Global Positioning System. Lavoro di maturità

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1 Liceo cantonale di Locarno Global Positioning System Lavoro di maturità Sandro Mani Professore responsabile: Christian Ferrari

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3 Indice Indice I Prefazione 2 Introduzione qualitativa sul GPS 3 2. Composizione del sistema Space segment: I satelliti Orbite Tipi di satelliti Control Segment: stazioni di monitoraggio User Segment: riceventi GPS Note storiche sul GPS Determinazione della posizione: trilaterazione 7 3. Approccio intuitivo alla trilaterazione Trilaterazione nello spazio-tempo Sistemi di riferimento e sistemi di coordinate 2 4. Sistemi di riferimento Sistema di riferimento ECEF Sistema di riferimento ECI Sistemi di coordinate Trasformazione in coordinate terrestri Trasformazione in coordinate cartesiane Esempio numerico Relatività speciale: simultaneità e dilatazione del tempo Alcuni concetti di base della relatività speciale Simultaneità, effetto Sagnac e sincronizzazione degli orologi L importanza della simultaneità, un esempio: GPS Toy Model Dalla simultaneità all effetto Sagnac Effetto Sagnac nel GPS I

4 Indice II Discussione e applicazione della correzione Conclusioni Dilatazione del tempo Relatività generale: gli effetti del campo gravitazionale Alcuni concetti di base della relatività generale L effetto del campo gravitazionale sulla luce Gli effetti del campo gravitazionale sul tempo e sullo spazio GPS e campo gravitazionale Una correzione per gli effetti del campo gravitazionale sul tempo Applicazione della correzione al GPS Unione dei tassi di correzione della Relatività speciale e generale 55 7 Determinazione della velocità: effetto Doppler Determinazione classica della velocità Determinazione della velocità mediante l effetto Doppler Aspetti teorici dell effetto Doppler Effetto Doppler nel caso del GPS Struttura e propagazione dei segnali GPS 6 8. Alcuni concetti di base sui fenomeni ondulatori Struttura matematica Ottica geometrica Modulazione di onde portanti Classificazione delle frequenze Struttura dei segnali Costruzione dei segnali Codici binari in dettaglio Tempo di percorrenza dei segnali Introduzione qualitativa sulla correlazione incrociata Correlazione incrociata applicata al GPS Struttura della ricevente Ulteriori cause di errori Sistema Selective Availability (SA) Disposizione dei satelliti Orbite dei satelliti Effetto multipath Effetti atmosferici Ulteriori effetti relativistici Accuratezze

5 III Indice 9 Sistemi esterni per una precisione più elevata 9 9. DGPS - GPS differenziale Funzionamento Accuratezze Note storiche SBAS - Satellite Based Augmentation Systems Funzionamento Copertura attuale dei SBAS Sintesi 97 Aspetti pratici 2 Conclusione: un applicazione della fisica del XX secolo 7 A Trilaterazione in spazi euclidei 9 A. Trilaterazione 2D A.2 Trilaterazione 3D B Effetto Sagnac 2 B. Effetto Sagnac classico B.2 Effetto Sagnac relativistico B.3 Utilizzi pratici Ringraziamenti 27 Bibliografia 29

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7 Capitolo Prefazione Per secoli, navigatori ed esploratori cercarono la Terra e i cieli per trovare un sistema che permettesse loro di determinare la propria posizione sul globo con un accuratezza sufficiente per evitare pericoli e per raggiungere la destinazione cercata. Fino allo scorso secolo, i sistemi usati erano spesso macchinosi e accompagnati da numerevoli svantaggi che limitavano la funzionalità del sistema. Nel 973 venne approvato dal DoD (Department of Defence - Dipartimento della Difesa statunitense) un progetto per creare un sistema di navigazione satellitare globale: nacque così il sistema NAVSTAR (Navigation System for Timing And Ranging), più comunemente chiamato semplicemente GPS (Global Positioning System). Motivazioni e obiettivi Molte tecnologie del giorno d oggi appaiono scontate, poiché consistono in un apparecchio che deve solo essere attivato per funzionare, siano queste automobili, computer, o sistemi di navigazione, come appunto il GPS. L idea di svolgere il lavoro di maturità su questo argomento non è una conseguenza di esperienze passate, ma piuttosto di una curiosità improvvisa. Infatti, prima di questo lavoro non ho mai avuto a che fare con un sistema di navigazione, non disponendo allora di alcuna ricevente - la mia unica esperienza con questo genere di tecnologia l ho avuta a livello puramente virtuale, in un simulatore di volo. Ho subito visto in questo lavoro una grande opportunità per poter applicare molte conoscenze che ho acquisito nell ambito della fisica e della matematica durante gli studi liceali per arrivare a capire un sistema che non può essere ricondotto ai casi particolari incontrati finora, e soprattutto, che esiste e funziona nel mondo reale. Va detto che inizialmente ho sottovalutato completamente la complessità del lavoro che intendevo svolgere, poiché l intenzione era quella di trattare in modo piuttosto completo tutti gli aspetti concernenti il GPS. Mi sono però accorto ben presto che ciò non era Quindi ad esempio esclusivamente nel vuoto, senza attrito, ecc.

8 2 possibile e ho dunque deciso di limitare gli obbiettivi da raggiungere, anche in base alle informazioni disponibili 2. Anche in questo modo, il lavoro è stato caratterizzato da parecchie fasi di incertezza rispetto agli argomenti da svolgere, ed è sicuramente grazie alla grande disponibilità del professore responsabile, come pure al contributo di alcune persone esterne, che è stato possibile arrivare a completare il lavoro con successo. Nel mio lavoro tratterò i seguenti argomenti: Struttura e funzionamento del sistema; Effetti relativistici legati al tempo di percorrenza dei segnali; Struttura dei segnali; Errori che degradano l accuratezza della posizione. Gli aspetti omessi sono invece i seguenti: Algoritmi dettagliati delle riceventi 3 ; Aspetti teorici dettagliati legati al funzionamento degli orologi come pure quelli legati alla generazione dei segnali e alle antenne usate per l invio e la ricezione; Struttura dettagliata dei satelliti e delle riceventi. Il settore della fisica principalmente utilizzato in questo lavoro sarà quello connesso alla teoria della relatività, speciale e generale, con alcuni aspetti legati alla propagazione delle onde elettromagnetiche. Cominciamo a studiare qualitativamente la struttura del sistema, prima di concentrarci sugli aspetti fisici e matematici sopraelencati. 2 È importante sottolineare che, poiché il sistema viene gestito dal dipartimento militare statunitense, molto aspetti legati ad esso sono classificati. 3 Questi rappresentano infatti l aspetto principale della concorrenza sul mercato delle riceventi, per cui sono custoditi con orgoglio dai rispettivi produttori.

9 Capitolo 2 Introduzione qualitativa sul GPS Prima di studiare gli aspetti matematici e fisici che stanno alla base del Global Positioning System, vogliamo descrivere, in modo qualitativo, la struttura di questo sistema. 2. Composizione del sistema Il sistema GPS può essere suddiviso in tre principali segmenti: Space segment: i satelliti in orbita attorno alla Terra, Control segment: le stazioni di monitoraggio sulla Terra, User segment: le riceventi GPS sulla Terra. Ciascun segmento ha un compito ben preciso, elencati brevemente nella seguente tabella: Segmento Compito Spaziale Tutti i satelliti inviano in continuazione dei segnali contenenti informazioni sulla loro posizione e sull ora. Controllo Per assicurare il corretto funzionamento del sistema, le stazioni di monitoraggio raccolgono i dati trasmessi dai segnali e li mandano ad una stazione di controllo centrale, dove questi vengono analizzati e, se necessario, corretti. Le correzioni vengono in seguito ritrasmesse ai satelliti. 3

10 2.2. Space segment: I satelliti 4 Segmento Compito Utente Le riceventi sulla Terra e nella fascia interna dell atmosfera ricevono i segnali di quattro o più satelliti. Con le informazioni ricevute, sono in grado di determinare la propria posizione e di impostare in modo corretto il proprio orologio. Partendo dalla posizione e dal tempo, altri parametri che descrivono il moto della ricevente possono essere determinati. Vediamo in modo più dettagliato, dal punto di vista strutturale e funzionale, ciascuno di questi tre segmenti. 2.2 Space segment: I satelliti I satelliti sono la base del GPS. Benché il compito di questi sia, apparentemente, piuttosto semplice, aspetti tecnici lo sono molto meno. Sempre sul piano qualitativo, vediamo gli aspetti più interessanti del segmento spaziale Orbite La costellazione del GPS consiste di 24 satelliti attivi, disposti in 6 orbite ellittiche inclinate di 55 rispetto al piano equatoriale, ad una quota media di 22 km 2. Su ogni orbita si trovano 4 satelliti, posti a distanze regolari. La scelta delle orbite è avvenuta secondo precisi criteri. Infatti, una costellazione come quella attuale permette una buona distribuzione dei satelliti attorno al globo, con orbite che si trovano comunque abbastanza vicine ai poli per garantire un corretto funzionamento del sistema anche in queste parti della Terra, malgrado ci possano essere delle leggere perdite di precisione, in genere irrilevanti 3. C è pure da osservare che con l attuale disposizione, una ricevente in qualsiasi punto della Terra è in grado di ricevere i segnali di almeno cinque satelliti. Inoltre, tutti i satelliti sono ugualmente sottoposti a disturbi come campi gravitazionali e il vento solare, fatto che ne rende più facile il controllo. La costellazione è rappresentata nella figura 2.. Da notare che in orbita, oltre ai 24 satelliti necessari per un corretto funzionamento del sistema, ve ne sono spesso altri nuovi di ricambio, vecchi oppure malfunzionanti. Le quali sono separate tra di loro di 6 (6 6 = 36 ). 2 Le orbite esatte per ciascun satelliti sono descritte dal programma J-Track 3D, vedi []. 3 In un sistema precedente al GPS, chiamato TRANSIT, i satelliti orbitavano lungo orbite polari. Si è però constatato che ciò causava un eccessivo ammassamento di satelliti ai poli.

11 5 Capitolo 2. Introduzione qualitativa sul GPS Figura 2.: La costellazione dei satelliti GPS. La velocità orbitale dei satelliti è di circa 3,9 km, segue dunque un periodo orbitale s di circa 2 h. La figura 2.2 illustra la traiettoria di un satellite proiettata sulla Terra (Groundtrack), come pure la portata del segnale di un singolo satellite. Figura 2.2: Groundtrack di un satellite lungo un periodo di 24 h come pure la portata di un singolo segnale (area blu) Tipi di satelliti Da quando è stato mandato in orbita il primo satellite GPS, questi sono stati continuamente perfezionati, la costellazione attuale è quindi composta da satelliti di vari tipi. Considerando tutti i satelliti che sono stati finora in orbita, possiamo distinguere cinque tipi di satelliti: Block I, Block II, Block IIA, Block IIR e Block IIR-M. Vi sono anche satelliti in fase di sviluppo, che comprendono quelli del tipo Block IIF e Block III.

12 2.2. Space segment: I satelliti 6 Satelliti Block I I satelliti Block I, che portano le cifre SVN (Satellite Vehicle Numbers) da a, sono stati lanciati tra il 978 e il 985 e formarono il sistema di dimostrazione, chiamato GPS I. In questa fase, le orbite dei satelliti erano inclinate di 63 rispetto al piano equatoriale, le rimanenti caratteristiche erano invece uguali a quelle attuali, dunque 24 satelliti disposti, in gruppi di quattro, su sei piani orbitali ad una quota media di 22 km. I satelliti sono stati prodotti dalla Rockwell Space Systems, sono larghi 5,3 m, pesano 759 kg e sono provvisti di un orologio atomico a Cesio (Cs) e due a Rubidio. La loro vita operativa prevista era di 5 anni, anche se molti rimasero in servizio più a lungo. Potevano essere manovrati grazie a 3 assi di controllo e una sistema di propulsione ad idrazina (N 2 H 4 ). L energia era ricavata da due pannelli solari in grado di fornire più di 4 W di potenza e da batterie NiCd per quando orbitavano in ombra. I dati di navigazione venivano trasmessi tramite due segnali su banda L 4, designate L e L2-P 5, aventi frequenze di 575,42 MHz rispettivamente 227,6 MHz. I dati di navigazione 6, elaborati dalla stazione di controllo, venivano trasmessi tramite il link TT&C (Telemetry, Tracking and Commanding). I satelliti di questo tipo erano in grado di memorizzare questi dati per i successivi 3,5 giorni, durante il quale periodo non era necessario alcun intervento dalla stazione di controllo. L ultimo satellite Block I rimase in funzione fino al 26 Marzo 996, dopo un periodo operativo di 3 anni! Figura 2.3: Un satellite Block I. Satelliti della famiglia Block II Satelliti Block II: I satelliti Block II (n SVN da 3 a 2) furono lanciati tra febbraio 989 e ottobre 99 (il satellite SVN 2 era un satellite di prova Block II e non fu mai lanciato). Con il lancio di questi satelliti viene concluso il periodo di dimostrazione (GPS I) e il sistema GPS diventa pienamente operativo, nella sua seconda generazione 4 Per una classificazione completa dei tipi di frequenza, consultare la sezione Lo indicheremo semplicemente con L2. 6 Di cui fanno parte ad esempio parametri che descrivono la posizione e l orbita di un satellite.

13 7 Capitolo 2. Introduzione qualitativa sul GPS (GPS II). Questi nuovi satelliti furono progettati per poter memorizzare i dati di navigazione per i successivi 4 giorni. Le caratteristiche fisiche sono uguali a quelle dei satelliti Block IIA, descritte nel paragrafo successivo. Satelliti Block IIA: I satelliti del tipo Block IIA (A per Advanced ), portanti i numeri SVN da 22 a 4, furono mandati in orbita tra novembre 99 e novembre 997. L innovazione principale rispetto ai satelliti Block II fu la capacità di memorizzare i dati di navigazione per i successivi 8 giorni, chiaramente con la conseguenza di un leggero calo di precisione. Come i satelliti del tipo Block I, anche quelli Block II e IIA sono stati prodotti dalla Rockwell Space Systems, sono lunghi,5 m, larghi 5,3 m e alti 3,4 m (con i pannelli solari estesi) e pesano 66 kg (Block II) rispettivamente 86 kg (Block IIA), il tempo di operazione previsto è di 7,5 anni. Sono provvisti di due orologi atomici a Cesio (Cs) e due a Rubidio (Rb) e dispongono anche dei sistemi SA (Selective Availability - vedi sezione 8.5.), A-S (Anti-Spoofing - permette di encriptare il segnale L2) e rilevamento di detonazioni nucleari. Anche questi satelliti si manovrano su 3 assi e con un sistema di propulsione a idrazina. L energia necessaria è fornita da due pannelli solari capaci di fornire 7 W di potenza e da batterie per quando il satellite è in ombra. Il sistemi di comunicazione rimangono invariati rispetto ai satelliti Block I. Figura 2.4: Un satellite Block II/IIA. Satelliti Block IIR: I satelliti del tipo Block IIR (R per Replenishment - Rifornimento ) portano i numeri SVN da 4 a 62 e sono stati mandati in orbita da gennaio 997 a novembre 24 per sostituire i vecchi satelliti Block IIA. La innovazione più importante di questi satelliti comprende una maggiore precisione delle posizioni dei satelliti resa possibile grazie ad un sistema di navigazione tra i satelliti (Block IIR e successivi) stessi, chiamato AUTONAV. Questo sistema permette ai satelliti di correggere le posizioni tra di loro e di raccogliere i dati di navigazione, tutto

14 2.2. Space segment: I satelliti 8 in modo indipendente dalla stazione di controllo. L intervento di quest ultima è necessaria solamente una volta ogni 8 giorni per garantire l accuratezza del sistema. Altre caratteristiche includono i sistemi SA e A-S come nei satelliti Block IIA e tre orologi atomici a Rubidio. I satelliti sono stati prodotto dalla Lockheed Martin, hanno delle dimensioni di,93 m,59 m,9 m con una massa di circa 232, kg e adoperano dei pannelli solari in grado di fornire 36 W di potenza. Il tempo di vita previsto è di anni. Per il resto le specificazioni rimangono simili a quelle di satelliti Block IIA. Satelliti Block IIR-M I satelliti del tipo Block IIR-M (M per Modernized ) sono dei satelliti Block IIR aggiornati. Si prevede di aggiornare 7 satelliti del tipo IIR a IIR-M. Il primo satellite aggiornato, che porta il numero SVN 53, è stato rilanciato in orbita a settembre 25. Le innovazioni rispetto ai satelliti Block IIR comprendono soprattutto l aggiunta di frequenze sulle bande L e L2-M e una seconda frequenza civile su banda L2-C. Le caratteristiche fisiche rimangono invariate rispetto ai satelliti Block IIR, anche i numeri SVN rimangono invariati rispetto al satellite prima dell aggiornamento. Figura 2.5: Un satellite Block IIR/IIR-M. Satelliti Block IIF: I satelliti del tipo Block IIF rappresentano la successiva generazione di satelliti GPS. A partire dal 28 si pianifica di lanciarne in orbita fino a 9. Le principali innovazioni comprendono l uso di orologi MASER (Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation - Amplificazione di Microonde per mezzo dell Emissione Stimolata di Radiazioni) a idrogeno, i quali sono ancora più precisi di quelli atomici finora usati. Inoltre, questi nuovi satelliti sono in grado di comunicare sulla banda L5, una terza frequenza per scopi civili. In fatto di caratteristiche fisiche, hanno delle dimensioni di 2,93 m 3,4 m 3,93 m, una massa di 2948,7 kg e con un aspettativa di vita di circa 2 anni. Per l approvvigionamento energetico dispongono di due pannelli solari in grado di fornire fino a 29 W di potenza.

15 9 Capitolo 2. Introduzione qualitativa sul GPS Figura 2.6: Un satellite Block IIF. Satelliti della famiglia Block III Con i satelliti Block III il sistema GPS entrerà nella terza generazione (GPS III). Verranno lanciati presumibilmente a partire dal 29 e dovrebbero rimanere in servizio fino al 23 e oltre. Questi satelliti, oltre ad essere migliorati dal punto di vista dell affidabilità, dell accuratezza e della sicurezza, disporranno di un sistema NAVWAR che permette di disattivare il servizio GPS per determinate regioni geografiche, mentre sarà sempre disponibile per gli Stati Uniti e le sue forze alleate. Informazioni aggiuntive non sono ancora disponibili. Confronto diretto tra i satelliti Tutti i dati tecnici sono messi a confronto nella seguente tabella 7 : Satelliti vecchi/attualmente in orbita: Tipo Block I Block II/IIA Block IIR Produttore Rockwell Space Systems Rockwell Space Systems Lockheed Martin Massa [kg] 759(?) 66/86 232, Dimensioni 8 [m]??(5,3)?,5?(5,3) 3,4,93,52(,59),9 Potenza pannelli solari [W] Batterie 3 5 Ah NiCd 3 35 Ah NiCd 2 NiH 2 Tempo di vita [anni] 5 7,5 Orologi Atomici: Cs, Rb Atomici: 2 Cs, 2 Rb Atomici: 3 Rb Periodo di lancio / n lanciati 9/9 3 SVN - 3-2/ Segnali TT&C; L; L2-P TT&C; L; L2-P TT&C; L; L2-P 7 I dati sono frutto di confronti tra varie fonti su internet. È possibile che alcuni dati non siano accurati. Simboli:?: dato mancante; (?): dato incerto; : dato approssimativo. 8 Dimensioni: lunghezza larghezza(larghezza con pannelli estesi) altezza.

