litro e mezzo d acqua. L alunno coglie l analogia e il significato della virgola nei due numeri-misura anche se si riferiscono a unità di misura completamente differenti. Si è giunti così alla conclusione che la marca si riferisce alla parte intera che sta prima della virgola e indica l unità di misura usata e dopo la virgola si trovano le cose che non rappresentano l intero.

12 La seconda cifra dopo la virgola Dopo il riconoscimento dei decimetri nel righello dove non è presente alcun segno che li identifichi con una lettura immediata, si è chiesto ai bambini di esprimere la lunghezza della striscia di carta di 12,5 cm in decimetri. Questo tipo di richiesta è stata fatta per indurre il bambino a cogliere la relazione tra centimetro e decimetro, relazione non visibile in modo netto sul righello. Gli alunni hanno fatto corrispondere 10 cm a 1 dm a cui hanno aggiunto i 2 cm e gli ulteriori 5 mm ipotizzando questa scrittura: - 1dm, 2cm, 5mm che traduceva la loro attività di misurazione sul righello fatta in modo sequenziale. Di fronte alla necessità di riportare la misurazione effettuata con un unico numero e la nuova unità di misura usata (decimetro) si è discusso come indicarla in modo corretto. Quasi tutti i bambini erano d accordo che la parte intera della striscia era di 1 decimetro, mentre il 25 veniva associato da molti alunni ai centimetri. E emersa la difficoltà di individuare il valore di ogni cifra dopo la virgola e dei rapporti reciproci tra le cifre. E anche possibile che l uso frequente dei centimetri nella quotidianità abbia indotto i bambini a estendere parole di senso comune allo specifico contesto senza prestare attenzione al tipo di marca usata. Ad esempio, gli alunni riferiscono abitualmente la misura della loro altezza con espressioni tipo 1 metro e 36 centimetri che in questo caso risultano essere corrette, ma possono venire indebitamente trasferite a qualsiasi situazione in cui siano presenti due cifre dopo la virgola. E pure possibile che i bambini vedano il numero dopo la virgola come numero intero attribuendo a tutta la parte decimale il valore subito inferiore all unità di misura dichiarata (ad esempio se la parte intera è espressa in decimetri, tutta la parte numerica dopo la virgola è nominata con i centimetri). Inoltre lo scandire abitualmente durante una misurazione le varie parti di un numeromisura fa sì che il bambino veda spesso solo numeri interi seguiti da marche (esempio 1,25 dm è tradotto sequenzialmente in 1 dm, 2 cm, 5 mm). Questo modo di scomporre una misurazione è sì un utile passaggio per costruire la struttura additiva della notazione decimale standard, ma rimane il problema della costruzione dei rapporti tra una cifra e l altra nello stesso numero. Problema che potrà essere risolto quando l allievo ha compiuto il passaggio dall attività di internalizzazione a quella dell interiorizzazione (Cobb, 1988), cioè la transizione dal lavorare sul righello anche se si riferisce ad esso mentalmente come immagine all agire con il pensiero in termini di relazioni matematiche, che Freudenthal definirebbe come passaggio dal contenuto alla forma.

13 Trasformazione di un numero-misura in scritture equivalenti L uso del righello risulta utile per avviare il bambino all espressione di lunghezze servendosi di unità di misura diverse. Ad esempio, dovendo disegnare un segmento di 13,5 cm un alunno può individuare nella medesima lunghezza 1 dm, 3 cm, 5 mm, ed esprimerla in 13,5 cm oppure in 135 mm. Queste attività obbligano l alunno a compiere trasformazioni mentali per effettuare passaggi da un ordine di grandezza ad un altro, e quindi i segni del righello vengano letti in relazione alla marca scelta. La lettura del righello diventa più complessa in riferimento ad una unità di misura che si intende assumere per esprimere una determinata lunghezza. Una situazione problematica del tipo: Disegna un segmento di questa lunghezza: 9,0 cm e 45 mm. Quanto sarà lungo? Scrivi come esegui il tuo lavoro e usa il righello costringe l alunno a pensare all unità di misura, che sceglierà per esprimere la lunghezza di quel segmento, in termini di rapporto rispetto al centimetro o l millimetro. L analisi delle risposte fornite dagli alunni a cui è stata proposta questa attività ha evidenziato l uso di differenti strategie: A-Attribuzione delle cifre dopo la virgola ai millimetri : Protocollo di Carlo: Il mio lavoro l ho svolto misurando 9 cm e aggiungendo 45 mm. Poi ho misurato il tutto e mi veniva per risultato 9 cm,,45 mm come nella consegna. 9 cm e 45 mm è uguale a 9,45 cm. Il 45 mm non sono solo millimetri ma anche i decimi di millimetro. La e tra 9,0 cm e 45 mm è interpretata da Carlo come un divisorio tra due unità di misura: il centimetro e il millimetro. Egli si rende conto in modo intuitivo che ogni cifra rappresenta una unità di misura diversa, ma non coglie in modo corretto come sono formati i 45 mm, perché compone le misure in questo modo sequenziale: prima i centimetri, poi i millimetri e infine i decimi di millimetro.

14 B- Trasformazione da unità di misura data ad un altra scelta per esprimere la lunghezza del segmento. Protocollo di Martina: Prendo il righello e misuro, ma 45 mm è impossibile perché tra il 4 e il 5 del 45 c è una virgola invisibile. La misura 45 mm è una misura differente da 9 cm, perché i 45 sono 4,5 cm ed è formata da 4 cm e 5 mm. Queste due misure (9+4,5) sono uguali a 13,5 cm. L alunna ha tenuto conto delle unità di misura diverse tracciando, come si vede nel disegno, due segmenti della lunghezza richiesta. Ha effettuato una trasformazione da 45 mm a 4,5 cm e ha infine sommato le due lunghezze espresse con le stesse unità di misura.

15 C- Il righello come strumento per cogliere la suddivisione decimale Protocollo di Luca: Ho misurato 9,0 cm e poi ho aggiunto 45 mm=4,5 cm e tutta la striscia è di 13,5 cm = 1,35 dm. La difficoltà che ho avuto è stato di aggiungere 45 mm, ma poi ho capito che bisognava fare il cambio in centimetri. Il mio righello mi ha aiutato a capire che quando raggiungi il 10 si fa il cambio perché siamo in base dieci. Il righello viene usato da Luca per leggere non solo fatti matematici ma anche per riflettere sulle trasformazioni che si possono fare da una unità di misura ad un altra perché si appoggiano sul nostro sistema decimale.