Meccanica dei continui

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1 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 5 Meccanica dei contini Il capitolo introdce la teoria della deformazione del contino solido, a partire dal tensore di deformazione finita di Green-Lagrange e passando poi alla teoria degli spostamenti e deformazioni piccoli o infinitesimi con la definizione del tensore di deformazione infinitesima. Viene poi presentato il problema dell eqilibrio del solido deformabile basato slla definizione di forze e tensioni, con l introdzione del tensore di sforzo di Cachy e con le tili e comode rappresentazioni dello sforzo nello spazio di Haig-Westergaard e nel piano di Mohr. Viene appena introdotto il tensore di sforzo di Piola-Kirchhoff. Sege il Principio dei Lavori Virtali, qale strmento principe e niversale di collegamento fra il mondo degli spostamenti-deformazioni e qello delle forze-tensioni. La seconda parte del capitolo tratta dei Legami Costittivi per i materiali strttrali, con particolare rilievo alla teoria dell elasticità lineare isotropa e alle relazioni di Hooke, così importanti nelle applicazioni ingegneristiche: la trattazione è basata sl concetto di Energia di Deformazione che consente di definire il Potenziale Elastico. Le eqazioni dell Eqilibrio Elastico di Navier-Cachy e di Beltrami-Michell vengono appena introdotte. Le relazioni del materiale linearmente elastico anisotropo vengono presentate allo scopo di fare intravedere talne applicazioni ai materiali compositi e alle mratre che l Allievo incontrerà nel prosiego degli stdi. Chidono il capitolo nmerosi esercizi sll ampia materia trattata, la ci solzione viene lasciata all allievo. CAPITOLO 5 5. j Spostamento, deformazione finita e infinitesima 5. j Problema dell eqilibrio dei solidi deformabili, tensioni, tensore di sforzo 5. j Principio dei Lavori Virtali per il solido deformabile 5.4 j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell Elasticità APPROFONDIMENTI 5. j Deformazione delle sperfici 5. j Tensore di sforzo di Piola- Kirchhoff 5. j Particolarizzazioni ed estensioni del PLV 5.4 j Eqazioni di Beltrami-Michell

2 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 6 6 j Capitolo 5 j Meccanica dei contini 5. j Spostamento, deformazione finita e infinitesima Microscala Macroscala Il mezzo contino rappresenta n modello matematico della materia la ci effettiva strttra, atomica o molecolare, è rappresentata mediante na distribzione contina di pnti materiali. La dimensione caratteristica dell elemento di volme s ci si opera si sppone pertanto speriore di vari ordini di grandezza alle distanze atomiche e/o molecolari. I solidi, in particolare i materiali da costrzione, presentano inoltre, a na microscala opportna osservabile con microscopi ottici (nel caso della strttra a grani dei metalli) o a occhio ndo (per esempio la distribzione degli inerti e della pasta cementizia nei calcestrzzi o dei mattoni e dei corsi di malta nelle mratre), strttre eterogenee con proprietà meccaniche variabili con discontinità e micro-cavità o micro-frattre. Un materiale di qesto tipo pò pertanto essere trattato come n mezzo contino eqivalente, omogeneo o con proprietà meccaniche variabili con continità, solo a na scala con dimensione speriore o macroscala. Le sali prove sperimentali, per esempio s provini cbici di calcestrzzo di lato 0 cm, consentono appnto di determinare qeste proprietà medie eqivalenti (Figra 5.) 5.. Spostamento, deformazione, gradiente di deformazione Un corpo solido sottoposto all azione dei carichi cambia di forma, ovvero assme configrazioni diverse. Come configrazione di 0 si considera na di esse, per esempio qella assnta dal corpo in assenza di carichi; i carichi e le azioni esterne fanno poi modificare la 0 in qella aggiornata, o Le identificano gli insiemi di pnti o posizioni, e sono insiemi connessi. Introdotto n sistema di riferimento (O,,, ) ortogonale e destrorso si indica per semplicità con 5 [,, ] T il generico pnto materiale identificato 0 dalla sa posizione rispetto all origine (Figra 5.). Si definisce deformazione la relazione che associa al pnto la posizione y 5 [y, y, y ] T del pnto materiale nella attale y 5 f() (5.) Figra 5. Strttra, proprietà medie e microscala. Microscala

3 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 7 5. j Spostamento, deformazione finita e infinitesima j 7 0 : configrazione di riferimento : configrazione attale Figra 5. Deformazione. 0 f () y e e e o f Drante il processo di deformazione di n mezzo contino non è consentita per ipotesi né la separazione o frattra del corpo in più parti, né che de porzioni prima distinte vadano a occpare la stessa regione e qindi si compenetrino (Figra 5.). Di consegenza la deformazione f trasforma pnti interni al corpo nella configrazione di 0 in pnti interni analogamente, pnti appartenenti alla sperficie esterna del corpo rimarranno slla frontiera di esso. I segenti assiomi di continità della deformazione esprimono formalmente qanto ennciato: f è binivoca, ovvero a corrisponde no e n solo y e viceversa; f è contina e differenziabile fin che occorre. Assiomi di continità della deformazione Peraltro pò essere necessario descrivere il passaggio inverso dalla configrazione a qella di 0 ; ciò richiede l esistenza della relazione inversa 5 f (y) per la qale si assmono le stesse ipotesi di regolarità. Infine, è bene ricordare che fenomeni qali la frattra dei materiali fragili, ossia il danneggiamento di essi osservabile a na microscala opportna, non possono, ovviamente, essere esarientemente descritti in qesto contesto. La relazione (5.) che definisce la deformazione si pone nella forma: y 5 f() 5 () (5.) * y ; y* Figra 5. a) Frattra del corpo in de parti. b) Compenetrazione di parti distinte.

4 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 8 8 j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Figra 5.4 Deformazione di n solido. d ** 0 e e o e y d y y * 0 : configrazione di riferimento : configrazione attale o deformata in ci la fnzione vettoriale f() 5 () deve godere dei reqisiti di: continità, differenziabilità, invertibilità, affinché la deformazione sia n fenomeno sfficientemente gradale e regolare, senza distacchi, scorrimenti, compenetrazioni di materia e brschi cambiamenti locali. Nella (5.) () è il campo di spostamento, costitente la distanza orientata fra la posizione attale y e qella iniziale 0 (Figra 5.4). Le (5.) e (5.) consentono di esprimere la posizione attale y in fnzione di e dello spostamento (): y 5 f () 5 (,, ) y 5 f () 5 (,, ) (5.) y 5 f () 5 (,, ) Il reqisito di invertibilità della f(), cioè dell esistenza e regolarità dell inversa f (y), dal pnto di vista matematico richiede che le frontiere 0 si corrispondano in modo binivoco e che il determinante Jacobiano della f() rispetti la condizione di non singolarità, o eqivalentemente (per i solidi) di positività: Tensore gradiente di deformazione J 5 det=f()? 0 (a) J 5 det=f() 7 0 (b) La (5.4) in esplicito coinvolge il tensore gradiente di deformazione F: 0f 0f 0f ( 0 0 ) (5.4) 0f 0f 0f F5=f5f i,j 45F V 5 F f 0f 0f ( 0 0 ) V ( 0 ) (5.5) Gradiente di spostamento che è basato sl gradiente di spostamento H 5=5 i,j 4 5 F V (5.6)

5 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 9 5. j Spostamento, deformazione finita e infinitesima j 9 tramite la: F 5 I =5IH (5.7) ove nelle (5.5) e (5.6) si sono adoperate le notazioni sintetiche di derivazione,. Nelle relazioni di sopra le derivate sono calcolate nel pnto origine dell intorno considerato. Volendo stdiare la regola con la qale gli elementi lineari (vettori) d 5 * appartenenti all intorno infinitesimo di si trasformano nei corrispondenti dy 5 y* y appartenenti all intorno di y; basta differenziare la (5.) ottenendo dy 5 d d che si esplicita: f i,j 5 0f i 0 j i,j 5 0 i 0 j d 0 d 0 d 0 d 0 dy 0 0 dy 5 Cdy S 5 Fd 0 d 0 0 d 0 0 d 0 V 5 I =d dy d 0 0 d 0 0 d 0 0 d (5.8) e a mezzo del gradiente di deformazione, consente di scrivere: dy 5 Fd y * y 5 F( * ) 0( * ) (5.9) La (5.9), a meno dell infinitesimo di ordine speriore 0(* ), esprime con na relazione lineare omogenea il vettore incremento di posizione dy in fnzione di qello iniziale d: dy 5 Fd. Alla stessa relazione (5.9) si perviene espandendo in serie di Taylor la f() a partire da. Una deformazione si dice omogenea se il gradiente di deformazione F è costante in ttto il solido. Nella (5.9) si è tilizzato l operatore gradiente di deformazione F che è stato definito tensore, al qale segiranno in qesto testo altri tensori, qello di deformazione infinitesima, qello di sforzo e altri. Nella relazione dy 5 Fd, F costitisce l operatore algebrico che applica ogni vettore d dello spazio dei vettori infinitesimi dell intorno di origine nei corrispondenti vettori dy di arrivo. Rinviando ad approfondimenti matematici la nozione completa di tensore, è sfficiente in qesta sede affermare che il termine tensore è tilizzato nel testo per definire n operatore algebrico lineare che trasforma no spazio vettoriale V in n altro spazio vettoriale V9; inoltre, le componenti di n tensore, al cambiare della base del riferimento, mtano sì da rispettare proprietà di invarianza del vettore trasformato. Il gradiente di deformazione F è pertanto la matrice (tensore) che, applicata al generico segmento orientato d 5 *, che esprime la distanza fra de pnti nella configrazione di riferimento, lo trasforma nel corrispondente vettore dy 5 y * y nella configrazione attale. Tramite la (5.8) e (5.9) si ottiene: d 5 Fd d 5(F I)d 5 Hd che permette di esprimere lo spostamento del generico pnto * dell intorno infinitesimo di tramite lo spostamento di e il gradiente di spostamento H: (*) 5 () H( *) 0( *) (5.0) in ci l ltimo addendo, infinitesimo, è nllo nel caso di deformazioni omogenee. In precedenza (Capitolo ) si è asserito che no spostamento è rigido se e solo se la deformazione f è rappresentabile come composizione di na traslazione () di n pnto generico e di na rotazione rigida attorno a esso: y * 5 * () R ( * ) (5.) Tensori Invarianza Spostamento rigido

6 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 0 0 j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Figra 5.5 Dilatazione lineare nella direzione di. O * y * * y * Pertanto la traslazione e la rotazione rigida sono deformazioni omogenee ripettivamente con: F 5 I traslazione F 5 R rotazione rigida (R R T 5 I, det R 5 ) Tramite l Eqazione (5.6) si osserva che il gradiente di deformazione F e il gradiente di spostamento H differiscono del gradiente della posizione che è l identità. In Figra 5.5 è rappresentata na dilatazione semplice secondo l asse, ove per semplicità O ; ; y; è immediato constatare che rislta: y * 5 * 5l * (5.) Coefficiente di dilatazione lineare Nell eqazione precedente è definito il coefficiente l, dilatazione lineare, che rappresenta il rapporto fra la lnghezza del segmento nella configrazione attale e qella nella configrazione di riferimento. Nella letteratra tecnica, tttavia, viene più freqentemente tilizzato, come misra della dilatazione lineare, il rapporto e fra la differenza delle lnghezze del segmento nelle de configrazioni e la lnghezza iniziale. Esso viene chiamato coefficiente di dilatazione lineare; rislta pertanto (Tabella 5.): e 5 (y * *) * 5l 5 * (5.) Le prove di trazione di provini elastici prismatici generalmente determinano dilatazione lineare positiva nella direzione di trazione e dilatazione lineare negativa nelle direzioni ortogonali; tale fenomeno è detto contrazione trasversale ed è mostrato in Figra 5.6. La deformazione omogenea rislta in tal caso: l 0 0 F 5 C 0 l 0 SC 0 0 l S 5 C e e 0 SC 0 0 e S (5.4) Tabella 5. Confronto fra le de diverse espressioni della dilatazione lineare l n e e n 5l n. Dilatazione l n. e n. 0 Moto Rigido l n 5 e n 5 0 Contrazione 0, l n,, e n, 0

7 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 5. j Spostamento, deformazione finita e infinitesima j Figra 5.6 Deformazione di n provino prismatico e contrazione trasversale. ε l 0 (< 0) l 0 O l 0 ε l 0 (< 0) l 0 ε l 0 (> 0) ove F (tensore gradiente di deformazione) rislta diagonale e ttti i termini risltano strettamente positivi. Una deformazione omogenea si definisce dilatazione (stretch) e si indica con U, se F 5 U rislta simmetrica e definita positiva, secondo na definizione che verrà introdotta nel segito. Una trattazione esastiva della deformazione dei mezzi contini è estranea agli scopi di qesto testo e per essa si rimanda a classici trattati di Scienza delle Costrzioni o più specificatamente a testi di Meccanica dei Contini. Tttavia si ritiene opportno completare qesto paragrafo riportando alcni risltati notevoli validi per deformazioni di ampiezza qalnqe e qindi ricavare da essi il caso particolare, ma di principale interesse tecnico, delle piccole deformazioni, di ci peraltro è presentata na trattazione atonoma nel Paragrafo 5. Infatti, pr esistendo importanti applicazioni in biomeccanica, nell ingegneria meccanica (per esempio il calcolo delle pale degli elicotteri) e nell ingegneria civile (tensostrttre, pnemostrttre ecc.) in ci è necessario non introdrre alcna limitazione slle entità di qeste grandezze, nella maggior parte dei problemi di interesse applicativo gli spostamenti e le deformazioni sono piccoli. Nella generalità delle strttre il coefficiente di dilatazione lineare e n di n qalnqe segmento non spera l % e gli spostamenti sono tali che è possibile confondere la configrazione deformata con qella di riferimento. Spostamenti e deformazioni finite Si ricordano i segenti risltati. Decomposizione spettrale Ogni dilatazione pra pò essere ottenta mediante la sccessione di tre dilatazioni semplici secondo tre direzioni mtamente ortogonali (l entità delle tre dilatazioni e le loro direzioni rappresentano rispettivamente i tre atovalori e i tre atovettori di U). Decomposizione polare Una qalnqe deformazione omogenea, con n pnto fisso, pò essere ottenta in modo nico mediante na dilatazione con gradiente U segita da na Decomposizione spettrale Decomposizione polare

8 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini rotazione con gradiente R oppre da na rotazione R segita da na deformazione con gradiente V. F 5 R U 5 V R (5.5) Si pò verificare che per qanto rigarda la cosiddetta decomposizione destra F 5 RU di F, con U simmetrico e definito positivo, rislta F T F 5 U T R T RU5 U T U 5 U U 5 "F T F Inoltre per qanto rigarda la decomposizione sinistra F 5 VR di F, con V simmetrico e definito positivo, si ha: FF T 5 VRR T V T 5 V V 5 "FF T Sicché U e V si ottengono rispettivamente come tensori radici qadrate dei prodotti F T F e FF T. Dilatazione Misra della deformazione Per completare qesta sccinta analisi delle deformazioni omogenee si ricavano in fnzione del gradiente di deformazione F e della dilatazione U come variano l angolo compreso fra de segmenti qalnqe e la loro dilatazione, al variare della direzione (Figra 5.7). Si consideri n generico segmento orientato ( * ) nella configrazione di riferimento avente modlo ) * ) e direzione n; nella configrazione attale esso si trasforma nel segmento (y * y) di modlo )y * y) e direzione m. In virtù della (5.) la sa dilatazione vale: l n 5 0y* y0 0* 0 (5.6) n 5 * 0* 0 ove il pedice n indica la dipendenza dalla direzione; elevando al qadrato la relazione precedente, tenendo sccessivamente conto che le direzioni (i versori) hanno modlo nitario,, e dell Eqazione (5.9) si ha: 0 * * θ 0 n e e e 0 : configrazione di riferimento : configrazione attale y y * r θ m s Figra 5.7 Dilatazione del segmento * e variazione dell angolo 0.

9 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 5. j Spostamento, deformazione finita e infinitesima j l n 5 y* y T y * y * T * 5 F* T F * 0 * 0 T 0 * 0 5 n T F T Fn (5.7) Infine, ricordando che R è ortogonale (R R T 5 I) si ha il risltato cercato: e l n 5 RUn T RUn4 5 (n T U T Un) 5 0Un0 (5.8) e n 5 (n T F T Fn) 5 0U n0 (5.9) Per calcolare la variazione dell angolo 0 fra le de direzioni n e s che per effetto della deformazione si trasformano rispettivamente nei vettori m e r (Figra 5.7), si ricordi che dalla definizione di prodotto scalare rislta: cos 5 mt r 0m0 0r0 (5.0) Variazione dell angolo Pertanto, poiché per la (5.9) si ha m 5 Fn e r 5 Fs, rislta: cos 5 FnT ln Fs (5.) Nel caso generale delle deformazioni finite lo stato di deformazione è completamente noto se sono note le 6 componenti del tensore U (5.9). ls 5 nt U s lnls Tensore di Deformazione Finita di Green-Lagrange Si vole ora determinare la variazione della metrica qadratica dell intorno di dovta alla deformazione, in termini relativi rispetto a qella originaria. Verranno inoltre introdotti i coefficienti di variazione lineare, volmetrica e sperficiale costitenti le principali misre della deformazione nelle tre dimensioni. Si consideri il vettore d 5 * appartenente all intorno di, esso per la deformazione si trasforma nel vettore dy 5 y* y a mezzo della (5.9) dy 5 Fd. Siano dl e dl9 le ampiezze di d e dy ottenibili rispettivamente da dl 5 d T d e dl9 5 dy T dy. La metrica qadratica varia 0 a casa della deformazione, ed è valtabile tramite il passaggio al limite per dl S 0 della qantità: dl9 dl dl 5 dyt dy d T d d T d 5 dt F T Fdy d T d d T d 5 dt (I= T )(I=)4dd T d 5 dt = T == T =)4d 5 d T d d T d 5 dl n T = T = = T =)4n dl 5 n T Dn (5.) Il cambio delle dimensioni dei segmenti appartenenti all intorno di, primo carattere definitorio della deformazione, dipende dnqe solo dalla loro direzione n tramite il tensore D di deformazione finita di Green-Lagrange, simmetrico, definito dalla (5.) che con facili svilppi si scrive: 5 Cambio della metrica qadratica degli intorni Tensore di deformazione finita di Green-Lagrange D 5 d ij 4 5 = =T = T =)4 5 (FT F I) 5 5 (UT U I) 5 c 0 i 0 j 0 j 0 i a k5 0 k 0 i 0 k 0 j d (5.)

10 4 j Capitolo 5 j Meccanica dei contini e si esplicita: Il tensore D è simmetrico e dipende dalle sole sei qantità indipendenti fra le d ij riportate nella (5.4), le qali a loro volta dipendono dalle componenti del gradiente di spostamento H. Coefficiente di variazione lineare secondo la direzione n Con riferimento alla trasformazione di d in dy dovta alla deformazione, il coefficiente di variazione lineare in secondo la direzione n è stato già definito tramite la. Esso si pò calcolare agevolmente a mezzo della (5.) che fornisce:, grazie alla qale si ottiene (5.5) eqivalente alla (5.9). Volendo per esempio calcolare e n per la direzione e 5 [ 0 0] T del primo asse coordinato, tramite la (5.5) si ha: Variazione volmetrica Nella configrazione 0 si consideri l intorno v del pnto, avente volme. A segito della deformazione l intorno v si trasforma in qello v9 avente volme, in ci opera lo Jacobiano della deformazione (5.4), potendo considerare le Eqazioni (5.) della deformazione alla strega di eqazioni di n cambio di coordinate nella trasformazione dal 0 a Dall ltima relazione sopra scritta si evince che il determinante Jacobiano, esprimibile come (5.6) rappresenta il rapporto fra il volme dell intorno infinitesimo deformato contenente y e qello indeformato corrispondente 0 contenente : sotto l ipotesi che a volmi finiti 0 corrispondano volmi finiti consege la condizione di positività per lo Jacobiano J. 0 già invocata precedentemente. La variazione di volme dell intorno vale dnqe, e permette di definire nel pnto 0 04 T C d d d? d d?? d SC 0 0 S 5 d S e 5 " e T De 5 "d J 5 V V 0 e n 5 dl9 dl 5 " n T Dn Coefficiente di variazione lineare e n 5 dl9 dl dl dl9 dl 5 " n T Dn Variazione volmetrica V 0v 5 v dv 5 5 v d d d V 5 v9dv 5 5 v Jd d d 5 5 v det =Id d d V V 0 5 v det = I 4d d d D = (5.4) 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 4

11 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 5 5. j Spostamento, deformazione finita e infinitesima j 5 j Approfondimento 5. Deformazione delle sperfici Nella configrazione 0 si consideri n elemento infinitesimo di sperficie di area ds, di contorno regolare, contenente il pnto, e sia n il versore della normale scente da ds, sicché si possa assmere ds 5 ds n come vettore rappresentativo della sperficie orientata scelta. Sia inoltre d n vettore per coassiale con n. Il cilindretto di base ds e generatrice d ha volme dv 5 d? ds. Figra AP5. O n ds A segito della deformazione, i vettori d e ds appartenenti 0 siano trasformati rispettivamente nei vettori appartenenti dy 5 Fd e ds 5 mds, y m ds ove m è il versore della normale alla sperficie trasformata avente area ds. Il volme dv si trasforma dnqe nel volme dv 5 dy? ds. Grazie alla (5.6) rislta dy? ds 5 Jd? ds, e per la (5.9) da ci consege: ds 5 JF T # ds (AP5.) La (AP5.) è la cosiddetta Formla di Nanson che fornisce la relazione fra i vettori rappresentativi degli elementi di sperficie della 0 e qelli corrispondenti nella Poiché ds 5 m ds 5 J(F T )? ds l area ds della sperficie trasformata si ottiene calcolando il modlo di ds: ds 5 "ds T # ds 5 "m # mds 5 5 "J (ds T F ) # (F T ) # ds4 5 5 "J ds (n T F ) # (F T ) # n4 (AP5.) Il coefficiente di variazione sperficiale vale pertanto c s 5 dsds ds 5"J (n T F ) # (F T ) # n4 (AP5.) la variazione volmetrica specifica, detta anche dilatazione volmetrica, tramite la fnzione integranda c 5 det(= I) 5 J (5.7) la qale costitisce la variazione specifica di volme. A valori positivi di c corrispondono dilatazioni volmetriche, a valori negativi contrazioni. Se c è nllo la trasformazione è a volme costante, o isocora. Variazione volmetrica c 5 V V 0 V 0 5 dv V 0 Deformazioni piccole Per gran parte delle ordinarie applicazioni tecniche nelle qali la deformazione del solido strttrale non ne modifica sensibilmente la geometria, si pò fare l ipotesi di piccole deformazioni, sotto la qale si consegono importanti semplificazioni della teoria della deformazione. L ipotesi di deformazioni piccole o infinitesime che si adotta qi risiede nell imporre n maggiorante d (positivo) e molto piccolo rispetto all nità a ttte le componenti del gradiente di spostamento H.