16 2.2. Space segment: I satelliti Satelliti in fase di sviluppo: Tipo Block IIR-M Block IIF Block III Produttore Lockheed Martin Boeing Boeing(?) Massa [kg] 232, 2948,7? Dimensioni [m],93,52(,59),9 2,93,97(3,4) 3,93? Potenza pannelli solari [W] ? Batterie 2 NiH 2?? Tempo di vita [anni] 2? Orologi Atomici: 3 Rb MASER? Periodo di lancio (?) 28(?) 29(?) n lanciati (n lanci previsti) (7) (9(?))? SVN 53,? 63-82(?)? Segnali TT&C; 2 L, L2: -P, -C, -M TT&C, 2 L; L2: -P, -C, -M; L5? Orologi atomici usati nei satelliti Rapidamente, alcuni fatti interessanti sugli orologi atomici usati nei satelliti: La stabilità dei orologi atomici usati nei satelliti del tipo Block I/IIA è di almeno 3 s. Satelliti del tipo Block IIR/R-M possiedono invece una precisione di ± s in un milione di anni. Tutte le frequenze che un satellite GPS necessita per comunicare vengono derivate dalla frequenza di base generata dagli orologi, ossia di,23 MHz. Figura 2.7: Un orologio atomico. La figura 2.8 rappresenta un tipico confronto tra le stabilità degli orologi atomici a cesio e gli orologi a quarzo. La variazione di Allan è definita dalla metà del quadrato della media temporale tra due letture successive della deviazione della frequenza sull arco di un intervallo di tempo considerato. Come nel calcolo probabilistico comune, la deviazione di Allan è data dalla radice della variazione: σ y (τ) = (yn+ y n ) 2 2

17 Capitolo 2. Introduzione qualitativa sul GPS Quarzo 2 σy(τ) Cesio τ [s] Figura 2.8: Deviazione di Allan sulla frequenza di un oscillatore a quarzo e di un orologio atomico a cesio in funzione di un intervallo di tempo τ. dove y n è la n-esima frequenza normalizzata, ossia δν y n =. ν con δν la variazione di frequenza. Dal grafico possiamo concludere che gli orologi a quarzo sono più stabili degli orologi atomici durante i primi s, mentre successivamente quelli atomici possiedono una stabilità molto migliore. n 2.3 Control Segment: stazioni di monitoraggio Una volta che i satelliti si trovano nell orbita corretta, è necessario monitorare accuratamente la loro telemetria e il loro funzionamento per riuscire a garantire la corretta operatività del sistema. Infatti, da un lato, fattori come il vento solare oppure attrazioni gravitazionali da parte di altri corpi dell universo possono deviare i satelliti dalla loro traiettoria prevista, dall altro, errori degli orologi oppure altri errori interni possono avere come conseguenza dati di navigazione incorretti. A questo scopo sono state costruite cinque stazioni di monitoraggio, gestite dalla U.S. Army. La stazione di controllo/monitoraggio principale si trova alla Schriever Air Force Base (AFB), Colorado Springs, USA; altre stazioni di monitoraggio si trovano sulle Hawaii, sulle isole Ascension, su Diego Gracia e su Kwajalein. A partire dal mese di settembre del 25 sono entrate in funzione altre sei stazioni di monitoraggio, gestite dalla NGA (National Geospatial-Intelligence Agency - Agenzia Nazionale di Intelligenza Geospaziale). Le posizioni di queste undici stazioni di monitoraggio sono raffigurate nella figura 2.9.

18 2.3. Control Segment: stazioni di monitoraggio 2 Figura 2.9: Le stazioni di monitoraggio attualmente presenti sulla Terra. Attualmente, ogni satellite può essere visto contemporaneamente da almeno due stazioni di monitoraggio, permettendo di calcolare delle orbite molto precise per i satelliti. In un prossimo futuro si vogliono aggiungere cinque nuove stazioni, in modo che ogni satellite possa essere visto contemporaneamente da almeno tre stazioni, permettendo un monitoraggio ancor più accurato. Stazioni di monitoraggio passive Tutte le stazioni di monitoraggio eccetto quella principale a Colorado Springs sono passive, e consistono semplicemente in riceventi statiche che ascoltano il segnale L dei satelliti visibili. I dati raccolti vengono poi mandati alla MCS (Master Control Station) di Schriever AFB per essere analizzati e processati. Le stazioni sulle isole Ascension, Diego Garcia e Kwajalein, oltre a ricevere dati, sono pure in gradi di trasmettere dati di correzione ai satelliti via il segnale TT&C (Telemetry, Tracking and Commanding). Stazione di controllo/monitoraggio principale Questa stazione processa continuamente i dati ricevuti dalle stazioni di monitoraggio per ottenere tutte le informazioni riguardanti la traiettoria e il funzionamento dei satelliti. Per i satelliti precedenti a quelli Block IIR, essa aveva pure il compito di generare i dati di navigazione, mentre al giorno d oggi, grazie al sistema AUTONAV, è sufficiente sorvegliare ed eventualmente correggere i parametri. Inoltre, se un satellite è fuori orbita oppure malfunzionante, è possibile disattivarlo temporaneamente finché il problema è stato risolto. I parametri di correzione vengono solitamente inviati giornalmente ai satelliti tramite il link TT&C dalle stazioni di monitoraggio delle isole Ascension, Diego Garcia o Kwajalein. Una lista di tutti i compiti svolti dalla Master Control Station sono elencati nella figura

19 3 Capitolo 2. Introduzione qualitativa sul GPS 2.. Satelliti Link TT&C Segnale L Antenne Stazioni di monitoraggio Comandi Telemetra Upload dati di navigazione Controllo antenna Stato antenna Master Control Station Controllo rete Gestione traffico di rete Dati di navigazione Dati misurazione distanze Controllo staz. monitoraggio Stato staz. monitoraggio Monitoraggio prestazioni Controllo satelliti Controllo posizione e tempo Confronto prestazioni con aspettative Alarme se rilevati errori Generazione comandi Processamento telemetria Generazione e controllo upload Generazione comandi Estimazione/previsione stato sat. Generazione dati di navigazione Figura 2.: Compiti svolti dalla MCS. 2.4 User Segment: riceventi GPS Le riceventi GPS consistono semplicemente in un antenna e di un circuito elettronico, in grado di ricevere e interpretare i segnali mandati dai satelliti, e di comune orologio a quarzo, che viene costantemente sincronizzato con gli orologi atomici dei satelliti. Oggigiorno, perfino le riceventi più semplici sono in grado di ricevere e processare i segnali di 2 satelliti parallelamente. Riceventi più vecchie processavano invece i dati in serie ed erano quindi molto più lente e sensibili a interferenze. Troviamo le riceventi

20 2.5. Note storiche sul GPS 4 GPS implementate in vari dispositivi: mezzi di trasporto, dispositivi informatici e perfino orologi (infatti le dimensioni delle riceventi sono molto ridotte), più o meno sofisticate a dipendenza delle esigenze. Si distinguono due principali tipi di riceventi, quelle civili e quelle militari. Le prime sono in grado di ricevere solo il segnale L, mentre le seconde sono in grado di ricevere entrambi i segnali L e L2, fatto che permette una precisione maggiore. Infatti, come vedremo nel capitolo 8, una delle cause maggiori di errori è il rallentamento dei segnali durante l attraversamento dell atmosfera: le riceventi militari sono in grado di stimare una correzione per questo problema confrontando i tempi di propagazione dei due segnali, le riceventi civili devono invece basarsi su sistemi esterni. L aspetto centrale delle riceventi consiste negli algoritmi usati per determinare la posizione. Infatti, di tutte le correzioni che è necessario apportare ai parametri necessari per calcolare la posizione, la maggior parte non sono costanti, e dunque devono essere calcolate dalle riceventi. 2.5 Note storiche sul GPS Per concludere questo capitolo, sono riassunti gli eventi più importanti dello sviluppo del GPS fino al giorno d oggi Sviluppo di un sistema di navigazione satellitare per la U.S. Navy, chiamato TRANSIT. Il sistema consistette di 5 satelliti orbitanti a km di quota e permetteva di determinare una posizione accurata ai 2 m ogni 9 min. Fondazione della Aerospace Corporation per aiutare la U.S. Airforce ad applicare le risorse della scienza moderna per la sicurezza della nazione. Vennero creati i primi concetti ed effettuati i primi studi che portarono alla realizzazione del GPS. Sviluppo, da parte del Naval Research Labortory a Washington D.C. di un sistema satellitare chiamato TIMATION con lo scopo di trasmettere una referenza temporale accurata a riceventi sulla Terra. Approvazione da parte del DoD di sviluppare un sistema di navigazione basato sui sistemi TRANSIT e TIMATION, chiamato NAVSTAR GPS, per entrambe la U.S. Navy e la U.S. Air Force basato su 24 satelliti orbitanti a 22 km Prime prove del sistema.

21 5 Capitolo 2. Introduzione qualitativa sul GPS Prove delle prime riceventi usando trasmittenti poste sulla superficie terrestre (pseudolites - pseudo satellites). Lancio di satelliti Block I per formare la prima generazione (sperimentale) del GPS. Contratto con la Rockwell Space Systems per la produzione di 28 satelliti Block II. Un aereo coreano è stato abbattuto da un caccia russo dopo essere entrato per sbaglio nello spazio aereo sovietico. Seguì la decisione di rendere disponibile il GPS a scopi civili. Lancio di 28 satelliti Block II, di cui gli ultimi 9 nella revisione Block IIA. 99 Il sistema GPS diventa operativo, seppure con costellazione ridotta Venne definitivamente deciso di offrire il segnale civile senza costi supplementari a tutti coloro che dispongono una ricevente. La costellazione di satelliti Block II/IIA è completata, sono in orbita 24 satelliti. 995 Viene annunciata la Full Operational Capacity (FOC) Lancio di 3 satelliti Block IIR. 2 Il sistema Selective Availability (SA) viene disattivato, la precisione del segnale pubblico aumenta da ±5 m a circa ±5 m. 24 Viene lanciato il cinquantesimo satellite. 25 Viene lanciato il primo satellite Block IIR-M.

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23 Capitolo 3 Determinazione della posizione: trilaterazione Il procedimento che viene usato per la determinazione della posizione è chiamato trilaterazione e si basa su punti di riferimento conosciuti per determinarne uno cercato. Vediamo come prima cosa un approccio sul piano concettuale. 3. Approccio intuitivo alla trilaterazione Consideriamo una ricevente GPS che si trova in un punto incognito sulla Terra. Viene ricevuto un primo segnale dal satellite C, che include la sua posizione data dal vettore posizione OC. La sua distanza dalla ricevente ρ viene calcolata misurando il tempo di percorrenza del segnale. Ignorando inizialmente la Terra, la ricevente può concludere che si trova in qualunque luogo distante ρ unità dal punto C, come illustrato nella figura 3.. Figura 3.: Una sfera S C di centro C e raggio ρ. Viene ricevuto un secondo segnale, grazie al quale la ricevente è in grado di definire una seconda sfera, di centro OC 2 e raggio ρ 2. Intersecando queste due sfere, le posizioni possibili si riducono a una circonferenza, come illustrato nella figura

24 3.2. Trilaterazione nello spazio-tempo 8 (a) (b) Figura 3.2: (a) Dall intersezione delle due sfere si ottiene un anello. intersezione visualizzato frontalmente. (b) L anello di Un terzo segnale localizza invece il satellite C 3, grazie al quale è possibile ridurre le possibili posizioni a due punti, come mostrato nella figura 3.3. Figura 3.3: Le possibili posizioni si riducono a due. Infine, un quarto segnale permette di scartare uno dei due punti illustrati nella figura Trilaterazione nello spazio-tempo Quantitativamente, tutti i satelliti inviano simultaneamente, ogni millisecondo, un segnale che contiene dei parametri di navigazione, a partire dai quali è possibile determinare la loro posizione. Considerando quanto visto nella sezione precedente, vediamo dunque che queste posizioni corrispondono al centro di sfere, mentre i raggi, ossia le distanze tra la ricevente e il rispettivo satellite, sono dati da ct, dove c è la velocità di propagazione dei segnali 2, poiché essi sono delle onde elettromagnetiche, e t il tempo di percorrenza dal satellite alla ricevente. Vediamo dunque che, a prima vista, basterebbe Per rendere la figura più chiara, le prime due sfere non sono più state rappresentate. 2 Nel vuoto si ha c 3 km s.

25 9 Capitolo 3. Determinazione della posizione: trilaterazione risolvere il sistema composto da quattro equazioni del tipo ct j = r R r Sj j =,2,3,4. (3.) La necessità di utilizzare almeno quattro equazioni, e quindi quattro satelliti, deriva dal fatto che vi sono quattro incognite da trovare, ossia una coordinata temporale e tre spaziali, in modo da localizzare nello spazio-tempo l evento corrispondente alla ricezione di una serie di segnali inviati simultaneamente da parte dei satelliti. Queste quattro incognite compongono il tetravettore spazio-tempo dato da x = ( ) ct. (3.2) x Potrebbe inoltre sembrare sufficiente determinare t per ciascun segnale ricevuto 3, ottenendo dunque i raggi delle sfere, per cui il problema si semplificherebbe ad un problema di geometria euclidea con tre incognite spaziali (per verificare il concetto di trilaterazione, un algoritmo tale è discusso nell appendice A). Considerando però l elevata velocità di propagazione dei segnali, possiamo facilmente constatare che, per ottenere una posizione precisa al metro, il tempo di percorrenza dei segnali deve essere misurato con una precisione dell ordine dei nanosecondi, ossia 9 s! A questi ordini di grandezza è indispensabile considerare e correggere degli effetti relativistici che caratterizzano lo spazio-tempo attorno alla Terra, come pure il fatto che i segnali non giungono contemporaneamente alla ricevente, a dipendenza di dove si trovano i rispettivi satelliti rispetto alla ricevente. Questi effetti sono la conseguenza di alcune caratteristiche fondamentali dello spazio-tempo, in termini semplici abbiamo i seguenti punti: La velocità massima della propagazione dell informazione è pari a c; Il campo gravitazionale degli oggetti presenti nell universo distorce lo spaziotempo; Lo spazio-tempo viene percepito in modo diverso per un osservatore in modo che per un osservatore fermo. La figura 3.4 mostra una comune rappresentazione della distorsione dello spazio-tempo in presenza di una massa. 3 Il metodo come avviene questo è spiegato nel capitolo 8.3.

26 3.2. Trilaterazione nello spazio-tempo 2 Figura 3.4: Variazione dello spazio-tempo in presenza di un campo gravitazionale. La geodetica è l analogo della retta in geometria euclidea nello spazio-tempo, ossia la curva più breve che collega due punti, definita come curva di tempo proprio massimo. Possiamo dunque elencare tre principali correzioni relativistiche che intervengono sul tempo di propagazione del segnale: Correzione Origine effetto Applicazione correzione Simultaneità I segnali non sono ricevuti allo Algoritmo ricevente stesso istante/rotazione terrestre Dilatazione del tempo Moto satelliti (3,9 km ) s Orologi satelliti Effetto della gravità La gravità rallenta gli orologi Orologi satelliti La prima correzione dipende dalle posizioni dei satelliti e della ricevente, per cui, chiaramente, non è costante. È dunque necessario correggere le equazioni (3.) quando vengono calcolate dalla ricevente. Per quanto riguarda i rimanenti due effetti, la quota dei satelliti come pure la loro velocità rimangono approssimativamente costanti lungo un orbita, per cui pure le correzioni dovute agli effetti lo saranno. È dunque possibile correggere direttamente gli orologi dei satelliti per annullare questi effetti. Ci occuperemo in dettaglio di queste correzioni nei successivi due capitoli di relatività, dopo aver introdotto i sistemi di riferimento ed i sistemi di coordinate che saranno usati.

27 Capitolo 4 Sistemi di riferimento e sistemi di coordinate 4. Sistemi di riferimento Come vedremo nei successivi capitoli, è più semplice descrivere alcuni fenomeni rispetto ai sistemi di riferimento inerziali che rispetto a quelli accelerati. Nel caso del GPS, vogliamo ottenere la posizione rispetto alla Terra, la quale però è in rotazione. È dunque utile distinguere due sistemi di riferimento, denominati rispettivamente ECEF e ECI. Vediamo più in dettaglio le caratteristiche di questi due sistemi di riferimento. 4.. Sistema di riferimento ECEF La sigla ECEF sta per Earth Centered, Earth Fixed. Si tratta dunque di un sistema di riferimento la cui origine si trova nel centro di massa della Terra e che ruota assieme ad essa, e viene generalmente ricondotto al sistema di riferimento WGS-84(G873), 5 rad definito da una rotazione attorno all asse Terrestre di 7, s Poiché si vuole calcolare la posizione della ricevente rispetto a questo sistema di riferimento, tutti i parametri trasmessi dai satelliti vengono calcolati rispetto ad esso. Vi è però il problema che nei sistemi di riferimento accelerati, il principio dell invarianza della velocità della luce (vedi 5.) non è valevole. Segue dunque che le equazioni del tipo ct j = r R r Sj j =,2,3,4 utilizzate per determinare la posizione e l ora della ricevente non sono valevoli nel sistema di riferimento ECEF. Queste devono infatti essere risolte rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. 2

28 4.2. Sistemi di coordinate Sistema di riferimento ECI ECI è l abbreviazione di Earth Centered, Inertial. Questo sistema di riferimento è dunque centrato nel centro di massa della Terra, però non ruota assieme ad essa. Esso viene ridefinito dalla ricevente per ogni ciclo dell algoritmo, per cui è istantaneamente inerziale, in caduta libera, assieme alla Terra, nel campo gravitazionale di altri oggetti dell universo. In questo sistema di riferimento viene risolto il sistema composto dalle equazioni di propagazione dei segnali, le coordinate trovate vengono successivamente ruotate in quello ECEF per ottenere i dati cercati. 4.2 Sistemi di coordinate Nei successivi capitoli utilizzeremo spesso un sistema di coordinate cartesiano. Per un utente sulla Terra è però più utile conoscere la posizione rispetto ad un sistema di coordinate terrestre, dato da longitudine, latitudine e quota. Risulta però essere più semplice lavorare in coordinate cartesiane e in seguito trasformare il risultato in coordinate terrestri che lavorare direttamente con quelle sferiche (dalle quali derivano quelle terrestri). Vediamo dunque ora queste trasformazioni Trasformazione in coordinate terrestri Dalle coordinate cartesiane alle coordinate pseudo-sferiche Cerchiamo una trasformazione del tipo OP B = (x; y; z) OP B = (r; ϕ; θ). dove B rappresenta la base delle coordinate cartesiane mentre B quella rispetto alle coordinate pseudo-sferiche 2. Graficamente, considerando un approssimazione sferica della Terra, abbiamo la situazione illustrata nella figura 4.. Ogni ciclo porta alla determinazione di un tetravettore spazio-tempo. 2 Le chiamiamo pseudo-sferiche per il fatto che nelle coordinate sferiche l angolo θ viene misurato a partire dall asse z, mentre in questo caso lo misuriamo a partire dal piano equatoriale, in modo da ottenere un angolo di 9 per i poli.

29 23 Capitolo 4. Sistemi di riferimento e sistemi di coordinate Asse di rotazione z P Piano equatoriale r O θ y x ϕ P Figura 4.: Un punto P descritto da coordinate cartesiane e pseudo-sferiche. Dalla figura possiamo ricavare le nuove coordinate, sferiche, usando quelle vecchie, cartesiane. La prima componente è data da r = x 2 + y 2 + z 2 poiché è la norma del vettore posizione OP. La seconda componente è invece data da ( ) x ϕ = arccos x2 + y 2 ϕ 36 poiché il coseno di ϕ è dato dal rapporto tra il cateto adiacente all angolo e l ipotenusa del triangolo xop. L ultima componente è invece data da ( ) z ( z θ = arcsin = arcsin x2 + y 2 + z r) 2 9 θ 9

30 4.2. Sistemi di coordinate 24 utilizzando la proprietà analoga del seno di un angolo. La trasformazione è dunque la seguente: ( ( ) ( )) x2 x z (x; y; z) + y 2 + z 2 ; arccos ; arcsin. x2 + y 2 x2 + y 2 + z 2 Dalle coordinate pseudo-sferiche alle coordinate terrestri (4.) Vogliamo ora trasformare le coordinate sferiche ottenute in coordinate terrestri. Considerando però che la Terra è approssimativamente una sfera, più che trasformare le coordinate dobbiamo definire i vari settori di latitudine e longitudine. Latitudine: Questa prima coordinata dipende dall angolo θ e definisce i punti cardinali Nord e Sud, ossia i poli. Chiaramente, visto l asse di rotazione della Terra, questi punti, assieme al piano equatoriale, sono definiti per natura. Abbiamo i seguenti casi: θ N se θ > lat. = θ S se θ < se θ =. (4.2) Le circonferenze aventi latitudine costante sono dette paralleli (poiché sono parallele tra di loro). Longitudine: Questa seconda coordinata è invece data dall angolo ϕ. In questo caso, visto che la latitudine descrive delle posizioni parallele alla rotazione della Terra, un origine non è definita per natura. Si è quindi definito il meridiano primario come la semicirconferenza che congiunge i due poli e passante per la città di Greenwich, vicina a Londra. Segue dunque che un meridiano è definito come ogni semicirconferenza, che congiunge i due poli, avente longitudine costante. Si hanno i seguenti casi: ϕ E se < ϕ < 8 long. = 36 ϕ O se 8 < ϕ < 36 se ϕ = o ϕ = 36 8 se ϕ = 8. (4.3) Quota: La terza coordinata è la quota h, che dipende dalla coordinata r delle coordinate pseudo-sferiche e dal raggio terrestre r T. Quest ultimo non è costante, ma dipende dalla latitudine. La relazione che permette di calcolare il raggio terrestre in funzione di θ è (vedi [7]) (a r T (θ) = 2 cos(θ)) 2 + (b 2 sin(θ)) 2 (4.4) (a cos(θ)) 2 + (b sin(θ)) 2

31 25 Capitolo 4. Sistemi di riferimento e sistemi di coordinate dove a = 6, m è il raggio equatoriale, o semi-asse maggiore, e b = 6, m è il raggio polare, o semi-asse minore. Abbiamo dunque che la quota è data da h = r r T m (4.5) dove chiaramente i metri sono riferiti rispetto al livello del mare. In particolare, se r > r T, si adopera l unità di misura metri sopra il livello del mare, indicata con m s / m. Dai gradi decimali ai gradi sessagesimali Rimane ancora da dire che solitamente la notazione delle coordinate terrestri prevede l uso di gradi sessagesimali, formati da gradi, minuti, secondi e decimi, come nell esempio seguente: ,2 N. Per convertire l ampiezza di un angolo da gradi decimali a gradi sessagesimali, si procede come segue: La parte intera dell angolo rimane invariata; Per trovare i minuti si moltiplica la parte decimale per 6 ( 6 ). La parte intera del numero ottenuto rappresenta i minuti; Si moltiplica ancora per 6 la parte decimale del risultato precedente. La parte intera del risultato rappresenta i secondi, mentre la parte decimale rappresenta i decimi. L espressione matematica per quanto detto è x (x x ) 6 [((x x ) 6 (x x ) 6 ) 6] (4.6) dove x è l ampiezza dell angolo in gradi decimali e x è il floor di x, ossia la sua parte intera, poiché x > 3. Per esempio, applicando questa formula all angolo di ampiezza 54,4453 otteniamo il valore corrispondente in gradi sessagesimali , Trasformazione in coordinate cartesiane Può essere utile discutere brevemente il procedimento inverso che permette di ricavare le coordinate cartesiane a partire dalle coordinate terrestri. 3 In generale x è il più grande numero intero minore o uguale a x.

