1 Una nuova legge della gravitazione (la relatività generale)

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1 1 Una nuova legge della gravitazione (la relatività generale) La potenza descrittiva della geometria a partire dai matematici greci fino alla teoria del tutto (Teoria M) è stata sempre protagonista assoluta nel rappresentare la struttura del macrocosmo e del microcosmo. Una volta che le nuove leggi della dinamica e della meccanica sono state trovate, anche la teoria più importante e consolidata, la gravitazione universale di Newton, doveva essere rivista per renderla compatibile con lo spazio-tempo di Einstein. Non può esistere uno spazio assoluto ed un tempo assoluto e non può una forza trasmettersi a distanza in modo immediato. Se la velocità della luce non può essere superata, la terra non può risentire della attrazione del sole senza alcun ritardo. La luce del sole arriva da noi circa otto minuti più tardi e su questo, come si dice, non ci piove. La prima incongruenza è evidente; la seconda è l esistenza di una forza onnipresente ed impalpabile che presenta peculiarità che a ben vedere sono singolari. La legge di Newton dice che la forza di gravità tra due corpi è proporzionale al prodotto delle due masse ed inversamente al quadrato della distanza. F=KMm/r 2 L accelerazione di gravità secondo la legge di Newton è uguale alla forza divisa la massa; quindi l accelerazione di gravità (g=km/r 2 ) è indipendente dalla massa del grave; dipende esclusivamente dalla Massa della terra e dalla distanza, come peraltro aveva scoperto Galilei con i suoi esperimenti sui gravi dalla torre di Pisa. Peraltro la massa rappresenta la resistenza al moto; infatti a parità di forza il corpo più leggero subisce una accelerazione maggiore: a=f/m; nel caso della gravità questo non è vero! Come mai? Eppure la massa inerziale che obbedisce alla F=ma è la stessa della gravità F=KMm/r 2. Su tutto ciò indagò Einstein per dare risposte a questi quesiti e per rendere la gravitazione universale compatibile con la relatività speciale. Facendo finta di non sapere come è andata a finire, si potrebbe obiettare che l accelerazione di gravità non è determinata da una forza ma dalla presenza di una o più masse. Nonostante la mirabile eleganza e potenza della teoria di Newton, egli stesso ed altri scienziati non sapevano giustificare la natura della forza di gravità.

2 Possiamo riprodurre gli effetti della forza di gravità immaginando di essere immersi in un sistema uniformemente accelerato? Sembra proprio di si; tutto quello che avviene a causa della forza di gravità di Newton, avviene in un sistema non soggetto ad alcuna forza ma uniformemente accelerato. Cosa ne facciamo della forza centrifuga che si genera quando un corpo di massa m viaggia alla velocità v in un orbita circolare intorno alla terra? Secondo la teoria di Newton proprio questa forza si contrappone alla forza di gravità e mantiene in equilibrio il corpo a distanza h dalla terra. Ma può questa forza generarsi come una proprietà dello spazio assoluto? Una sfera, come peraltro un pianeta, che ruota intorno al proprio asse risulta schiacciata ai poli e rigonfia all equatore; la sua forma dipende dalla velocità di rotazione: come si spiega questo fatto con lo spazio assoluto? Questa forza centrifuga è come la forza di gravità che in un sistema uniformemente accelerato può essere azzerata? Si, scegliendo opportunamente il sistema di riferimento. La massa gravitazionale non si può distinguere dalla massa inerziale che si oppone al movimento: la forza centrifuga si può interpretare come una forza di gravità che agisce verso l esterno anziché verso l interno Se per un attimo immaginiamo che, in assenza di gravità, la nostra terra si gonfi come un pallone con il suo raggio che aumenta con velocità v=g*t e nel tempo cresce quindi di una quantità ½*gt 2, ci troveremmo ad avere le stesse sensazioni e osserveremmo gli stessi fenomeni che osserviamo in presenza di gravità. Un corpo a distanza h dalla terra che viaggia alla stessa velocità v in direzione radiale dal centro della terra sarebbe fermo rispetto al centro della terra; si muoverà probabilmente lungo un orbita circolare alla velocità v. Proprio quella velocità che nel mondo di Newton genera una forza centrifuga mv 2 /r che equilibra la forza di gravità. Questo è proprio quello che avviene al nostro principale satellite la Luna ed anche ai satelliti artificiali lanciati dall uomo. Osserveremmo, avendo gli strumenti necessari, che anche un raggio di luce che viaggia in modo parallelo alla superficie della terra si flette anche se in modo quasi impercettibile. Infatti mentre il raggio di luce si sposta a velocità c, la terra, per effetto del suo rigonfiamento, si avvicinerebbe alla traiettoria del raggio di luce. E questo, come vedremo, non era contemplato dalla teoria di Newton. Se invece immaginiamo che, in presenza di gravità, la nostra terra si contragga con velocità v=g*t il campo gravitazionale si ridurrebbe a zero. Esiste sempre la possibilità di trovare un sistema di riferimento in cui la gravità si annulla.