12 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 6 6 j Capitolo 5 j Meccanica dei contini 0 i ` ` 6 d V, d[r 0 j (5.8) La relazione precedente è eqivalente a imporre che il modlo dell atovalore di modlo massimo di H sia minore di d (per esempio,0.0), e prescrive che ttte le derivate del vettore spostamento siano piccole limitando così anche le rotazioni rigide. Sotto qesta ipotesi si pò mostrare che è sfficiente conoscere E, parte simmetrica di H, per valtare con sfficiente approssimazione la dilatazione lineare e le altre misre di variazione angolare, volmetrica e sperficiale dovte alla deformazione. 0 a 0 0 b a 0 0 b a 0 0 E5 HHT 5F b V a 0 0 b a 0 0 b a 0 0 b e in componenti, nella forma indiciale (5.9) E 5 = =T 5 5 c 0 i 0 j 0 j 0 i d Tensore di deformazione infinitesima e ij 5 ( i,j j,i ) (5.0) Infatti, sotto l ipotesi (5.8), nelle componenti del tensore di deformazione finita D (5.4) si possono ritenere trascrabili ttti i termini costititi da prodotti di de componenti di H o da loro qadrati rispetto a qelli lineari, talché D (5.) viene rappresentato dalla sa parte linearizzata costitente la parte simmetrica di H. Per qesta ragione E viene denominato tensore delle piccole deformazioni o di deformazione infinitesima. Qi di segito vengono specificate le particolarizzazioni delle misre della deformazione già presentate, sotto l ipotesi di piccole deformazioni. e n 5 " n T En (e n ) 5 5e n e n 5 5 n T En Coefficiente di dilatazione lineare Il coefficiente di dilatazione lineare secondo la direzione n fornito dalla (5.5) diventa: e per qadratra si ottiene:. Trascrando il termine e n in qanto infinitesimo di ordine speriore, si ottiene l espressione del coefficiente di dilatazione lineare in teoria infinitesima: e n 5 n T En (5.) Tramite la (5.) si pò dedrre il coefficiente di dilatazione lineare per la direzione del generico asse coordinato e i : e i 0 e i 5 e i # Eei 5 e i # e i 5e ii 5 0 e i (5.) Dilatazione lineare dalla qale rislta che le componenti appartenenti alla diagonale principale del tensore di deformazione infinitesima rappresentano ordinatamente i coefficienti di dilatazione lineare degli assi coordinati.

13 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 7 5. j Spostamento, deformazione finita e infinitesima j 7 Scorrimento angolare fra direzioni ortogonali Si considerino 0 de vettori d m 5 dl m m, d n 5 dl n n per, coassiali con i versori m e n fra loro ortogonali (m? n 5 0). Per effetto della deformazione i de vettori si trasformano rispettivamente in dy m 5 dl m m 5 dl m Fm, dy n 5 dl n n 5 dl n Fn, appartenenti aventi le direzioni m, n e formanti fra loro l angolo q (Figra 5.8). Si definisce scorrimento fra le direzioni m e n, l angolo, differenza fra gli angoli formati prima e dopo la deformazione. Al fine di dedrre l angolo q, qindi g mn, si effetta il prodotto scalare fra i vettori dy m, dy n, ottenendo, grazie all ipotesi di piccolezza di g mn : g mn 5 p q dy m # dyn 5 dl m dl n cosq 5dl m dl n seng mn 5 dl m dl n g mn (5.) ma d altro canto, grazie al risltato F T F 5 I = T I = 5 I = = T = T =>I = = T 5 5 I E poiché rislta m T? n 5 0, si ha: dy m # dyn 5 dl m dl n Fm# Fn 5 dlm dl n m T F T Fn 5 dl m dl n m T En (5.4). Il confronto fra le (5.) e (5.4), grazie alle (5.5) condce alla: g mn 5 dl m dl m dl n dl n m T # En 5 l m l n m T # En 5 # (e m ) (e n ) mt En che in forza delle ipotesi della trattazione infinitesima permette di ottenere il valore dello scorrimento cercato: g mn 5 m T # En (5.5) Tramite la (5.5) si possono dedrre gli scorrimenti fra le direzioni degli assi coordinati e i, e j, ove i? j: Scorrimento fra direzioni ortogonali Scorrimento fra gli assi coordinati n d n d m m n Figra 5.8 m dy n q g n dym m y O

14 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 8 8 j Capitolo 5 j Meccanica dei contini e j g ij 5 e i # Ee j 5 e i # e j 5 e ij e j (5.6) dalla qale rislta che le componenti fori diagonale principale del tensore di deformazione infinitesima rappresentano la metà degli scorrimenti fra gli assi corrispondenti ai pedici. 0 i 0 j Variazione vometrica Variazione volmetrica Si è già mostrato (5.7) che la variazione volmetrica del solido dovta alla deformazione, dipende dalla fnzione c 5 det=f 5 det(= I) 5 J. Con riferimento all espressione (5.5) del gradiente di deformazione, sotto l ipotesi di piccole deformazioni che nello svilppo del determinante consente di trascrare i termini provenienti da prodotti di de o tre derivate come le, rispetto a qelli lineari, lo svilppo della dilatazione volmetrica c vale: c e e e 5 tre (5.7) g e g E 5 F e g g g V g e Trattazione infinitesima della deformazione Piccole deformazioni Piccoli spostamenti e rislta gale alla divergenza del campo di spostamento c 5 div. I risltati ottenti consentono di scrivere il tensore E anche nella forma segente:. Gli elementi in diagonale principale della (5.9) sono le dilatazioni lineari nelle direzioni degli assi, qelli fori diagonale sono la metà degli scorrimenti angolari fra le coppie di assi del riferimento. 5.. Trattazione infinitesima della deformazione a) Negli elementi resistenti delle macchine e delle costrzioni le deformazioni, ovvero la dilatazione lineare di n qalnqe segmento e la variazione dell angolo compreso fra segmenti generici, sono in genere molto piccole, minori dell %. b) Inoltre, a meno di n moto rigido di traslazione, anche lo spostamento di n qalnqe pnto per effetto della variazione di forma del solido rislta molto minore di na prefissata dimensione caratteristica dell elemento resistente. Sotto le ipotesi a) e b) rispettivamente dette di deformazioni piccole e di spostamenti piccoli, è possibile semplificare notevolmente l analisi della deformazione linearizzando la cinematica del problema, nell ambito della teoria infinitesima. In qest ambito, lo spostamento di n intorno infinitesimo di pò essere ottento sommando allo spostamento dell origine il contribto dovto alla rotazione del corpo e alla deformazione pra. Nel caso delle deformazioni di ampiezza finita qesta sovrapposizione dei diversi contribti non è possibile e occorre tilizzare il teorema di decomposizione polare. Lo spostamento di n pnto * dell intorno di, in deformazione infinitesima pò dnqe essere scritto [Eqazione (5.0)], nella forma: (*) 5 () H(* ) O(* ) 5 (5.8) 5 () W(* ) E(* ) O(* ) ove il gradiente di spostamento H viene decomposto nella somma della sa parte simmetrica E e di qella antisimmetrica W (decomposizione additiva): H 5 E W (5.9)

15 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 9 5. j Spostamento, deformazione finita e infinitesima j 9 La parte simmetrica,, (5.0) rappresenta il tensore di deformazione infinitesima, mentre la parte antisimmetrica,, di componenti rappresenta il tensore di rotazione rigida infinitesima, già introdotto in precedenza nel Capitolo. Poiché E è n tensore simmetrico, e ij 5e ji, nel segito si scriverà indifferentemente e, e ed e al posto rispettivamente di e, e ed e. La (5.8), per na deformazione omogenea infinitesima, che presenta costanti i tensori E, W, implica che, a meno di infinitesimi di ordine speriore, lo spostamento di n qalnqe pnto * dell intorno infinitesimo di possa essere rappresentato dalla somma, indipendentemente dall ordine, della traslazione () dell intorno di, dello spostamento R 5 W(* ) (5.40) connesso con la rotazione rigida dell intorno intorno a e dello spostamento da deformazione pra secondo la e 5 E(* ) (5.4) (*) 5 () R e 5 () W(* ) E(* ) (5.4) Nel segito vengono svolti alcni esempi per illstrare il significato geometrico delle componenti di E, dilatazione lineare, scorrimento angolare, variazione volmetrica. Tensore di rotazione infinitesima E 5 (H HT ) W 5 (H HT ) v ij 5 i,j j,i Si consideri (Figra 5.9a) il segente campo di spostamento: 5 c (5.4) in ci il vettore giace nel piano parallelo al piano 5 0. È facile verificare che [Eqazione (5.7)] la deformazione qi introdotta è omogenea: c 0 0 E 5 H W 5 O (5.44) Si consideri il segmento AP parallelo all asse di lnghezza, 0. Nella deformazione il pnto P si sposta in P *. La dilatazione lineare, che rappresenta il rapporto fra la variazione di lnghezza del segmento PP * 5 e la lnghezza iniziale, 0, grazie alla (5.) vale: j Esempio 5. c l 0 ε = l 0 Figra 5.9 Dilatazione volmetrica. A ε c l 0 = l 0 P P * Q * = c l 0 Q l 0 O O B l 0 = c l 0 a) b)

16 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini e 5 c #, 0, 0 5 c (5.45) Analogamente, se si considera il campo di spostamento di Figra 5.9b con il segmento BQ parallelo all asse, si ha la dilatazione lineare e e il tensore di piccole deformazioni: E 5 H 5 0 e 0 ove e 5 c # 0, 0 5 c, (5.46) Pertanto i termini slla diagonale principale di E (e di H) rappresentano le dilatazioni lineari dei segmenti paralleli agli assi coordinati. j Esempio 5. Si consideri (Figra 5.0) la deformazione omogenea che trasforma n cbo di lato, 0 in n parallelepipedo retto. Tale deformazione pò essere rigardata come derivante dalla sovrapposizione di tre dilatazioni lineari e, e, e degli assi del riferimento. Si è già definita dilatazione volmetrica (o cbica) il rapporto: c 5 V V0 V 0 5 det = I (5.47) dove V 0 e V sono i volmi, rispettivamente, nella configrazione di 0 e in qella Essendo i termini qadratici e cbici in e ii trascrabili rispetto a qelli lineari, rislta: c5 ( e )( e )( e ), 0, 0, 0 >e e e 5trE (5.48) A seconda del segno assnto dagli elementi diagonali di E si potrà verificare na contrazione volmetrica, c, 0, o n amento di volme, c. 0. In certe Figra 5.0 ε l 0 0 l 0 O l 0 ε l 0 l 0 εl 0

17 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 4 5. j Spostamento, deformazione finita e infinitesima j 4 condizioni sono possibili dilatazioni lineari e ii non nlle con dilatazione volmetrica nlla; ovviamente in tal caso si ha: c 5e e e 5 0 Scorrimento angolare j Esempio 5. Si è già definito scorrimento angolare g ij la variazione (cambiata di segno) dell angolo inizialmente retto fra de assi ortogonali di versori e i ed e j di entità g nella configrazione attale: g ij 5 p (5.49) Si consideri la deformazione che pò essere osservata sperimentando a torsione n cilindro (di materiale isotropo e omogeneo) a sezione circolare bloccato torsionalmente alla base inferiore, ci viene imposta na rotazione attorno all asse della base speriore (Figra 5.). Lo spostamento di ogni pnto della sperficie laterale, nel piano tangente (Figra 5.c) rislta: e pertanto, si ha: 5g (5.50) 0 g 0 0 g 0 0 g 0 H E 5 E g 0 0 U W 5 E g 0 0 U (5.5) θ γ e e θ e e a) b) c) Figra 5. Scorrimento angolare.

18 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 4 4 j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Figra 5. Deformazione di scorrimento pro. ε l 0 ε l 0 C * ε l 0 B B * C γ l 0 γ A * 0 l 0 A ε l 0 Si consideri inoltre il campo di spostamenti dovto alla deformazione pra [Eqazione (5.4)], e rappresentato in Figra 5.. Esso differisce dal precedente per na rotazione rigida attorno all asse. Nell ipotesi di piccole deformazioni si ha: tan g (5.5) >g 5e da ci emerge il significato geometrico dell elemento e di E che rappresenta la metà dello scorrimento angolare g. In qesto caso vale la pena di osservare che la dilatazione lineare dell elemento OA vale: e 5 OA* OA OA 5 " e #, 0, 0 >0, 0 (5.5) essendo e > per ipotesi. Pertanto l nica deformazione è qella angolare e, in tal caso, anche la dilatazione volmetrica rislta nlla. Dilatazione lineare di n segmento avente direzione qalnqe Per semplicità si consideri, Figra 5., il segmento OP avente origine nell origine degli assi O, modlo nitario e versore n 5 [n, n, n ] T. Nella deformazione omogenea infinitesima (5.4) definita da E lo spostamento di P vale 5 En (5.54) La dilatazione e n del segmento nitario (Figra 5.) vale pertanto la componente dello spostamento nella direzione n: e n 5 n T En (5.55) Pertanto, noto E, tensore di deformazione infinitesima, è noto come varia l angolo fra de segmenti paralleli agli assi coordinati, come varia la loro lnghezza e qanto

19 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 4 5. j Spostamento, deformazione finita e infinitesima j 4 Figra 5. Dilatazione secondo na direzione generica. ε n P n O vale la dilatazione di n generico segmento della stella di centro O nonché la variazione volmetrica. E contiene dnqe ttte le misre della deformazione: g g e e e e g g E 5 e e e 5 F e V e e e g g e (5.56) Si osservi infine che in generale, qalora siano non nlli gli scorrimenti, E trasforma (Figra 5.4) n cbo in n parallelepipedo che non è né retto né rettangolo. Rotazioni rigide infinitesime Per completare l interpretazione della (5.40) si consideri il campo di spostamento: 5w 5w 5 0 (5.57) Figra 5.4 Deformazione di n elemento cbico. O

20 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Figra 5.5 Rotazione rigida infinitesima attorno all asse. C * ϕ ω l 0 = l 0 ϕ ω l 0 = l 0 B * ϕ B ω l 0 = ϕ l 0 C l 0 A * ϕ ϕ ω l 0 = l 0 O l 0 A v 5 (,, )5w ove per semplicità si è posto coincidente con l origine O che si considera fissa. Per il campo (5.57) corrispondente a na rotazione rigida, è facile verificare che E 5 O, mentre W? O, essendo. Il campo (5.57) è lo spostamento prodotto da na rotazione rigida infinitesima w nel piano (, ) attorno all asse, (Figra 5.5) che per il generico pnto vale 5 [, ] T 5, 0 [cosa, sena] T (5.58) 5w, 0 sena > w, 5w, 0 cosa > w (5.59) Generalizzando alle rotazioni w e w intorno agli assi e, il tensore antisimmetrico W diviene: 0 v v 0 w w W 5 v 0 v 5 w 0 w v v 0 w w 0 (5.60) dnqe eqivale al vettore assiale di rotazione w 5[w, w, w ] T. Ne rislta dnqe dimostrato che W 5 antisymm = è responsabile dell atto di moto di rotazione rigida infinitesima dell intorno. Direzioni principali della deformazione Deformazioni principali Deformazioni e direzioni principali Si definiscono direzioni principali della deformazione le direzioni degli assi non modificate dal campo di spostamento da deformazione pra e 5 E(* ) (5.4) e che qindi non sbiscono alcno scorrimento mto. Si dimostra che nella base principale E ha la forma diagonale. Le dilatazioni lineari a esse associate prendono il nome di deformazioni principali, o dilatazioni principali. La determinazione delle direzioni e dilatazioni principali per n assegnato tensore E nel sistema di riferimento (O,,, ) pò essere effettata a partire dalla definizione per la qale segmenti paralleli alle direzioni principali si dilatano senza rotare. Si consideri pertanto n segmento scente da O individato dal so versore n. Conformemente all Eqazione (5.4) l estremo P del segmento di modlo nitario (Figra 5.6) sbisce no spostamento 5 En. Tra ttti i vettori della stella per O le direzioni principali presentano nicamente na dilatazione lineare, ovvero il loro spostamento sarà in direzione n, pertanto: 5 e n (5.6)

21 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Spostamento, deformazione finita e infinitesima j 45 Figra 5.6 Direzioni principali della deformazione. ε m O m Q n P = εn essendo e la dilatazione lineare corrispondente. Per tali elementi qindi si ha: 5 En 5 e n (5.6) Le tre componenti, o coseni direttori, del versore n, che ha modlo nitario, devono essere solzioni non nlle (non banali) del sistema di eqazioni lineari omogenee segente, ove si è tento conto che n 5 In: (E ei) n 5 0 (5.6) La ricerca delle dilatazioni principali e delle corrispondenti direzioni principali corrisponde dnqe alla solzione del problema agli atovalori in forma standard (5.6). Il problema, come noto, ammette tre solzioni (atovalore atovettore) che vengono ottente imponendo che sia soddisfatta l eqazione caratteristica che esprime la condizione di esistenza di solzioni non banali per le incognite n presenti nell eqazione omogenea (5.6): dove: det (E ei) 5 e I e I e I 5 0 (5.64) Problema di atovalori Eqazione caratteristica I 5e e e 5 c 5 e ii I 5e e e e e e e e e 5 (e ii e jj e ij e ji ) (5.65) I 5 det E 5e e e e e e e e e e e e e e e e e e sono fnzioni delle componenti di E dette invarianti di deformazione poiché risltano indipendenti dal riferimento scelto. Le tre solzioni dell eqazione cbica (5.64), detta eqazione caratteristica, sono le dilatazioni principali cercate e possiedono le segenti proprietà che per brevità non vengono dimostrate: esse sono, come richiesto dal problema, nmeri reali in virtù della simmetria di E; la più grande e la più piccola delle dilatazioni principali costitiscono rispettivamente le dilatazioni massima e minima fra ttte qelle esistenti lngo i vettori della stella in O (ciò sottolinea la loro importanza). Invarianti di deformazione Elencandoli in ordine decrescente si denotano i tre atovalori o deformazioni principali del problema (5.6)

22 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini e I >e II >e III (5.66) a essi corrispondono i tre versori (atovettori) n I, n II, n III che individano nello spazio le tre direzioni principali di deformazione. Data l invarianza delle (5.65) si ha: e e e 5e I e II e III (5.67) I 5 dete 5e I e II e III (5.68) Per determinare il versore n di na direzione principale è necessario sostitire la corrispondente dilatazione e nel sistema omogeneo (5.6), che rislta di rango, e risolvere nei tre coseni direttori, ponendo l lteriore condizione che n abbia modlo nitario: n n n 5 (5.69) j Esempio 5.4 Stato di deformazione biassiale o piana Sia assegnato no stato di deformazione piana che comporti nicamente spostamenti nel piano (, ) essendo nllo; di consegenza ttte le componenti di deformazione e i, risltano nlle e il sistema di eqazioni lineari (5.6) diviene: e e e 0 n e e e 0 n e n (5.70) Gli invarianti della deformazione non nlli sono dati da: I 5e e I 5e e e (5.7) Stato piano di deformazione Si osservi che la condizione I 5 0 caratterizza n qalnqe stato di deformazione piana. La condizione I 5 0 eqivale al fatto che na dilatazione principale è nlla, nel senso che è condizione necessaria e sfficiente perché lo spostamento, nell intorno, appartenga a n piano. Grazie alla (5.68) è possibile inoltre mostrare come lo spostamento avvenga nel piano ortogonale alla direzione principale a dilatazione nlla. L Eqazione (5.64) ha le segenti solzioni, nell ipotesi in ci le solzioni non nlle siano di segno opposto per non contraddire l ordine assnto: e I,III 5 e e ; "(e e ) 4e e II 5 0 (5.7) Sostitendo e I o e III nel sistema (5.70) si ricava dall ltima riga n 5 0 e sostitendo a essa la (5.69) il sistema diviene: (e e I,III ) n e n 5 0 e n (e e I,III ) n 5 0 (5.7) n n 5 e ammette le solzioni:

23 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Spostamento, deformazione finita e infinitesima j 47 n I 5 ; ec a e Ie e I e b d, a e n III 5 ; ec a e IIIe e III e b d, a e e b # c a e Ie e e b # c a e IIIe e T b d, 0f T b d, 0f (5.74) ove, come noto dal corso di Geometria, la direzione è individata a meno del verso. Viceversa, alla solzione e II 5 0 corrisponde n 5, ossia l asse. Deformazione di scorrimento pro j Esempio 5.5 Si consideri (Figra 5.7) n qadrato con centro nell origine e lati paralleli agli assi coordinati e di lnghezza, 0 e se ne analizzi la deformazione omogenea di scorrimento semplice (si conslti anche l Esempio 5.5). Come visto in precedenza il tensore di deformazione infinitesima E rislta: 0 e 0 E 5 e (5.75) Essendo nlli il primo e il terzo invariante, l eqazione caratteristica diviene: e e e 5 0 (5.76) È immediato calcolare le dilatazioni principali, che risltano: e I 5e e II 5 0 e III 5e (5.77) mentre le corrispondenti direzioni principali sono γ l0 B γ l 0 B * l 0 γ l0 A A * γ l0 Figra 5.7 Deformazione di scorrimento pro. O l 0 A B * B A *

24 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini n I 5 ; c ", ",0d T n III 5 ; c ", ",0d T (5.78) e corrispondono alle bisettrici degli assi di riferimento. Elementi paralleli agli assi hanno dilatazione nlla e scorrimento angolare g 5 e. I segmenti diagonali pertanto si allngano e accorciano senza però presentare alcno scorrimento angolare giacendo lngo de direzioni principali. È immediato verificare che il segmento AA9 di lnghezza V, 0 si trasforma in A*A9* di lnghezza: A*A9* 5 " e, 0 (5.79) mentre BB9 si trasforma in B*B9* di lnghezza: B*B9* 5 " e, 0 (5.80) Allo stesso risltato si perviene applicando l Eqazione (5.80) e considerando le direzioni principali. p 5 c p p d 5 c,cosa,sena d Dipendenza di E dal sistema di riferimento La ricerca degli assi principali rispetto a n riferimento assegnato evidenzia come al rotare degli assi coordinati il tensore E modifichi le se componenti. Per la trattazione generale dell argomento si conslti il Paragrafo 5.4.8; qi ci si limita a fornire le eqazioni della trasformazione nel caso piano. Per determinare come la medesima deformazione sia rappresentata da E rispetto al novo sistema di riferimento (O, 9, 9, 9 ) si consideri il vettore p nel riferimento iniziale descritto invece da p9 nel riferimento rotato di w (Figra 5.8). Nel riferimento (O,, ) si ha:. Nel riferimento (O, 9, 9, 9 ) rotato dell angolo w rispetto a qello iniziale, si ha: p95c,cos(aw),sen(aw) d 5 c,cosacosw,senasenw,cosasenw,senacosw d 5c coswsenw senwcosw dcp p d che si scrive in sintesi: p9 5Rp (5.8) Figra 5.8 Rotazione del sistema di riferimento. p senϕ p p cosϕ p ϕ p p senϕ p p cos ϕ ϕ l α (α ϕ) p ϕ O p

25 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Spostamento, deformazione finita e infinitesima j 49 dove R è il tensore di rotazione sopra definito. Analogamente, fra i de vettori spostamento e 9 sssiste la relazione 9 5R (5.8) Poiché na deformazione pra omogenea è caratterizzata dallo spostamento da deformazione pra 5 Ep (5.4) e, ricordando che R è n tensore ortogonale (R 5 R T ), sege che: 5 R T 95E R T p9 (5.8) premoltiplicando entrambi i membri della seconda gaglianza per R si ha: da ci si ottiene la relazione cercata nella forma: 9 5(R E R T )p9 (5.84) E9 5R E R T (5.85) la qale esprime il tensore di deformazione nel novo riferimento. Si noti che il tensore R sopra definito è il trasposto di qello che tramite la (.) descriveva la rotazione di n vettore rispetto al riferimento. Deformazione biassiale o piana j Esempio 5.6 Si consideri, come nell Esempio 5., na deformazione biassiale ove ttte le componenti di deformazione e i, risltino nlle, dnqe caratterizzata dal segente tensore E: e e 0 E 5 e e (5.86) si consideri inoltre n secondo sistema di riferimento rotato rispetto al primo di n angolo w attorno all asse. Con riferimento alla Figra 5.8 si ha: cosw senw 0 R 5 senw cosw 0 p9 5 p 0 0 p9 5 cosw # p senw # p p9 5senw # p cosw # p (5.87) Sostitendo E e R nella (5.85) si ottengono le segenti componenti non nlle di E9 e9 5e cos we sen we senw e9 5e sen we cos we senw e9 5e cosw e e # senw (5.88) tanw 5 e e e w5 p 4 Le direzioni principali di deformazione si ottengono annllando la componente e9 ; pertanto rislta, per e? e. Se invece è e 5e, si ottiene w 56p>4. Nel caso di scorrimento: e 5e 5 0, e? 0, e, le (5.88) forniscono: che evidenzia come la direzione caratterizzata da sia na direzione principale, come già evidenziato nell Esempio 5.5. e9 5e e9 5e e9 5 0 w5 p 4

26 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Rosetta estensimetrica Strain gage Misra sperimentale di stati di deformazione piana In fase di collado delle strttre, o drante la sperimentazione in laboratorio, rislta necessario misrare la deformazione nell intorno di n pnto posto slla sperficie di n corpo. Ciò implica la necessità di effettare misre di spostamento relativo tra pnti dell intorno assmendo che la deformazione sia omogenea nell intorno considerato. A tal fine si procede a fissare tre elementi lineari scenti da n pnto O di lnghezza nota prima della deformazione. A deformazione avventa si misra la lnghezza finale di tali elementi mediante strmentazione elettro/meccanica ricavando così le tre componenti incognite e, e, e. Una delle strmentazioni più sate è la rosetta estensimetrica (o strain gage) (Figra 5.9) basata slla variazione della resistività elettrica dei condttori al variare della loro lnghezza e del diametro. È possibile pertanto determinare sperimentalmente le tre dilatazioni in figra. Applicando tre volte la (5.55) alle tre direzioni assegnate si ottiene n sistema di tre eqazioni nelle tre incognite e, e, e che consente di determinare E. Spesso si opera considerando tre direzioni di misra formanti fra loro n angolo di 0, oppre assmendo de direzioni ortogonali fra loro che spporremo parallele agli assi coordinati e la terza inclinata secondo n angolo w. In tal caso vengono lette le dilatazioni e, e ed e n, e la (5.55) fornisce direttamente lo scorrimento g Figra 5.9 a) e b) rosette estensimetriche per la misra sperimentale di stati piani di deformazione; c) esempi di rosette estensimetriche. ε O ϕ = 0 O ϕ = 0 ε ϕ = 0 ε c y 90 ε c b 45 ε b a ε a a) b) c)

27 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 5 5. j Spostamento, deformazione finita e infinitesima j 5 g e 0 cosw g e n 5 cosw senw 04 # E e 0U # senw (5.89) Nel caso di Figra 5.9b, ove w 5 45, si ottiene: e qindi:. 5.. Deformazioni non omogenee. Eqazioni di congrenza interna Come discsso in precedenza, na generica deformazione si comporta come omogenea nell intorno del generico pnto a meno di n errore o( * ) che tende a zero al tendere a zero della distanza ) * ). In qesto senso i tensori E e W possono intendersi rispettivamente come tensore di deformazione locale e di rotazione locale e sono fnzioni del pnto note in relazione al campo di spostamento. Si ritiene opportno esplicitarne la forma in termini di componenti: e n 5 e e g g 5 a e n e e b e e e (5.90) e 5 a b e 5 a b e 5 a b e v 5 a b v 5 a b v 5 a b (5.9) Mentre è sempre possibile assegnare n campo di spostamento () e risalire alle componenti della deformazione locale mediante le relazioni precedenti, non è viceversa possibile assegnare in modo arbitrario le sei componenti distinte e ij e risalire al campo di spostamenti. Innanzi ttto perché esse definiscono solo la parte simmetrica del gradiente di spostamento ed è necessario conoscerne anche la parte antisimmetrica, cioè le tre v ij ; ma sopratttto perché matematicamente le (5.90) definiscono n sistema di sei eqazioni differenziali in sole tre incognite i. Perché qesto sistema ammetta solzione è necessario che tra le sei qantità assegnate esistano lteriori relazioni dette condizioni di integrabilità (o di de Saint Venant). Qanto affermato sopra significa dnqe che se lo spostamento è contino e differenziabile, le (5.90), (5.9), tramite derivazioni permettono di determinare in ogni intorno del 0, stato di deformazione E e rotazione locale W, effettando il percorso logico: () E, W. Viceversa, assegnati in modo arbitrario nei singoli intorni E, W, qesta cinematica locale non ricostrisce sempre n campo di spostamento contino e differenziabile, secondo il percorso logico: E, W (). Infatti E trasforma localmente n cbo in n parallelepipedo non retto e fra intorni adiacenti, anche per effetto delle rotazioni W, si possono determinare discontinità (scorrimenti, lacerazioni, compenetrazioni ), come simbolicamente rappresentato in Figra 5.0. Le condizioni affinché le citate discontinità siano impedite sono qelle che (nei domini monoconnessi) assicrano che (5.4) (5.4):

28 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 5 5 j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Figra 5.0 Le condizioni di integrabilità sono necessarie. g P g P b 0 b P 0 P 0 d () d() 5 (W E)d 5 d () 5 d () e (v e ) (v e ) d 5 (e v ) e (v e ) d 5 a ij d i 4 (e v ) (v e ) e d 0a ji 0 k 5 0a jk 0 i, 5 HjJ,i? k sia n differenziale esatto, qindi integrabile 0 s qalsiasi crva regolare g di estremi P 0 e P con il risltato che lo spostamento relativo fra i de pnti D() 5 (P ) (P 0 ) sia indipendente dalla crva scelta. Le condizioni citate, si ottengono scrivendo la condizione necessaria di Schwartz per i differenziali esatti nei domini monoconnessi, che si esplicita come sege: 0e ji 0v ji 5 0e jk 0v jk 0 k 0 k 0 i 0 i (5.9) Poiché 0v jk per sostitzione nella (5.9) si ottiene 5 0 a 0 j 0 k b 5 0e ji 0e ik 0 i 0 i 0 k 0 j 0 k 0 j 0v ji 0 k 5 0e jk 0 i 0e ik 0 j (5.9) Analogamente la derivata rispetto a n altra variabile l determina 0v ji 0 l 5 0e jl 0 i 0e il 0 j (5.94) Le (5.9), (5.9) e (5.94) consentono di pervenire alla scrittra dei differenziali delle componenti della rotazione rigida infinitesima: a 0e jk 0 i 0e ik 0 j b 0 0 i 0v ij 0 k k 0v ij 0 l dv ji 5 0v ij 0 d 0v ij 0 d 0v ij 0 d Affinché i dv ij siano anch essi differenziali esatti, le (5.9) e (5.94) fnzioni delle assegnate qantità, devono a loro volta soddisfare la condizione necessaria di Schwartz dell egaglianza delle derivate in croce la qale si tradce nell eqazione differenziale fra le assegnate componenti della deformazione:

29 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 5 5. j Spostamento, deformazione finita e infinitesima j 5 0 e jk 0 i 0 l 0 e il 0 k 0 j 5 0 e jl 0 i 0 k 0 e ik 0 j 0 l (5.95) costitenti le cercate condizioni di congrenza interna fra le assegnate componenti di deformazione, condizioni necessarie per l esistenza di n campo di spostamento contino e differenziabile soddisfacente le (5.9), (5.9), (5.94). La (5.95) è banalmente soddisfatta se tre fra gli indici i, j, k, l sono gali fra loro. Specificando la (5.9) per le segenti sei scelte degli indici i 5 l 5, j 5 k 5 ; i 5 l 5, j 5 k 5 ; i 5 l 5, j 5 k 5 ; i 5 l 5, j 5, k 5 ; i 5 l 5, j 5, k 5 ; i 5 l 5, j 5, k 5 ; si ottengono ordinatamente le sei eqazioni: 0 g 5 0 e 0 e g 5 0 e 0 e g e 0 0 e 0 0 e a 0g 0 0g 0 0g 0 b (5.96) 0 e a 0g 0 0g 0 0g 0 b 0 e a 0g 0 0g 0 0g 0 b dette eqazioni di congrenza interna o di compatibilità della deformazione o eqazioni di de Saint Venant. Delle sei Eqazioni (5.96) solo tre sono linearmente indipendenti. Tttavia, se il corpo è plriconnesso, le (5.96) pr costitendo condizione necessaria, non assicrano la monodromia, per la qale sono richieste lteriori condizioni (E. Cesaro 906, V. Volterra 907). Nel caso riportato in Figra 5., operando idealmente n taglio secondo la sperficie S * si ottiene n corpo monoconnesso ove le (5.96) garantiscono la continità degli spostamenti in ttto il volme, senza peraltro implicare l gaglianza degli spostamenti fra i pnti separati dalla sperficie S *. Sono pertanto necessarie lteriori condizioni di congrenza che impongano l annllarsi degli spostamenti relativi fra qesti pnti. Eqazioni di congrenza interna Figra 5. Corpo plriconnesso. S *

30 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Relazioni fra le componenti dei tensori W ed E Nell ipotesi in ci la deformazione e lo spostamento siano fnzioni regolari e differenziabili fin che si desidera è, inoltre, possibile esprimere le componenti v ij del tensore di rotazione W in fnzione delle componenti e ij del tensore di deformazione infinitesima E. Si consideri per esempio la prima delle (5.9) e la si derivi rispetto alla terza coordinata ; si ha: v, 5,,, 5,, (5.97), ove si è inoltre applicata l invertibilità dell ordine di derivazione (Teorema di Schwarz); aggingendo e togliendo alla precedente il termine si perviene alla segente identità: v, 5e, e, (5.98) In modo del ttto analogo si ottengono altre identità che possono essere sinteticamente espresse mediante l espressione segente: v ij,h 5e ih,j e jh,i i, j, h 5,, (5.99) Pertanto se il campo delle deformazioni E() è sfficientemente regolare, è possibile mediante le identità (5.99) ottenere le derivate delle componenti di W e, per integrazione, il tensore di rotazione infinitesima W. È pertanto noto, essendone nota sia la parte simmetrica sia qella antisimmetrica, il gradiente di spostamento H. Il vettore di spostamento () pò infine essere valtato, se sono soddisfatte le (5.96), per integrazione. Condizioni di vincolo o di congrenza al bordo Alle condizioni di congrenza interna (5.96) occorre affiancare lteriori condizioni che derivano, come descritto nei capitoli precedenti, dalla presenza di eventali vincoli che lì dove agiscono limitano la cinematica del corpo vincolato. Per esempio il pnto (ovvero n insieme di pnti) della sperficie esterna 0@ pò essere vincolato a moversi s na sperficie rigida di eqazione: g(y) 5 0 (5.00) In Figra 5. si mostra come pò essere realizzato in pratica n vincolo di cerniera per na strttra metallica. In n analisi dello stato di deformazione locale Figra 5. Esempio di cerniera per strttre metalliche. g(y) = 0

31 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Problema dell eqilibrio dei solidi deformabili, tensioni, tensore di sforzo j 55 occorre tener conto che il generico pnto è vincolato a moversi slla sperficie inferiore g. Occorre pertanto che il pnto y, trasformato di nella configrazione attale (y 5 ), appartenga alla sperficie, dovendosi verificare: g(y) 5 g( ) 5 0 (5.0) Tenendo presente la piccolezza degli spostamenti è lecito scrivere: g() n`=g 5 0 (5.0) ove il gradiente =g() 5 n definisce la direzione efficace del vincolo e n # è la direzione normale a n. Poiché anche il pnto nella configrazione iniziale verifica localmente il vincolo g() 5 0, annllando la proiezione dello spostamento nella direzione efficace, la (5.0) si ridce alla segente relazione lineare fra le componenti del vettore spostamento: 0g 0g 0g (5.0) 0 0 ed eqivale a imporre al pnto di moversi sl piano tangente in alla sperficie g. Altri casi di vincolo possono essere stdiati analogamente e comnqe comportano, nell ipotesi di piccoli spostamenti, l annllarsi di combinazioni lineari delle componenti dello spostamento, ovvero, nei casi più semplici, l annllarsi delle stesse. Si consideri per esempio n vincolo semplice (carrello) che imponga al pnto di spostarsi sl piano 5 0; in tal caso la (5.0) si scrive semplicemente: 5 0 Le condizioni definite dalla (5.0) sono dette condizioni di congrenza esterna. Talvolta è necessario o tile fare riferimento ai cosiddetti vincoli cedevoli. Slla natra di tali cedimenti si entrerà altrove nel merito; basti pensare a vincoli che non costringano rigidamente il pnto vincolato a rimanere slla sperficie iniziale ma che consentano determinati movimenti relativi rispetto a essa proporzionali alle reazioni vincolari. Infine, talvolta, i vincoli sono espressi tramite diseqazioni del tipo: g( ) > 0 (5.04) che impongono, nella configrazione attale, al pnto di rimanere al di sopra della sperficie g, tradcendosi in diseqazioni lineari fra le componenti dello spostamento. Qesti vincoli vengono detti vincoli nilateri o monolateri. Condizioni di vincolo bilatero Vincoli cedevoli Vincoli monolaterali 5. j Problema dell eqilibrio dei solidi deformabili, tensioni, tensore di sforzo Lo scopo di qesto paragrafo è formlare le condizioni che descrivono l eqilibrio di n solido deformabile che sbisce l azione di n sistema di forze esterne nella sa configrazione (si sottolinea, tttavia, che nell ipotesi di spostamenti e deformazioni piccole rislta peraltro possibile confondere, ai fini dello stdio dell eqilibrio, la configrazione attale o deformata con qella di riferimento). Si definisce, come nella fisica elementare, forza l ente che provoca la variazione dello stato di qiete o di moto niforme di n pnto materiale; nel caso dei solidi deformabili si definiscono forze enti descritti da vettori che indcono variazioni nella configrazione del corpo. Forze esterne

32 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Nel segito si prenderanno in considerazione qasi sempre forze che sono applicate a corpi inizialmente in qiete in modo tale da non indrre effetti inerziali; i campi di accelerazione e di velocità, eventalmente indotti, si considerano qindi trascrabili. Le forze Si assme che le forze agenti s n corpo possano essere classificate nel modo segente. Forze di volme Esse sono esercitate dall ambiente si pnti interni al corpo mediante azione a distanza. Come esempio si consideri innanzittto l attrazione di gravità terrestre, o di altri astri, esercitata sl corpo; altre interazioni a distanza sono determinate dai campi di accelerazione, dalle azioni centrifghe, dai campi elettromagnetici ecc. Con riferimento al generico pnto (Figra 5.), sia DV n volme elementare interno al corpo, contenente, e sia Dr il vettore risltante delle forze agenti s di esso; si assme che esista e sia finito il limite segente (ciò esclde forze di volme concentrate): Dr b() 5 lim DVS0 DV (5.05) Forza di volme La b viene chiamata forza di volme (o densità di forza volmetrica) nel pnto e ha dimensioni [FL ]. Come esempio si consideri la forza di gravità; in tal caso Dr 5 rgdv (ove r è la densità del mezzo e g l accelerazione di gravità) ed è diretto verso il centro della terra, pertanto b ne conserva direzione e verso e coincide col peso specifico. Si osservi che l analisi della deformazione svolta in precedenza considera nicamente lo spostamento del pnto materiale, ovvero solo la traslazione del pnto: per qesta ragione nel segito si assme nllo il momento risltante delle forze di volme. In altre parole nella presente trattazione non sono ammesse coppie, né distribite né concentrate, applicate a pnti interni del corpo. Tali ipotesi, tipiche del presente modello di solido deformabile, detto solido di Cachy, non sono presenti in estensioni sccessive come qella introdotta agli inizi del secolo scorso dai fratelli Cosserat, ove sono ammesse distribzioni volmetriche di coppie. Figra 5. Forze di volme b e di sperficie f. ΔA n f ΔV f Porzione del solido caricata Piano tangente al solido b O