32 4.2. Sistemi di coordinate 26 Dalle coordinate terrestri alle coordinate pseudo-sferiche Per questo primo passo è sufficiente invertire le condizioni. Abbiamo: lat. se Verso = N θ = lat. se Verso = S. (4.7) se lat. = long. se Verso = E 36 long. se Verso = O ϕ = se long. = (4.8) 8 se long. = 8 dove r T dipende sempre da θ. r = r T + h (4.9) Dalle coordinate pseudo-sferiche alle coordinate cartesiane Questo procedimento è invece leggermente più complesso, riguardiamo la figura 4.. Iniziamo dalla coordinata x. Vediamo che dobbiamo conoscere il cateto adiacente all angolo θ del triangolo POP, grazie al quale, usando l angolo ϕ, è possibile ricavare il valore di x. Otteniamo x = r cos(θ) cos(ϕ). Analogamente, la coordinata y è data da Infine, la coordinata z è data da y = r cos(θ) cos(9 ϕ) = r cos(θ) sin(ϕ). z = r cos(9 θ) = r sin(θ). La trasformazione inversa è dunque la seguente: (r; ϕ; θ) (r cos(θ) cos(ϕ); r cos(θ) sin(ϕ); r sin(θ)). (4.) Dai gradi sessagesimali ai gradi decimali Vediamo infine la trasformazione inversa per quanto riguarda i gradi sessagesimali. In questo caso conviene scrivere direttamente l espressione matematica, poiché è facilmente comprensibile. Si ha gradi + 6 (minuti + secondi). (4.) 6 Come verifica, convertiamo di nuovo in gradi decimali l angolo ,8. Si verifica facilmente che si ottiene 54,4453 come ci si aspetta.

33 27 Capitolo 4. Sistemi di riferimento e sistemi di coordinate Esempio numerico Per verificare le relazioni ottenute, inventiamo una possibile situazione alla quale può essere applicata la trilaterazione, prendendo il caso euclideo trattato nell appendice A. Dati del problema: Consideriamo tre satelliti posti esattamente sopra luoghi indicati nella seguente tabella, alla quota di 22 km: Satellite Luogo Coordinate SV Zurigo N 8 32 E = 47,39 N 8,54 E SV 2 Parigi 48 5 N 2 27 E = 48,86 N 2,29 E SV 3 Berlino 52 3 N 3 22 E = 52,52 N 3,38 E Supponiamo inoltre che la ricevente che consideriamo si trovi a Francoforte, data dalle coordinate 5 6 N 8 4 E = 5, N 8,68 E ad una quota di 8 m s / m. Il nostro obiettivo è quello di ritrovare queste coordinate dopo aver applicato la trilaterazione con il resto dei dati che abbiamo a disposizione. La situazione è illustrata nella figura 4.2. Poiché in questo esempio non consideriamo la dimensione temporale, va da se che viene ignorato qualsiasi effetto relativistico o di simultaneità. SV 3 SV 2 SV h ρ 3 h ρ 2 ρ h Berlino Parigi Francoforte Zurigo Figura 4.2: Rappresentazione qualitativa dell esempio considerato. Le distanze ρ i, i {,2,3} si ottengono calcolando la norma del vettore che collega Francoforte con i rispettivi satelliti. Per fare questo dobbiamo però chiaramente convertire le coordinate terrestri in coordinate cartesiane.

34 4.2. Sistemi di coordinate 28 Conversione delle coordinate e applicazione della trilaterazione: Le coordinate cartesiane (in metri) delle posizioni dei tre satelliti sono Satellite Coordinate cartesiane (x; y; z) SV (,778 7 ; 2,67 6 ;,955 7 ) SV 2 (,746 7 ; 6,989 5 ; 2, 7 ) SV 3 (,572 7 ; 3,738 6 ; 2,7 7 ) Abbiamo quindi che le distanze ρ i sono. ρ ρ 2 ρ 3 2,9 7 m 2,2 7 m 2,2 7 m. Inserendo questi dati nell algoritmo della trilaterazione (vedi appendice A.2) otteniamo il punto dato dalle coordinate (in metri) in coordinate terrestri, questo equivale a ossia come ci si aspettava. (4,39 6 ; 6,67 5 ; 4,889 6 ). 5, N 8,68 E 8 m s / m. 5 6 N 8 4 E 8 m s / m

35 Capitolo 5 Relatività speciale: simultaneità e dilatazione del tempo In questo capitolo studiamo le due principali correzioni riguardanti il sistema GPS che rientrano sotto l ambito della relatività speciale: quello della simultaneità e quello della dilatazione del tempo. Come prima cosa vediamo le basi teoriche della relatività speciale di Einstein, ossia la teoria relativistica che non tiene conto degli effetti del campo gravitazionale sullo spazio-tempo. 5. Alcuni concetti di base della relatività speciale Iniziamo citando i due postulati della relatività speciale: Assioma Vale un principio di relatività per tutta la fisica. Assioma 2 La luce, nel vuoto, si muove in linea retta con una velocità indipendente dalla direzione e dalla frequenza e ha lo stesso valore c = 2, m in tutti i sistemi di s riferimento inerziali. Il significato del primo assioma è chiaro e traduce il principio di oggettività della fisica. Sul secondo assioma vogliamo invece soffermarci brevemente. Infatti il significato del fatto che la velocità della luce c è identica relativamente ad ogni sistema di riferimento inerziale nasconde alcune caratteristiche fondamentali di questa teoria, ossia : Noteremo ( ) le variabili rispetto al sistema di riferimento R e ( ) quelle rispetto a R. 29

36 5.. Alcuni concetti di base della relatività speciale 3 La simultaneità non è più un concetto assoluto Due eventi che sono simultanei relativamente a un sistema di riferimento R non lo saranno relativamente a un altro sistema di riferimento R in movimento rispetto a R. Il tempo si dilata apparentemente Consideriamo un orologio immobile in R. L intervallo di tempo tra due tic successivi dello stesso orologio 2 in R, sarà minore di quello misurato in R, rispetto al quale l orologio è in moto. Constatiamo quindi che l intervallo di tempo appare più lungo in R che in R. Si dimostra che: dove γ è il fattore di Lorentz, γ = β 2, β = u c R rispetto a R. t = γ t > t (5.), con u = u la velocità di Le lunghezze si contraggono apparentemente Consideriamo due satelliti immobili in R. La distanza tra di essi misurata allo stesso istante in R, sarà maggiore di quella misurata allo stesso istante 3 nel referenziale R (per esempio la Terra), rispetto al quale i satelliti sono in moto. Constatiamo quindi che la distanza appare più corta in R che in R. Si dimostra che: L = γ L < L. (5.2) Per trasformate le coordinate di un evento da un sistema di riferimento inerziale ad un altro, si applicano le trasformazione di Lorentz 4 al tetravettore spazio-tempo dove x = ct. Si dimostra che x x x 2 x 3 x = (x,x,x 2,x 3 ) = β 2(x βx ) β 2(x βx ) x 2 x 3. (5.3) 2 Che avvengono quindi nello stesso luogo. 3 Gli eventi che definiscono la misura in R e R sono diversi, poiché la simultaneità non è un concetto assoluto. 4 Prendiamo il caso senza rotazione, nella direzione.

37 3 Capitolo 5. Relatività speciale: simultaneità e dilatazione del tempo Vi sono ancora due importanti relazioni: L intervallo spazio-temporale tra due eventi, dato da s 2 = c 2 ( t) 2 + ( x ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2. (5.4) L aspetto importante legato a questa grandezza è il suo carattere invariante, ossia s 2 = s 2. Inoltre, se due eventi sono collegati da un raggio di luce, questo intervallo è nullo. Sia O in moto di velocità v rispetto a R, il quale è a sua volta possiede una velocità u rispetto a R lungo la direzione. La composizione delle velocità relativistica è data da v v 2 v 3 = + u c 2 v (v + u) + u c 2(v 2 β2 ) 2 v + u c 3(v 3 β2 ) 2 v. (5.5) 5.2 Simultaneità, effetto Sagnac e sincronizzazione degli orologi Il secondo assioma della relatività speciale fissa una velocità limite per la propagazione delle informazioni, ossia la velocità della luce. Inoltre, questa si propaga in linea retta e con la stessa velocità c rispetto a qualsiasi sistema di riferimento inerziale. Come visto, segue dunque che la simultaneità non è più un concetto assoluto esteso a tutti i sistemi di riferimento inerziali, e tanto meno a quelli accelerati. In questo sottocapitolo inizieremo ad evidenziare l importanza della simultaneità, considerando la dimensione spaziale. Vedremo in seguito come correggere le equazioni di propagazione dei segnali per compensare l effetto della simultaneità, e noteremo che apparirà anche un termine che tiene conto della rotazione terrestre. Quest ultimo effetto è detto effetto Sagnac 5. Lo scopo finale è quello di compensare l effetto della simultaneità nella determinazione della posizione e soprattutto quello di ottenere, nella ricevente, un orologio che possiede una precisione come quelli atomici nei satelliti. 5 Il dispositivo Sagnac, con il quale venne per primo osservato questo effetto, viene trattato nell appendice B.

38 5.2. Simultaneità, effetto Sagnac e sincronizzazione degli orologi L importanza della simultaneità, un esempio: GPS Toy Model In questo primo esempio vogliamo discutere il modello illustrato nella figura 5.. u R u A B h R R Figura 5.: Un toy-model a due dimensioni. Consideriamo quindi due satelliti A e B che possiedono un moto rettilineo uniforme u rispetto ad una ricevente R. Siano, rispettivamente, R e R i sistemi di riferimento di riposo della ricevente e dei satelliti. A e B inviano ora simultaneamente, rispetto a R, due raggi di luce, i quali, sempre rispetto a questo sistema di riferimento, si incontreranno nel punto medio tra i satelliti in un successivo instante di tempo. In R, all istante di emissione, R si trova nel punto medio tra i due satelliti. Dato il moto dei satelliti rispetto alla ricevente, vista la struttura delle trasformazioni di Lorentz, ci aspettiamo che il punto di incontro dei segnali in R non coincida con la posizione della ricevente, come mostrato, nel caso di una sola dimensione spaziale, nel diagramma dello spazio-tempo di Minkowski raffigurato nella figura 5.2. ct ct t R R t B t A t A = t B t R A M x B B x x R = x M x A x A x M x R x B x Figura 5.2: Diagramma dello spazio-tempo di Minkowski che mostra una rappresentazione unidimensionale della figura 5.. Gli eventi A e B rappresentano l invio dei segnali da parte dei satelliti, R la ricezione da parte della ricevente.

39 33 Capitolo 5. Relatività speciale: simultaneità e dilatazione del tempo Vediamo dunque che in R si ha x R = x M mentre in R si ha x R = x M + α. Vogliamo derivare questa correzione spaziale α usando le trasformazioni di Lorentz, prima in una sola dimensione spaziale (come nel diagramma 5.2) e poi estendendo il caso al modello bidimensionale illustrato nella figura 5.. Modello a una dimensione Cominciamo a trovare il punto x M. In R abbiamo x M = 2 (x A + x B ). Usando le trasformazioni di Lorentz possiamo scrivere l equazione precedente in funzione di x A e x B. Otteniamo x M = 2 (γ(x A + βct A ) + γ(x B + βct B )) = γ 2 (x A + x B + u(t A + t B )) (5.6) Poiché rispetto a R A e B sono simultanei, si ha x R = 2 (x A + x B ) e L equazione (5.6) diventa dunque t A = t B. Per quanto riguarda x R, abbiamo che Usando che s 2 AR =, possiamo scrivere x M = γ(x R + ut A ) (5.7) x R = γ(x R + ut R ). (5.8) per cui l equazione (5.8) diventa t R = t A + x R x A. c x R = γ (x R + ut A + β(x R x A )). (5.9) Confrontando ora le equazioni (5.7) e (5.9) otteniamo x R = x M + 2 γβ(x B x A ). (5.) da cui possiamo concludere che la correzione spaziale unidimensionale vale α D = 2 γβ(x B x A).

40 5.2. Simultaneità, effetto Sagnac e sincronizzazione degli orologi 34 Modello a due dimensioni Vogliamo ora estendere il modello precedente a due dimensioni spaziali, considerando una quota h a cui si trovano i satelliti (vedi figura 5.). È sufficiente ricalcolare, rispetto a R, il tempo t R necessario al segnale per raggiungere la ricevente. Utilizzando ancora una volta s 2 AR = abbiamo che ( ) 2 ( ) 2 c 2 (t R t A )2 = x R x A + y R y A } {{ } } {{ } [ 2 (x B x A )]2 h 2 da cui t R = t A + h 2 + [ 2 (x B x A )] 2 c Partendo da (5.8) otteniamo dunque x R = γ(x R + ut R) = γ (x R + ut A + 2 ) 4h β 2 + (x B x A )2. (5.) L equazione (5.7), ossia x M = γ(x R + ut A ), rimane invece valida, per cui confrontando le due equazioni si ottiene x R = x M + 4h 2 γβ 2 + (x B x A )2 (5.2) Possiamo quindi concludere che la correzione spaziale bidimensionale vale α 2D = 4h 2 γβ 2 + (x B x A )2.

41 35 Capitolo 5. Relatività speciale: simultaneità e dilatazione del tempo Conclusioni numeriche del Toy Model Consideriamo i dati indicati nella figura 5.3, che indica la situazione all istante di emissione dei segnali. u = 3,9 km s R u = 3,9 km s x A = km x B = km h = 22 km x R R Figura 5.3: Dati numerici per il toy-model. Usando ora le due varianti delle formule trovate per i rispettivi modelli (D e 2D) delle sezioni precedenti, possiamo calcolare la posizione di una persona che si trova tra i satelliti usando unicamente le posizioni di questi ultimi (infatti i satelliti conoscono la loro posizione). Ammettiamo inoltre che i satelliti inviino i loro segnali al tempo t = t =. Possiamo ora inserire i dati indicati nella figura 5.3 nell equazione (5.). 6 Otteniamo quindi che x R = 5,7 km mentre x M = 5 km. Otteniamo quindi una correzione di 7 m. Considerando invece il modello a due dimensioni, usando l equazione (5.2), otteniamo x R = 5,263 km che corrisponde ad una correzione di 263 m. Possiamo dunque concludere che è necessario considerare la simultaneità per ottenere una posizione accurata. 6 Possiamo ignorare la contrazione delle lunghezze poiché, con u = 3,9 km s, γ.

42 5.2. Simultaneità, effetto Sagnac e sincronizzazione degli orologi Dalla simultaneità all effetto Sagnac Vogliamo ora studiare una situazione particolare, raffigurata nella figura 5.4, che ci permetterà di derivare, a partire dalle caratteristiche della simultaneità, l effetto Sagnac. R v y v u v x dx x x + dx dx R x Figura 5.4: Un osservatore O in R vuole sincronizzare due orologi posti ad una distanza dx con un segnale che si propaga con velocità v = (v x; v y). O è in moto con velocità u = u x rispetto ad un altro osservatore O, fermo in R. Si considera u c in modo che non via sia contrazione delle lunghezze, per cui dx = dx. Lo scopo è quello di analizzare il tempo di propagazione del segnale nel sistema di riferimento R. Dalla composizione delle velocità relativistica 7 sappiamo che v x = (v + v xu x + u). (5.3) c 2 Ora, se, rispetto a R, O copre una distanza udt nell intervallo di tempo dt, allora la distanza percorsa dal segnale lungo l asse x è data da v x dt. Quest ultima è formata dalla distanza dx più la distanza udt, necessaria per raggiungere la retta y = x + dx. Si ottiene dunque Poiché u c, da (5.3) possiamo scrivere v x dt = dx + udt dt = dx v x u. (5.4) v x u = v x v xu 2 c 2 + v x u v x c 2 + v x u 7 Nel caso classico si avrebbe semplicemente che v x = v x +u. Vediamo dunque che il termine + v x u c 2 appare come conseguenza del secondo assioma relativistico, che implica la relatività della simultaneità. c 2

43 37 Capitolo 5. Relatività speciale: simultaneità e dilatazione del tempo da cui, sostituendo in (5.4), si ottiene dt = dx v x + udx c 2 = dx v x + udx c 2. (5.5) Vediamo che il primo termine è semplicemente il tempo impiegato in R dal segnale per percorrere la distanza dx. Il secondo termine è invece il tempo aggiuntivo necessario per sincronizzare gli orologi in R. È importante sottolineare che in questo secondo termine, il valore v x si è potuto semplificare, per cui la velocità di propagazione del segnale è irrilevante. Questa correzione deriva dall effetto Sagnac (chiaramente in questo caso si tratta di un caso particolare, unidimensionale). Vediamo dunque che siamo riusciti a ricavare, a partire dal termine che caratterizza la relatività della simultaneità (presente nell equazione della composizione della velocità relativistica), una correzione necessaria per sincronizzare degli orologi tra sistemi di riferimento inerziali, in moto tra di loro Effetto Sagnac nel GPS Approfondiamo ora il discorso nel caso del GPS. Abbiamo accennato nel capitolo precedente che la sincronizzazione avviene nel sistema di riferimento ECI, poiché esso è localmente inerziale. Lavoriamo dunque rispetto a questo sistema di riferimento. Consideriamo l invio, da parte di un satellite, e la ricezione, da parte di una ricevente, di un segnale GPS, come illustrato nella figura r R (t S ) r S (t S ) r R + v t(t R ) v = v T + v R v T ECI Figura 5.5: Propagazione di un segnale rispetto al sistema di riferimento ECI. Sia dunque un segnale inviato all ora GPS (definita rispetto ai satelliti 9 ) t S, al quale 8 Per questa discussione, ignoriamo il rallentamento dei segnali nell atmosfera terrestre come pure la curvatura della traiettoria da parte del campo gravitazionale. 9 Quando il sistema è entrato in funzione, l ora GPS corrispondeva all ora UTC. La differenza tra i due nasce dal fatto che l ora UTC deve essere corretta per via della rotazione terrestre con dei leap seconds.