3 Secondo la legge di Newton un corpo, senza massa, non subisce alcuna deviazione dalla sua traiettoria nello spazio; un raggio di luce, in un campo gravitazionale, grande a piacere, dovrebbe viaggiare lungo una retta fino all infinito! Ma così non è, ormai è dimostrato da molte e recenti osservazioni anche un raggio di luce, visto come onda elettromagnetica o come un treno di fotoni senza massa, subisce l influenza della presenza del campo gravitazionale. La teoria di Einstein parte dal presupposto che le leggi della dinamica devono essere invarianti rispetto ad un sistema di riferimento arbitrario. Pertanto devono valere, non solo in sistemi in moto rettilineo ed uniforme, ma anche nei sistemi uniformemente accelerati come è il caso della gravitazione. Nel campo gravitazionale le traiettorie che segue un corpo materiale non sono rette ma curve; se questo deve essere considerato alla stessa stregua del moto rettilineo, vuol dire che la geometria non può essere euclidea ma deve prevedere una metrica che si modifica (curvatura dello spazio-tempo) non appena si presenta una massa: esiste una tale geometria? Einstein l ha affannosamente cercata per lunghi anni e l ha trovata. La geometria di Riemann, estensione di quella di Gauss, risponde a questo requisito. A questo punto dobbiamo considerare che le leggi fisiche della meccanica devono poter essere invarianti non solo in un campo in moto uniforme, (velocità relativa costante, ma anche in un campo in moto uniformemente accelerato (accelerazione costante, velocità crescente nel tempo). Inoltre devono anche valere le leggi della relatività speciale (contrazione dello spazio e dilatazione del tempo); Quindi, le leggi cercate, devono essere invarianti rispetto a qualsiasi trasformazione di coordinate e devono essere determinate completamente dalla distribuzione della massa e conseguentemente dell energia; inoltre, poiché tutte le equazioni della meccanica comprese quelle di Newton, sono equazioni differenziali del secondo ordine, Einstein applicò questa regola anche alle sue equazioni. In base a queste equazioni molte regole geometriche e meccaniche sono cambiate. La linea più breve tra due punti non è un segmento di retta ma una curva; la somma di un triangolo non è 180, la luce viene deviata dalla massa, il tempo viene rallentato dalla presenza di una massa; molte altre conseguenze scaturiscono dalle equazioni e grazie a strumenti sempre più potenti e precisi sono state osservate: tra queste la più nota ed inquietante è l esistenza dei buchi neri. Ma anche altri fenomeni di

