Equazioni di II grado come strumento per risolvere problemi

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1 Equazioni di II grado come strumento per risolvere problemi Presentazione per il corso di perfezionamento 200/06 Anna Lisa Granata Obiettivi principali proporre le equazioni di secondo grado come traduzione di un problema evidenziare simultaneamente gli aspetti procedurali e strutturali delle equazioni evitare di instaurare una mentalità classificatoria, legata all applicazione di regole standardizzate 1

2 Prerequisiti I TRE INSIEMI NUMERICI onumeri naturali onumeri interi onumeri razionali CALCOLO LETTERALE omonomi e polinomi oprodotti notevoli oscomposizione di un polinomio in fattori primi ofrazioni algebriche EQUAZIONI DI PRIMO GRADO LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO RADICALI Contesto didattico La classe aveva un atteggiamento prevalentemente sintattico nell affrontare le equazioni, associando alle stesse un insieme di regole per arrivare alle soluzioni dal test per l analisi l di prerequisiti equazioni come designatori rigidi Quasi tutti i ragazzi sentono la necessità di modificare l espressione l 2= in =2 bisogna enfatizzare l aspetto relazionale del segno = = visto come operatore direzionale (dà luogo a ) e non come relazione di equivalenza 2

3 Contesto didattico La classe presentava grosse difficoltà nella comprensione dei testi dei problemi dal test per l analisi l di prerequisiti Un elefante pesa una tonnellata più mezzo elefante. Quanto pesa l elefante? arriva così alla soluzione sbagliata La maggior parte dei ragazzi usa l algebra retorica e non l algebral L elefante pesa una tonnellata e mezzo perché se l elefante l pesa una tonnellata più mezzo elefante pesa una tonnellata e mezzo Dai problemi alle equazioni Ciò che sei stato obbligato a scoprire da solo lascia nella tua mente una traccia che potrai usare ancora quando ne sorga la necessità G.C. Lichtenberg conduce i ragazzi a scoprire la potenza dell equazione equazione come strumento di risoluzione di problemi attraverso un itinerario guidato; risponde automaticamente a una delle domande più frequenti degli studenti: a a cosa servono le equazioni di secondo grado? ; invita i ragazzi a coordinare diversi registri semiotici (linguaggio naturale, algebrico e geometrico) ) per assimilare e consolidare i nuovi concetti. PROBLEMA SOLUZIONI DEL PROBLEMA Tale approccio EQUAZIONE SOLUZIONI DELLA EQUAZIONE TECNICHE DI CALCOLO PER LE SOLUZIONI DELL EQUAZIONE 3

4 Esempi di problemi proposti Problema 1: Determinare il lato di un quadrato tale che il triplo dell area del quadrato aggiunto a 4 sia uguale a 31. Legge di annullamento del prodotto =31 2-9=0 Principi di equivalenza (-3)(+3)=0 2 =9 Equazione pura Problema 2: La differenza tra il quadrato di un numero e il triplo del numero stesso è uguale a 0. Trova il numero. 2-3=0 (-3)=0 =0 ; =3 Legge di annullamento del prodotto Equazione spuria Lavoro di gruppo Problema 3: Un pavimento rettangolare è piastrellato con grandi mattonelle; ne occorrono 12 in larghezza e 8 in lunghezza. Le mattonelle sono colorate: alcune sono bianche e altre nere. Precisamente intorno ai bordi abbiamo le mattonelle bianche e internamente abbiamo un rettangolo di mattonelle nere equidistante al perimetro ro del pavimento. Trovare tutti i casi in cui il numero di tutte le mattonelle è pari a 3 volte il numero di mattonelle nere. Commenta le soluzioni =0 Trinomio caratteristico 12 8 (-2)(+8)=0 =2; =8 Legge di annullamento del prodotto Sono entrambe possibili soluzioni del problema? 4

5 Metodo del completamento del quadrato del binomio =0 11=0 termine di 2 grado doppio prodotto di e In che modo possiamo giungere a una forma del tipo: (+) 2 =?? Metodo per scoperta 2 +2()= ()+ 2 =11+ 2 (+) 2 =36 +=6 =1 +=-6 =-11 Storica interpretazione del completamento del quadrato del binomio =0 11=0 Cosa ci serve per completare la Al-Khuwarizmi 2 +2()=11 figura in un nuovo quadrato? =1 +=6 solo misure positive (+) 2 =36

6 Formula risolutiva delle equazioni di II grado Non è un quadrato =0 ma come possiamo fare adesso per ottenere di nuovo al primo membro il quadrato di un binomio? 1) moltiplicando per =0 non è un doppio prodotto 2) moltiplicando per =0 moltiplichiamo per 2? quadrato di 6 doppio prodotto di 6 e il secondo termine del binomio deve essere 3) sommando e sottraendo =02+24=0 (6-) 2 =1 6-=1 6-= =-1 =(+1)/2 =( (-1)/2 Generalizzando. a 2 +b+c=0 ripetiamo passo passo quello che abbiamo fatto nel caso particolare 1) moltiplico per a 2) moltiplico per 4 a 2 2 +ab+ac=0 4a ab+4ac=0 3) sommo e sottraggo b 2 (2a+b) 2 =b 2-4ac 2 a + b = 2 a + b = + 4a ab+b 2 -b 2 +4ac=0 b b ac 4 ac 1 2 b b 4 ac = 2 a 2 b + b 4 ac 1 = 2 a 6