33 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Problema dell eqilibrio dei solidi deformabili, tensioni, tensore di sforzo j 57 Forze di sperficie Esse sono esercitate s porzioni 09@ della frontiera del corpo 0@ (o eventalmente s ttta la frontiera) dal contatto con corpi esterni; per qesta ragione si definiscono anche forze di contatto esterne. Si consideri n generico pnto appartenente alla frontiera 09@ del corpo, Figra 5., e per semplicità, si spponga che in sia definito n piano tangente di normale n. Si denoti con A l elemento di sperficie sl piano tangente e sia Dr il vettore risltante delle forze agenti s di esso; si assme che esista e sia finito il limite (e ciò esclde forze sperficiali concentrate): Dr f() 5 lim DAS0 DA (5.06) La f viene denominata forza di sperficie (o densità di forza sperficiale) nel pnto e ha dimensioni [FL ]. Per le stesse considerazioni svolte in precedenza non si considerano distribzioni sperficiali di coppie. Forza di sperficie Eqilibrio del corpo privo di vincoli Le eqazioni cardinali della statica riferite all intero sistema delle forze esterne costitiscono nicamente condizioni necessarie per l eqilibrio del corpo considerato privo di vincoli. Infatti per assicrare l eqilibrio del corpo è necessario verificare che sia in eqilibrio ogni sa parte e non solo il corpo nel so complesso. Le eqazioni cardinali, come precisato nel Capitolo, richiedono che il sistema delle forze esterne sia staticamente eqivalente a n sistema nllo: Eqazioni di eqilibrio o cardinali della statica r 5 b dv f da 5 0 b (5.07) 0b m 5 ( O) b dv ( O) f da 5 0 b 0b (5.08) ove r e m rappresentano, rispettivamente, il vettore risltante e il momento risltante rispetto al polo O del sistema di forze; il primo addendo è l integrale esteso al occpato dal corpo delle forze di volme, mentre il secondo rappresenta il contribto delle forze di sperficie ed è esteso all intera poiché il corpo è privo di vincoli. 5.. Concetto di tensione Sezione di Elero Si consideri n soggetto a n generico sistema di forze in eqilibrio. Sia n generico pnto interno al corpo e si immagini di operare in esso na sezione S, detta sezione di Elero, mediante na sperficie, non necessariamente piana, che separi il corpo in de (Figra 5.4). Per effetto delle sole forze esterne ciascna parte non è in eqilibrio; infatti solo nel loro insieme le azioni esterne sono eqivalenti a n sistema nllo. Il principio di separazione di Elero assme l esistenza di n campo di forze interne sperficiali di contatto, rispettivamente t e t, che le de parti si scambiano attraverso S e che assicrano separatamente l eqilibrio Infatti se è in eqilibrio n corpo deve esserlo ogni sa parte. Sezione di Elero Forze interne

34 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini f + + n + n = n + S t + t π S O f O f Figra 5.4 Sezioni di Elero. Tali distribzioni sperficiali di forze interne t non sono osservabili sperimentalmente, ma costitiscono n costrtto mentale tile alla formlazione dell eqilibrio dei corpi deformabili. Vettore tensione di Cachy Postlato di Cachy È natrale attendersi che la forza di contatto interna t dipenda non solo dal pnto ma anche dalla sezione S. Il postlato di Cachy assme che abbiano la stessa forza di contatto interna ttte le possibili sezioni, sfficientemente regolari, che hanno in il medesimo piano tangente di normale n (Figra 5.5); tale forza specifica prende il nome di vettore tensione nel pnto secondo il piano p di normale n. Con riferimento alla Figra 5.5 sia Dr il vettore risltante dell azione sperficiale trasmessa in attraverso l area elementare DA n, si assme che esista e sia finito il limite: Figra 5.5 Il vettore di tensione t dipende dalla normale n al piano p. n r ΔA n f n O π

35 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Problema dell eqilibrio dei solidi deformabili, tensioni, tensore di sforzo j 59 Figra 5.6 Un qalnqe elemento, interno al in eqilibrio. t O t(, n) 5 lim DA n S0 Dr DA n (5.09) Si osservi che nei corpi solidi, a differenza di qanto accade nei gas o nei liqidi perfetti, t e r non sono, in genere, diretti secondo la normale n. Si osservi inoltre, in analogia a qanto asserito nel paragrafo precedente, che nel modello di Cachy non sono presenti coppie di sforzo interne, presenti invece nei contini di Cosserat. Eqazioni di eqilibrio Il concetto di tensione sopra esposto consente di definire delle relazioni sfficienti a garantire l eqilibrio di ogni parte del corpo. Si consideri, Figra 5.6, n arbitrario volme, di frontiera 0, interno contenente il generico pnto. Gli assiomi di Elero (o più in generale i principi di conservazione della qantità di moto e del momento della qantità di moto) assmono che sia in eqilibrio sotto l azione delle forze di volme b e delle forze di contatto interne t. Pertanto dovranno risltare nlli il loro vettore risltante r * e il loro momento m *, risltante rispetto all origine O Assiomi di Elero r * 5 p b dv 0pt(n, ) da 5 0 (5.0) m * 5 p ( O) b dv 0p( O) t(n,) da 5 0 (5.) Si consideri ora il corpo sddiviso nelle de (Figra 5.4); l applicazione degli assiomi sopra esposti comporta: t 5 t(, n ) 5t 5 t(, n ) 5 t(, n ) (5.) che rappresenta il principio di azione e reazione per i contini deformabili. Principio di azione e reazione 5.. Tensore degli sforzi di Cachy Il vettore di tensione pò essere rappresentato (Figra 5.7), oltre che nel riferimento esterno (O,,, ), rispetto a na terna locale ortogonale avente n asse coincidente con la normale n al piano p.

36 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Figra 5.7 Componenti normali e tangenziali di tensione. n σ n t τ n O π Tensione normale Si definisce tensione normale o componente normale di tensione la proiezione del vettore tensione t slla normale n s n 5 n T t(, n) (5.) Tensione tangenziale e componente tangenziale t la sa proiezione sl piano p che, omettendo nel segito per semplicità di notazione la dipendenza del vettore di tensione dal pnto e dalla normale, si scrive: t5t s n n (5.4) Tensore di sforzo di Cachy che a sa volta pò essere decomposta lngo de direzioni assegnate. Si considerino nel pnto tre piani paralleli ai piani coordinati (di normali e, e, e ). S qesti piani agiscono rispettivamente i vettori tensione t 5 t(e ), t 5 t(e ), t 5 t(e ). Le nove componenti dei vettori tensione t 5 t(e ), t 5 t(e ), t 5 t(e ) definiscono le componenti speciali di tensione, che, come si mostrerà, sono le componenti s ij del tensore degli sforzi di Cachy T: s s s T 5 Cs s s S s s s (5.5) A titolo illstrativo si consideri (Figra 5.8), il pnto e il relativo intorno del rappresentati da n piccolo cbo avente le facce parallele ai piani coordinati. Si considerino le de facce opposte ortogonali all asse ; il vettore tensione t s tali facce rislta (ponendo come secondo indice qello che denota la normale): s s t 5 t 5 Te 5 s s t 5 T(e ) 5 s 5t s (5.6) Rislta qindi che la seconda colonna di T rappresenta il vettore t, mentre la tensione slla faccia opposta ha segno opposto. Analogamente la prima e terza colonna rappresentano la tensione slle facce di normale rispettivamente n e n.

37 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 6 5. j Problema dell eqilibrio dei solidi deformabili, tensioni, tensore di sforzo j 6 Figra 5.8 Componenti del tensore degli sforzi. σ σ σ σ σ σ σ σ σ O σ σ σ Tale rappresentazione evidenzia come le componenti slla diagonale principale s, s, s costitiscano le tensioni normali si piani coordinati mentre le componenti con indici distinti s ij (i? j) individano le tensioni tangenziali. Vettore tensione s n piano di normale n: teorema di Cachy È possibile ora dimostrare la segente proprietà del tensore degli sforzi: Il vettore di tensione t(, n) dipende linearmente da n tramite il tensore degli sforzi T(), secondo la relazione t 5 T n. Si consideri n pnto interno al solido e n piano p, passante per esso, avente normale n; si consideri inoltre n triedro di dimensioni infinitesime, interno avente tre facce parallele ai piani coordinati e la qarta parallela a p (Figra 5.9). S qest ltima agisce il vettore di tensione t 5 [t, t, t ] T, mentre, per qanto detto in precedenza, i vettori di tensione slle prime tre facce risltano rispettivamente: Figra 5.9 Tetraedro di Cachy. t n σ σ σ σ O σ σ σ σ σ

38 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 6 6 j Capitolo 5 j Meccanica dei contini t 5 [s, s, s ] T, t 5 [s, s, s ] T, t 5 [s, s, s ] T Inoltre all interno del tetraedro agisce la forza di volme b. Nel caso in esame l eqilibrio alla traslazione del triedro [Eqazione (5.0)] comporta: s Ds s Ds s Ds t Ds b DV 5 0 s Ds s Ds s Ds t Ds b DV 5 0 (5.7) s Ds s Ds s Ds t Ds b DV 5 0 ove Ds, Ds, Ds e Ds sono rispettivamente le aree slle facce parallele ai piani coordinati e a p, e V è il volme del tetraedro. Detti n, n, n i coseni direttori di n si ha Ds 5 n Ds Ds 5 n Ds Ds 5 n Ds (5.8) Volendo rappresentare localmente in le (5.7), ossia facendo tendere a zero l elemento di volme DV, esso rappresenta n infinitesimo di ordine speriore rispetto a s e pertanto il contribto delle forze di massa rislta trascrabile, essendo b limitato; inoltre, tenendo conto delle (5.8) il sistema (5.7) pò essere scritto nella forma: s n s n s n t 5 0 s n s n s n t 5 0 (5.9) ovvero in modo eqivalente s n s n s n t 5 0 t 5 T n (5.0) Teorema di Cachy 0t0 5 "t # t s La relazione precedente mostra che è sfficiente conoscere il vettore di tensione s tre giacitre ortogonali e cioè conoscere il tensore degli sforzi, per conoscere il vettore di tensione t s na giacitra qalnqe. La (5.0) definisce anche T come il tensore che applicato al generico versore n fornisce il vettore di tensione slla giacitra da esso individata. Una dimostrazione più rigorosa di qesto teorema è riportata in [M.E. Grtin 97]. Noto t, si possono calcolare la componente normale slla giacitra s 5t? n (Figra 5.7) e la componente tangenziale. j Esempio 5.7 Tensioni normali Come detto, i termini slla diagonale principale di T rappresentano le tensioni normali si piani coordinati. In Figra 5.0 è rappresentato n parallelepipedo soggetto nicamente a tensione normale slle facce di normale n 5 [, 0, 0] T.

39 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 6 5. j Problema dell eqilibrio dei solidi deformabili, tensioni, tensore di sforzo j 6 n ϕ = π/4 n σ n t π a) b) Figra 5.0 Stato di tensione monoassiale di trazione di direzione. Lo stato di tensione viene detto monoassiale e il tensore degli sforzi assme la forma: Stato di sforzo monoassiale s 0 0 T (5.9) In particolare se s. 0, lo stato di tensione è detto di trazione monoassiale, viceversa se s, 0, si ha compressione monoassiale. In Figra 5.0b è mostrata la tensione t sl piano inclinato di p>4 rispetto all asse, di normale. Tramite il teorema di Cachy (5.0) si ottiene: " " s 0 0 t(n) E "U 5 D s T (5.) n 5 c ", ",0d T e in virtù delle (5.) e della (5.4) rislta: s n 5 n T t 5 s " s t5t s n n 5 D T E 0 0 " 4 s " 4 s 0 " 4 U 5s E " U 4 0 (5.) (5.4) Le relazioni precedenti, che possono anche essere ottente con semplici considerazioni di eqilibrio, mostrano come al variare della giacitra anche in no stato di tensione normale monoassiale risltino presenti tensioni tangenziali. Si consideri, ora, n parallelepipedo con facce parallele ai piani coordinati e soggetto a tensioni normali slle sperfici laterali di normali n 5 [, 0, 0] T e n 5 [0,, 0] T mentre le tensioni tangenziali sono nlle (Figra 5.). Uno stato di tensione normale di qesto tipo viene detto biassiale e il tensore degli sforzi assme la forma: Stato di sforzo biassiale o piano

40 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Figra 5. Tensione normale biassiale, di trazione secondo l asse e di compressione secondo l asse. σ > 0 σ < 0 σ < 0 σ > 0 s 0 0 T 5 0 s (5.5) Stato di sforzo triassiale Infine, se ttti i termini slla diagonale principale del tensore degli sforzi sono non nlli, mentre le tensioni tangenziali sono gali a zero, si ha tensione normale triassiale: s 0 0 T 5 0 s s (5.6) Stato di sforzo sferico Tensione idrostatica Nel caso s 5s 5s 5 p lo stato di tensione si dice idrostatico o sferico, in ricordo degli stati di pressione presenti nei liqidi perfetti o nei gas. Si definisce tensione media o idrostatica la qantità p 5 (s s s ) (5.7) costitente la media delle tensioni normali. Proprietà del tensore degli sforzi Viene nel segito presentata na forma pntale delle condizioni sfficienti di eqilibrio in fnzione del tensore degli sforzi di Cachy. Eqazioni indefinite di eqilibrio L eqilibrio alla traslazione di n arbitrario volme, di frontiera 0, interno al comporta [Eqazione (5.0)]: p b dv 0p t da 5 0 (5.8) Si consideri, per semplicità, l eqilibrio in direzione sostitendo, in virtù del teorema di Cachy [Eqazione (5.0)], al vettore di tensione il tensore di sforzo T. p b dv 0p (s n s n s n )da 5 0 (5.9)

41 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Problema dell eqilibrio dei solidi deformabili, tensioni, tensore di sforzo j 65 applicando la formla di Gass-Green per trasformare l integrale di sperficie in integrale di volme e raccogliendo sotto n nico segno di integrale, si ottiene p a b 0s 0 0s 0 0s 0 b dv 5 0 (5.0) Poiché l eqilibrio deve essere verificato per n arbitrario volme interno, è necessario, nelle ipotesi di regolarità introdotte per la tensione, che si annlli identicamente la fnzione integranda. Considerando ora l eqilibrio nelle rimanenti direzioni e e ripetendo il procedimento, si ottengono le tre eqazioni indefinite di eqilibrio o di eqilibrio locale: Eqazioni indefinite di eqilibrio 0s 0 0s 0 0s 0 b 5 0 0s 0 0s 0 0s 0 b 5 0 (5.) 0s 0 0s 0 0s 0 b 5 0 che possono essere espresse in forma compatta divt b 5 0 (5.) ove div(?) è l operatore divergenza. È possibile derivare le eqazioni indefinite di eqilibrio per altra via operando in modo del ttto analogo a qanto fatto nel caso delle travi nel Capitolo. Si consideri (Figra 5.) n elemento di volme infinitesimo a forma di parallelepipedo con facce parallele ai piani coordinati e lnghezza degli spigoli rispettivamente pari a d d e d. Le ipotesi di regolarità precedentemente introdotte consentono di svilppare in serie di Taylor, con pnto iniziale l origine, le componenti di T, in particolare, considerando n incremento della coordinata j si ha: s ij ( j d j )>s ij 0s ij 0 j d j (5.) σ + d σ Figra 5. Eqilibrio dell elemento di volme in direzione. d σ σ σ + d σ d σ σ + d σ d

42 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Figra 5. Simmetria del tensore degli sforzi. s s + d 00 d s O e e e s s + d 00 s d d L eqilibrio del parallelepipedo alla traslazione in direzione comporta: a 0s 0 0s 0 0s 0 b b d d d 5 0 (5.4) da ci sege la prima delle (5.). Simmetria del tensore degli sforzi Si consideri, per semplicità, n elemento infinitesimo di volme di forma cbica, appartenente a n intorno di, con le facce parallele ai piani coordinati e spigoli di lnghezze d i, s e s agenti rispettivamente si piani di normali 6 e e 6 e e riportate da sole, con i loro incrementi in Figra 5.. Le niche componenti di T che concorrono all eqilibrio alla rotazione attorno all asse sono le componenti tangenziali; pertanto, trascrando l eventale contribto delle forze di volme b (che dipende da na potenza di ordine speriore di d) si ha: (s d d ) d (s d d ) d 5 0 (5.5) da ci rislta s 5s. Scrivendo, in modo analogo, l eqilibrio alla rotazione attorno alle altre direzioni coordinate ne rislta che: s 5s s 5s (5.6) Simmetria delle tensioni tangenziali Simmetria del tensore di sforzo e pertanto T è simmetrico T 5 T T (5.7) Tale proprietà pò essere dimostrata in generale per stati di tensione non omogenei. Si ritiene opportno sottolineare n importante diversità fra le travi e i mezzi contini. Nel caso delle travi le eqazioni indefinite di eqilibrio sono tante qante le caratteristiche dell azione interna e possono, pertanto, essere determinate direttamente, mentre nel caso dei mezzi contini si hanno nicamente tre eqazioni di eqilibrio che non possono consentire da sole la determinazione delle sei componenti distinte del tensore T. L eqilibrio al bordo Si consideri n pnto slla frontiera 0@ del corpo ove sono applicate forze di sperficie di intensità f (Figra 5.4); si spponga inoltre che ivi sia definito il piano tangente p e si denoti con n il versore della

43 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Problema dell eqilibrio dei solidi deformabili, tensioni, tensore di sforzo j 67 n Figra 5.4 Eqilibrio al bordo. f Porzione del solido caricata Piano tangente al solido in * f O normale in scente Si consideri inoltre n pnto * interno e appartenente a n intorno infinitesimo di. L applicazione del teorema di Cachy consente di definire il vettore di tensione in * s na giacitra parallela al piano p di normale n t( *,n) 5 T( * ) n (5.8) Sotto opportne ipotesi di regolarità è possibile definire il vettore di tensione nel pnto slla frontiera 09@: t(, n) 5 lim * S t(*, n) (5.9) che per eqilibrio deve risltare coincidente con la densità delle forze sperficiali applicate: f() 5 t(, n) per P09@ (5.40) L eqazione precedente scritta per esteso assme la forma: f 5s n s n s n f 5s n s n s n (5.4) f 5s n s n s n Qeste relazioni costitiscono le eqazioni di eqilibrio al bordo e correlano le forze di contatto esterne in con le tensioni ivi emergenti dall interno. L eqilibrio di n mezzo contino Le eqazioni che descrivono l eqilibrio di n corpo contino risltano in definitiva:. eqazioni cardinali della statica per il sistema di forze esterne [Eqazioni (5.07) e (5.08)];. eqazioni indefinite di eqilibrio [Eqazione (5.)];. simmetria del tensore degli sforzi; T 5 T T 4. eqazioni di eqilibrio al bordo s 0@ [Eqazione (5.4)]. Eqazioni di eqilibrio al contorno Eqilibrio del mezzo contino Come osservato il campo di tensione è definito da sei componenti incognite s, s, s, s, s, s da determinare con sole tre eqazioni di eqilibrio di campo e al contorno. Il problema rislta pertanto indeterminato.