4 inimmaginabile violenza osservati nel cosmo negli ultimi decenni, come il collasso di una stella, l esplosione di una supernova, rispondono alla teoria di Einstein. 2 Il Tempo avverte la gravitazione Nel citato volume di Max Born viene trattato un esempio della misura della dipendenza del tempo dalla massa: applicando le equazioni di Einstein alla luce emessa da una stella, si arriva alla formula approssimata t=t(1+gl/c 2 ) dove t è il periodo dell onda elettromagnetica della luce, in presenza di campo gravitazionale e T il periodo di vibrazione della luce in assenza di gravità, g l accelerazione di gravità nel punto ed l la distanza dell osservatore dalla stella. Questo equivale a dire che le linee spettrali emesse dalla stella sono spostate verso il rosso; se il periodo dell onda elettromagnetica (luce) aumenta, la frequenza (inverso del periodo) diminuisce e la lunghezza d onda aumenta. La luce stessa in presenza di masse che tendono all infinito rallenterebbe a tal punto la sua frequenza da scendere sotto la soglia del visibile. E quello che succede in presenza di un buco nero. 3 La rivincita di Newton Dopo aver dimostrato che la teoria della gravitazione di Newton è imprecisa e non spiega alcuni fenomeni osservati tra cui la precessione degli equinozi (è il caso di Mercurio sempre ricordato), molti studiosi e scienziati continuano a parlare di forza di gravitazione, forza centrifuga, velocità di fuga e così via. Gli scostamenti tra le equazioni di Einstein e quelle di Newton, nella stragrande maggioranza dei casi, sono trascurabili e di conseguenza applicare le equazioni di Einstein appare inutilmente dispendioso. Applicando le equazioni di Newton si possono calcolare con estrema precisione le traiettorie dei corpi materiali e le orbite dei satelliti artificiali, la velocità necessaria ad un satellite per mantenersi in orbita, la velocità di fuga dalla terra e da altri

5 pianeti, ma anche l angolo virtuale della direzione del lancio del peso o del giavellotto che un atleta deve imprimere al suo attrezzo per raggiungere, a parità di impulso, il punto più lontano. Forse Newton, avendo stabilito che la forza di attrazione si esercita solo su corpi materiali che hanno una massa, non poteva immaginare l esistenza dei buchi neri: ma a ben vedere la sua equazione F=KM*m/r 2 presenta già il problema: se la massa M viene concentrata in una sfera con un raggio sempre più piccolo, la forza cresce in modo iperbolico. Possiamo agevolmente calcolare la velocità da imprimere ad un corpo di massa m per mandarlo in orbita, perché deve valere la relazione KMm/r 2 =m v 2 /r (la forza di gravità viene annullata dalla forza centrifuga); come si fa ad imprimere una velocità v corrispondente? Occorre un impulso che produca una quantità di moto di m*v e v è la velocità finale raggiunta dal corpo sottoposto ad una forza m*a dove l accelerazione a deve essere in grado di far raggiungere nel tempo stabilito la velocità v=(km/r) 1/2. La velocità, così calcolata, mantiene un corpo di massa m in orbita; se si imprime una forza tale da superare questa velocità il corpo di massa m si allontana in modo perentorio dalla terra: ha raggiunto la cosiddetta velocità di fuga 1. Ho trovato nel recente lavoro di Roger Penrose( 2 ) (una vera e propria enciclopedia della matematica e della scienza applicata alla cosmologia), che prima di Einstein insigni scienziati (1784 John Mitchell, 1799 Pierre Simon de Laplace) basandosi sulla legge di Newton ipotizzavano già l intrappolamento della luce, causato da una contrazione senza limiti di una massa molto grande. Dove cominciano i problemi applicando Newton e non Einstein? Potremmo calcolare la nostra posizione con il GPS solo con Newton? Non sarebbe sufficiente e si genererebbero errori significativi nel tempo. Quindi la rivincita di Newton è comunque parziale. 1 La velocità di fuga si ottiene da KMm/r 2 =m v 2 /r da cui v= 2Mg/r 2 Roger Penrose: La strada che porta alla realtà (sottotitolo le leggi fondamentali dell universo).ed. BUR Rizzoli pagg. 624