44 5.2. Simultaneità, effetto Sagnac e sincronizzazione degli orologi 38 istante la posizione del satellite è data da r S. Allo stesso istante t S, la posizione della ricevente è data da r R. Sia successivamente t R l istante di ricezione del segnale da parte della ricevente, la quale, nel frattempo, si è spostata di v t, con v la velocità della ricevente (sempre rispetto al sistema di riferimento ECI) e t = t R t S. Poiché il segnale si propaga con velocità c, dall invarianza della velocità della luce segue che s 2 = c 2 ( t) 2 + x 2 = c 2 ( t) 2 = r R r S + v t 2. Ponendo r = r R r S ed espandendo in ordine lineare in v, si ottiene c 2 ( t) 2 = r + v t 2 r t v r. Estraendo la radice da entrambi i lati e espandendo ancora in ordine lineare in v si ottiene c t = r t v r r 2 +2 t v r 2 t = r + ( v r). r 2 r Risolvendo ora per t si ottiene Considerando la funzione t = r c + v r c 2 f : R N R M x f( x) l approssimazione lineare è data da f( x + h) f( x) + f ( x) h h x dove f ( x) è la matrice f x... fm x f = f x N... fm x N Se N = 3 e M =, f è il gradiente di f: f =. Nel nostro caso f : R 3 R x x 2 = x 2 + x2 2 + x2 3 si ha da cui 2x f( x) = 2x 2 = 2 x 2x 3 f( x + h) f( x) + 2 x h. (5.6)

45 39 Capitolo 5. Relatività speciale: simultaneità e dilatazione del tempo poiché t. r c Vediamo che abbiamo nuovamente ottenuto una struttura simile a quella dell equazione (5.5): la prima componente indica semplicemente il tempo impiegato dal segnale per percorrere la distanza r, mentre la correzione dovuta all effetto Sagnac è data dal secondo termine: v r t Sagnac = (5.7) c 2 Ora, se la ricevente è ferma sulla Terra, si può utilizzare la relazione della velocità per il moto circolare uniforme, ossia v = ω T r R (5.8) dove r R indica il vettore che collega il centro della Terra con la ricevente. Questa relazione può essere dimostrata facilmente: si ha v = d l dt = d θ r R dt = d θ dt r R = ω T r R Sostituendo ora (5.8) nella seconda parte dell equazione (5.7) si ottiene t Sagnac = ( ω T r R ) r c 2. Utilizzando la proprietà del prodotto misto ( a b) c = a ( b c) si ottiene t Sagnac = ω T ( r R r) = 2 ( ) c 2 c 2 ω T 2 r R r. (5.9) Il termine 2 r R r può essere visto come un area vettore 2. Otteniamo dunque. t Sagnac = 2 c 2 ω T A = 2 c 2ω TA z (5.2) dove 2 ω c 2 T =,665 6 ns è una costante. km 2 Vediamo dal prodotto scalare che solo la componente parallela a ω T dell area vettore A contribuisce all effetto Sagnac, questa componente rappresenta la proiezione sul piano equatoriale dell area A 3. Questo è raffigurato nella figura 5.6. Quest approssimazione è spesso possibile farla: all equatore, la velocità tangenziale è di 669,79 km h, per cui ad esempio la velocità di un automobile è irrilevante. 2 L area di un triangolo è data da 2 AB AC. 3 Infatti A esce dal triangolo ORS.

46 5.2. Simultaneità, effetto Sagnac e sincronizzazione degli orologi 4 S r R r S A A A z r R O ω T ECI Figura 5.6: Un esempio qualitativo di area vettore associato a un triangolo, assieme alla sua proiezione sul piano equatoriale. Possiamo dunque concludere che l effetto Sagnac nasce dal moto della ricevente durante la propagazione del segnale, e varia a dipendenza della posizione del satellite e della ricevente Discussione e applicazione della correzione Come vedremo successivamente, la ricevente è in grado di determinare il tempo di percorrenza di un segnale in modo indipendente dalla propria posizione. L effetto Sagnac pare dunque essere irrilevante. Infatti la relazione della propagazione del segnale c 2 (t R t Sj ) 2 = r R r Sj 2 j =,2,3,4 (5.2) tiene conto dell istante di tempo e della posizione della ricevente alla ricezione del segnale, per cui l effetto Sagnac è indirettamente già stato considerato. Vi sono però due problemi: Le equazioni (5.2) sono solo valide nel sistema di riferimento ECI, poiché si basano sulla costanza della velocità della luce, valevole solo in sistemi di riferimento inerziali; I quattro segnali non giungono alla ricevente simultaneamente. Il primo punto implica che la determinazione del tetravettore x = (ct, x) della ricevente deve avvenire nel sistema di riferimento ECI, e in seguito ruotato in quello ECEF. Il secondo punto implica invece il fatto di considerare la simultaneità, e dunque l effetto Sagnac. Il problema è infatti che 4 il tempo di propagazione del segnale varia a dipendenza della posizione del satellite, vedi figura Ricordiamo che ammettiamo che la velocità di propagazione del segnale rimanga costante durante il suo tragitto.

47 4 Capitolo 5. Relatività speciale: simultaneità e dilatazione del tempo 2657 km km 22 km 637 km Figura 5.7: Distanze di propagazione massime e minime per un una posizione data di una ricevente. Usando c = 3 km si ottiene infatti t s max = 85,9 ms e t min = 67,3 ms. Vediamo dunque che la ricezione dell ultimo segnale può avvenire fin a 8,6 ms dopo la ricezione del primo, nel quale intervallo di tempo la Terra ruota di approssimativamente un microradiante. In questo intervallo di tempo un satellite si è già spostato di più di 3 m rispetto ad una ricevente ferma nel sistema di riferimento ECEF e di più di 6 m nel sistema di riferimento ECI 5. Ciò provoca errori non trascurabili se le posizioni dei satelliti non vengono adeguatamente corrette quando si risolve il sistema delle equazioni di propagazione dei segnali. Abbiamo dunque identificato dove interviene la simultaneità nel GPS, vediamo ora di correggere adeguatamente le equazioni di propagazione (5.2). Come detto precedentemente, le equazioni (5.2) non sono applicabili nel sistema di riferimento ECEF 6. La ricevente deve dunque ruotare la posizione dei satelliti in un sistema di riferimento ECI scelto. Per il procedimento successivo consideriamo dunque un sistema di riferimento ECI che corrisponde a quello ECEF all istante della ricezione del primo segnale, notato t. L intervallo di tempo tra la ricezione di questo segnale e ogni segnale successivo è dato da 7 t j = t j t j =,2,3,4. (5.22) 5 Abbiamo v S 3,9 km s. 6 È rispetto a questo sistema di riferimento che sono dati tutti i parametri di navigazione, includendo dunque la posizione dei satelliti. 7 Consideriamo solo quattro satelliti poiché rappresentano il numero minimo per determinare la posizione e sincronizzare l orologio. Le relazioni sono comunque le stesse per n satelliti, è sufficiente prendere j =,2,...,n,n.

48 5.2. Simultaneità, effetto Sagnac e sincronizzazione degli orologi 42 Poiché durante un intervallo di tempo t j il sistema di riferimento ECEF ruota di ω T t j rispetto a quello ECI, è necessario ruotare la posizione r Sj di ciascun satellite 8 di ω T t j affinché questa possa essere espressa nel sistema di riferimento ECI, dove è espresso r S. Otteniamo dunque che Le equazioni (5.2) diventano dunque r Sj (ECI) = r Sj (ECEF) + ω T r Sj (ECEF) t j. (5.23) c 2 (t R t Sj t j ) 2 = r R r Sj (ECEF) ω T r Sj (ECEF) t j 2. (5.24) Ponendo t = t R t Sj e r j = r R r Sj (ECEF) si ottiene c 2 ( t t j ) 2 = r j ω T r Sj (ECEF) t j 2. (5.25) Ricordiamo infatti che lo scopo è quello di calcolare la posizione della ricevente quando riceve il primo segnale, ossia r R, per cui gli intervalli di tempo per i segnali verranno corretti sottraendo t j. Una volta trovata da posizione r R dalle equazioni (5.25), occorre ruotare il risultato nel sistema di riferimento ECEF. Infatti, dal momento in cui è stato ricevuto il primo segnale 9 al momento in cui è stato ricevuto il quarto, il sistema di riferimento ECEF è ruotato di ω T t 4. La posizione della ricevente all istante dell invio del primo segnale è dunque r R (ECEF) = r R ω T r R t 4 (5.26) dove, ricordiamo che all istante di ricezione del primo segnale, r R coincide nei due sistemi di riferimento. Si evita in questo modo un errore che può raggiungere gli 8,6 m (infatti t 4 8,6 ms, r T 6,3 3 km, ω T = 2π rad ). 24 h Il tetravettore x = (ct, r R ) contiene dunque tempo e posizione corrispondenti all istante quando il primo segnale è giunto alla ricevente: siamo riusciti ad annullare qualsiasi effetto dovuto alla rotazione della Terra, l orologio è ora sincronizzato come se fosse un orologio atomico. Per confrontare la correzione t Sagnac con quelle ottenute nelle sezioni precedenti, possiamo risolvere approssimativamente (5.25) rispetto a t. Abbiamo c 2 ( t t j ) 2 = r j ω T r Sj (ECEF) t j 2 r j 2 2 ω T r Sj (ECEF) r j t j c( t t j ) r j ω T r Sj (ECEF) r j t j r j t = t j + r j c ω T r Sj (ECEF) r j t j. (5.27) c r j 8 Possiamo considerare i segnali come degli impulsi, per cui la velocità del satellite è irrilevante (per questa discussione). 9 L istante di ricezione del primo segnale è stato preso come tempo di riferimento per il calcolo della posizione.

49 43 Capitolo 5. Relatività speciale: simultaneità e dilatazione del tempo L ultimo termine dell equazione (5.27) rappresenta la correzione dovuta all effetto Sagnac. Usando t j = t j t r j r e scambiando i termini del prodotto c c misto, la correzione diventa t Sagnac = ( ω ( T r Sj (ECEF)) r j rj r ) = c r j c c = ω ( T ( r Sj (ECEF) r j ) r ). (5.28) c 2 r j In quest ultima sezione abbiamo considerato e corretto il moto dei satelliti, per cui l equazione (5.28) non corrisponde all equazione (5.9) ricavata nella sezione precedente, dove abbiamo invece corretto il moto della ricevente. Si può comunque osservare che la struttura è simile Conclusioni Il risultato più interessante e importante di questo sottocapitolo è sicuramente il procedimento per sincronizzare l orologio della ricevente. Con lo stesso procedimento siamo pure riusciti ad aumentare la precisione della posizione ottenuta. Rimane comunque da ricordare che il caso sviluppato è molto semplificato. Infatti, come vedremo successivamente, il segnale non percorre una linea retta per giungere alla ricevente, ma la sua traiettoria viene curvata per via del campo gravitazionale terrestre. Inoltre, la velocità di propagazione non è costante, ma diminuisce con l attraversamento dell atmosfera. Chiaramente vi è anche il fatto che in alcuni casi (come nel settore dell aviazione) la velocità della ricevente non è più completamente trascurabile comparata a quella dovuta alla rotazione terrestre. Tutti questi fattori, assieme ad altri ancora, sono responsabili degli elevati prezzi di alcune riceventi GPS, da ricondurre infatti ai complessi algoritmi che hanno richiesto anni di lavoro per essere sviluppati. 5.3 Dilatazione del tempo Il secondo effetto che vogliamo correggere in questo capitolo è la dilatazione del tempo. Abbiamo visto che in un sistema di riferimento rispetto al quale l orologio è fermo, un intervallo di tempo tra due eventi appare essere più breve rispetto a quello misurato in un altro sistema di riferimento, rispetto al quale l orologio è in moto. Considerando ora il caso del GPS, se ci poniamo rispetto ad un orologio fermo sulla Terra, abbiamo che il tempo passa più velocemente rispetto a quello scandito dagli orologi dei satelliti, in moto. Questo chiaramente è un effetto indesiderato, per cui deve essere compensato. Da (5.), considerando i tassi di emissione e di ricezione dei segnali, otteniamo = t r γ t e

50 5.3. Dilatazione del tempo 44 dove t e è il tasso di emissione nel sistema di riferimento dei satelliti e t r quello di ricezione rispetto alla Terra. Quindi, per fare in modo che gli orologi atomici dei satelliti mantengano l ora corretta rispetto alla superficie terrestre, il tasso di emissione deve essere rallentato di un fattore γ. Ora, poiché con v s 3,9 km s otteniamo e quindi si ha v2 s =,7, approssimando in ordine lineare c 2 v2 s c = vs c 2 ( = ) vs 2. t r 2 c 2 t e Dato che però ci interessa correggere t e, per espansione lineare otteniamo ( = + ) vs 2. t e 2 c 2 t r Vediamo quindi che, per far si che gli orologi dei satelliti tengano il tempo con la superficie terrestre, la correzione frazionale del tasso di emissione per la dilatazione del tempo vale vs 2 2 c 8, (5.29) Correzione della frequenza di base Consideriamo la frequenza dell orologio atomico di un satellite, dalla quale vengono sintetizzate tutte le altre frequenze necessarie. Sappiamo che, rispetto alla Terra, questa deve essere equivalente a t r =,23 MHz. Dunque, rispetto ai satelliti, essa deve essere leggermente maggiore. Applicando la correzione frazionale appena trovata otteniamo che t e =,23 ( + 8,332 ) MHz =, MHz. In questo modo viene corretto l effetto della dilatazione del tempo. Sull arco di 24 h ciò significa che gli orologi atomici dei satelliti devono accelerare di 7,99 µs. Questo piccolo intervallo di tempo provocherebbe infatti un errore di 258,6 m!

51 Capitolo 6 Relatività generale: gli effetti del campo gravitazionale In questo capitolo trattiamo un ulteriore effetto relativistico, per cui ci addentriamo ancora una volta nella teoria relativistica di Einstein, questa volta però consideriamo quella generale, con l obbiettivo di scoprire quali sono gli effetti del campo gravitazionale che dobbiamo considerare per il GPS. Anche qui vogliamo prima capire i concetti che stanno alla base della teoria gravitazionale relativistica di Einstein per poi trattare in modo approfondito gli aspetti che ci interessano per il GPS. 6. Alcuni concetti di base della relatività generale Come abbiamo detto prima, la relatività generale è una teoria relativistica della gravità. Può essere interessante notare il motivo per cui la teoria gravitazionale di Newton, usata per quasi 3 anni, non può più essere considerata esatta e compatibile con la relatività ristretta. Il motivo lo si trova già semplicemente nella formula newtoniana che esprime l intensità della forza gravitazionale tra due masse m e m 2 allo stesso istante. La formula è data da Gm m 2 F,2 = (6.) r (t) r 2 (t) 2 dove r (t) e r 2 (t) sono i vettori posizione delle due masse al tempo t. Il problema sta esattamente nel fatto che i due vettori posizione devono essere simultanei, ma la simultaneità non è più un concetto assoluto, per cui la teoria di Newton non può più essere considerata esatta. Nella teoria gravitazionale di Einstein, la gravità non è più vista come una forza a distanza istantanea, ma come una proprietà che curva lo spazio-tempo. In particolare, si può dire che la gravità è una proprietà geometrica dello spazio-tempo associata alla sua curvatura. Questa geometria chiaramente non è più euclidea, per il motivo che una retta non è più diritta, come siamo abituati a vederla. Infatti queste pseudo-rette, chiamate geodetiche, sono curve proprio per via 45

52 6.. Alcuni concetti di base della relatività generale 46 della gravità: è questa a determinare la deviazione delle geodetiche. Chiaramente la curvatura dello spazio-tempo vicino ad un campo gravitazionale, come quello terrestre, influenza sia le misure spaziali che temporali. Prima di studiare in dettaglio gli effetti della gravità, vediamo i principi su cui si basta la teoria relativistica della gravità di Einstein. Principio di oggettività Tutti i tipi di sistemi di coordinate sono equivalenti per descrivere gli eventi. Da questo principio segue che tutti i sistemi di riferimento sono equivalenti per descrivere la Natura. Quindi, rispetto alla relatività speciale, nella quale vi erano una classe di sistemi di riferimento privilegiati per descrivere gli eventi, ossia quelli inerziali, la relatività generale rappresenta un estensione, includendo anche quelli non inerziali. Va comunque specificato che, poiché la relatività generale è legata alla geometria dello spazio-tempo, si parla piuttosto di sistemi di coordinate che di sistemi di riferimento, come enunciato dal principio. Principio di covarianza Le equazioni che descrivono i fenomeni fisici hanno la stessa forma in qualsiasi sistema di coordinate. Semplicemente, ogni fenomeno fisico può essere descritto nello stesso modo da qualsiasi sistema di coordinate. Principio di equivalenza debole La massa inerziale è equivalente alla massa gravitazionale. In altre parole, tutti i corpi in caduta libera subiscono la stessa accelerazione, vedi figura 6.. Si deve però precisare che, poiché il campo gravitazionale può essere non uniforme, l accelerazione subito da un corpo in caduta libera può variare. In altre parole, si ha che l accelerazione è solo localmente costante, per cui il principio viene riformulato nel seguente modo: Le leggi della caduta dei corpi sono localmente uguali in un sistema di riferimento inerziale sottoposto ad un campo gravitazionale e in un sistema di riferimento accelerato, senza gravità. Questa riformulazione è molto interessante poiché ci permette sempre di trovare un sistema di riferimento inerziale locale 2 nel quale si possono eliminare gli effetti della gravità, per cui il moto del corpo osservato è rettilineo e uniforme rispetto Quindi le leggi della meccanica. 2 Questi sistemi di riferimento, uniformemente accelerati, sono quelli in caduta libera in un campo gravitazionale.

53 47 Capitolo 6. Relatività generale: gli effetti del campo gravitazionale a = g A A g B B (a) (b) Figura 6.: (a) Un razzo si trova sulla superficie terrestre, sottoposta ad una gravità pari a g. L osservatore A fa cadere una palla di cannone e una foglia. Entrambi gli oggetti subiscono la stessa accelerazione ed arrivano contemporaneamente all osservatore B (si ignora l attrito). (b) Il razzo si trova ora nello spazio, accelerato uniformemente di a. Anche in questo caso entrambe gli oggetti arrivano all osservatore B contemporaneamente. Gli osservatori all interno del razzo non riescono a distinguere una situazione dall altra: in entrambi i casi gli oggetti cadono con la medesima accelerazione. Ciò dimostra che la massa gravitazionale è uguale a quella inerziale. a questo sistema di riferimento. Possiamo quindi usare la relatività speciale per descrivere la meccanica rispetto a questo sistema di riferimento, fatto che ci permette di semplificare i ragionamenti. Principio di equivalenza forte In un sistema di riferimento inerziale locale, tutte le leggi della Natura sono localmente identiche a quelle della relatività speciale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale senza gravità. Questo principio riprende le conclusioni del principio di equivalenza debole, ossia che tutte le leggi della meccanica sono localmente identiche in un referenziale inerziale sottoposto ad un capo gravitazionale ed in un sistema di riferimento uniformemente accelerato, senza gravità, estendendolo a tutte le leggi della Natura. Possiamo ora sfruttare il principio di equivalenza forte per trovare alcune caratteristiche del campo gravitazionale.

54 6.. Alcuni concetti di base della relatività generale L effetto del campo gravitazionale sulla luce Consideriamo la figura 6.2. a Raggio di luce R R Figura 6.2: Un sistema di riferimento inerziale (R), uno accelerato (R ) e un raggio di luce. Notiamo che rispetto al sistema di riferimento R, inerziale, il raggio di luce si propaga in linea retta conformemente al secondo assioma della relatività speciale. Rispetto al sistema di riferimento R, accelerato rispetto ad R di accelerazione a, il raggio di luce appare quindi curvato. Possiamo estendere il ragionamento al caso del campo gravitazionale applicando il principio di equivalenza forte, grazie al quale possiamo affermare che ritroviamo gli stessi effetti appena visti in R in un sistema di riferimento inerziale sottoposto ad un campo gravitazionale g = a 3. Possiamo quindi concludere che il campo gravitazionale curva il raggio di luce. Si potrebbe ora invertire il ragionamento: sapendo che il campo gravitazionale curva il raggio di luce, si può concludere che in un sistema di riferimento inerziale locale il raggio di luce si propaga in linea retta. Si ritrova così una figura simile a 6.2, dove R è il sistema di riferimento inerziale locale, in caduta libera nel campo gravitazionale, mentre R è quello inerziale con gravità Gli effetti del campo gravitazionale sul tempo e sullo spazio Consideriamo la figura g opposto a a poiché nella figura il razzo si allontana dalla Terra.