44 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Direzioni principali di tensione Tensioni principali 5.. Tensioni principali e direzioni principali di tensione Tra ttti gli infiniti piani passanti per il pnto si cercano le giacitre s ci è presente nicamente la tensione normale s n, cioè qelle s ci il vettore di tensione t ha direzione coincidente con la normale n al piano, essendo nlla la tensione tangenziale (Figra 5.5). Le direzioni e i corrispondenti piani s ci agisce solo la tensione normale vengono denominati direzioni e piani principali e la corrispondente tensione è denominata tensione principale. Pertanto s n piano principale il vettore tensione ha la forma: t 5 sn (5.4) ove s è il valore della tensione presente. Per il teorema di Cachy, in corrispondenza di tali piani deve risltare: Tn 5 t 5 sn (5.4) La (5.4) con la posizione n 5 In si trasforma nella segente eqazione omogenea negli incogniti coseni direttori n i : (T s I)n 5 0 (5.44) Eqazione di atovalori Eqazione caratteristica La ricerca delle tensioni principali e delle corrispondenti direzioni principali corrisponde dnqe, anche in qesto caso, alla solzione del problema agli atovalori (5.44). Il problema ammette, come noto, tre coppie di solzioni (atovalore atovettore) che vengono ottente imponendo al sistema omogeneo di ammettere solzioni diverse dalla banale, cosa che è espressa dall eqazione caratteristica: det(t si) 5 s I s I s I 5 0 (5.45) dove: I 5s s s I 5s s s s s s s s s (5.46) I 5 dett Invarianti del tensore di sforzo sono fnzioni delle componenti di T dette invarianti di tensione, poiché risltano indipendenti dal sistema di riferimento. L eqazione cbica (5.45) ammette tre solzioni reali chiamate atovalori di T o tensioni principali che, se distinte, ven- Figra 5.5 Tensione s n piano generico a); tensione s n piano principale b). t n n t O O a) b)

45 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Problema dell eqilibrio dei solidi deformabili, tensioni, tensore di sforzo j 69 gono di norma ordinate in ordine decrescente s I >s II > s III ; a qeste sostitite ordinatamente nel sistema (5.44) corrispondono i tre atovettori n I, n II e n III solzioni del sistema omogeneo (5.44), tilizzando la condizione rigardante i versori: n n n 5. Si ricorda inoltre che, per na nota proprietà degli atovalori, la più grande e la più piccola delle tensioni principali costitiscono rispettivamente la tensione normale massima e minima fra ttte qelle presenti si piani della stella nel pnto considerato. Classificazione degli stati tensionali Uno stato tensionale dicesi triassiale se le tre tensioni principali sono diverse da zero, mentre dicesi biassiale ovvero monoassiale se il tensore di sforzo T presenta rispettivamente no o de atovalori nlli. Uno stato biassiale dicesi anche piano in qanto il vettore di tensione t appartiene, qalnqe sia la giacitra che si considera, a n piano, detto piano delle tensioni, che è ortogonale alla direzione principale m, t T m 5 0, associata all atovalore nllo (Figra 5.6). Un analisi dell eqazione caratteristica (5.45) mostra facilmente che: no stato tensionale è biassiale se I 5 0; no stato tensionale è monoassiale se I 5 I 5 0. Uno stato triassiale dicesi idrostatico,, se le tre tensioni principali coincidono, cioè se rislta:. Infine si dice tensore deviatore di sforzo il tensore, ottento sottraendo a T la sa parte idrostatica: a s I b s s Stati di sforzo: triassiale, biassiale, monoassiale T 5 I I Stato di sforzo idrostatico Tensore deviatore di sforzo s I 5s II 5s III 5 I T D 5 F s a s I b s V (5.47) T D 5 T I I s s a s I b m Figra 5.6 Stato di tensione biassiale o piano, il vettore t appartiene al piano 5 0. σ σ σ σ t t π σ n π σ n π

46 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Vettore tensione principale deviatorico 5..4 Spazio di Haig-Westergaard È agevole verificare che il tensore deviatorico di sforzo T D presenta gli stessi atovettori (n I, n II, n III ) del tensore di sforzo T e valori principali raccolti nel vettore tensione principale deviatorico: s I s I I I s D 5 s II 5 Fs II I I V s III s III I I (5.48) Spazio delle tensioni principali di Haig-Westergaard Vettore tensione principale 0 0 T 5 a ai 0 0 m5>" >" >"4 T s s s T 5 s s s s s s s m 5 p 5 I I > 5 5(s s s )>5 5 (s I s II s II )> Vettore sforzo idrostatico Vettore deviatorico Piano deviatorico forniti dalle differenze fra tensione principale e tensione media s m 5 I I >. Per alcne applicazioni connesse con lo stdio degli stati tensionali, in particolare per le applicazioni in Plasticità, è molto tile la rappresentazione del tensore di sforzo T nello spazio delle tensioni principali detto anche spazio di Haig-Westergaard. Si consideri a qesto scopo lo spazio vettoriale eclideo tridimensionale riferito alla base delle direzioni principali di sforzo (O, n I, n II, n III ), nel qale si rappresenta il vettore le ci componenti sono le tensioni principali organizzate nel vettore tensione principale s P 5 [s I, s II, s III ] T. I tensori di sforzo idrostatici, del tipo presentano vettore tensione principale del tipo s P 5 a[ ] T. Nello spazio delle tensioni principali il versore, eqinclinato rispetto alle tre direzioni principali, definisce il cosiddetto asse idrostatico di sforzo, in qanto i vettori sforzo principali aventi la sa direzione sono del tipo idrostatico; i vettori di sforzo idrostatico del tipo s P 5 a[ ] T sono coassiali con l asse idrostatico m. Nello spazio delle tensioni principali il piano di eqazione s I s II s III definisce il cosiddetto piano deviatorico D, che rislta ortogonale all asse m. Con riferimento a n generico tensore di sforzo, avente tensioni principali (s I, s II, s III ) e tensione media, è stata qi sopra ennciata la scomposizione nelle se parti idrostatica e deviatorica T 5 T i T D, ove T i 5 I s I I > s s I I,eTD 5 s ij 4 5 s s I I > s s s s I I > (5.49) Nello spazio delle tensioni principali la proiezione del vettore tensione principale s P 5 [s I s II s III ] T sll asse m determina l intensità [s P? m 5 (s I s II s III )>Á] del vettore idrostatico s i 5[(s I s II s III )>Á]m, coassiale con m, il qale rende conto della parte idrostatica del tensore di sforzo. Inoltre il vettore tensione principale deviatorico s D 5 (s I I I >) (s II I I >) (s III I I >)4 T avente per componenti le tensioni principali (5.48) del deviatore di sforzo T D, tiene conto della parte deviatorica del tensore di sforzo. s D rislta ortogonale a m e appartiene qindi al piano deviatorico D. È agevole verificare che i vettori idrostatico s i e deviatorico s D costitiscono rispettivamente le componenti secondo m e nel piano deviatorico D del vettore tensione principale s P, essendo soddisfatta la: s P 5s i s D

47 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 7 5. j Problema dell eqilibrio dei solidi deformabili, tensioni, tensore di sforzo j 7 s III Figra 5.7 Spazio di Haig-Westergaard. s P m s I s d D O s I II III i s + s + s = 0 s II La scomposizione nello spazio vettoriale di Haig-Westergaard di s P, tramite le se componenti idrostatica s i e deviatorica s D, sono molto tili dal pnto di vista geometrico per la discssione e rappresentazione di stati di sforzo in condizione limite e dei criteri di resistenza dei materiali (Figra 5.7). Stato di tensione biassiale o piano j Esempio 5.8 Sia assegnato n tensore degli sforzi in ci siano nlle ttte le componenti di pedice e tale che il generico vettore di tensione t appartenga al piano ortogonale all asse : s s 0 T 5 s s (5.50) si vogliono determinarne le direzioni e le tensioni principali. Il procedimento risoltivo coincide con qello relativo allo stato di deformazione biassiale, presentato nel Paragrafo 5... Le tensioni principali nell ipotesi in ci siano di segno opposto per non contraddire l ordine assnto, risltano: s I ` f 5 s s ; "(s s ) 4s s III s II 5 0 (5.5) Sostitendo na delle tensioni principali non nlle s I e s III nelle prime de righe del sistema lineare (5.44) si ottiene: (s s I,III )n s n 5 0 s n (s s I,III )n 5 0 (5.5) Mentre dalla terza riga si ricava n 5 0. Imponendo inoltre che n abbia modlo nitario si ha Pertanto le direzioni principali risltano n n 5 (5.5)

48 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 7 7 j Capitolo 5 j Meccanica dei contini n I,n III 5; eca ss ss b d, a s s bca ss s T b d,0f (5.54) Alla tensione principale s II 5 0 rislta inoltre associata la direzione dell asse. j Esempio 5.9 Stato di tensione biassiale tangenziale Nel caso della tensione biassiale tangenziale (Figra 5.8) in ci rislta s 5s 5s i 5 0 si ottengono le segenti tensioni e direzioni principali s I 5s n I 5 ; c ", ",0d T e s II 5 0 n II 5 ;0,0,4 T (5.55) s III 5s n III 5 ; c ", ",0d T Alla tensione tangenziale agente si piani coordinati corrispondono de direzioni principali n I e n III rotate di 45 s ci agiscono rispettivamente le tensioni principali di trazione e compressione s I 5s e s II 5s, come mostrato in Figra 5.8. Per qesto risltato si veda anche l Esempio 5.5. Trasformazione di T al variare della base cartesiana La ricerca delle direzioni principali ha evidenziato come al rotare degli assi del riferimento cambino le componenti di T. Per determinare la legge di trasformazione delle componenti del tensore degli sforzi si ricorda che il vettore di tensione nel riferimento rotato t9 è espresso in fnzione del so valore t nel riferimento iniziale tramite la: t9 5R t (5.56) Figra 5.8 Tensione biassiale tangenziale. σ n I n III s III = σ s I = σ n I σ = σ σ = σ s I = σ s III = σ n II σ n I n III n III

49 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 7 5. j Problema dell eqilibrio dei solidi deformabili, tensioni, tensore di sforzo j 7 dove R è il tensore di rotazione. Si conslti il Paragrafo per la trattazione generale. Analogamente il versore n della normale al piano s ci viene valtata la tensione si trasforma secondo la n9 5R n (5.57) Ricordando che R è n tensore ortogonale (R 5 R T ) il teorema di Cachy comporta: t 5 T n 5 T R T n9 (5.58) premoltiplicando entrambi i membri della seconda gaglianza per R si ha: t9 5(R T R T ) n9 (5.59) da ci si ottiene la cercata relazione della trasformazione di T in T9 T9 5R T R T (5.60) Trasformazione di T al variare della base Trasformazione di n stato di tensione piano. Direzioni principali di sforzo. j Esempio 5.0 Si consideri il segente stato di tensione biassiale: s s 0 T 5 s s (5.6) Il sistema di riferimento roti di n angolo w attorno all asse (Figra 5.9) e dnqe rislti: cosw senw 0 R 5 senw cosw (5.6) Sostitendo le espressioni precedenti di T e R nella (5.60) si ottengono le segenti componenti non nlle di T9 s9 5s cos ws sen ws senw σ σ σ σ σ σ Figra 5.9 Trasformazione di no stato tensionale piano al rotare del riferimento. ϕ σ O σ

50 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini s9 5s sen ws cos ws senw (5.6) s9 5s cosw (s s ) senw Nel caso considerato di stato piano di tensione con direzione principale a tensione nlla, le altre de direzioni principali appartenenti al piano (, ) possono essere determinate cercando l angolo per ci si annlla la componente tangenziale s9, qindi risolvendo l eqazione s9 5s cosw (s s ) senw 50 (5.64) Nei casi in ci le tensioni normali siano diverse (s? s ), si ottiene: tanw 5 s s s (5.65) che fornisce: w5 arctan a s s s b (5.66) Viceversa, se s 5s rislta w 56p> s t t T 5 t s t t t s 5..5 Cerchio di Mohr per le tensioni: trattazione generale La costrzione del cerchio di Mohr per le tensioni costitisce n metodo assai sintetico e pratico per la rappresentazione anche grafica dello stato di tensione in n pnto del solido. Esso determina lo stato di tensione s particolari piani, e consente di dedrre talne qalità dello stato di tensione. In n approccio generale, si consideri la base cartesiana (O, e, e, e ) centrata nel pnto del solido considerato. Il tensore di sforzo di Cachy, in qesta base, sia (Figra 5.40). Con- Figra 5.40 a Stato di tensione nella base (,, ) s t t t n t t t s t t s, t ln m s n n

51 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Problema dell eqilibrio dei solidi deformabili, tensioni, tensore di sforzo j 75 sideriamo ora n piano a, appartenente al fascio di piani che si appoggia all asse e, definito dal versore della normale scente n T 5 [n n 0], formante con la direzione e l angolo m (Figra 5.40). Il piano a interseca qello (, ) nella retta, normale a n e a e, slla qale si fissa la direzione, T 5 [n n 0], talché la base (O,,, n, e ) sia congrente con qella (O, e, e, e ). Si vole ora determinare il vettore della tensione t agente sl piano a e le se de componenti s n, t,n agenti nel piano (, ) aventi rispettivamente le direzioni di n e,. Grazie al teorema di Cachy (5.0), si ottiene, dalla qale s n 5 t # n 5s n s n t n n t ln 5 t # < 5 s s n n t n n Sottraendo ai de membri della (5.67) la qantità si perviene alla s n s s 5 s s an b t n n (5.67) (5.68) (5.69) s n t n t5t# n5 s n t n t n t n s s Qadrando le (5.68) e (5.69) e sommando membro a membro si ottiene: a s n s s b t ln 5 s s can b n n d t 4n n n 4t s s c4an b n n n n n d È facile verificare che le tre parentesi qadre al secondo membro dell eqazione di sopra valgono rispettivamente: >4,, 0, ottenendosi in definitiva: a s n s s b t ln 5 a s s b t (5.70) Ricordando che l eqazione della circonferenza nel piano (, y), di centro ( 0, y 0 ) e raggio r si scrive, la (5.70) si interpreta come eqazione del cerchio di Mohr nel piano (s n, t ln ), avente centro di posizione, raggio dato da e presenta l evidenza geometrica riscontrabile nella rappresentazione di Figra 5.4. La (5.70) permette di riconoscere che, al variare del piano a fra ttti qelli del fascio di piani di sostegno l asse e, le componenti (s n, t ln ) del vettore tensione di Cachy appartenenti al piano (, ) descrivono nel piano di Mohr (s n, t ln ) il cerchio di Mohr di Eqazione (5.70). Per costrire il cerchio di Mohr basta riportare sll asse delle s n i pnti di ascisse s e s ; il centro C del cerchio è il pnto medio, di ascissa. Il pnto P di coordinate (s, t ) permette di visalizzare il raggio r del cerchio nel segmento CP. Si sottolinea che le componenti di tensione (s, s, t ), atte a definire il cerchio di Mohr, vanno considerate con i loro segni nel riferimento,. Il pnto P assme in qesta rappresentazione importanza particolare, in qanto ricopre il rolo di polo del cerchio. Una volta assodato che il pnto tensione T 5 (s n, t ln ), al variare di a nel fascio di piani di sostegno descrive i pnti della circonferenza di Figra 5.4, resta da stabilire la relazione esistente fra l angolo m che definisce il piano a di normale n e il pnto tensione T 5 (s n, t ln ). Con riferimento alla Figra 5.4, si consideri il triangolo PRT. La tangente dell angolo che il segmento PT forma con qello PR, grazie alle (5.67) e (5.68) è dato da: Cerchio di Mohr 0 yy 0 5r C 5 a s s,0b r 5 a s s b t s s Polo del cerchio di Mohr

52 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Figra 5.4 t ln t t nm t ln Q s m r C P r m s m R s r p + m s n T a s n m m, s n m s m t ln p t nm +m s m s n, n s ( s + s ) s s n - ( s - s) ( s + s ) s t s s n TR PR 5 s n s t t ln 5 n n 5 tanm σ σ O σ σ σ σ σ Qesto risltato permette dnqe di riconoscere che il pnto T che si ottiene qale (seconda) intersezione della retta per P, formante con la PR l angolo m, ha coordinate T 5 (s n, t ln ) e determina dnqe le cercate componenti della tensione agenti sl piano a aventi le direzioni rispettivamente di n e,. I segni delle componenti (s n, t ln ) vanno considerati con riferimento alla base (O,,, n) che è congrente con qella (O, e, e ) e pertanto sono qelli rappresentati sll elementino solido in Figra 5.4. È tile sottolineare che la tensione tangenziale t ln rappresentata in Figra 5.4 è negativa e segendo la convenzione di Mohr il so verso sll elementino materiale va fissato facendo riferimento alla base (O,,, n). Nel segito si tilizzerà anche na rappresentazione degli assi del piano di Mohr che vede il verso positivo dell asse delle t ln verso il basso, in modo da riconoscere più direttamente il loro verso. σ σ σ σ τn σ σn ϕ Figra 5.4 Componenti di tensione nel piano, si piani coordinati e s n generico piano. n Il cerchio di Mohr per stati piani di tensione In presenza di no stato tensionale piano [Eqazione (5.50)] ovvero anche nel caso di deformazione piana in ci anche la componente di tensione normale al piano rislta diversa da zero, si pò tilizzare n metodo grafico dovto a O. Mohr per determinare la tensione s n piano generico e qindi direzioni e tensioni principali. Siano s, s, s le componenti riferite al sistema (O,, ) di Figra 5.4. Si vogliono determinare le tensioni normale s n e tangenziale t n sl piano di normale n. La costrzione grafica di Mohr si ottiene effettando le operazioni segenti (Figra 5.4).. Si traccia n sistema di assi ortogonali riportando sll asse delle ascisse la componente normale di tensione s n e sll asse delle ordinate la componente tangenziale t n cambiata di segno. Il piano in oggetto prende il nome di piano di Mohr.

53 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Problema dell eqilibrio dei solidi deformabili, tensioni, tensore di sforzo j 77 σ M( σ, σ ) Figra 5.4 Costrzione del cerchio di Mohr. ϕ O C B( σ, 0) A( σ, 0) ( σ + σ ) ( σ σ ) S( σ n, τ n ) σ n τn σn. Si individano sl piano di Mohr i pnti A 5 (s, 0) e B 5 (s, 0).. Si determina il centro C 5 (, 0). 4. Si determina il polo della rappresentazione M 5 (s, s ). 5. Si costrisce la circonferenza di centro C e raggio R 5 MC Si traccia per M na retta parallela al piano di normale n (Figra 5.4), formante n angolo w con l asse. 7. Si individa il pnto S in ci la retta per M interseca la circonferenza. Le se coordinate sl piano di Mohr (s n, t n ) rappresentano le tensioni normale e tangenziale cercate. s s Å (s s ) 4 s Stato di tensione monoassiale j Esempio 5. Si considera (Figra 5.44) lo stato di trazione monoassiale diretto secondo l asse già esaminato in precedenza [Eqazione (5.)]. s 5s.0 s 5s 5 0 σ sen ϕ B ϕ C R S( σ n, τ n ) ϕ A = M ϕ σ I σ n σ σ I σ ( + cos ϕ) ϕ σ sen ϕ Figra 5.44 Cerchio di Mohr per no stato di tensione monoassiale. τ n σ ( + cos ϕ) A = (R, 0) B= (0, 0) σ = σ σ R =

54 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Si vole determinare la tensione agente slla giacitra, la ci normale rislta inclinata di n angolo w rispetto all asse. Dalla costrzione rislta: s n 5 R( cosw) 5 s ( cosw) t n 5Rsenw 5 s senw Si confronti il risltato ottento con le Eqazioni (5.) e (5.4); inoltre si consiglia di ripetere la costrzione nel caso di trazione monoassiale secondo l asse, s. 0, e di compressione monoassiale, s, 0. j Esempio 5. Stato di tensione tangenziale Si considera (Figra 5.45) lo stato di tensione biassiale tangenziale discsso in precedenza e si assme: s 5s 5 0 s 5t.0 s n 5 Rsenw 5tsenw t n 5 Rcosw 5tcosw Anche in qesto caso si vole determinare la tensione agente slla giacitra, la ci normale rislta inclinata di n angolo w sll asse. Dalla costrzione rislta. Si osservi inoltre che i pnti di intersezione della circonferenza con l asse delle s n, S I e S III, hanno componenti tangenziali nlle e componenti normali rispettivamente massima e minima; rappresentano dnqe le tensioni principali s I 5te s III 5t. Le congingenti il polo della rappresentazione M con S I e S III e le loro normali rappresentano rispettivamente le giacitre e le direzioni principali. j Esempio 5. Stato di tensione biassiale principale Si considera (Figra 5.46) no stato di tensione di ci sono note le tensioni principali e si ricerca lo stato di tensione s na giacitra generica; si assme: s I 5 s? 0 s II 5s? 0 s 5 0 (s I, s II tensioni principali) Figra 5.45 Cerchio di Mohr per no stato di tensione tangenziale. Direzioni principali. σ III S III τ R C τ n M B π/4 ϕ ϕ σ n S S I σ I σ n n I σi = τ σ = τ ϕ τ cos ϕ τ sen ϕ σii A τ σi σii = τ σ = τ A = (0, τ), B = (0, τ), C = (0, 0), M = (0, τ), R = τ.

55 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Problema dell eqilibrio dei solidi deformabili, tensioni, tensore di sforzo j 79 σ o τ n τ n ϕ τ min R C τ ma S( σ n, τ n ) ϕ σ n A = M ϕ σ σ I = σ σ n σ σ n = ϕ ( σ + σ) + ( σ σ + ) σ n cos ϕ) ϕ ( σ + σ τ ) n = sen ϕ Figra 5.46 Cerchio di Mohr per stato di tensione biassiale principale. σ + σ σ A = ( σ,0); M=A; R = σ B = ( σ C = (,0);,0); Ancora na volta si vole determinare la tensione agente slla giacitra la ci normale rislta inclinata di n angolo w sll asse. Dalla costrzione rislta: s n 5 s s Rcosw 5 s s s s cosw t n 5Rsenw 5a s s b senw Si osservi come s ogni giacitra, diversa da qelle principale, sia presente na componente tangenziale di tensione, il ci valore massimo si ha per w 5645 e vale t 56> (s I s II ). Ricerca grafica delle tensioni principali j Esempio 5.4 Si considera no stato tensionale piano generico caratterizzato, per esempio, dalle componenti di tensione s 5s. 0 s 5 0 s 5t.0 Allo scopo di individare le direzioni e le tensioni principali si costrisca (Figra 5.47) la circonferenza di Mohr ove: A 5 s, 0 B 5 0, 0 C 5 a s,0b M 5 s, t R 5 s Å 4 t e si esega la costrzione grafica descritta in precedenza. I pnti S I e S III, intersezioni della circonferenza con l asse orizzontale, rappresentano rispettivamente la massima e la minima tensione principale. Le de rette che niscono il polo della rappresentazione M con i pnti S I e S III individano le giacitre principali. Le tensioni principali risltano:. Considerando il triangolo CAM è possibile constatare che. s I 5 s s Å 4 t, s III 5 s s Å 4 t tanw I 5 t s

56 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Figra 5.47 Ricerca grafica delle tensioni e giacitre principali. τ M σ III S III = ( σ III, 0) o ϕ R ϕ ϕ B C A S I = ( σ I, 0) σ n n I ϕ σ σ σ I = σ + σ 4 +τ τ n σ σ III = σ σ 4 +τ Dimostrazione sintetica della costrzione di Mohr Una gistificazione della costrzione di Mohr si ottiene, a partire dalle (5.6) osservando che slla giacitra di normale si ha s n 5s e t n 5s e dnqe: Si ponga s n 5 (s s ) μ (s s ) cosw s senw t n 5 (s s )senw s cosw. (5.7) Rseng 5s Rcosg 5 s s (5.7) ove R e g indicano il raggio della circonferenza e l angolo per ci si annlla la tensione tangenziale (5.64); infatti dalle (5.7) si ricava: μ R 5 ca s s b s d tang 5 s s s (5.7) Sostitendo le (5.7) nelle (5.7) si ottiene: s n 5 s s RcoswcosgRsenwseng5 s s R cos (gw) (5.74) t n 5RsenwcosgRcoswseng5Rsen(gw) Le precedenti costitiscono la rappresentazione parametrica di na circonferenza, ove il generico pnto S 5 (s n, t n ) rappresenta lo stato di tensione s na giacitra rotata di n angolo g rispetto al riferimento assegnato. Infatti per qadratra le (5.74) divengono: s s c s n (s s ) d t (5.75) n 5R cos (gw)4r sen gw 45R che rappresenta l eqazione della circonferenza di centro C 5 (, 0) e raggio R.

57 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 8 5. j Problema dell eqilibrio dei solidi deformabili, tensioni, tensore di sforzo j 8 Rappresentazione grafica di stati tensionali triassiali L illstrazione dettagliata della rappresentazione grafica per stati di tensione triassiali generici, arbelo di Mohr (Figra 5.48), esla dagli scopi di qesto testo. Ttti i pnti s n t n che rappresentano gli stati tensionali presenti si piani dell intera stella di piani passanti per il pnto considerato sono contenti nella regione del piano s n t n scrita in Figra I cerchi di centri C C C rispettivamente di ascisse: C 5 s II s III C 5 s I s III C 5 s I s II (5.76) e di raggi rispettivamente vengono detti cerchi di Mohr principali. I pnti tensione s n, t n descrivono la zona interna al cerchio principale massimo ed esterna agli altri de cerchi principali: tale zona si chiama arbelo di Mohr. L insieme {s I, s II, s III } delle componenti principali di tensione contiene la massima e la minima delle tensioni normali relative alle infinite giacitre che possono considerarsi per il pnto in esame. La massima tensione tangenziale in n pnto è gale al più grande dei raggi dei tre cerchi e si pò dnqe valtare attraverso la formla: s II s III s I s III s I s II t ma 5 ma 0s II s III 0, 0s I s III 0, 0s I s II 0 (5.77) Con l ordinamento s III <s II < s I, si ha e la t ma è presente slle giacitre che si appoggiano a n e formano angoli di 6p>4 con n I e n III (Figra 5.48). Nel caso piano na delle tre tensioni principali si annlla, per ci de dei tre cerchi di centro C C C sono tangenti all origine. t ma 5 s I s III Linee isostatiche Un interessante rappresentazione dello stato di tensione si ottiene tracciando, nell interno del solido, gli invilppi delle direzioni principali. Si ottengono, nelle ipotesi di regolarità assnte, tre famiglie di linee, mtamente ortogonali, dette linee isostatiche. τ min Figra 5.48 Rappresentazione di Mohr di stati di tensione triassiali. π 4 O C C C σ n σ I +σ III σ I +σ III = σ I σ III τ ma σ III τ ma σ II n π 4 n I σ I

58 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 8 8 j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Figra 5.49 Mesh per l analisi agli Elementi Finiti della testa di n femore mano. Se in n pnto qalsiasi, si evidenzia n elemento cbico infinitesimo avente le facce perpendicolari alle isostatiche, s qeste agiscono solo tensioni normali. Ciò sggerisce l idea di sostitire al materiale contino che costitisce il solido na maglia formata da tre ordini di aste soggette solo a sforzo normale orientate secondo le isostatiche, che in tal modo visalizzano le linee di flsso delle tensioni normali all interno del corpo. Con i moderni codici di analisi dei solidi agli elementi finiti normali è oggi possibile determinare lo stato di sforzo e le linee isostatiche in n qalnqe elemento strttrale. In Figra 5.49 è riportata la discretizzazione per elementi finiti (mesh) effettata per n femore mano, costitente na griglia spaziale di elementi, la qale consente di effettare l analisi dello stato di deformazione e tensione nell osso tramite la solzione di n sistema di eqazioni algebriche (M. Fraldi, Un modello costittivo per solidi porosi, Tesi di Dottorato. Univ. di Napoli Federico II, 999). In Figra 5.50a è rappresentata la mesh per l analisi agli elementi finiti di n portale e in Figra 5.50b è rappresentata la solzione deformata, insieme alle isosrfaces (sperfici isostatiche), della prima tensione principale (Ing. Lca Esposito, 00). Figra 5.50 Andamento delle linee isostatiche.

59 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 8 5. j Principio dei Lavori Virtali per il solido deformabile j 8 j Approfondimento 5. Tensore di sforzo di Piola-Kirchhoff Come già intito in tempi antichi e sancito dal motto t tensio, sic vis (anagrammato come ceiiinosssttv da Robert Hooke), che si tradrrebbe oggi dalla deformazione dipende lo sforzo, lo stato di sforzo interno di n solido deve dipendere dalla sa deformazione, e pertanto il tensore di sforzo non potrebbe a rigore essere definito 0 (come si fa sotto l ipotesi di piccoli spostamenti) bensì slla configrazione Qi, a titolo didattico, si vole solo mostrare il filo del ragionamento cha va svilppato qando si voglia correttamente trattare l eqilibrio tenendo conto della deformazione. Nella configrazione del solido opportnamente caricato, sia presente lo sforzo interno, rappresentato dal tensore di sforzo di Cachy T. In@ s n elemento di sperficie infinitesimo ds passante per y agisce dnqe il vettore tensione t 5 Tm, che slla sperficie S, per la formla di Nanson (AP5.), rislta R S 5 S TmdS 5 s JT(F ) T nds (AP5.4) in ci F è il gradiente di deformazione, J è il determinante Jacobiano della trasformazione 0 m è il versore della normale a S in y n è il versore della normale a s in 0. La (AP5.4) consente di definire il cosiddetto primo tensore di sforzo di Piola-Kirchhoff, ottenibile trasponendo l integrando della (AP5.4): S 5 JF T (AP5.5) che opera slla configrazione indeformata del solido, trasformando 0 il tensore di Cachy T, e permette di calcolare la cercata risltante tramite la: R S 5 s S T nds nella qale l integrale opera slla configrazione indeformata del solido. Si noti che T, tensore di sforzo di Cachy, è definito slla configrazione e per qesto motivo viene anche chiamato tensore reale di sforzo. T è simmetrico, come mostrato precedentemente. A T, nella 0 corrisponde peraltro il tensore S (AP5.5), che perde il carattere della simmetria. Si tenga inoltre conto del fatto che, mentre le componenti di T agiscono si piani di n riferimento cartesiano,mtamenteortogonali,in@ 0 lecomponenti di S agiscono slle facce trasformate all indietro e cioè tramite l applicazione inversa della deformazione, del cbetto cartesiano presente e pertanto s piani che non sono, in generale, fra loro ortogonali. 5. j Principio dei Lavori Virtali per il solido deformabile Nel Capitolo è stato trattato il Principio dei Lavori Virtali per i corpi rigidi che, come si è potto notare, fornisce na importante condizione di eqilibrio. Nel Capitolo è stato introdotto il Principio dei Lavori Virtali (PLV) per le strttre composte da travi deformabili, che è stato tilizzato prima per calcolare spostamenti generalizzati e poi per scrivere le eqazioni di congrenza per la dedzione delle iperstatiche per sistemi di travi elastiche. Sccessivamente, nei paragrafi dedicati ai principi e teoremi della Teoria dell Elasticità, si è introdotto direttamente e fatto ampio so del Principio dei Lavori Virtali, nella sa formlazione rivolta alle travi elastiche: il principio si è rivelato no strmento fondamentale, per ottenere importanti risltati che hanno dato origine a molteplici dedzioni teoriche e importanti applicazioni. Il Principio dei Lavori Virtali, già ampiamente tilizzato nei capitoli precedenti in tema di strttre elastiche, presenta n atonoma validità indipendente dal legame costittivo: esso è pertanto dedcibile per il solido deformabile in modo del ttto generale, senza alcna precisazione sl tipo di materiale strttrale. Per qesto motivo esso pò essere tilizzato per na generalità di problemi strttrali in ambito non necessariamente elastico: in plasticità, nell analisi limite e

60 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini n f f b f f al collasso delle strttre, in presenza di materiale viscoso, o in presenza di n qalnqe legame costittivo. Si mostrerà in qesto paragrafo che si tratta infatti di no strmento estremamente generale, che mette in relazione i campi di forze-tensioni con qelli spostamenti-deformazioni, senza che qesti e qelli abbiano fra loro na qalche relazione di casa ed effetto. Mediante il PLV si esprimono condizioni di eqilibrio fra forze e tensioni presenti sl corpo, oppre condizioni di compatibilità fra spostamenti e deformazioni. Qeste condizioni scritte tramite il PLV sono in forma integrale e cioè rigardano l intero solido, pesando s ttta la sa estensione l eqilibrio o la compatibilità, e consentono altresì di evidenziare il rispetto di condizioni locali di eqilibrio o compatibilità. A qesto pnto è dnqe evidente che le applicazioni già mostrate per le strttre elastiche sono solo alcne fra qelle di na casistica ben più ampia. La trattazione verrà svolta tilizzando gli enti meccanici spostamento, deformazione, forza, tensione, e le nozioni di eqilibrio e compatibilità, già introdotti in qesto Capitolo. Si consideri n solido deformabile occpante il dominio a frontiera generalmente regolare 0@. Si considerino le de f del solido, come in Figra 5.5. S 0@ f sia applicato il campo di forze sperficiali f e f il campo di forze volmetriche b: qesti de campi di forze siano dotati di opportna regolarità (per esempio contini con le derivate prime contine). Il sistema delle forze f e b è eqilibrato e soddisfa per ipotesi le eqazioni cardinali della statica (5.07) e (5.08). Sia T() il campo tensoriale di sforzo di Cachy f, simmetrico e soddisfacente, con le assegnate forze, le eqazioni indefinite di eqilibrio e qelle di bordo: 0s ij 0 j b i 5 0 (5.78); s ij n j 5 f i (5.79) Figra 5.5 il sistema di forze tensioni rappresentato in qesta parentesi (f, b, T) è dnqe, per ipotesi, eqilibrato f. Sl gale per geometria a f, sia definito n campo di spostamento piccolo, dotato di opportna regolarità (per esempio contino, derivabile con derivate prime e seconde contine). A qesto pnto è possibile scrivere il prodotto scalare delle forze f agenti s 0@ f per gli spostamenti della 0@, tilizzando le tensioni emergenti di Cachy (5.79): (s ij i )n j da 5 0b 0 5 (s 0 ij i )dv 5 j b 5 # b a i 0s ij 0 j s ij 0 i 0 j b dv Identità fondamentale f T # da 5 f i # i da 5 s ij n j i da 0b 0b (5.80) in ci l integrando è svilppato secondo la convenzione di Einstein sgli indici ripetti. L ltimo membro dalla (5.80) esprime il flsso attraverso la frontiera del vettore (a j 5s ij i ); ne consege che l integrale di sperficie pò trasformarsi in integrale di volme tramite il teorema di Gass-Green: sicché la (5.80) diventa: (5.8) che assme il nome di identità fondamentale e si riassme in notazione assolta: 0b 0s ij 0 i i da 5 i dv 0 s i ij dv j 0 j 0bf b b 0bf T # da 5 T # divt dv T? = dv b b (5.8)

61 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Principio dei Lavori Virtali per il solido deformabile j 85 Il termine T? = 5s ij (0 i >0 j ) viene definito prodotto interno dei tensori T e = ed è dato da T? = 5 tr(t= T ). Considerando il tensore di deformazione infinitesima compatibile con il campo di spostamento, (5.90) si osserva che l ltimo integrando nella (5.8), grazie alla simmetria di s ij, pò trasformarsi come sege: s ij 0 i 0 j 5 s ij a 0 i 0 j 0 j 0 i b 5 s ij e ij Peraltro l eqazione di eqilibrio interno (5.78) consente di trasformare il primo integrando al secondo membro della (5.8) nella forma:. A qesto pnto la (5.8) diventa l eqazione dei Lavori Virtali: E 5 c a 0 i 0 j 0 j 0 i bd i 0s ij 0 j 5 b i i Eqazione dei Lavori Virtali i i da b i i dv 5 s ij e ij dv 0bf b b (5.8) Il primo membro della (5.8) è il cosiddetto lavoro virtale delle forze o lavoro esterno, che è costitito dal prodotto scalare delle forze agenti f per gli spostamenti presenti il secondo membro è il cosiddetto lavoro virtale interno delle tensioni s ij in eqilibrio con le assegnate forze, per le deformazioni connesse con. La fnzione integranda s ij e ij del lavoro interno L i ha n significato meccanico ricondcibile al lavoro interno che le tensioni s ii, t ij agenti sll elemento infinitesimo di volme dv, compiono per le deformazioni corrispondenti e ii, g ij, come rappresentato in Figra 5.5. Il campo è no spostamento virtale, ove con qesto termine si intende n arbitrario campo di spostamento piccolo appartenente a na classe di opportna regolarità. La (5.8) è stata ricavata postlando l eqilibrio per il sistema forze-tensioni (f, b, T), pertanto essa costitisce na condizione necessaria di eqilibrio; rislta dnqe dimostrato il segente teorema. Lavoro virtale esterno Lavoro virtale interno Spostamento virtale Condizione necessaria di eqilibrio Teorema degli Spostamenti Virtali Definito n sistema eqilibrato di forze-tensioni (f, b, T) e n campo di spostamenti-deformazioni virtali compatibili (, E), il prodotto scalare delle forze sperficiali e di volme per lo spostamento, detto lavoro virtale delle forze o esterno, è gale al lavoro virtale delle tensioni in eqilibrio con le assegnate forze per le deformazioni virtali compatibili con, detto lavoro virtale interno. σ ij σ ji σ ji σji σ ji ε ij d j d j d i d i ε ij = /γ ij ( + ε ji )d i σ ij = τ ij d i d i Figra 5.5

62 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Teorema degli spostamenti virtali Qesto teorema si chiama degli spostamenti virtali, a sottolineare il rolo di campo di prova assnto dal generico spostamento appartenente alla prescelta classe. Si nota esplicitamente che i lavori di ci si parla non vengono realmente compiti, ma sono soltanto dei prodotti scalari fra campi di enti dali. In qesto teorema gli spostamenti e le corrispondenti deformazioni sono soltanto strmenti di prova da inserire nell eqazione dei Lavori Virtali, allo scopo di ottenere tramite il soddisfacimento dell eqazione na condizione necessaria di eqilibrio per il sistema di forze-tensioni. Utilizzando na tecnica matematica propria del calcolo delle variazioni, è possibile dimostrare il segente teorema. Teorema degli Spostamenti Virtali Sia T n campo tensoriale di sforzo opportnamente regolare definito e siano assegnate le forze sperficiali e volmetriche (f, b) soddisfacenti le eqazioni cardinali della statica, ma non a priori in eqilibrio con T. Se l Eqazione dei Lavori Virtali (5.8) scritta per (f, b) e T è soddisfatta per ttti i campi di spostamento virtale con le corrispondenti deformazioni compatibili E, allora T è in eqilibrio con le forze (f, b), nel senso del soddisfacimento delle (5.78) e (5.79). j Approfondimento 5. Particolarizzazioni ed estensioni del PLV Si riportano qi di segito na particolarizzazione e de estensioni del PLV a campi discontini, che risltano assai tili in talne applicazioni particolari in meccanica dei solidi. Corpo parzialmente rigido Nel caso in ci in na parte del solido b r 8 b lo spostamento è del tipo rigido, rislta ivi E 5 [e ij ] 5 0 e l eqazione del PLV sopra scritta si particolarizza nella forma: i i da b i i dv 5 0bf b bb r s ije ijdv (AP5.6) Se in ttto il solido lo spostamento è del tipo rigido, la (AP5.6) diventa: i i da b i i dv 5 0 0bf b e coincide con l eqazione del PLV per il corpo rigido, potendo qindi affermare che l eqazione del PLV per il corpo rigido costitisce particolarizzazione di qella per il corpo deformabile, allo svanire della deformazione. Campi di spostamento discontini In talni problemi il campo di spostamento presenta discontinità di prima specie. A titolo di esempio, in Figra.9c è rappresentato lo scivolamento di na parte di n terrapieno, dovto a n meccanismo di scorrimento in corrispondenza di na certa sperficie S D, talché il moto incipiente è del tipo scorrimento rigido delle de parti b, b separate del solido S D. Lo spostamento relativo fra le de parti D 5, ove, sono i de limiti destro e sinistro dello spostamento nelle de parti volmetriche, è del tipo tangente in ogni pnto alla sperficie di discontinità S D. Non sono consentite discontinità delle componenti normali a S D dello spostamento, in qanto qeste potrebbero comportare na inconsistenza volmetrica dell ipotesi di binivocità della deformazione y 5 f() (5.). L estensione del PLV a qesto tipo di discontinità si persege considerando la S D, come lteriore sperficie di frontiera per le de parti b, b. Slle de

63 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Principio dei Lavori Virtali per il solido deformabile j 87 Qesto teorema fornisce na condizione sfficiente di eqilibrio fra forze e tensioni. Si faccia poi riferimento a n preassegnato spostamento infinitesimo definito e a no stato di deformazione infinitesima E, preassegnati e non a priori necessariamente compatibili fra loro. Invertendo il rolo di parametri di prova fra gli enti spostamenti-deformazioni (, E) e forze-tensioni (f, b, T) fra loro eqilibrati e arbitrariamente scelti in na classe di opportna regolarità, è possibile dedrre tramite l Eqazione dei Lavori Virtali la segente condizione di compatibilità fra ed E. Condizione sfficiente di eqilibrio Teorema delle Forze Virtali Sia n campo di spostamento regolare e infinitesimo ed E n campo di deformazione infinitesima regolare assegnato indipendentemente da. Se l Eqazione dei Lavori Virtali (5.8) scritta per i prefissati campi ed E vale per ogni campo di forze-tensioni (f, b, T) regolari e fra loro eqilibrati, allora è compatibile con le deformazioni E, nel senso che sono soddisfatte le (5.9), (5.0). Qesto teorema fornisce dnqe na condizione sfficiente di compatibilità fra spostamento e deformazione. Condizione sfficiente di compatibilità sperfici, nell ambito del sistema forze, emergono i vettori di sforzo di Cachy (5.0): Nel solido esista na o più sperfici S D di separazione fra parti b, b nelle qali siano definiti rispettivamente tensori di sforzo T9 5 [s9 ij ], T05[s0 ij ] diversi e con discontinità di prima specie s S D. La spert i 5s ij n j 5 t i [S D t i 5s ij n j 5t i [S D e l eqazione del PLV assme la forma generalizzata: f i i da 0b (AP5.7) in ci le deformazioni sono discontine s S D. Qesta discontinità che interessa la sperficie S D, a misra nlla in R, non modifica l integrale volmetrico al secondo membro della (AP5.7). Campi di tensione discontini b cb b i i dv S D t i D i da 5 5 b cb s ije ijdv ficie S D viene rigardata come frontiera per ciascna della de parti del solido b, b che si affacciano s di essa. In ogni pnto di S D, per la parte b di normale scente n, il vettore tensione di Cachy emergente (5.0) vale t i 5 s9 ij n j, e per la parte b il vettore di Cachy vale t i 5 s0 ij (n j ). Per l eqilibrio in s S D, devono risltare soddisfatte le tre eqazioni di eqilibrio t i t i 5 0 (AP5.8) Ciò è possibile, in qanto i de tensori di sforzo sono definiti ciascno da sei componenti indipendenti, e possono pertanto essere diversi fra loro e discontini s S D, pr continando a rispettare in ogni pnto di S D le tre eqazioni di eqilibrio (AP5.8) alla frontiera. L eqazione del PLV, si contina a scrivere formalmente nella forma (5.8), nella qale vanno tenti in conto lteriori de termini alla frontiera s S D, sintetizzabili nell integrale: (t i t i ) i da 5 0 S D che non modificano l eqazione del PLV: i i da b i i dv 5 s ij e ij dv 0bf b b