55 49 Capitolo 6. Relatività generale: gli effetti del campo gravitazionale ω H R H 2 R v H 2 R loc R (a) (b) R Figura 6.3: (a) Un sistema di riferimento R (disco) in rotazione rispetto ad R. (b) Zoom sul disco: il sistema di riferimento R loc è in traslazione uniforme rispetto ad R con velocità v. Sono raffigurati un disco (R ) in rotazione a velocità angolare costante ω attorno ad un asse, fermo rispetto al sistema di riferimento inerziale R. Rispetto a R entrambi gli orologi H e H 2, identici, sono fermi. Rispetto ad R invece H è fermo, mentre H 2 possiede una velocità di norma (non nulla) costante 4. Localmente, ossia rispetto ad un sistema di riferimento R loc, possiamo dire che H 2 è in traslazione uniforme rispetto a R. Ragionando con la relatività speciale, possiamo quindi applicare la dilatazione temporale (sezione 5.3). Otteniamo che t = γ t (γ ) e quindi il tempo di H 2 passa più lentamente di quello di H. Estendendo pure in questo caso il ragionamento alla relatività generale, applicando nuovamente il principio di equivalenza forte. Con lo stesso ragionamento fatto prima, supponendo che R sia un referenziale inerziale sottoposto ad un campo gravitazionale, possiamo dire che ritroveremo gli stessi effetti nel caso del referenziale uniformemente accelerato. Concludiamo dunque che il campo gravitazionale rallenta gli orologi, quanto dipende dall intensità del campo gravitazionale. Vedremo più in dettaglio quest effetto nella sezione Per quanto riguarda lo spazio la situazione è simile: se si mette una riga di lunghezza L sul bordo del disco, perpendicolarmente al raggio, questa sarà localmente in traslazione uniforme rispetto ad R e quindi, con la contrazione delle lunghezze, si ottiene che L < L 5. Ciò significa per esempio che, se rispetto a R la circonferenza 4 Chiaramente, il vettore non è costante, poiché rispetto all osservatore in R questo cambia continuamente orientazione. Vi è quindi una costante accelerazione, per cui il sistema di riferimento R è accelerato. 5 Ricordiamo che vi è solo contrazione delle lunghezze nella direzione del moto. Se si mettesse la riga perpendicolarmente al moto, quindi parallelamente al raggio, le misure rispetto a R rimarrebbero

56 6.2. GPS e campo gravitazionale 5 del disco misura 2rπ, con r la lunghezza del raggio, rispetto ad R questa misurerebbe di più di 2rπ, poiché rispetto a R le lunghezze sono più corte che rispetto ad R. Possiamo quindi dire che abbiamo verificato che, in presenza di un campo gravitazionale, la geometria euclidea non è più valida. 6.2 GPS e campo gravitazionale Conoscendo gli aspetti di base della teoria relativistica della gravità di Einstein, vogliamo analizzare e correggere il terzo problema citato nella sezione 3.2. Considerano il caso del GPS, sappiamo che i satelliti orbitano ad una quota di circa 22 km, per cui sono sottoposti ad un campo gravitazionale molto più debole rispetto ad una ricevente sulla Terra. Abbiamo visto che il campo gravitazionale rallenta il tempo in funzione della sua intensità, segue dunque che il tempo passa più velocemente per un orologio posto in un satellite che per un altro, identico, posto in una ricevente. È dunque necessario rallentare gli orologi dei satelliti, non solo per far si che il tempo trascorri a pari passo con un orologio sulla Terra, ma pure per far in modo che le frequenze dei segnali inviati corrispondano, alla ricezione, a quelle attese Una correzione per gli effetti del campo gravitazionale sul tempo Vogliamo utilizzare ancora una volta il principio di equivalenza forte. Questa volta però descriviamo la situazione solo da un sistema di riferimento uniformemente accelerato, poiché, nel caso del GPS, sia il satellite che la ricevente si trovano all interno del campo gravitazionale terrestre, anche se sono sottoposti a delle intensità diverse. Osserviamo la figura 6.4. Vediamo che, continuando a ripetere il processo, B riceverà i segali mandati da A sempre più in fretta, poiché la navicella accelera. Ciò significa che gli intervalli di tempo tra la ricezione di due segnali, oltre ad essere sempre più brevi, sono pure più corti di quelli di invio. La domanda è quindi, se A manda degli impulsi ad intervalli costanti t A, a che intervalli t B B riceverà questi impulsi? Deriviamo una formula in questo contesto con l ipotesi che è possibile utilizzare la meccanica newtoniana e che le contrazioni delle lunghezze sono trascurabili, viste le velocità v c. Trascuriamo inoltre i termini in ( ) ah 2, c dato che supponiamo che il razzo non acceleri a velocità 2 relativistiche nel tempo impiegato dagli impulsi per andare da A a B. Matematicamente, dalle leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato (MRUA) invariate rispetto a quelle in R. 6 Infatti, come vedremo in dettaglio nel capitolo 8, tutte le frequenze vengono sintetizzate a partire da quella dell orologio atomico del satellite.

57 5 Capitolo 6. Relatività generale: gli effetti del campo gravitazionale a a A A h h B B (a) (b) Figura 6.4: (a) Un osservatore A manda un impulso elettromagnetico a B. (b) B riceve l impulso elettromagnetico. Nel frattempo la navicella è già avanzata nello spazio. possiamo a scrivere la posizione di B in funzione del tempo t, ossia Lo stesso vale per la posizione di A, data da z B (t) = 2 at2. (6.2) z A (t) = h + 2 at2. (6.3) Supponiamo ora che A invii il suo primo segnale al tempo t = e che B lo riceva al tempo t. Il secondo segnale viene invece emesso al tempo t + t e = t e e B lo riceve al tempo t + t r 7. Possiamo quindi scrivere la distanza percorsa dal primo segnale, data da z A (t ) z B (t ) = c(t t ) = ct < h (6.4) mentre la distanza percorsa dal secondo segnale è data da z A ( t e ) z B (t + t r ) = c(t + t r t e ) < h. (6.5) 7 t e e t r sono rispettivamente gli intervalli di tempo di emissione e di ricezione.

58 6.2. GPS e campo gravitazionale 52 Inserendo (6.2) e (6.3) si ottiene e h + 2 at2 2 at2 = ct h 2 at2 = ct (6.6) h + 2 a( t e) 2 2 a(t + t r ) 2 = ct h + 2 a( t e) 2 2 at2 2 2 at t r 2 a( t r) 2 = c(t + t r t e ). (6.7) Assumendo ora che t e è piccolo (e quindi pure t r ), possiamo ignorare i termini non lineari in t e e t 8 r. Dobbiamo quindi risolvere il sistema { h 2 at2 = ct (I) h 2 at2 at t r = c(t + t r t e ) (II). Sottraendo (II) da (I) si ottiene at t r = c( t e t r ). Risolvendo l equazione (I) possiamo trovare il valore di t. Abbiamo 2 at2 ct h = t = c ± c 2 + 2ah a = c ± c + 2ah c 2 a Approssimando in ordine lineare il termine + 2ah otteniamo c 2 t c ± c ( ) + 2ah 2 c 2 a ) c ± ( c + ah c { a c a + c + h > a c c c h < a a c Scartando il risultato negativo, otteniamo che t = h c e dunque a h c t r = c( t e t r ) 8 Inoltre, essendo gli intervalli piccoli, si avrebbe comunque che 2 a( t e) 2 2 a( t r) 2.

59 53 Capitolo 6. Relatività generale: gli effetti del campo gravitazionale da cui il risultato ( t e = t r + ah ). (6.8) c 2 Grazie al principio di equivalenza forte possiamo dire che la medesima formula vale in un capo gravitazionale con g = a. Possiamo ora riformulare (6.8) usando il fatto che gh corrisponde ad una differenza di potenziali gravitazionali, fatto che vogliamo ora verificare. Matematicamente, il campo gravitazionale terrestre g è un campo vettoriale radiale con g = ( GM T,,). Inoltre, un campo vettoriale V : R 3 R 3 qualsiasi è conservativo r 2 se V = Φ, con Φ : R 3 R una funzione e il gradiente 9. Questo implica l esistenza di un potenziale Φ g, fisicamente noto come potenziale gravitazionale, tale che g = Φ g. Verifichiamo ora che la funzione Φ g, data da Φ g = GM T r. (6.9) è un potenziale del campo vettoriale g. Per fare ciò utilizziamo le coordinate sferiche : il gradiente, rispetto ai vettori di base ( e r ; e θ ; e ϕ ), è dato da ( = r ; ) r θ ;. (6.) r sin θ ϕ Dobbiamo ora verificare che Si ha g = GM T r 2 = r r θ r sin θ ϕ g = Φ g. ( GM ) T r = GM T r 2 = g. Verifichiamo ora che gh = Φ g. Consideriamo due punti sottoposti all influenza del campo gravitazionale terrestre, separati da una distanza h R T trascurabile rispetto al raggio terrestre. Abbiamo che ( GMT Φ g = R T + h GM ) T = GM T R T R T Poiché h R T, espandendo in ordine lineare si ha R ) T ( R T + h hrt = h R T ( R ) T R T + h 9 Rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano si ha = ( x, y, z ). Infatti essendo g un campo vettoriale radiale, le coordinate sferiche si adeguano meglio alla situazione che quelle cartesiane.

60 6.2. GPS e campo gravitazionale 54 Sostituendo si ottiene Φ g = GM T R T h = GM T h = gh. R T RT 2 Usando dunque che gh = Φ g = Φ g,a Φ g,b, possiamo riscrivere (6.8) come ( t e = t r + Φ ) g,a Φ g,b. c 2 Infine, considerano i tassi di emissione e di ricezione degli impulsi, ossia t e e t r, otteniamo = ( + Φ ) g,a Φ g,b. t r t e c 2 (6.) Applicazione della correzione al GPS Considerando ora il caso del GPS, poiché il campo gravitazionale rallenta gli orologi, si deve correggere il tempo degli orologi dei satelliti in modo che corrisponda al tempo sulla superficie terrestre. Dobbiamo quindi aggiungere una correzione frazionale al tasso di emissione t e. Da (6.), per espansione lineare otteniamo t e = t r ( Φ g,s Φ g,t c 2 dove Φ g,s e Φ g,t sono rispettivamente i potenziali gravitazionali alla quota dei satelliti e sulla superficie terrestre. Otteniamo dunque che la correzione frazionale del tasso di emissione per il campo gravitazionale vale Φ g,s Φ g,t c 2 5,293. (6.2) Un problema potrebbe sembrare ancora il fatto che si conosce solo la quota dei satelliti, quindi il potenziale Φ g,s. Infatti la ricevente deve calcolare la sua quota con i dati forniti dai satelliti per conoscere il potenziale Φ g,t esatto, ai quali devono però essere applicate le correzioni. Ma vediamo alcuni valori di g per dati valori di h, calcolati usando (6.9) : h = m (livello del mare) g = 9,8 9,87 N kg h = 2 m (limite più che superiore per l aviazione) g = 9,73 9,8 N kg h = 22 m (quota dei satelliti GPS) g =,56 N. kg Notiamo che la variazione di g all interno dell area trafficata della Terra è molto piccola e quindi trascurabile. È dunque possibile utilizzare senza problemi h = e h = 22 km per calcolare la differenza di potenziale gravitazionale. N m2 G = 6,6726 kg (costante della gravitazione universale); M 2 T = 5, kg (massa della Terra); R T = 6, ,378 6 m (raggio minimo e massimo della Terra) )

61 55 Capitolo 6. Relatività generale: gli effetti del campo gravitazionale Correzione della frequenza di base Consideriamo come nell esempio della dilatazione del tempo la frequenza degli orologi atomici dei satelliti, la quale, rispetto alla Terra, deve essere uguale a t r =,23 MHz. Per correggere l effetto della gravità sugli orologi, la frequenza di base degli orologi dei satelliti deve quindi essere t e =,23 ( 5,293 ) MHz =, MHz. Sull arco di 24 h ciò significa che gli orologi atomici dei satelliti devono rallentare di 45,75 µs. Questo piccolo intervallo di tempo provocherebbe infatti un errore di ben 372,9 m! Unione dei tassi di correzione della Relatività speciale e generale Considerando entrambi i tassi di correzione, ossia quello della dilatazione del tempo e quello dell effetto della gravità, la frequenza degli orologi atomici deve invece essere t e =,23 ( 5, ,332 ) MHz =, MHz per cui, sull arco di 24 h, questi devono rallentare di 38,49 µs per evitare un errore di ben 539,37 m! Vediamo quindi che per correggere questi due effetti relativistici, è sufficiente impostare di fabbrica, quindi sulla Terra, gli orologi atomici su una frequenza di, MHz in modo che, una volta in orbita, questa frequenza viene percepita sulla Terra come,23 MHz. È pure interessante notare a questo punto che, per ottenere una precisione di m, questi orologi devono possedere una precisione dell ordine di 9 s. Occorre ancora dire che, da un lato il campo gravitazionale terrestre non è uniforme, dall altro i satelliti sono pure esposti a campi gravitazionali di corpi esterni, come il Sole, per cui nemmeno la correzione del tempo per gli effetti gravitazionali è costante. Comunque l errore risultante è nell ordine del centimetro. Da ultimo, è interessante notare che gli effetti sugli orologi delle riceventi dovuti alla variazione del potenziale gravitazionale terrestre e alla velocità di rotazione della Terra si compensano 2. Infatti il campo gravitazionale più debole all equatore (per via della distanza maggiore dal centro della Terra) viene compensato dalla velocità dovuta alla 2 Abbiamo infatti appena visto che l effetto della dilatazione del tempo porta il segno opposto di quello del campo gravitazionale, è interessante sapere che questi effetti si compensano con poco scarto.

62 6.2. GPS e campo gravitazionale 56 rotazione Terrestre, viceversa ai poli. Una situazione analoga vale per gli orologi dei satelliti, infatti al perigeo 3 il potenziale gravitazionale minore viene compensato dalla velocità orbitale più alta, e viceversa. 3 Il punto più alto dell orbita ellittica.

63 Capitolo 7 Determinazione della velocità: effetto Doppler Oltre alla posizione, la ricevente GPS è pure in grado di determinare la sua velocità. Con queste due informazioni, ogni altro dato può essere calcolato senza difficoltà. Vi sono due possibilità per calcolare la velocità. 7. Determinazione classica della velocità Questa variante si basa esclusivamente sulla definizione di velocità, ossia spazio percorso in un dato intervallo di tempo. Per fare ciò viene considerata ciascuna successione di due vettori posizione della ricevente separati da un intervallo t. Il vettore che collega i due punti è dato da x = x B x A. (7.) La velocità (media) è data da v = x t = x x 2 = x B, x A, x B,2 x A,2. (7.2) t t x 3 x B,3 x A,3 Il principale svantaggio di questo sistema è che la precisione ottenuta può facilmente essere degradata da imprecisioni nel calcolo delle posizioni. 7.2 Determinazione della velocità mediante l effetto Doppler La seconda variante è quella usata nelle riceventi più moderne e si basa sull effetto Doppler. Vediamo rapidamente gli aspetti teorici di questo effetto. 57

64 7.2. Determinazione della velocità mediante l effetto Doppler Aspetti teorici dell effetto Doppler L effetto Doppler è la variazione apparente della frequenza percepita da un osservatore quando tra questo e la sorgente vi è una velocità relativa non nulla. L esempio classico è quello della sirena dell ambulanza: il suono emesso dalla sirena è diverso quando l ambulanza si avvicina che quando si allontana. La figura 7. mostra una raffigurazione generale dell effetto Doppler. Fronti d onda R v R S v S Figura 7.: Un osservatore R (ricevente) riceve un onda emessa da una sorgente S (satellite). La frequenza percepita dall osservatore dipende dalle velocità di S e di R: se v R > v S, la distanza tra due fronti d onda sarà apparentemente maggiore per O, per cui la frequenza sarà (apparentemente) minore. L opposto vale se v R < v S. Per le onde elettromagnetiche, una formulazione dell effetto Doppler relativistico utile per la discussione concernente il GPS è ν R = ν S n S R n S R ( r ) c R ( r ) (7.3) c S dove n S R è il vettore unitario che punta nella direzione ricevente-satellite, r S è la posizione del satellite, r R quella della ricevente, il punto sopra un elemento indica la sua derivata rispetto al tempo. Vediamo rapidamente la dimostrazione. La distanza tra il satellite e la ricevente è data da ρ = r S r R (7.4)

65 59 Capitolo 7. Determinazione della velocità: effetto Doppler da cui t R t S = ρ c. (7.5) Derivando (7.5) rispetto al tempo si ottiene dt R dt dt S dt = dρ c dt dt S dt R = c ( ρ t R + ρ t S dt S dt R ) (7.6) poiché ρ dipende sia da t R che da t S. Il termine ρ t R corrisponde alla variazione di ρ rispetto a t R e dipende chiaramente dalla velocità della ricevente, esso può dunque essere riscritto come n S R r R. L analogo vale per ρ t S, dove però per il verso della variazione è opposto. L equazione (7.6) può dunque essere riscritta come Risolvendo per dt S dt R si ottiene dt S = ( ) n S R dt R c r R n S R r dt S S. (7.7) dt R + dt S dt R c ns R r dt S S = dt R c ns R r R ( dt n S S R r ) c R = ( dt R n S R r ). (7.8) c S Infine, sapendo che si ottiene l equazione (7.3). dt S dt R = ν R ν S (7.9) Effetto Doppler nel caso del GPS L equazione (7.3) ci da la relazione tra le frequenze nel caso più semplice, dove l unico effetto considerato è quello legato all invarianza della velocità della luce, data dal secondo assioma della relatività speciale. Nel nostro caso vi sono però da considerare molti altri effetti, tra cui quelli del campo gravitazionale terrestre e l eccentricità delle orbite dei satelliti. Consideriamo la seguente relazione, adattata da Zhang, vedi [3]. Abbiamo ν R = ν S [ + Φ g,s Φ g,r c 2 + 2GM T c 2 ( ) a orb r S + 2 ω T c 2 ] A n S R n S R ( r ) c R ( r ) c S (7.)

66 7.2. Determinazione della velocità mediante l effetto Doppler 6 dove S e R indicano satellite rispettivamente ricevente. Vediamo che nell equazione (7.) ritroviamo la struttura della formula dell effetto Doppler relativistico (equazione (7.3)) con i seguenti termini di correzione aggiuntivi: c 2 precedente. Φ g,r Φ g,s Correzione dovuta alla gravità, derivata nel capitolo ( 2GM T c 2 a orb r S ) Termine dovuto all eccentricità delle orbite, aorb è il semi-asse maggiore dell orbita del satellite. 2 ω T A c 2 Derivata della correzione Sagnac vista nel capitolo 5. Una dimostrazione completa dell equazione (7.), esclusa la correzione Sagnac, viene trattata nell appendice di Zhang. Disponendo della relazione che lega la frequenza di invio e quella di ricezione, una ricevente, per determinare la sua velocità, deve procedere come segue: Misurare la frequenza con la quale viene percepito il segnale; Determinare la posizione per conoscere il vettore n S R ; Risolvere (7.) per determinare r R 2. Occorre comunque precisare che l equazione (7.) rappresenta una variante semplificata dell effetto Doppler usato dalle riceventi, per ottenere una precisione al decimo di metro al secondo è necessario considerare ulteriori effetti come il rallentamento subito dal segnale durante l attraversamento dell atmosfera - vedi Zhang. Un imprecisione nella posizione della ricevente causa errori molto minori rispetto al caso classico per la determinazione della velocità. Infatti, vista la distanza che la sperata dal satellite, un inaccuratezza risulta spesso essere trascurabile. 2 Poiché le coordinate sono espresse rispetto al sistema di riferimento ECEF, non è necessario considerare la rotazione terrestre.