64 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini 5.4 j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell elasticità Rilevazione sperimentale di spostamenti e deformazioni In qesto capitolo dedicato alla meccanica dei solidi, fino a qesto pnto sono stati introdotti ed esaminati gli enti meccanici che hanno consentito di definire lo spostamento e la deformazione dei corpi solidi deformabili mediante na trattazione avente evidenza geometrica; d altro canto l introdzione dei concetti di forza e di tensione secondo Cachy ha permesso di definire le relazioni di eqilibrio del solido deformabile di tipo anche pntale, a differenza del corpo rigido. Si noti che gli spostamenti e le rotazioni dei solidi deformabili sono misrabili sperimentalmente tramite opportni apparati, macchine, strmenti (Figra 5.5) e tecniche di prova, con opportna precisione (comparatori meccanici, tecnica interferometrica Moirè, interferometria laser, tecniche ottiche ecc.). La stessa deformazione dell intorno di n pnto accessibile di na strttra è leggibile tramite la rilevazione di spostamenti relativi s basi molto piccole, a mezzo di estensimetri potenziometrici, strain gage (Figra 5.9) o altre apparecchiatre. Le forze e le tensioni sono invece enti convenzionali di ci non è possibile la misra, se non facendo riferimento ai loro effetti: qesti enti rimangono n importante strmento, pr rimanendo di n carattere astratto che li sottrae a na diretta misrazione. In elasticità lineare, tilizzando gli enti spostamenti-deformazioni, dali di qelli forze-tensioni, è possibile dedrre l entità di qesti ltimi per confronto analogico. Il Principio dei Lavori Virtali ha fornito condizioni di tipo globale di eqilibrio per le forze-tensioni, o di compatibilità per spostamenti-deformazioni, che generano altresì condizioni locali, di eqilibrio o compatibilità, in maniera indipendente dalle reali caratteristiche del singolo materiale strttrale tilizzato. Finora gli enti statici e qelli cinematici non sono stati posti in na relazione di casa-effetto s n particolare materiale, mentre in realtà essi coesistono nell effettiva modellazione del problema strttrale di na costrzione. Premesse La Scienza delle Costrzioni deve avviare allo stdio e alla solzione dei reali problemi strttrali e non pò prescindere a qesto pnto dal trattare i principali aspetti Figra 5.5

65 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell Elasticità j 89 del comportamento dei materiali di normale tilizzo nelle costrzioni, definendone il modo di deformarsi e la capacità di resistere a sollecitazioni crescenti. Qesta parte della disciplina, attinente ai legami costittivi dei materiali e alla loro resistenza, ha ricevto storicamente na sistemazione generale in n arco di tempo di circa tre secoli, a partire fondamentalmente dagli stdi proposti da Galilei nel so Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a de nove scienze attinenti alla meccanica e i movimenti locali (Leida 68), nel qale egli si interroga sl come e sl perché della resistenza dei solidi, tilizzando per primo l armamentario meccanico-matematico e abbandonando le case metafisiche imperanti nella filosofia aristotelica. La ricerca sl comportamento dei materiali e delle strttre ha ricevto in varie epoche grandi implsi legati alle sfide derivanti dalla necessità di realizzare costrzioni (opere infrastrttrali, mezzi di trasporto, navi, atomezzi, aeromobili, strmenti, macchine e oggetti in genere) dotati delle necessarie qalità di resistenza, stabilità, leggerezza, fnzionalità: qesta sfida, sempre presente ma che si pone continamente in modo novo, nita alla criosità e all ingegno dell omo, è da sempre stato il vero motore dell innovazione tecnologica. In letteratra esistono diversi trattati, anche in italiano, che consentono agli stdiosi interessati di approfondire la conoscenza sll evolzione storica della resistenza dei materiali, qi solo introdotta in termini di primo approccio (vedasi per esempio: E. Benvento, La Scienza delle Costrzioni e il so svilppo storico, Sansoni, 98). Le tappe principali della moderna teoria dei materiali sono scandite da qelle delle conqiste tecnologiche, che sono rese possibili dal forte e parallelo svilppo della modellazione fisico-matematica e delle applicazioni avanzate. Nell ambito delle conqiste in tema di teoria dell elasticità, assai rilevante è stato il contribto della Scola Italiana nel periodo a cavallo fra l Ottocento e il Novecento. Un forte e decisivo implso alla razionalizzazione della teoria dei legami costittivi e della meccanica dei solidi si è avta nella seconda metà del Ventesimo secolo grazie alle formlazioni assai complete ed esastive dovte a eminenti meccanici teorici e applicati. Ma la prepotente avanzata ci si è assistito non ha certo esarito né risolto ttte le problematiche: sono infatti tttora in corso nei moderni centri di ricerca forti progressi slla conoscenza di novi e vecchi materiali. Peraltro la Scienza dei Materiali e delle Strttre, dopo avere dato risposte nell ambito più proprio del mondo delle costrzioni, ha assnto n rolo fondamentale di spporto nell avanzamento di discipline diverse e apparentemente lontane da qelle tecniche tradizionalmente concepite. Attalmente il ncleo metodologico della meccanica strttrale sta trovando novi e assai fecondi campi di applicazione in diverse discipline, qali per esempio qelle legate alla tecnologia di novi materiali, in geomeccanica, in rischio sismico e vlcanico, nello stdio dei fenomeni di instabilità del territorio, in biologia e in diverse branche della medicina e chirrgia: qeste importanti e nove richieste poste alle competenze esistenti costitiscono segno dell attale persistente vitalità e grande potenzialità di na certa concezione della meccanica dei solidi e delle strttre. Meccanica strttrale 5.4. Legami costittivi In qesta sede si esporranno alcni elementi introdttivi alla moderna teoria dei legami costittivi, limitandoci poi nel segito a fornire gli elementi essenziali del legame elastico, che storicamente sono qelli di maggiore interesse nello stdio

66 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Eqazioni costittive Teoria molecolare Legge fenomenologica Elemento di volme rappresentativo Materiali progettati delle costrzioni ordinarie. Qalche cenno verrà dato in segito slla descrizione delle condizioni di crisi del materiale e sl comportamento plastico. La descrizione matematica del comportamento macroscopico dei diversi materiali reali in opportni intervalli di deformazione e temperatra condce a certe relazioni coinvolgenti gli enti meccanici fin qi trattati (tensioni, deformazioni) che si chiamano eqazioni costittive o legami costittivi. Per materiale ideale si intende qello il ci comportamento è idealmente descritto da n certo legame costittivo che consiste in na legge matematica coinvolgente le variabili meccaniche, capace di interpretare la qalità della risposta sperimentale di n ampia classe di materiali reali. La meccanica del contino solido tratta svariati materiali reali accorpandoli in classi aventi caratteristiche comni, più che stdiare le proprietà di ogni singolo materiale; ogni legame costittivo va qindi inteso come rappresentativo del comportamento di svariati materiali reali. Nella descrizione del legame costittivo di n materiale si possono segire essenzialmente de strade. La prima, chiamata teoria molecolare e risalente a stdi di Navier e Cachy (80), formla n modello meccanico capace di interpretare i legami esistenti fra gli atomi e le molecole del materiale reale, pervenendo poi alle eqazioni matematiche che ne descrivono la legge di comportamento. La seconda, largamente affermatasi nello scorso secolo, ci si farà riferimento nel segito, tilizza la descrizione del contino solido, pervenendo a na legge matematica valida per il contino qale eqazione di campo; essa prescinde dall interpretazione degli effettivi legami fra le particelle preferendo fare riferimento a na legge di tipo fenomenologico, che è capace di interpretare in media s parti di materia finite la risposta sperimentale del materiale indagato. Lo stesso Cachy contribì in modo decisivo ad abbandonare la teoria molecolare che condceva ad alcne contraddizioni e a formlare la teoria fenomenologica del contino, che ancora oggi costitisce base per le più moderne trattazioni. La definizione di qesto tipo di legame presppone la cosiddetta omogeneizzazione, che consiste nello stabilire proprietà medie del materiale, a partire dalla risposta sperimentale di n certo elemento di volme rappresentativo (RVE) della risposta del materiale reale. La dimensione dell elemento di volme rappresentativo da prendere in considerazione deve essere la più piccola possibile, dovendo dare conto di qalità locali all interno del modello del Contino di Cachy, ma contemporaneamente di dimensione non inferiore a qella che consente di comprendere e mediare le eventali notevoli disomogeneità pntali. Per esempio, per il conglomerato cementizio realizzato con inerti delle dimensioni di cm, sabbia, cemento e acqa, n volme rappresentativo delle dimensioni di na decina di centimetri consente di cogliere le proprietà medie dell impasto da porre a base del materiale ideale omogeneizzato, evitando di descrivere le forti disomogeneità presenti fra inerte, malta e sabbia. Per l omogeneizzazione di n mro in mattoni con allettamenti di malta il volme rappresentativo deve avere dimensione tale da comprendere diversi corsi di mattoni e malta. Per n osso qale il femore, l RVE deve comprendere al proprio interno vari fasci di trabecole ossee e di vasi, qindi avere dimensioni del centimetro cbo. Presentano n legame costittivo elastico, in opportne condizioni, materiali reali molto diversi fra loro qali le terre, gli acciai, i materiali polimerici, la ghisa, il legno, le ossa ecc. Si noti peraltro che con il termine materiale reale si intendono non solo i materiali disponibili in natra ma anche qelli costriti dall omo. Oggi, infatti, esistono i cosiddetti materiali progettati, le ci caratteristiche vengono progettate a tavolino e ottente mediante processi prodttivi e tecnologici

67 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell Elasticità j 9 mirati a ottenere talne desiderate qalità (per esempio i materiali compositi con fibre di rinforzo progettati per ottenere la scocca di n ato da corsa, o la vela di na barca, o n paio di sci, o n casco da motociclista): la moderna ingegneria dei materiali è la disciplina che stdia tali processi. Nei materiali progettati dalla moderna ingegneria, si pnta a doti particolari di leggerezza, resistenza e rigidezza, dipendenti dallo specifico impiego ci sono destinati. Per risolvere problematiche avanzate in ambito aerospaziale, aeronatico, biomedico, civile e meccanico è oggi sale progettare il materiale partendo dalla microstrttra o dalla nanostrttra (0 6 m, 0 9 m), cioè dal disegno degli elementi componenti a livello finissimo, che dipende dal processo tecnologico segito nella sa prodzione, per potere dedrre il legame costittivo omogeneizzato del materiale a livello della meso e macroscala: la disciplina nella qale qeste tamatiche sono svilppate è la micromeccanica dei materiali eterogenei, materia che comincia a essere inserita in alcni crricla niversitari. Un esempio di rilievo per la ci analisi è necessario tilizzare la micromeccanica è costitito dai compositi rinforzati per esempio con fibre di vetro o di carbonio e più di recente da materiali con strttre formate da nano-tbi di carbonio, come qello della figra all inizio del Capitolo 5. In particolare, tali nano-strttre sono in grado di offrire incrementi di rigidezza fino all ordine dei TPa (0 Pa) e resistenze dell ordine dei GPa (0 9 Pa). Freqentemente si tilizzano materiali compositi, cioè formati mediante assemblaggi di diversi materiali, ognno con le se caratteristiche, la ci risposta complessiva dipende dal disegno dell assemblaggio e dalle caratteristiche meccaniche dei singoli materiali (scocche di veicoli, di imbarcazioni, alberi di navi a vela, vele, sci ecc.). Una branca della moderna ingegneria dei materiali che sta assmendo grande importanza è qella dei cosiddetti Fnctionally Graded Materials, che sono assemblaggi di diversi materiali ciascno dei qali pò essere isotropo o anisotropo, ma omogeneo. Esempi rilevanti di tali materiali sono individabili nelle fibre ottiche, nella strttra degli osteoni e in molti altri materiali artificiali e tessti biologici. (Nnziante et al, Mechanics of Advanced Materials and Strctres, 007). Prima gida alla formlazione del legame costittivo di na certa classe di materiali deve essere l evidenza sperimentale: è necessario cioè conoscere nel modo più completo possibile la risposta sperimentale di elementi del materiale in stdio, sotto le più svariate condizioni di lavoro; solo partendo dall esperienza di laboratorio è infatti possibile poi estrarre i principali parametri che regolano il comportamento del materiale e legarli in n eqazione atta a definire il modello di materiale ideale capace di interpretare correttamente il comportamento di qello reale. Il concetto di materiale ideale è sqisitamente locale, nel senso che il legame costittivo descrive in termini matematici il comportamento di n intorno del materiale reale, di dimensioni teoricamente piccole qanto si vole; in tal senso descrive le proprietà del materiale in n certo pnto del corpo. Micromeccanica dei materiali eterogenei Materiali compositi Fnctionally Graded Materials Evidenza sperimentale Consistenza Ogni eqazione costittiva deve essere consistente con i principi generali di eqilibrio, di congrenza e di bilancio stabiliti dalla meccanica classica, così come con i principi della termodinamica. È tile qi ricordare che na teoria matematica si dice consistente se essa è non contraddittoria, ovvero se da essa non è possibile dedrre n ennciato e la sa negazione. Una teoria consistente non pò qindi essere onnicomprensiva; infatti debbono esistere ennciati non dedcibili logicamente da essa (A. Tarski, Consistenza

68 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 9 9 j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Le negazioni, 90); essa qindi deve dire qalcosa e non pò ammettere come dedcibile qalsiasi risltato. Azione locale Principio di azione locale Si faccia ora riferimento all insieme delle variabili coinvolte nelle eqazioni costittive, qali: deformazione, tensione, temperatra, calore e so flsso, entropia ecc. Assme il nome di processo locale la descrizione di certe trasformazioni fisiche dei corpi reali, dotate di opportna regolarità, in condizioni di deformazione niforme e di distribzione lineare di temperatra. Si assme che ogni materiale possa sbire solo certi particolari processi locali, i qali ne caratterizzano in modo nivoco il comportamento. L eqazione costittiva di n materiale si dice locale o semplice se lo stato di tensione in ogni so pnto dipende solo dallo stato di deformazione presente in n intorno infinitesimo del pnto. Indifferenza dal riferimento materiale Principio di indifferenza dal riferimento materiale L esperienza mostra che ogni processo locale non cambia se al processo stdiato si agginge n moto rigido arbitrario dell intorno considerato; il processo locale è parimenti indipendente da na qalnqe trasformazione delle coordinate. Tali considerazioni condcono all assnzione del principio di indifferenza dal riferimento materiale il qale stabilisce che ogni legame costittivo deve definire n comportamento del materiale indipendentemente dall osservatore. Memoria Storia Determinismo Storia principio di determinismo Il legame costittivo è na descrizione matematica delle proprietà del materiale nell istante attale di tempo t 0 ; per talni materiali reali le proprietà attali sono fortemente dipendenti dai processi effettivamente sbiti nell intervallo di tempo precedente qello attale t, t 0, t P R; tali materiali si dicono materiali con memoria. L insieme dei processi locali sbiti dal materiale fino all istante attale si chiama storia del materiale; il principio di determinismo afferma che per potere definire il legame costittivo attale del materiale deve essere nota la sa storia. È solo la storia del materiale che ne determina il legame costittivo. Isotropia Isotropia Si dice isotropo, rispetto a na certa proprietà, n materiale per il qale tale proprietà non dipende da na particolare direzione e si manifesta, qindi, nello stesso modo qalnqe sia la direzione di prova, dell elemento considerato. In qesto capitolo verrà trattata l isotropia elastica del materiale, consistente nel fatto che la risposta elastica del materiale, che verrà definita di segito, è la stessa qalnqe sia la direzione di prova e qindi è indipendente dalla direzione, nell intorno del pnto. Omogeneità Omogeneità Si definisce omogeneo n materiale che, a n opportna scala, è rappresentabile con na nica legge costittiva in ttta l estensione del solido. Per i corpi omogenei il legame costittivo non varia al variare dell intorno considerato ed è qindi lo stesso per gli intorni di ttti i soi pnti.

69 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell Elasticità j Risposte sperimentali dei materiali Si trattano qi di segito sotto n profilo qalitativo le risposte sperimentali di alcni materiali di comne tilizzo nell ingegneria delle costrzioni, che più sopra abbiamo definito materiali reali, allo scopo di evidenziare talni aspetti fenomenologici del loro comportamento, si qali verranno poi fondati i legami costittivi. Non si entrerà nella descrizione dettagliata delle prove, la qale richiederebbe conoscenze slle macchine di prova e sl loro fnzionamento, sll ambiente di prova e slle modalità di eseczione, rinviando per approfondimenti s tali aspetti alle discipline di sperimentazione dei materiali e a qelle di tipo tecnologico, per le rispettive competenze. Per gli approfondimenti rigardanti le prove sperimentali si materiali da costrzione si rinvia al trattato di J.F. Bell, The Eperimental Fondations of Solid Mechanics-Encyclopedia of Physics, V. VIa>, Springer- Verlag, 97. Le prove che verranno descritte, per loro natra, trattano n elemento strttrale detto provino e non il materiale; esse possono qindi solo dare n idea per somma del comportamento degli elementi di materiale che compongono il provino, la ci risposta rappresenta qella del materiale reale solo nel caso ideale di materiale omogeneo e di campi niformi di sforzo e di deformazione al so interno. Sperimentazione di laboratorio F(t) l 0 r 0 F(t) a La prova di trazione di n provino di materiale metallico Tale prova, normalmente esegita presso i laboratori sperimentali di prova dei materiali (Figra 5.5), viene effettata in condizioni di temperatra e pressione costanti, sottoponendo a trazione niassiale per esempio n provino cilindrico di materiale metallico avente sezione circolare di raggio iniziale r 0 e lnghezza iniziale, del tratto che si considera nella prova, di valore, 0 (Figra 5.54). In Figra 5.54b. si mostrano provini in acciaio, di sezione circolare o piatta, salmente sati nelle prove di trazione. In Figra 5.55 si riportano i risltati di prove di trazione effettate s alcni materiali metallici. Figra 5.54 Provini metallici per prove di trazione. 4.5 Figra Acciaio A Diagramma completo per l Acciaio A Diagramma completo per il piombo kg/mm Ghisa G mm per m di lnghezza dell asta (millesimi di mm per mm di provetta Piombo

70 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Prova a carico impresso s(t) 5 F(t) A 0 Prova a controllo di spostamento e(t) 5,(t), 0, 0 La prova pò esegirsi con apparecchiatre e modalità diverse. Un primo modo di esegire la prova è qello che applica na forza di trazione F(t) di valore lentamente crescente nel tempo, agente nella direzione dell asse a del cilindro, e legge la lnghezza,(t) assnta dalla parte considerata del provino (inizialmente di lnghezza, 0 ) nell istante nel qale è presente la forza F(t); in tal caso si parla di prova a carico impresso o a controllo di forza. In alternativa, la prova pò esegirsi tilizzando na macchina di prova che applica alle estremità del provino n campo di velocità di spostamento relativo di direzione assiale v 5 +(t). 0 costante nel tempo e di entità bassa, che determina nel provino l allngamento D, nell intervallo di tempo Dt e rilevando in corrispondenza di ogni lnghezza,(t) del provino il corrispondente valore della forza F(t) agente. Tale prova si dice a deformazione impressa o a controllo di spostamento. Sia qesta prova sia la precedente danno logo a rappresentazioni dei risltati raccolti in na tabella o in n grafico (,(t), F(t)). Il modo più semplice di rappresentare la risposta del materiale che si evidenzia in qeste prove è qello di riportare in diagramma la tensione media nominale (assiale) presente nel provino e definita dalla ove A 0 è l area iniziale della sezione del provino cilindrico, in fnzione della deformazione nominale assiale espressa dalla dove, 0 è la lnghezza iniziale assnta qale riferimento per le lettre di spostamento sl provino. In Figra 5.56 si riporta il grafico riassntivo di na prova s materiale metallico, evidenziando la differenza fra tensioni nominali e tensioni effettive. Il grafico rappresentativo della risposta tensione-deformazione della prova monoassiale nel piano e(t), s(t) per n materiale metallico, è riportato in modo schematico in Figra L interpretazione della risposta di tale prova fornisce na prima informazione sintetica slle qalità del materiale reale; prima di passare a interpretare il diagramma di risposta conviene spendere qalche parola per evidenziare che la prova porta altre informazioni, oltre a qelle riassmibili nel grafico di sopra, che qi di segito si elencano: le tensioni sono da ritenersi costanti solo nella parte centrale del provino, mentre la presenza alle estremità dei meccanismi di serraggio alla macchina, fnzionanti per attrito, ne distrbano in qelle zone l niformità; le deformazioni assiali e sono accompagnate da deformazioni trasversali e t (presenti negli elementi normali all asse del provino) e il loro rapporto e t >e rislta di Figra 5.56 σ tensione effettiva σ l tensione nominale O ε l ε r