67 Capitolo 8 Struttura e propagazione dei segnali GPS Il principio della determinazione della posizione e l accuratezza ottenuta dipendono in grande misura dalla natura del segnale. I criteri considerati per sviluppare una struttura adatta furono molteplici, di conseguenza sono piuttosto complessi. Dall altro lato questi segnali sono in grado di trasmettere molte informazioni essenziali, come parametri che descrivono la posizione dei satelliti, valori temporali, e, soprattutto, un codice causale che permette di ricavare il tempo di propagazione del segnale. Oltre alla struttura, un altra scelta importante concerne quella delle frequenze da utilizzare. In questo capitolo vogliamo dunque occuparci della composizione e della propagazione dei segnali GPS, come pure capire come è possibile determinare il tempo di percorrenza di ciascun segnale. 8. Alcuni concetti di base sui fenomeni ondulatori Come nei capitoli precedenti iniziamo con una breve parte teorica, questa volta concernente i fenomeni ondulatori. 8.. Struttura matematica La principale caratteristica di un onda è che si propaga solo energia e quantità di moto, e non materia. Matematicamente, un onda è un fenomeno di propagazione che soddisfa un equazione del tipo. ξ( x,t) = f( x ± ut) (8.) dove u è la velocità di propagazione dell onda. Come vediamo dall equazione (8.), un onda si propaga nello spazio e nel tempo. Ques- Tutte le equazioni di questo tipo soddisfano l equazione di d Alembert, chiamata anche equazione d onda, ossia ξ 2 ξ u 2 t = dove = 2 ξ 2 x + 2 ξ 2 y + 2 ξ 2 z e u = u è la velocità di propagazione. 2 6

68 8.. Alcuni concetti di base sui fenomeni ondulatori 62 ta funzione può essere rappresentata graficamente fissando una delle due variabili (si rappresenta dunque la propagazione nello spazio oppure nel tempo). La figura 8. mostra un esempio di un onda sinusoidale. ξ(x,t) Lunghezza d onda (λ)/periodo (T) Ampiezza (ξ) x/t Figura 8.: Propagazione nello spazio rispettivamente nel tempo di un onda sinusoidale rappresentata da un equazione del tipo ξ(x,t) = ξ sin(kx ωt), con k = 2π λ e ω = 2π T. Distinguiamo subito due tipi di onde, quelle meccaniche, che necessitano di un mezzo nel quale propagarsi (come le onde sull acqua), e quelle elettromagnetiche, come la luce, le quali non necessitano invece di di mezzo di propagazione e possiedono, nel vuoto, una velocità pari a c 3 8 m. I segnali GPS rientrano, chiaramente, nell ambito s delle onde elettromagnetiche. È ancora utile definire la frequenza, data da ν = T (8.2) con T il periodo (vedi figura 8.); come pure la relazione che lega la frequenza con la lunghezza d onda, ossia ν = u (8.3) λ dove, nel caso delle onde elettromagnetiche, si ha u = c Ottica geometrica Se λ a, dove a è la larghezza di una possibile fenditura 2, possiamo approssimare le onde a delle rette. In questo caso si parla di ottica geometrica. Nel nostro caso, vi sono due leggi cinematiche che risultano essere particolarmente interessanti. 2 Nel caso del GPS questa potrebbe essere ad esempio lo spazio tra due palazzi - per il segnale L si ha λ 9 cm (ν = 575,42 MHz).

69 63 Capitolo 8. Struttura e propagazione dei segnali GPS La prima è la legge di Decartes (o legge della rifrazione) che ci permette di trovare la deviazione della propagazione di un onda quando questa passa da un mezzo di propagazione ad un altro. Si può dimostrare che sin α,i sin α 2 = u u 2 (8.4) dove α,i e α 2 sono rispettivamente l angolo del raggio incidente e quello del raggio rifratto rispetto alla normale della superficie che separa i due mezzi. La velocità di propagazione è data da u = c n (8.5) dove n ( ) è chiamato indice di rifrazione e dipende dalla frequenza dell onda e dal materiale 3 (nel vuoto si ha n = ). La seconda legge è quella sulla riflessione, secondo la quale un onda si riflette su una superficie di separazione con lo stesso angolo di quello d incidenza, sempre rispetto alla normale della superficie di separazione dei materiali. Si ha che Il tutto è rappresentato nella figura 8.2. sin α,i = sin α,r. (8.6) u u α,i α,r Mezzo Superficie di separazione n Mezzo 2 n 2 α 2 u 2 Figura 8.2: Rappresentazione della leggi di Decartes e della riflessione. Va precisato che il passaggio di un onda da un mezzo all altro è sempre caratterizzato 3 Tratteremo in modo più approfondito gli indici di rifrazione nella sezione

70 8.. Alcuni concetti di base sui fenomeni ondulatori 64 sia da un fenomeni riflessione che di rifrazione. Inoltre, la somma delle intensità 4 delle due onde risultanti sarà uguale a quella dell onda incidente, per cui chiaramente le singole onde perdono dell intensità. Per concludere, nella figura 8.3 è rappresentata l intera gamma di onde elettromagnetiche, chiamata spettro elettromagnetico. Figura 8.3: Spettro elettromagnetico Modulazione di onde portanti Studiamo ancora un ultima parte teorica sulle onde che ci interessa specificamente per il GPS. Iniziamo a definire alcuni concetti. 4 La definizione di intensità è la quantità di energia trasmessa per unità di tempo e unità di superficie nel verso di propagazione.

71 65 Capitolo 8. Struttura e propagazione dei segnali GPS La modulazione è un processo di variazione di un onda, chiamata onda portante 5, in modo da trasmettere più informazioni in un solo segnale. Le portanti sono solitamente onde sinusoidali e possono essere modulate nei parametri che la descrivono: frequenza, ampiezza e fase. La modulazione di uno parametro implica l invarianza degli altri due. Le varianti più comunemente usate, soprattutto nell ambito di radio e televisione, sono i tipi AM e FM, ossia Amplitude Modulation (Modulazione dell Ampiezza) e Frequency Modulation 6 (Modulazione della Frequenza). La terza variante è la modulazione della fase, indicata con PM, e può solo essere utilizzata per segnali digitali, come quelli del GPS. Vedremo dunque più in dettaglio questo sistema nella sezione successiva. La tecnica consiste semplicemente nel variare un dato parametro della portante (ampiezza, frequenza o fase) in relazione ai dati che la modulano. Un esempio che mette a confronto i tre sistemi è raffigurato nella figura 8.4. Onda portante Onda portante Onda portante Segnale Onda modulata Segnale Onda modulata Segnale Onda modulata AM (a) FM (b) PM (c) Figura 8.4: Confronto qualitativo tra i tre tipi di modulazione. Esempio pratico: Per capire meglio il concetto di modulazione, ammettiamo che le sotto-figure (a) e (b) della figura 8.4 siano delle onde acustiche 7. Vediamo che nel caso AM la frequenza rimane costante, ma cambia l ampiezza. Ciò significa che, mentre il timbro del suono rimane costante, viene variato il suo volume. Nel caso FM osserviamo invece il contrario: il volume rimane costante, poiché l ampiezza dell onda rimane costante, ma viene variato il timbro. 5 Oppure più semplicemente portante (carrier). 6 Solitamente si preferisce usare il sistema FM poiché è meno suscettibile a interferenze. 7 Il sistema PM può solo essere usato per segnali digitali, per cui la sottofigura (c) non può rappresentare un onda analogica come il suono.

72 8.. Alcuni concetti di base sui fenomeni ondulatori Classificazione delle frequenze Sebbene non si tratti di un aspetto teorico, è interessante vedere gli standard di bande di frequenze secondo la IEEE (Institute of Electrical and Electronic Engineers). Banda Frequenze Origine del nome L 2 GHz Long wave S 2 4 GHz Short wave C 4 8 GHz Compromesso tra S e X X 8 2 GHz X per cross 8 K u 2 8 GHz Kurz-under K 8 26 GHz Kurz K a 26 4 GHz Kurz-above V 4 75 GHz Very high frequency W 75 GHz W segue la V nell alfabeto Alternativamente si usa anche la seguente classificazione: Banda Frequenze Origine del nome Uso Lunghezza d onda ELF 3 3 Hz Extremely Low Frequency Comunicazioni sottomarine km SLF 3 3 Hz Super Low Frequency Comunicazioni sottomarine km ULF 3 3 Hz Ultra Low Frequency Comunicazioni sottomarine km VLF 3 3 KHz Very Low Frequency Comunicazioni sottomarine, km Cerca-Persone LF 3 3 KHz Low Frequency Navigazione terrestre, km Trasmissioni a onda lunga MF 3 3 KHz Medium Frequency Trasmissioni AM m HF 3 3 MHz High Frequency Trasmissioni a onda corta, m Radio VHF 3 3 MHz Very High Frequency Trasmissioni FM, m Televisione UHF 3 3 MHz Ultra High Frequency TV, Natel, WLAN, mm Walky-Talky, Nav. Satellitare SHF 3 3 GHz Super High Frequency Microonde, WLAN, mm Radar EHF 3 3 GHz Extremely High Frequency Astronomia, mm Visione notturna 8 Da crosshair, ossia le croci dei mirini di varie armi - le bande X venivano usate per il controllo di armi nella seconda Guerra Mondiale.

73 67 Capitolo 8. Struttura e propagazione dei segnali GPS 8.2 Struttura dei segnali 8.2. Costruzione dei segnali La prima scelta che è stato necessario effettuare per la costruzione dei segnali GPS è quella della frequenza da utilizzare per l onda portante. I criteri considerati sono stati i seguenti: Devono essere minori di 2 GHz, altrimenti le riceventi dovevano possedere delle antenne esterne; I rallentamenti nella ionosfera sono enormi per frequenze inferiori ai MHz e superiori ai GHz; La velocità di propagazione non dovrebbe essere influenzata da fenomeni atmosferici: più bassa è la frequenza scelta, minore questa influenza sarà importante 9 ; Il codice PRN (Pseudo Random Numbers - vedi sezione 8.2.2) richiede un alta larghezza di banda per la modulazione del segnale portatore, per cui ci vuole una frequenza elevata. In base a queste condizioni sono stati definiti due segnali, denominati L e L2 e modulati nella fase con dei codici binari. Il primo ha una frequenza di 575,42 MHz (54,23 MHz) e trasmette il codice NAV/System, il codice C/A (Coarse/Acquisition), o codice SPS (Standard Positioning Service - Servizio di Posizionamento Standard), e il codice P, o codice PPS (Precise Positioning Service - Servizio di Posizionamento Preciso). I primi due codici possono venir usati da tutte le riceventi, il terzo viene invece trasmesso in forma encriptata e può solo essere usato da riceventi possedute dagli organi militari degli Stati Uniti e alcuni alleati. Il secondo segnale ha una frequenza di 227,6 MHz (2,23 MHz) e trasmette, in forma encriptata, il codice P e il codice NAV/System. Va da se che può solo essere usato dalle riceventi militari. È interessante notare che, quando il sistema SA era attivo, i dati trasmessi nel codice NAV/System del segnale pubblico (L) venivano appositamente degradati. Solo le riceventi militari erano dunque in grado di accedere ai parametri di navigazione non degradati, sul segnale L2. Inoltre, il fatto che viene trasmesso il codice P su entrambe i segnali è necessario per confrontare i tempi di propagazione dei due segnali, come vedremo più in dettaglio successivamente. La composizione dei due segnali è riassunta nella figura La velocità dipende dall indice di rifrazione, trattato in modo approfondito nella sezione Ricordiamo che le frequenze vengono sintetizzate a partire dalla frequenza di base degli orologi atomici, ossia,23 MHz (rispetto alla Terra).

74 8.2. Struttura dei segnali 68 Onda Portante L (575,42 MHz) Codice C/A (,23 MHz) Segnale L Dati NAV/Sistema (5 Hz) Codice P (,23 MHz) Modulazione PM Somma Modulo 2 Onda Portante L2 (227,6 MHz) Segnale L2 Figura 8.5: Composizioni indicativa dei segnali L e L2. La figura 8.6 illustra invece uno schema semplificato della generazione di un segnale da parte dei satelliti, in questo caso del segnale L. Dati navigazione 5 Hz Antenna Orologio atomico,23 MHz Sintetizzatore frequenze Distributore Generatore codice C/A Somma modulo 2,23 MHz Onda portante L 575,42 MHz Figura 8.6: Costruzione del segnale L. Infine, è interessante vedere rapidamente la tecnica usata per integrare i codici binari sulle portanti. Come mostrato nella figura 8.5, prendendo il caso dei codici NAV e C/A sul segnale L, i due codici vengono prima sommati con una somma modulo 2, il codice risultante viene poi utilizzato per modulare nella fase l onda portante su cui si basa il Somma Modulo 2 significa che se la somma aritmetica è maggiore di due, solo il resto che non può essere diviso per 2 viene tenuto. Si ha + = ; + = ; + = ; + =.

75 69 Capitolo 8. Struttura e propagazione dei segnali GPS segnale. Questi procedimenti vengono poi invertiti dalla ricevente 2 per riottenere i singoli codici. Quanto detto è rappresentato in dettaglio dalla figura 8.7. π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π Codice NAV Codice NAV Codice C/A Codice C/A Somma Mod. 2 Somma Mod. 2 NAV+C/A NAV+C/A Modulazione PM Demodulazione PM Segnale L Propagazione Satellite Ricevente Figura 8.7: Tecnica per l integrazione dei codici dati nell onda portante, come pure la tecnica usata dalla ricevente per ricavare i dati dei singoli codici. La modulazione PM, o phase-shift, sfasa l onda di π per ogni inversione di bit. 2 È importante sapere, come vedremo in seguito, che la ricevente conosce il codice C/A di ciascun satellite.

76 8.2. Struttura dei segnali Codici binari in dettaglio Occupiamoci ora di una descrizione dettagliata dei tre codici binari introdotti precedentemente. Codice C/A Il codice C/A (Coarse/Acquisition), o codice SPS, è un codice binaro che viene trasmesso sul segnale L. Il codice è composto da 23 chip 3 e possiede una frequenza di,23 MHz, per cui viene trasmesso ogni millisecondo 4. Il contenuto del codice C/A viene anche chiamato un codice PRN (Pseudo Random Noise - Rumore Pseudo Casuale) e, sebbene sembri totalmente casuale, è unico per ogni satellite e serve a determinare il tempo di percorrenza del segnale con un processo chiamato correlazione incrociata 5. Ogni ricevente GPS conosce il codice PRN di ciascun satellite. È interessante notare che, su tutti i 2 23 codici possibili, solo 37 sono adatti per la correlazione incrociata, poiché le relazioni reciproche tra questi sono talmente poche da renderle inequivocabilmente identificabili. Questi vengono chiamati GOLD-codes. Codice P Il codice P (Precise), o codice PPS, è un secondo codice (binario) pseudocasuale, e viene trasmesso su entrambi i segnali. Esso è uguale per tutti i satelliti e si ripete ogni settimana GPS 6, dunque ogni sette giorni 7. Viene trasmesso con una frequenza di,23 MHz. Questo codice, essendo trasmesso da entrambi i segnali, permette di confrontarne il tempo di propagazione (poiché ogni chip corrisponde ad un intervallo di tempo ben definito). Ciò serve per stimare una correzione per il rallentamento dei segnali nella ionosfera, la causa principale di inaccuratezze, come vedremo nella sezione 8.5. È dunque per questo che le riceventi militari sono leggermente più precise di quelle civili. Per proteggere il codice da interferenze mandati da potenze nemiche, il codice P può essere trasmesso in forma encriptata in un codice Y - questo sistema di protezione è comunemente chiamato A-S (Anti Spoofing) ed è attivo dal 3 gennaio 994. Il codice P encriptato, notato anche con P(Y), necessita di speciali moduli A-S nelle riceventi ed è dunque solo accessibile a coloro che dispongono una speciale chiave di decriptazione 8. 3 Un chip è formato dai numeri e come il bit, ma non trasmette nessuna informazione. 4 Vengono trasmessi 23 chip ad una frequenza di 23 s, per cui 23 chip vengono trasmessi in ms. 5 Due serie di dati correlano se esistono delle relazioni reciproche tra di esse. 6 Una settimana GPS inizia alla mezzanotte tra sabato e domenica. 7 La lunghezza complessiva del codice è di 266 giorni, di cui si utilizzano solo i primi sette. 8 Posseduta solo dal dipartimento militare degli Stati Uniti ed alcune forze alleate.

77 7 Capitolo 8. Struttura e propagazione dei segnali GPS Segnale NAV/System Il segnale NAV/System è un terzo codice binario che modula entrambe le portanti. Esso possiede una frequenza di 5 Hz e contiene i dati di navigazione, ossia parametri che descrivono le orbite e altre caratteristiche del sistema, rispetto al sistema di riferimento ECEF. Oltre ad essere usato dalle riceventi, i dati di navigazione vengono pure scambiati tra i satelliti stessi, in modo che ogni satellite è in grado di trasmettere una lista completa di parametri che riguardano tutti i satelliti del sistema. Inoltre, confrontando le posizioni tra di loro, i satelliti a partire dal tipo Block IIA riescono, entro un certo limite, a correggere le orbite indipendentemente dalla Master Control Station. Il segnale completo è composto da 25 frames, con 375 bit di dati. Ogni frame è dunque composto da 5 bit di dati, a loro volta suddiviso in 5 subframes (questi divisi ancora in words). Il segnale completo viene trasmesso in 2,5 minuti, un frame viene trasmesso in 3 s, un subframe in 6 s e così via. Una rappresentazione completa di un frame è illustrato nella figura s/3 bit,6 s/3 bit 3 s/5 bit Frame Subframe Subframe 2 Subframe 3 Subframe 4 Subframe TLM HOW Clock correction data TLM HOW Ephemeris data TLM HOW Ephemeris data TLM HOW Almanac; refraction model data TLM HOW Almanac data Figura 8.8: La composizione di un frame del segnale di navigazione. Ciascun frame, di cui in particolare i primi tre subframe, contiene parametri specifici per un dato satellite. Vediamo dunque che il codice completo contiene i parametri per l intera costellazione. Diamo ora alcune informazioni più dettagliate sui vari subframe. Notiamo subito che tutti e cinque iniziano con i word TLM e HOW. Il primo sta per Telemetry e indica l attualità dei parametri trasmessi, il secondo è il Handover Word, che trasmette l intervallo di tempo passato dall inizio della settimana GPS (si parla anche del numero di z-epoches passate). Quest ultimo dato è usato dalle riceventi bi-frequenza (militari) per identificare il punto d accesso nel codice P, che, ricordiamo, possiede una lunghezza complessiva di 7 giorni. I restanti 8 words sono invece diversi per ogni subframe, vediamo i dettagli. Subframe Questi dati contengono i parametri di correzione degli orologi e indicazioni sullo stato di salute di un dato satellite. È necessario correggere gli orologi dei satelliti poiché essi non vengono sincronizzati di fabbrica all ora GPS, inoltre, il fatto di usare dei parametri per sincronizzarli ne rende più facile il controllo da parte della

78 8.2. Struttura dei segnali 72 Master Control Station. Le riceventi necessitano dei parametri temporali per conoscere il tempo di invio dei segnali, dato necessario per determinarne il tempo di percorrenza, come vedremo nella sezione 8.3. Per quanto riguarda lo stato di salute, questo serve alla ricevente per determinare se i dati forniti da un dato satellite possono essere considerati attendibili o meno. Infatti, lo stato viene impostato su difettoso nel caso venissero rilevati errori interni oppure durante un cambiamento d orbita. Subframe 2 e 3 Qui troviamo i dati ephemeris, ossia parametri che descrivono la sezione dell orbita di un dato satellite, rispetto al sistema di riferimento ECEF. Questi dati permettono alle riceventi di determinare la posizione del satellite al momento della ricezione del segnale come pure in un vicino futuro, permettendo inizialmente di stimare la propria posizione 9, in seguito per applicare il processo di trilaterazione 2. I dati vengono solitamente aggiornati ogni ora, possono però essere valevoli fino a quattro o addirittura sei ore senza essere causa di un eccessiva perdita di precisione. Subframe 4 e 5 Il volume maggiore di dati di questi due subframe è occupato dai dati almanac, ossia una lista di dati ephemeris, dati di correzione degli orologi e informazioni sulla salute per tutti i satelliti, però con precisione ridotta 2. Nel subframe 4 sono contenuti i dati per i satelliti 25 a 32, mentre quelli per i primi 24 sono contenuti nel quinto subframe. Grazie ai dati almanac, la ricevente è in grado di individuare i satelliti dai quali riceverà i segnali e quindi può limitare la ricerca di dati, accelerando il processo di determinazione della posizione. Oltre ai dati almanac, il subframe 4 contiene una lista di correzioni ionosferiche prestabilite, informazioni di sistema, contenente lo stato di salute di tutti i satelliti, e informazioni sull ora di riferimento UTC. Nel subframe 5 vengono inoltre trasmesse informazioni sulla settimana GPS, ossia il numero di settimane passate da quanto è stato messo in servizio il sistema. A questo punto, è opportuno far notare che il tempo impiegato da una ricevente GPS a calcolare la prima posizione accurata, dal momento in cui è stata attivata, dipende 9 L utilità di questo viene spiegata nel prossimo paragrafo. 2 Il fatto di conoscere una parte dell orbita dei satelliti è necessario per ruotarli nel sistema di riferimento ECI prima di applicare la trilaterazione, come abbiamo discusso nel capitolo Questi dati sono dunque valevoli per più tempo, per cui vengono pure aggiornati meno frequentemente, in genere ogni 6 giorni.

79 73 Capitolo 8. Struttura e propagazione dei segnali GPS dall attualità 22 dei dati ephemeris e almanac memorizzati. In genere, si parla dei seguenti tre casi: Cold Start: La ricevente non possiede dati attuali o non ne possiede del tutto. Il tempo necessario per determinare la prima posizione precisa è di almeno 2,5 min, il tempo necessario per ricevere tutto il segnale NAV/System; Warm Start: La ricevente possiede i dati almanac più o meno attuali, però dei dati ephemeris vecchi. La prima posizione precisa si ottiene dopo circa 45 s; Hot Start: La ricevente possiede sia i dati almanac che ephemeris sufficientemente attuali, per cui la posizione viene calcolata entro 5 s. Questo caso è possibile se la ricevente è rimasta inattiva per meno di 4-6 ore, chiaramente se non è stata spostata di grandi distanze nel frattempo. Infine, per curiosità, sono elencati nelle seguenti tabelle un esempio di parametri trasmessi con il segnale NAV/System: Parametri orologio: Definizione: Esempio: SV Satellite Vehicle ID Week number GPS-Weeks start every Sunday at :AM 797 Satellite health Boolean (healthy) or (faulty) IODC Issue of Data, Clock 224 URA User Range Accuracy 32 T GD Estimated Group Delay Differential +9,3323 E s t OC Reference time (Clock) +2,474 E + 5 s a f Clock offset,5874 E 4 s a f Clock drift 2,5 E 2 a f2 Clock drift rate +, E + s Parametri ephemeris: Definizione: Esempio: SV Satellite Vehicle ID M Mean Anomaly at Reference Time 2,62555 E + rad n Mean Motion Difference from Computed Value +5,452 E 9 rad s e Eccentricity +,3935 E 2 a Square Root of the Semi-Major Axis +5,5367 E + 3 m /2 Ω Right Ascension at Reference Time +,7548 E + rad i Inclination Angle at Reference Time +9,5642 E rad ω Argument of Perigee 23 2,56865 E + rad Ω Rate of Right Ascension 8,43857 E 9 rad s i Rate of Inclination Angle +4,89 E rad s 22 Sia rispetto al tempo che rispetto alla posizione della ricevente sulla Terra - se questa si sposta di alcune migliaia di chilometri, chiaramente i dati ephemeris non sono più valevoli. 23 Il perigeo è il punto in cui un satellite in un orbita ellittica è più vicino alla Terra.

80 8.2. Struttura dei segnali 74 Parametri ephemeris: Definizione: Esempio: C uc cos Amplitude Correction to Latitude Argument +4,3648 E 6 rad C us sin Amplitude Correction to Latitude Argument +2,7829 E 6 rad C rc cos Amplitude Correction to Orbit Radius +3,2656 E + 2 m C rs sin Amplitude Correction to Orbit Radius +8,76875 E + m C ic cos Amplitude Correction to Inclination Angle +,8827 E 7 rad C is sin Amplitude Correction to Inclination Angle,583 E 7 rad t OE Reference Time (Ephemeris) +2,474 E + 5 s IODE Issue of Data, Ephemeris 224 Parametri almanac: Definizione: Esempio: SV Satellite Vehicle ID e Eccentricity +,39475 E 2 t OA Reference Time (Almanac) +4,66944 E + 5 s δi Orbital Inclination +3,8878 E 3 rad OMEGADOT Rate of Right Ascension 8,834 E 9 rad s (A) /2 Square Root of the Semi-Major Axis +5,5362 E + 3 m /2 (OMEGA) Right Ascension at Reference Time 2,9682 E rad ω Argument of Perigee 2,56822 E + m M Mean Anomaly at Reference Time,4289 E + rad a f Clock offset,583 E 4 s a f Clock drift 3,63798 E 2 s Parametri UTC Definizione: Esempio: SV Satellite Vehicle ID A Constant 9,332 E 9 s A Constant 4,5297 E 4 t LS Leap Seconds Time Interval +, E + s t ot Reference Time (UTC-Time) +4,6694 E + 5 s WN t Week Number +2,9 E + weeks WN LSF Week N. when Leap Seconds become effective +2,43 E + 2 weeks DN Day N. when Leap Seconds become effective +5, E + days t LSF Leap Seconds Time Interval +, E + s Parametri ionosferici Definizione: Esempio: SV Satellite Vehicle ID α Vertical delay amplitude coefficient +,397 E 8 s α Vertical delay amplitude coefficient +2,235 E 8 s rad α 2 Vertical delay amplitude coefficient,92 E 7 s rad 2 α 3 Vertical delay amplitude coefficient,92 E 7 s rad 3 β Model period coefficient +,44 E + 5 s β Model period coefficient +9,83 E + 4 s rad s β 2 Model period coefficient,966 E + 5 rad 2 s β 3 Model period coefficient 3,932 E + 5 rad 3 Per una discussione completa sulla struttura del segnale, come pure per un introduzione sull uso dei parametri di navigazione negli algoritmi delle riceventi, consultare [5].

81 75 Capitolo 8. Struttura e propagazione dei segnali GPS 8.3 Tempo di percorrenza dei segnali Abbiamo visto nella scorsa sezione come sono strutturati i segnali GPS e come fa una ricevente a conoscere le posizioni dei satelliti. Il passo finale consiste nel determinare il tempo impiegato da un segnale per percorrere la distanza che separa un dato satellite dalla ricevente considerata, ossia il tempo di percorrenza (o tempo di propagazione). Conoscendo questo, è infatti possibile determinare la distanza tra satellite e ricevente, l ultimo dato necessario per risolvere le equazioni di propagazione dei segnali, il cui risultato, ricordiamo, è la posizione e l ora precisa. Come già parzialmente accennato, il tempo di percorrenza viene determinato confrontando il codice PRN trasmesso dal satellite con una copia identica dello stesso codice PRN memorizzato oppure, nel caso delle riceventi più vecchie, generato nella ricevente. Più precisamente, la ricevente determina di quanti chip un segnale deve essere traslato per farlo coincidere perfettamente con l altro; da questa misura può essere ricavato un valore temporale. Chiaramente il processo non è così semplice, un ostacolo è pure posto dal fatto che ciò che giunge alla ricevente è un miscuglio di segnali piuttosto deboli 24. La soluzione è un processo chiamato correlazione incrociata Introduzione qualitativa sulla correlazione incrociata Occorre subito sapere che gli aspetti matematici e fisici che stanno alla base della correlazione incrociata sono piuttosto complessi e non rientrano nell obbiettivo di questo lavoro. Ci limitiamo invece ad un livello qualitativo, ma accurato, studiando un esempio relativamente semplice. Consideriamo un satellite che emette a partire dal tempo t =, a intervalli regolari t i = s 25, un segnale semplice con una frequenza di 32 Hz, per cui è formato da 32 chips. Allo stesso istante t la ricevente inizia a riprodurre lo stesso segnale, formato quindi dalla stessa sequenza di e, sempre ad intervalli t i. Al tempo indeterminato t, la ricevente inizia a ricevere questo segnale, come rappresentato nella figura 8.9. Lo scopo è quello di determinare t e quindi il tempo di percorrenza t p del segnale. t t = t + t p t + t i t sat. ric. Figura 8.9: La ricevente riceve il segnale del satellite al tempo t. Il chip verde indica l inizio di un segnale. 24 L intenistà dei segnali, quando raggiungono la superficie terrestre, è di circa 3 4 W m Assumiamo che gli intervalli di emissione siano già corretti per compensare gli effetti relativistici.

82 8.3. Tempo di percorrenza dei segnali 76 Una volta ricevuti tutti i 32 chip, entra in gioco la correlazione incrociata. La prima fase consiste nella moltiplicazione del valore di ogni chip del segnale ricevuto 26 con quello del corrispondente verticale appartenente al segnale generato dalla ricevente. Si ottiene una terza sequenza di chip, i quali vengono sommati per ottenere un certo valore, vedi figura 8.. t t = t + t p t + t i t = 32 chip = 7 Figura 8.: Nella sequenza di chip risultante dalla moltiplicazione verticale delle prime due, la somma è 7 (considerando chiaramente un intervallo di 32 chip, a partire dall inizio del segnale del satellite). Chiaramente il risultato della somma varia a dipendenza della posizione reciproca dei due segnali. La terza fase consiste nello spostare il segnale generato dalla ricevente finché il risultato della somma è massimo. Nel caso del nostro esempio, otteniamo il grafico illustrato nella figura 8., dove possiamo facilmente riconoscere il massimo, corrispondente a sette spostamenti. Somma Spostamenti Figura 8.: Spostando a destra il segnale della ricevente di sette chip otteniamo il valore massimo: i due segnali coincidono (lo si vede anche guardano la figura 8.). 26 I chip che mancano assumono il valore, il perché diventa chiaro nei prossimi passi.

83 77 Capitolo 8. Struttura e propagazione dei segnali GPS Sappiamo dunque di quanti chip (ossia sette) dobbiamo spostare un segnale per farlo coincidere con l altro. Il passo finale è quello di convertire questa unità di lunghezza in un intervallo temporale. Abbiamo detto all inizio che il segnale, composto da 32 chip, è trasmesso ogni secondo 27. Ciò significa che un chip equivale a 32 s =,325 s per cui possiamo concludere che, per percorrere la distanza tra il satellite di origine e la ricevente, il segnale ha impiegato 7,325 s =,2875 s. Conoscendo infine la velocità di propagazione del segnale, ossia c, ricavare la distanza tra il satellite e la ricevente non pone problemi 28, si ha ,458 km s,2875 s = 65579,6 km Correlazione incrociata applicata al GPS Applichiamo ora questo modello al caso del GPS. Tutti i satelliti trasmettono simultaneamente 29 i segnali L e L2 contenenti un codice PRN 3 lungo 23 chip, ad una frequenza di,23 MHz; questi codici si ripetono quindi circa ogni millisecondo 3. Una volta ricevuti i dati di navigazione, la ricevente comincia dunque a riprodurre all interno del suo algoritmo i codici PRN dei satelliti in vista, confrontandoli con quelli ricevuti da questi ultimi. Molto probabilmente però l orologio della ricevente non è più sincronizzato con quelli dei satelliti, questa dunque non sa a quale istante deve iniziare a riprodurre i codici. Da ciò segue che le prime distanze calcolate saranno sbagliate, per cui, risolvendo il sistema delle equazioni di propagazione dei segnali, si otterranno un insieme di possibili posizioni invece di una posizione esatta. Un processo di iterazione, quindi aggiungendo progressivamente un fattore di correzione temporale, permette di stabilire la posizione corretta, come illustrato nella figura 8.2. In questo modo viene pure effettuata una prima sincronizzazione dell orologio, per cui la ricevente entro pochi cilci sarà in grado di calcolare le posizioni con la precisione attesa. 27 Poiché è inviato con una frequenza di 32 Hz. 28 Supponiamo in questo esempio che la velocità di propagazione del segnale rimanga costante. 29 Rispetto all ora GPS. 3 Appartenente al gruppo dei GOLD-Codes, chiaramente distinto per ogni satellite. 3 Ricordiamo che, per via degli effetti relativistici, tutti i tassi di invio nello spazio sono leggermente minori di quelli di ricezione sulla Terra.

84 8.3. Tempo di percorrenza dei segnali 78 SV SV 2 SV 3 Figura 8.2: Gli intervalli di tempo vengono corretti finche le posizioni coincidono. Vi sono però ulteriori questioni da considerare. Possiamo notare i seguenti principali problemi: Si può facilmente verificare che un chip corrisponde ad una distanza di 3 m. Secondo le specificazioni del GPS la posizione calcolata dovrebbe essere accurata almeno ai 3 m (±5 m); I segnali rallentano nella ionosfera, per cui usando c come velocità di propagazione la posizione risulta essere meno accurata; L effetto Doppler cambia la frequenza del segnale, per cui i due segnali non sono più direttamente comparabili. La soluzione al primo problema è data dal fatto che le riceventi riescono a confrontare i due segnali con una precisione del % di chip, dunque la posizione è accurata ai 3 m. Generalmente, una tale precisione non viene però raggiunta, in grande parte a causa del rallentamento dei segnali nell atmosfera terrestre, ossia il secondo problema sopraccitato. Infatti, poiché le caratteristiche dell atmosfera terrestre dipendono da vari fattori variabili, come ad esempio la temperatura, la pressione, e quindi anche dalle varie fasi del giorno o dell anno, non è possibile determinare un valore generale della velocità di propagazione, come vedremo più precisamente nella sezione 8.5. Una prima soluzione consiste nei parametri di correzione prestabiliti nel segnale NAV/System, seppure queste riescono solo ad aumentare leggermente l accuratezza complessiva. Una soluzione migliore sono invece dei sistemi esterni, come il GPS differenziale, che verranno trattati nel capitolo 9. Per il terzo problema, è sufficiente che la ricevente rilevi la frequenza dei segnali ricevuti e successivamente comprime rispettivamente espande adeguatamente il codice PRN

85 79 Capitolo 8. Struttura e propagazione dei segnali GPS per far si che la lunghezza dei chip corrisponda con quelle del codice generato dalla ricevente. Matematicamente questo processo è piuttosto semplice, poiché è sufficiente moltiplicare la frequenza misurata 32 del segnale ricevuto per un fattore α tale che ν r = αν s con rispettivamente ν r e ν s la frequenza del segnale generato e ricevuto dalla ricevente. 8.4 Struttura della ricevente Prima di studiare ulteriori cause di errori legati alla propagazione dei segnali, vediamo rapidamente, in modo qualitativo, la struttura della ricevente. Questa in fatti deve demodulare e interpretare i segnali ricevuti prima di essere in grado di mostrare all utente la posizione, la velocità e il tempo. Questo avviene con algoritmi piuttosto complessi che non rientrano nell obbiettivo del lavoro - essi sono descritti in [5]. Ci limitiamo invece a studiare la figura 8.3, che mostra uno schema semplificato del funzionamento di una ricevente. Antenna Mixer Amplificatore Rilevamento frequenza Demodulazione onda portante Dati di navigazione Salute satelliti Posizione satelliti Parametri ionosferici Generatore codici C/A Correlazione incrociata Parametri UTC Distanze dai satelliti Determinazione della posizione Posizione Velocità Ora Interfaccia utente Orologio a quarzo Misurazioni temporali Calcolo della velocità Sincronizzazione orologio Figura 8.3: Rappresentazione schematica della struttura di una ricevente GPS. 8.5 Ulteriori cause di errori Nei capitoli di relatività abbiamo trattato alcune principali correzioni da apportare al tempo per rendere il GPS affidabile. Chiaramente però vi sono molti altri effetti che sono pure importanti da considerare, sia relativistici che non. Vogliamo ora citarne alcuni. 32 Fatto che permette pure di determinare la velocità della ricevente, come discusso brevemente nel capitolo 7.2.

86 8.5. Ulteriori cause di errori Sistema Selective Availability (SA) Questo sistema fu uno delle maggiori cause di imprecisioni fino al 2.5.2, quando venne disattivato su ordine del presidente Clinton a seguito di pressioni sul dipartimento militare degli Stati Uniti. La causa dell invenzione del sistema SA fu il fatto che, quando il sistema GPS venne messo in servizio, il dipartimento militare era preoccupato che potesse essere usato da potenze nemiche come sistema di navigazione per armi guidate. Per questo motivo decisero di degradare il segnale pubblico (L) variando in modo casuale la frequenza di base (,23 MHz) utilizzata per generare la portante L, fatto che risultava in errori nell ordine delle centinaia di metri successivamente causati da una correlazione imprecisa, rendendo dunque il GPS poco utile per scopi civili. Causa di imprecisioni fu pure il fatto che i dati ephemeris venivano trasmessi con minor accuratezza. Il segnale non degradato (L2) veniva trasmesso encriptato, per cui era accessibile solo gli organi militari/amministrativi degli Stati Uniti e alcuni suoi alleati. SA attivo (.5.2) SA disattivato (3.5.2) Errore sulla latitudine [m] 5-5 Errore sulla latitudine [m] Errore sulla longitudine [m] Errore sulla longitudine [m] (a) (b) Figura 8.4: Confronto tra l accuratezza della posizione con SA attivato (a) e con SA disattivato (b). Per raggiungere una maggiore precisione, soprattutto per quanto riguarda i sistemi di navigazione delle automobili e degli aerei, si adoperò un sistema chiamato GPS Differenziale (vedi sezione 9.), con il quale le posizioni calcolate con l uso del segnale pubblico venivano comparate con posizioni conosciute sulla Terra, permettendo di stabilire dei fattori di correzione. La figura 8.4 ci mostra un confronto delle accuratezze orizzontali ottenute durante un periodo di 24 h mediante il segnale L con SA attivato e con SA disattivato.

87 8 Capitolo 8. Struttura e propagazione dei segnali GPS Disposizione dei satelliti Un altro fattore che può produrre delle inaccuratezze è la disposizione dei satelliti dai quali vengono ricevuti i segnali. Evidentemente non esiste alcuna correzione per questo problema, analizziamone comunque la causa e i risultati. Cominciamo a guardare la figura 8.5, che mostra due possibili disposizioni di due satelliti, nel caso bidimensionale. Skyplot (48 5,3 N 32,9 E) N + SV SV 2 SV 2 SV R O E Qualità segnale (a) R (b) S (c) Figura 8.5: (a) e (b) Due possibili disposizioni di due satelliti. (c) Uno skyplot, ossia un grafico di tutti i satelliti in portata nella posizione specificata, registrato sull arco di 24 ore. Lo spazio vuoto a nord è dato dal fatto che nessun satellite circola sopra i poli. Da notare inoltre la qualità del segnale, una posizione affidabile è rappresentata dal colore blu al verde. Notiamo subito che per ogni satellite, la circonferenza delle possibili posizioni include sempre un margine d errore (grigio) dovuto principalmente agli effetti atmosferici (trattati in seguito). L prima situazione (a) rappresenta una buona disposizione dei satelliti, poiché l area di intersezione (blu) è piccola. Nella seconda situazione (b) abbiamo invece il caso opposto: i due satelliti si trovano nella stessa zona, per cui l area di intersezione è grande e quindi la posizione determinata è molto meno precisa. Nel caso estremo non è nemmeno possibile determinare la posizione. La terza situazione (c) rappresenta invece il diminuire della qualità del segnale con l aumentare delle distanze, segue dunque che ai poli la posizione sarà meno accurata a causa della mancanza di satelliti nelle vicinanze. La figura 8.6 mostra un confronto delle accuratezze verticali ottenute nella fascia centrale della Terra e nella fascia polare. Si può pure notare l ora quanto è stato disattivato il sistema SA, permettendo un considerevole aumento della precisione.

88 8.5. Ulteriori cause di errori 82 5 Ny-alesund, Norvegia ( N) 5 Amman, Giordania (32 48 N) 5 5 Quota -5 Quota SA viene disattivato -2 SA viene disattivato -25 4: Ore passate dalle : UTC del (a) -25 4: Ore passate dalle : UTC del (b) Figura 8.6: Confronto tra l accuratezza della quota in zone centrali (a) e polari (b) della Terra, includendo l aumento generale della precisione con SA disattivato Orbite dei satelliti Anche se le orbite dei satelliti sono calcolate con estrema precisione, leggere variazioni dovute a influenze gravitazionali del Sole e della Luna come pure al vento solare sono possibili. Queste variazioni vengono però sempre registrate nei dati ephemeris, per cui l imprecisione può accumularsi al massimo per 2,5 min, dopodiché le riceventi ottengono la nuova revisione del segnale di navigazione. Segue quindi che l eventuale errore rimane sempre molto piccolo, inferiore ai 2 m Effetto multipath L effetto multipath è causato dalla riflessione 33 dei segnali mandati dai satelliti su oggetti prima di giungere alla ricevente, come illustrato nella figura 8.7. Questo avviene principalmente nelle vicinanze di grandi costruzioni e dislivelli. I segnali riflessi impiegano chiaramente più tempo per raggiungere la ricevente rispetto a un segnale non riflesso, ma i dati contenuti sono gli stessi. I segnali riflessi possiedono però delle intensità minori 34, per cui possono essere filtrati in modo più o meno efficace dalle riceventi a dipendenza del tipo di antenna. Di solito l interferenza causata da questi segnali provoca errori di ± m. Comunque, nel peggiore dei casi, è sempre 33 Seguendo le leggi dell ottica geometrica, poiché non si assistono a fenomeni di diffrazione: per il segnale L, λ = 9,4 cm. 34 Da questo segue anche che un segnale riflesso viene assorbito piuttosto in fretta dall aria o da altri ostacoli, per cui l effetto sparisce in relativamente poco spazio.

89 83 Capitolo 8. Struttura e propagazione dei segnali GPS R Figura 8.7: Effetto multipath. migliore poter calcolare la posizione con i segnali riflessi che non poterla calcolare del tutto Effetti atmosferici Da quando è stato disattivato il sistema SA, è diventato evidente che la causa maggiore di imprecisioni è dovuta al rallentamento dei segnali nell atmosfera terrestre. Infatti, se nel vuoto i segnali elettromagnetici si propagano in linea retta ad una velocità costante pari a c, nell atmosfera la loro propagazione viene deviata e rallentata da vari fattori. La figura 8.8 illustra in modo qualitativo la situazione. v s Spazio n s v i Ionosfera n i Troposfera v t n t v t v i v s Figura 8.8: Propagazione dei segnali nell atmosfera. Come illustrato, le fasce dell atmosfera più importanti per il nostro problema sono la

90 8.5. Ulteriori cause di errori 84 ionosfera, in particolare la parte che va dai 8 ai 4 km di quota, e la troposfera. Più in particolare, la ionosfera è la parte dell atmosfera che contiene un grande numero di elettroni e ioni positivamente caricati, formati dalla radiazione solare. Essa viene divisa in quattro strati, a dipendenza della composizione, che varia con la quota (strato D, E, E s, e F - vedi [8]). Da questo segue che la propagazione viene influenzata diversamente a dipendenza dello strato attraversato; inoltre, poiché la formazione di ioni è dovuta alla radiazione solare, l interferenza subita non è costante né nel tempo né nello spazio, ma varia a dipendenza dell ora del giorno, delle stagioni, e dalla regione della Terra. Infatti assieme alla composizione varia pure lo spessore della ionosfera, sempre a dipendenza dell attività solare. La troposfera è invece la fascia dove si verificano i fenomeni climatici e meteorologici. Pure qui assistiamo ad una continua variazione di diversi fattori che influenzano la propagazione di un onda, come ad esempio la temperatura, la pressione, l umidità, e così via. Vediamo dunque che per entrambi i casi è impossibile trovare una correzione esatta da integrare nell algoritmo della ricevente. Si può solo cercare di minimizzare l effetto. Per il rallentamento dei segnali nella ionosfera, al giorno d oggi si utilizzano le seguenti tecniche per minimizzare l errore (in ordine di efficacia):. Utilizzo di un sistema esterno, come DGPS, WAAS, EGNOS ecc. 2. Per le riceventi bi-frequenza, comparando la propagazione di due segnali trasmessi a frequenze diverse si riesce ad ottenere una correzione approssimativa. 3. Per le riceventi monofrequenza, utilizzo di correzioni ionosferiche prestabilite contenute nel segnale di navigazione. Per quanto riguarda il primo punto, i sistemi esterni verranno trattati più in dettaglio nel capitolo 9. Per il secondo punto, questo è basato sul fatto che la propagazione delle onde trasmesse a basse frequenze è rallentata maggiormente di quella di onde trasmesse a frequenze più elevate. Sfruttando questo fatto, una ricevente bifrequenza (quindi che è in grado di ricevere sia il segnale L che quello L2) può calcolare una correzione per compensare il rallentamento considerando l intervallo di tempo che separa la ricezione dei due segnali da parte della ricevente. Il terzo punto si basa invece su costanti 35 conosciute per la propagazione di onde ad alta frequenza nella ionosfera. Queste però chiaramente non possono tenere conto di variazioni dovute per esempio al vento solare, per cui la precisione ottenuta è minore. È quindi pure chiaro il motivo per cui l accuratezza (soprattutto per le riceventi 35 Variano a dipendenza dell ora del giorno, del luogo e della stagione, secondo un modello ionosferico predefinito.

91 85 Capitolo 8. Struttura e propagazione dei segnali GPS monofrequenza) risulta essere maggiore nelle ore notturne. Nella figura 8.9 è rappresentato un confronto grafici rappresentanti la precisione delle posizioni ottenute sull arco di 24 h con una ricevente bifrequenza (militare), una ricevente normale (civile) usando parametri di correzione e una ricevente normale senza parametri di correzione. 5 Ricevente militare, bifrequenza 5 Ricevente civile, con parametri Ricevente civile, senza parametri 5 Errore sulla latitudine [m] Errore sulla latitudine [m] Errore sulla latitudine [m] Errore sulla longitudine [m] Errore sulla longitudine [m] Errore sulla longitudine [m] Errore sulla quota [m] Ricevente militare, bifrequenza Tempo trascorso [ 4 s] Errore sulla quota [m] Ricevente civile, con parametri Tempo trascorso [ 4 s] Errore sulla quota [m] Ricevente civile, senza parametri Tempo trascorso [ 4 s] Figura 8.9: Confronto tra l accuratezza ottenuta con riceventi militari, riceventi civili con uso di parametri e riceventi civili senza l uso di parametri. Vediamo dalla figura che, per qualsiasi tipo di ricevente, l errore sulla quota è molto maggiore di quello sulla latitudine rispettivamente longitudine. Questo fatto segue semplicemente dal fatto la propagazione dei segnali avviene per grande parte nella direzione radiale rispetto alla Terra, per cui l errore legato al rallentamento sarà visibile soprattutto sulla quota. Si può inoltre notare che con una ricevente militare le posizioni ottenute non sono molto più precise di quelle ottenute con una ricevente civile (con parametri), ma in genere più concentrate. Per compensare invece le influenze della troposfera sulla propagazione del segnale, meno importanti di quelle della ionosfera, ma non per questo trascurabili, si può unicamente usare un sistema esterno. Matematicamente, vediamo che la propagazione viene deviata rispetto alla traiettoria iniziale e rallentata secondo le proprietà dell ottica geometrica, viste all inizio

92 8.5. Ulteriori cause di errori 86 del capitolo. Abbiamo e u = c n sin α,i sin α 2 = u u 2 = n 2 n, dunque la propagazione dipende unicamente dagli indici di rifrazione. Vediamo ora in modo qualitativo da cosa dipendono questi indici di rifrazione. Partiamo dal fatto che, come abbiamo visto, Ora, la velocità della luce c è data da n = c u. c = ǫ µ (8.7) dove ǫ e µ sono rispettivamente la costante dielettrica e la permeabilità magnetica nel vuoto. La velocità di propagazione u in un dato mezzo è invece data da u = ε ε r µ µ r (8.8) dove ǫ r e µ r sono rispettivamente la costante dielettrica e la permeabilità magnetica relativa. Otteniamo dunque n = ε µ Per sostanze non magnetiche, si ha che µ r per cui = ε r µ r. (8.9) ε ε rµ µ r n ε r. (8.) Ora, abbiamo già detto che la misura del rallentamento nella ionosfera dipende dalla frequenza dell onda. L indice di rifrazione deve quindi essere una funzione della frequenza. In particolare, si può dimostrare che per alte frequenze dove ω = 2πν è la pulsazione e ε r (ω) = ω2 p ω 2 (8.) ω 2 p = ρe2 ε m e, (8.2) con ρ la densità elettronica, e la carica elementare e m e la massa dell elettrone. chiamata frequenza di plasma. ω p 2π è

93 87 Capitolo 8. Struttura e propagazione dei segnali GPS Vediamo dunque che l indice di rifrazione dipende unicamente dalla densità elettronica del mezzo di propagazione e dalla pulsazione dell onda (e dunque dalla frequenza), poiché il resto è costante. È interessante specificare, soprattutto in relazione a quanto vedremo nella sezione 9.2, che nel caso della ionosfera ρ può essere espresso come ρ = TEC h dove TEC è il Totale Electron Content (Contenuto Totale di Elettroni), espresso in 6 elettroni/m 2 e h è lo spessore della ionosfera. Ricordiamo che lo spessore della ionosfera non è costante, anche se le variazioni in una data regione sono più o meno periodiche sull arco di 24 h e sull arco di un anno. Vedremo che un tipo di sistema esterno si basa su una cartina che illustra i valori TEC, per cui, conoscendo un modello della variazione dello spessore della ionosfera, è possibile ricavare degli indici di rifrazione piuttosto precisi per calcolare il rallentamento nella ionosfera per ogni singolo segnale ricevuto da una ricevente Ulteriori effetti relativistici Abbiamo visto nei capitoli precedenti che degli orologi molto precisi sono fondamentali per ottenere un elevata precisione nel sistema. Dopo aver corretto gli effetti relativistici principali, vediamo una lista di effetti secondari che possono essere considerati, da parte della ricevente, per aumentare la precisione: Velocità della ricevente; Direzione del moto (importante vista la rotazione della Terra); Quota della ricevente (variazioni del campo gravitazionale); Curvatura della propagazione del segnale dovuta al campo gravitazionale.

94 8.5. Ulteriori cause di errori Accuratezze Sono riassunti nella seguente tabella gli intervalli di errore delle principali fonti di errore per cui non esiste un algoritmo di correzione come pure quelli dovuti ad errori di calcolo: Causa errore Intervallo errore Errore temporale Ionosfera ±5 m 2 8 s Errori dati ephemeris ±2,5 m 9 9 s Variazione orbite satelliti ±2 m 7 9 s Errori orologi satelliti ±2 m 7 9 s Effetto multipath ± m 3 9 s Errori di approssimazione ± m 3 9 s Troposfera ±,5 m 2 9 s Ovalità della Terra ±7,2 3 m 2 s Curvatura traiettoria dei segnali ±9, 4 m 3 2 s Potenziali di marea ±3, 4 m 2 s Otteniamo dunque le seguenti accuratezze: Situazione Ricevente civile, SA attivo Ricevente civile, condizioni normali Ricevente civile con DGPS Ricevente civile con WAAS/EGNOS Accuratezza ±5 m ±5 m ±5 m ±3 m Grafici I grafici rappresentati nelle figure 8.2 e 8.2 mostrano le deviazioni delle posizioni registrate da una ricevente ad antenna statica rispetto alla posizione media sull arco di un giorno rispettivamente di un anno.

95 89 Capitolo 8. Struttura e propagazione dei segnali GPS N m : UTC Deviazione della posizione longitudinale dal valore medio -5 S E O Alba Tramonto m Deviazione della posizione latitudinale dal valore medio Alba Tramonto m Deviazione della quota dal valore medio 5-5 Ora UTC Ora UTC Alba Tramonto Numero di satelliti utilizzati nel calcolo della posizione Alba Tramonto Ora UTC Ora UTC Figura 8.2: Deviazioni registrate a intervalli di s sull arco di 24 h. Da notare l errore maggiore sulla quota rispetto alla longitudine e alla latitudine. Ciò segue semplicemente dal fatto che il rallentamento durante la propagazione dei segnali avviene principalmente lungo l asse verticale.

96 8.5. Ulteriori cause di errori 9 N m : 59 UTC Deviazione della posizione longitudinale dal valore medio - S E Gen 26 m Feb Mar Apr Mag Giu Lug Ago Set Ott Nov Deviazione della posizione latitudinale dal valore medio Dic Gen O + Gen 26 m Feb Mar Apr Mag Giu Lug Ago Set Ott Deviazione della quota dal valore medio Nov Dic Gen Gen 26 Feb Mar Apr Mag Giu Lug Ago Set Ott Nov Dic Gen 27 Figura 8.2: Deviazioni registrate sull arco di 365 giorni, misurazioni effettuate ogni giorno alla stessa ora. Nuovamente per quanto riguarda la quota, è possibile riconoscere una tendenza regolare nelle varie stagioni dell anno.

97 Capitolo 9 Sistemi esterni per una precisione più elevata I sistemi esterni permettono di aumentare l accuratezza della posizione ottenuta con il GPS, soprattutto in relazione al problema del rallentamento dei segnali nella ionosfera, fatto che è stato individuato quale maggiore causa di errori successivamente alla disattivazione del sistema SA. 9. DGPS - GPS differenziale 9.. Funzionamento Lo scopo originale dello sviluppo del sistema DGPS (Differential GPS - GPS differenziale) era quello di distribuire dei parametri di correzione per la posizione ai tempi quando il sistema SA era ancora attivo. Al giorno d oggi, questi parametri possono essere invece usati per diminuire l errore dovuto al rallentamento dei segnali nella ionosfera. Il principio alla base di questo sistema è il seguente: Una ricevente GPS viene messa, fissa, in un punto ben preciso sulla Terra, per cui si conosce esattamente la sua posizione. Ricevendo i segnali dei satelliti in vista, invece di usare l intervallo di tempo misurato per determinare la sua posizione, quest ultima viene adoperata per determinare l intervallo di tempo corretto. Ottenuta la differenza tra gli intervalli di tempo, una lista di fattori di correzione (un fattore per ogni satellite in vista) viene trasmesso via onde radio per le riceventi GPS normali che supportano DGPS. 9

98 9.2. SBAS - Satellite Based Augmentation Systems 92 Le riceventi GPS che sono in grado di ricevere i segnali DGPS applicano le correzioni, aumentando in questo modo notevolmente l accuratezza della posizione. I parametri trasmessi sono pure validi per riceventi distanti alcune centinaia di chilometri dalla ricevente DPS. Infatti, considerando l elevata quota alla quale orbitano i satelliti, ad esempio una distanza di 2 km sulla Terra appare quasi irrilevante. È comunque evidente che l accuratezza della posizione ottenuta diminuisce con l aumentare della distanza tra la ricevente e la stazione DGPS Accuratezze Al giorno d oggi, usando DGPS ci si può aspettare una precisione tra i 3 m e i 5 m. Resta comunque da dire che, poiché le stazioni DGPS si trovano vicino alle aree più popolate, in zone meno abitate, come in Alaska, la precisione diventa minore. Inoltre, non tutto il globo è coperto dal servizio DGPS - attualmente 47 Nazioni offrono un sistema paragonabile al DGPS, soprattutto in America del Nord, Canada e in Europa Note storiche Il sistema DGPS venne sviluppato a partire dagli anni ottanta, con il primo obiettivo di annullare le imprecisioni intenzionali del sistema SA. Il primo ad occuparsi di questo sistema fu la USCG - U.S. Coast Guard. Presto si vide nel DGPS pure un modo per correggere gli errori causati dai rallentamenti dei segnali durante il passaggio della ionosfera, causa degli errori più grandi. Le prime stazioni DGPS vennero costruite da compagnie private che avevano bisogno di molta accuratezza per progetti propri, quelle pubbliche seguirono a partire dalla metà degli anni novanta (la USCG mise in funzione la sua prima stazione nel 996). A partire da questo momento, l area coperta da un sistema comparabile a DGPS si estese rapidamente. Per quel che concerne le riceventi in grado di ricevere onde DGPS, all inizio si trattava di dispositivi molto specializzati e quindi piuttosto rari, oggi però la maggior parte delle riceventi viene costruita con supporto DGPS integrato. Il DGPS mantiene tutt ora la sua utilità anche con il sistema SA è stato disattivato: si dice che se il GPS permette ad un aereo di trovare la pista di atterraggio, il sistema DGPS lo porta al centro della pista. 9.2 SBAS - Satellite Based Augmentation Systems Sotto il nome di SBAS troviamo dei sistemi simili al DGPS, ma che trasmettono le correzioni via satellite al posto di usare delle stazioni radio. Da questo segue che, da un

99 93 Capitolo 9. Sistemi esterni per una precisione più elevata lato non sono più necessarie un grande numero di stazioni emittenti, dall altro non è necessario implementare ulteriori dispositivi nelle riceventi GPS affinché siano in grado di ricevere le onde radio, ma è sufficiente che l algoritmo della ricevente è configurata per poter interpretare i dati dei SBAS. La ragione principale dello sviluppo di questi sistemi è quello di aumentare la sicurezza nell aviazione. Infatti il sistema GPS da solo non possiede né una precisione né un affidabilità sufficiente per poter essere usato per la navigazione. Lo scopo è dunque quello di avere a disposizione un sistema che permette di rendere il GPS utilizzabile per approcci e atterraggi in condizioni di visibilità normale o ridotta. Nella categoria dei SBAS troviamo attualmente tre sistemi simili, WAAS (Wide Area Augmentation System), EGNOS (European Geostationary Navigation Overlay Service) e MSAS (Multi-Functional Satellite Augmentation System). Anche se sono gestiti da continenti diversi (America del Nord, Unione Europea e Asia orientale, rispettivamente), essi sono compatibili uno con l altro, per cui grande parte del globo è coperto da un SBAS (vedi sezione 9.2.2). Da notare comunque che attualmente i sistemi EGONS e MSAS non sono ancora pienamente operativi Funzionamento Come nel caso del DGPS, anche questi sistemi sfruttano delle stazioni terrestri, in questo caso chiamate RIMS (Ranging and Integrity Monitor Stations - Stazioni di Monitoraggio della Portata e dell Integrità), ossia delle riceventi fisse delle quali si sa esattamente la posizione dell antenna. Il sistema americano ne adopera 25, mentre il sistema europeo, una volta pienamente operativo, ne utilizzerà 34. L aspetto interessante di questi sistemi è il fatto che le riceventi delle RIMS sono in grado di ricevere entrambi le frequenze (L e L2) e quindi, confrontando i tempi di percorrenza di questi segnali, la misura del rallentamento nella ionosfera può essere calcolato per ogni satellite in vista. Nel caso del EGNOS europeo, questi dati, assieme ad altri parametri raccolti, vengono attualmente mandati alla Central Processing Center a Toulouse in Francia 2. In questa stazione 3 i parametri raccolti vengono elaborati per ottenere i seguenti dati: Errori a lungo termine delle orbite dei satelliti; Errori a lungo e corto termine degli orologi dei satelliti; Reticolato di correzioni ionosferiche; Una ragione è il fatto che non vi sono informazioni affidabili che possono informare un utente entro pochi secondi su possibili malfunzionamenti del sistema. 2 Una volta che il sistema sarà pienamente operativo sono previste quattro MCC (Mission Control Center) sparse per l Europa. 3 E in futuro in tutte le MCC.

100 9.2. SBAS - Satellite Based Augmentation Systems 94 Informazioni concernenti l integrità dei dati 4. Il dato più importante è chiaramente il reticolato di correzioni ionosferiche, soprattutto da quando la funzione SA è stata disattivata. Sfruttando il fatto che onde con bassa frequenza vengono rallentate maggiormente che quelle con altra frequenza (come abbiamo visto nella sezione 8.5.5), è possibile ottenere una cartina illustrante i valori TEC (Total Electron Content - Contenuto Totale di Elettroni) come quella raffigurata nella figura 9.. Cartina TEC Ionosferica 8 Fri Oct :2 CET Latitudine TEC-Units ( 6 electrons/m Longitudine Figura 9.: Cartina illustrante i valori TEC della ionosfera su scala mondiale. Nella parte del globo esposta al sole, soprattutto nella fascia equatoriale, distinguiamo un valore TEC più alto che nelle altre zone. Queste cartine vengono regolarmente trasmesse a dei satelliti geostazionari 5 che trasmettono le informazioni sulle frequenze L e L2. Oltre fornire le informazioni necessarie per correggere gli effetti della ionosfera, possono fungere da normali satelliti GPS, per cui possono essere utilizzati per calcolare la posizione. Una ricevente potrà utilizzare ora la cartina TEC per calcolare il rallentamento per ogni segnale ricevuto, per cui è possibile ottenere una maggior accuratezza nella determinazione della posizione, vedi figura 9.2. Il grande vantaggio dei SBAS rispetto al DGPS è chiaramente il fatto che vengono 4 Grazie alla quale è possibile informare entro pochi secondi le riceventi su possibili malfunzionamenti del sistema GPS. 5 Satelliti la cui posizione rispetto alla Terra è sempre la stessa, quindi orbitanti con un periodo di 24 h e ad una quota di 36 km.

101 95 Capitolo 9. Sistemi esterni per una precisione più elevata Ionosfera Figura 9.2: Grazie alla cartina TEC la ricevente può determinare l interferenza subita da ogni segnale durante l attraversamento della ionosfera. trasmesse delle informazioni per poter calcolare delle correzioni, ovunque ci si trovi, al posto di dover applicare delle correzioni già elaborate, garantendo dunque solo un accuratezza migliore attorno alle stazioni DGPS Copertura attuale dei SBAS Come prima cosa ricordiamo che attualmente questi sistemi non sono ancora pienamente operativi, per cui è solo possibile parlare della situazione attuale. Come nel caso del DGPS, pure i SBAS non offrono una copertura globale. Da un lato non vi sono stazioni in ogni regione della Terra, per cui in certe zone del globo la cartina TEC è approssimativa, ma soprattutto i segnali dei satelliti usati per trasmettere queste informazioni non coprono tutta la Terra, la situazione attuale è rappresentata nella figura 9.3. Figura 9.3: Copertura dei satelliti INMARSAT attualmente usati per trasmettere segnali SBAS.