71 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell Elasticità j 95 σ Figra 5.57 σ s E Y P R σ L O ε l ε 0 S ε r ε R ε L Y norma negativo e, partendo da qalche decimo (0.), tende a portarsi, al crescere della tensione e all insorgere del comportamento plastico, s valori vicini a 0.5. Per tale motivo la sezione circolare, inizialmente di raggio r 0 e area A 0, nel corso della prova si tramta in cerchi di raggio r(t) decrescente. Tale sitazione degenera poi per deformazioni vicine a qelle massime, in qanto nella parte centrale del provino, prima della rottra (R), si ha na forte e rapida ridzione del raggio, con n effetto irreversibile detto strizione; la strizione, localizzata in na piccola zona, prodce n improvviso amento della tensione effettiva in qella zona, ben più consistente di qanto non rilevato dalla tensione nominale e la rottra improvvisa del provino. La maggiore complessità e ricchezza della prova lasciano intravedere definizioni alternative e più precise della tensione e della deformazione; in particolare la tensione media assiale riferita alla sezione effettiva di area A determinatasi nell istante t vale e la deformazione assiale, nell istante t, presenta incrementi dati da sicché la deformazione attale al tempo t si ottiene integrandone gli incrementi fra 0 e t:. Il risltato della prova riportato più sopra in Figra 5.57 in termini di deformazione e tensione nominali, si presta alle segenti osservazioni. Deformazione elastica Nel tratto iniziale OL e fino ai valori nominali (e,, s, ) la crva di risposta è pressoché lineare; tale crva viene percorsa in modo del ttto reversibile, cioè sia che si carichi il provino (verso di percorrenza della crva da O verso L) sia che lo si scarichi (crva percorsa da L verso O). Le deformazioni sono di tipo istantaneo, cioè evolvono istantaneamente e senza ritardi rispetto agli incrementi delle tensioni. In tale tratto, grazie alla reversibilità e alla linearità della risposta, il materiale evidenzia n comportamento detto linearmente elastico. Il tratto LE, non più lineare, viene percorso al crescere della tensione al di sopra di s, ; tale tratto rappresenta ancora trasformazioni reversibili del materiale, nel senso che ttto il tratto OE viene percorso sia nella fase di carico sia in qella di scarico. La crva viene percorsa nella fase di carico da O verso n qalnqe pnto fino a qello E e nel sccessivo scarico di novo verso O senza che nel materiale Strizione Tensione effettiva s(t) 5 F(t) A(t) de(t)5 5 lim,(tdt),(t) 5,(t) 5 d,,(t) e(t) 5 t de(t)5 0 d,,(t) 5 ln,(t), 0 5 lim,(tdt),(t) 5,(t)

72 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini a) rimangano tracce significative del processo sbito precedentemente: tale comportamento del materiale si definisce elastico; per il tratto LE si parla di elasticità non lineare. Le deformazioni elastiche nei metalli e nelle leghe metalliche sono il frtto di spostamenti relativi reversibili che si determinano sotto sforzo fra gli atomi presenti nel reticolo cristallino. Esse segono istantaneamente la crescita delle tensioni e sono reversibili. b) Figra 5.58 Tensione limite Deformazione plastica Dislocazioni Dttilità Fragilità σ σ s O ε 0 ε R ε Figra 5.59 Limite elastico tensione di snervamento Si definisce limite elastico lo stato del materiale rappresentato dal pnto Y in corrispondenza del qale, per convenzione, allo scarico, cioè riportando il materiale alla tensione nlla (tratto Y, e 0 ), viene determinato n primo valore della deformazione resida e r 5e 0 apprezzabile dalla strmentazione adoperata. Per esempio, per le barre di armatra in acciaio del cemento armato qesta deformazione è dell ordine del >000. Il pnto di limite elastico Y così definito corrisponde a n valore della tensione detto tensione limite o tensione di snervamento s s. Deformazione plastica Per il materiale che abbia ragginto lo stato (e, s) corrispondente a n generico pnto P appartenente al tratto YR, avente andamento pressoché parallelo all asse delle deformazioni, che venga scaricato tramite ridzione della s presente, la linea della risposta (e, s) è sensibilmente parallela a qella di carico iniziale OL; in tale caso, a scarico completato (pnto S) con valore nllo della tensione nominale, è presente na deformazione resida di valore e r di tipo permanente che si chiama deformazione plastica e si indica anche con e p. Nel tratto YR il materiale, sotto tensione nominale pressoché costante e pari al valore limite s s, presenta incrementi plastici crescenti della deformazione nominale; alla fine di qesto tratto si ha n picco nella tensione effettiva, corrispondente all improvviso effetto di strizione precedente la rottra. Le deformazioni plastiche sono di tipo irreversibile, esse infatti permangono nel materiale anche qando si ridca a zero la tensione. Tali deformazioni dipendono da spostamenti relativi degli atomi a livello dei cristalli dette dislocazioni, che creano difetti nell iniziale regolarità del reticolo cristallino e che permangono alla scomparsa del carico (Figra 5.58). Anche tali deformazioni, come qelle elastiche, evolvono istantaneamente. La caratteristica di certi materiali di esplicare grandi deformazioni plastiche prende il nome di dttilità. Un materiale si definisce dttile se presenta n rapporto e R >e 0 molto maggiore di no; in caso contrario il materiale si dice fragilefragilità. In Figra 5.59 è rappresentato il diagramma di risposta (e, s) di n materiale fragile, in na prova a controllo di forza. Le considerazioni qi sopra svolte per la prova di trazione di n provino metallico possono ripetersi pressoché identicamente per na prova di compressione: gli aspetti sia qalitativi sia qantitativi della risposta rimangono sostanzialmente immtati; ciò comporta qindi n diagramma di risposta qale qello OL9Y9 di Figra 5.57, polarsimmetrico rispetto all origine O di qello OLY determinato nella prova di trazione. Un materiale che presenta na risposta come qella di Figra 5.57, con il tratto nel qale si esplicano le deformazioni plastiche, sotto la tensione limite s s pressoché costante, molto esteso e qindi a risposta dttile, viene detto elastico-per-

73 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell Elasticità j 97 fettamente plastico. La sa risposta viene riassnta dalla bilatera di Figra 5.60 del comportamento idealmente elastico-perfettamente plastico. Incrdimento Per talni materiali metallici, ma non solo per qesti, al crescere della tensione, nel tratto YR gli aggregati cristallini del metallo, detti policristalli, scorrono gli ni rispetto agli altri, ma i cambiamenti di orientazione fra i piani cristallografici esistenti nei diversi aggregati determinano barriere per lo scorrimento, per vincere le qali è necessario n amento del carico F e consegentemente della tensione per generare incrementi della deformazione; tale incremento della resistenza agli scorrimenti, nel comportamento plastico, viene chiamato incrdimento (Figra 5.6a). Per i materiali incrdenti, nel tratto YR la crva (e, s) di risposta si presenta crescente. Anisotropia da deformazione permanente Generalmente le deformazioni fin qi trattate, per i metalli così come per altri materiali, avvengono in modo isotropo, cioè in modo invariante rispetto alla direzione di prova. Ciò vol dire che provini gali ottenibili secondo generiche e diverse orientazioni a partire da n blocco grande del materiale, evidenziano, se provati in modo gale, lo stesso comportamento, indipendentemente dall originaria giacitra nel blocco di provenienza. Le deformazioni reside o permanenti nei metalli dipendono da dislocazioni di atomi che determinano slittamenti con consegenti microdeformazioni e atotensioni elastiche reside, necessarie ad assicrare la compatibilità a segito della nascita delle dislocazioni (Figra 5.58). Tale stato instabile di deformazioni elastiche locali presenti al livello macroscopico, con i corrispondenti sforzi atoeqilibrati, sono casa della ridzione del carico necessario a prodrre scorrimenti di segno opposto a qelli precedentemente verificatisi, fenomeno qesto ltimo particolarmente evidente per i metalli incrdenti. Al livello macroscopico ciò si tradce in na anisotropia derivante dalle deformazioni permanenti verificatesi, che si manifesta attraverso na ridzione della tensione limite in compressione, per n materiale che abbia precedentemente sbito deformazioni plastiche di allngamento (tratto SY9 di Figra 5.6b). L effetto di tale anisotropia consiste nel raggingimento di na tensione limite s s 0 in compressione di valore assolto minore di s9 s per il materiale precedentemente snervato in trazione (tratto OYS). Tale effetto di anisotropia indotta dalle deformazioni plastiche è noto sotto il nome di effetto Baschinger. Incrdimento σ σ s O σ s Figra s0 s 0 6 0s9 s Effetto Baschinger ε 0 ε σ σ s Y R σ σ s Y S Figra 5.6 O σ s ε O ε Y a) b)

74 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Figra 5.6 ε σ > σ σ compressione σ > σ σ O τ O a) b) τ Figra 5.6 σ σ s Y ε t /ε 0.5 O s ε 0. σ s Y O ε 0 ε a) b) Un modello semplificato di tale comportamento è qello rappresentato in Figra 5.6a da tratti rettilinei paralleli rappresentanti le risposte plastiche incrdenti. Deformazioni viscoplastiche Creep Rilassamento Deformazione istantanea Deformazione viscoplastica, creep Se il materiale ginto nelle condizioni simboleggiate da n pnto del tratto YR (Figra 5.6), sotto tensione costante, evidenzia n incremento progressivo delle deformazioni plastiche nel tempo, si dice che è in no stato viscoplastico o di creep e tali deformazioni si dicono viscoplastiche. Entrambi i comportamenti elastico e plastico sono indipendenti dal tempo in qanto la deformazione sege pressoché istantaneamente lo sforzo. Qesta circostanza non è sempre verificata. In acciai a elevata temperatra o in polimeri, per esempio, sforzi e deformazioni variano nel tempo anche se le condizioni di costrizione permangono immtate. Un tale comportamento è detto viscoso e de sono i principali esperimenti che permettono di investigarlo: la prova detta di creep, in ci si misrano le variazioni della deformazione nel tempo a sforzo costante, e qella di rilassamento, in ci si valtano le variazioni di sforzo a deformazione imposta. I risltati di na prova di creep sono rappresentati in Figra 5.6, che mostra deformazioni che evolvono in fnzione del tempo t per diversi livelli di sforzo (s,s,s ), che viene mantento costante drante la prova. L ordinata a t 5 0 rappresenta la deformazione istantanea che si prodce in concomitanza con l applicazione del carico. Dopo n transitorio, generalmente breve, si ragginge na fase in ci, dopo n

75 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell Elasticità j 99 certo intervallo di tempo (più o meno grande a seconda del livello di sforzo) la pendenza della crva di risposta cresce rapidamente, fino alla rottra del provino. Se drante la prova il carico viene rimosso, la parte elastica della deformazione viene recperata istantaneamente. Le deformazioni viscose possono essere o meno recperate nel tempo. I polimeri, dopo n certo tempo, ritornano alle condizioni iniziali, mentre nei metalli le deformazioni viscose sono in generale permanenti. In Figra 5.6b è rapresentata la risposta tipica di na prova di rilassamento in compressione. Il provino viene accorciato e mantento in tale stato deformativo; lo sforzo indotto dall accorciamento, misrato al so evolversi nel tempo a deformazione costante, decade nel tempo. Un materiale che presenta comportamento viscoso in condizioni di creep, in generale presenta anche il fenomeno del rilassamento: qeste de proprietà sono dnqe, in generale, correlate. Il comportamento dipendente dal tempo dei materiali da costrzione, presenta alcne analogie con qello di n flido viscoso perfetto. I modelli costittivi per qesti comportamenti combinano le leggi che governano la risposta di tale flido con qelle che predicono la parte indipendente dal tempo nella risposta del materiale. In letteratra vengono formlati modelli viscoelastici o elasto-viscoplastici, a seconda che contengano solo parametri atti a descrivere proprietà elastiche e viscose o anche plastiche. Flido viscoso perfetto Pnto di rottra È il pnto terminale R della crva di carico, corrispondente all improvvisa perdita di continità del provino che si spezza in de parti. La deformazione e R ltima del provino in corrispondenza della rottra si chiama deformazione alla rottra. Incompressibilità Le deformazioni plastiche e qelle viscoplastiche dei metalli, fatta eccezione per qei reticoli nei qali sono presenti dislocazioni (Figra 5.58), non alterano la strttra cristallina delle rimanenti parti, essendo ricondcibili a meccanismi di scorrimento; pertanto esse modificano molto poco il volme degli aggregati cristallini, risltando gistificato in modelli semplificati considerare nlla la variazione volmetrica in ambito plastico. In ambito elastico si hanno piccole deformazioni volmetriche reversibili. Per approfondimenti s qesto tema è tile la descrizione degli esperimenti di J. Bashinger, Civilingenier, Leipzig, 879, 5, 8-4. Gli esperimenti effettati si metalli, come qello della prova di trazione monodimensionale sopra descritta, hanno mostrato che alla dilatazione e del provino nella direzione del so asse, che coincide con qella della tensione s applicata, si accompagna la deformazione trasversale di valore e t, niforme in qalnqe direzione normale all asse del provino. La e t è di contrazione e qindi negativa. Il rapporto n5e t >e nell ambito delle piccole deformazioni elastiche viene chiamato modlo di contrazione trasversale o modlo di Poisson e assme valori caratteristici per i diversi materiali. Per n acciaio, il valore iniziale di n 50.0, 0. drante la prova tende a incrementarsi, evidenziando all insorgere del fenomeno della strizione e alla nascita delle deformazioni plastiche valori prossimi a n50.5 (Figra 5.6b). Qesto comportamento si accompagna a qello della strizione, il ci effetto macroscopico è qello di na drastica e repentina ridzione del diametro del provino, in na zona di piccola estensione. Si è mostrato precedentemente che il coefficiente di variazione volmetrica [Eqazione (5.7)] vale Deformazione alla rottra Deformazioni volmetriche Modlo di Poisson

76 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini c v 5e e e nel caso della prova di trazione, con la posizione e 5e, si ha e 5e 5e t e con e t >e50.5 consege e t 50.5e e c v 5e(0.5)e 50 Incompressibilità Qesto risltato evidenzia che n rapporto e t >e tendente a 0.5 comporta na sostanziale invariabilità del volme e qindi l incompressibilità del materiale drante l esplicazione delle deformazioni plastiche, che sono dnqe connesse con meccanismi di tipo essenzialmente da scorrimento. Qesto comportamento peraltro è del ttto diverso da qello evidenziato da nmerosi altri materiali da costrzione (conglomerati, terre, materiali granlari, porosi, materiali polimerici), che anche al limite della resistenza evidenziano valori molto più bassi di 0.5 del valore e t >e. Qesti materiali presentano pertanto na consistente variabilità volmetrica, qindi compressibilità in condizioni limite. Frattra Sfaldatra Frattra Le deformazioni elastiche e qelle permanenti derivanti da spostamenti relativi degli atomi mantengono la coesione della materia. La frattra invece, per sa definizione, è n meccanismo che interrompe la continità della materia e crea discontinità di sperficie o di volme all interno del materiale. Le frattre avvengono inizialmente a livello degli aggregati cristallini; esse hanno dimensioni di centesimi o millesimi di centimetro e la loro propagazione pò determinare linee di frattra delle dimensioni dei millimetri o dei centimetri. La frattra fragile dipende dalla rottra dei legami interatomici dovta a concentrazione di sforzi e di energia di deformazione. I piani cristallografici si distaccano direttamente per clivaggio o sfaldatra. A livello macroscopico tale fenomeno determina la rottra immediata del provino, con piccole deformazioni plastiche (Figra 5.59). Si ha la frattra dttile qando deformazioni locali si verificano nell intorno di imperfezioni del reticolo cristallino. Le frattre nascono a livello microscopico, propagandosi poi e collegando diversi rami, fino a che ginge la rottra. In qesto caso la nascita delle frattre si pò accompagnare a n comportamento globalmente dttile del materiale, cioè alla nascita di grandi deformazioni permanenti prima della rottra (Figra 5.54, Figra 5.60). La disciplina che tratta la nascita e la propagazione della frattra, dei difetti e delle fessre si chiama Meccanica delle Frattra, ma i soi scopi eslano da qesto testo. Nel Capitolo 7 verranno solo dati cenni s qesta teoria. Comportamento elastico 5.4. Elasticità L aspetto principale del comportamento elastico del materiale dedcibile dagli esperimenti esegiti a temperatra ambiente pò essere descritto nello spazio delle deformazioni come sege. Un elemento materiale che a partire da no stato iniziale di deformazione di riferimento, indicato con A, viene portato, per l intervento di azioni esterne, in n altro stato B, alla scomparsa degli enti sollecitanti ritorna nello stato A senza mantenere traccia alcna della trasformazione sbita, qalnqe essa sia stata (Figra 5.64).

77 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell Elasticità j 40 ε hk Figra 5.64 ε Bhk B γ ε Ahk A O ε Aij ε Bij ε ij Ciò vol dire che nella trasformazione dello stato di deformazione da A verso B l elemento materiale ha scambiato energia con l ambiente esterno, per esempio dall esterno è stato compito s di esso n lavoro che lo ha deformato; qesto lavoro deve qindi essere stato completamente immagazzinato nell elemento sotto forma di energia di deformazione. Qesta energia viene poi completamente restitita nella sccessiva trasformazione fra B e A. Poiché alla fine del ciclo di trasformazione ABA, qalnqe sia il percorso, lo stato di tensione e deformazione del materiale non è mtato, il bilancio dello scambio di energia fra esso e l ambiente è nllo; se ne dedce che nella trasformazione AB lo scambio di energia è gale e opposto a qello relativo alla trasformazione BA, qalnqe siano i percorsi g segiti; la variazione di energia deve allora essere fnzione solo degli stati iniziale A e finale B. L energia, che è na fnzione di stato, è na fnzione integrabile ed è differenziabile. Tale condizione è tipica delle trasformazioni reversibili o conservative. Con riferimento a n incremento elementare del processo di carico descritto di n elemento nitario di materiale che parta dallo stato (s ij, e ij ), in condizioni adiabatiche e qasi statiche e in assenza di fenomeni dissipativi, il Principio dei Lavori Virtali consente di scrivere l egaglianza del lavoro esterno e di qello meccanico interno: Trasformazioni reversibili dl e 5 dl i 5 df 5s ij de ij (5.84) la qale condce alla: s ij 5 0F 0e ij (5.85) che costitisce il legame costittivo del materiale che ammette na fnzione energia di deformazione elastica specifica F 5F(e ij ), avente il rolo di fnzione potenziale dello stato di tensione, detta anche potenziale elastico. L esistenza dell energia elastica F5F(e ij ) qale potenziale elastico, in qanto generatore dello stato di tensione tramite la (5.85), consente di affermare che lo stato di tensione nell elemento che presenti valore F dell energia elastica dipende dallo stato deformativo ragginto e non dalle trasformazioni precedentemente sbite: il materiale in tale senso non conserva memoria del processo deformativo precedente all istante attale. Energia di deformazione elastica Potenziale elastico

78 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Materiale iperelastico L ipotesi di esistenza del potenziale elastico F(e ij ) definisce i materiali iperelastici; essa f assnta per la prima volta da G. Green nel 89. È il caso di notare che in letteratra, con il termine elastico ci si riferisce normalmente al modello iperelastico del materiale. Più avanti si esporrà, qale controesempio, n modello di materiale non iperelastico. La condizione necessaria di differenziabilità di F(e ij ) (5.84) richiede il soddisfacimento delle eqazioni: Condizione di conservatività di Schwartz 0s ij 0e hk 5 0s hk 0e ij che tramite la (5.85) fornisce la condizione di Schwartz: 0 F 0e ij 0e hk 5 0 F 0e hk 0e ij (5.86) (5.87) d(s ij e ij ) 5 5s ij de ij e ij ds ij 5 5 df(e ij ) df c (s ij ) DF c (s ij )5 e ij ds ij 5 df c df c (s ij )5 0F c 0s ij ds ij 5e ij ds ij Potenziale complementare Energia complementare È ben noto che negli aperti semplicemente connessi la (5.87) è anche condizione sfficiente per la differenziabilità di F(e ij ). Si voglia ora invertire la relazione costittiva (5.85) che ha la forma s ij 5s ij (e hk ). Si consideri l elemento materiale infinitesimo nello stato elastico caratterizzato dai valori (E, T) della deformazione infinitesima e dello sforzo, e il prodotto interno T? E 5s ij e ij, già introdotto nella (5.8), definibile nello spazio vettoriale di dimensione delle tensioni e delle deformazioni; se per ipotesi il prodotto interno è differenziabile, rislta. La fnzione F c (s ij ), avente differenziale df c (s ij ) 5 e ij ds ij, introdotta per la prima volta da Alberto Castigliano (875), in qanto differenza di differenziali esatti, è anch essa n differenziale esatto e pò qindi integrarsi nel processo, risltando, o eqivalentemente, che fornisce (trasformazione di Legendre): e ij 5e ij (s hk ) 5 0F c 0s ij (5.88) che ha il significato di inversa dell eqazione costittiva (5.85) e assegna alla F c (s ij ) il rolo di potenziale delle deformazioni elastiche. La fnzione F c (s ij ) si chiama energia complementare specifica. Con riferimento a n elemento di materiale soggetto a n nica componente di tensione, detta s, per na trasformazione generica il grafico della fnzione s5s(e) in fnzione della deformazione associata e presenta l aspetto di Figra 5.65; con riferimento ai valori finali della tensione s e della deformazione e e al Figra 5.65 σ φ c φ O ε

79 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell Elasticità j 40 rettangolo di dimensioni s ed e, l area tratteggiata in verticale al di sotto del grafico è rappresentativa dell energia di deformazione F(e ij ), mentre qella a qesta complementare nel rettangolo di dimensioni s erappresenta l energia complementare F c (s ij ) Elasticità lineare Molti materiali strttrali per valori bassi delle tensioni presentano na risposta sperimentale elastica caratterizzata da na relazione tensioni-deformazioni pressoché lineare. S tale evidenza sperimentale si è fondato il legame costittivo del materiale linearmente elastico. Peraltro la linearità di tali relazioni ha consentito di dedrre, fra la seconda metà dell Ottocento e la prima metà del Novecento, importanti risltati nella teoria delle strttre costitite da materiale modellabile in tal modo, consentendone no svilppo e na completezza davvero notevole e certamente preminente in confronto alla teoria di strttre aventi altri legami costittivi. Sotto l ipotesi di iperelasticità, lo stato di tensione è fornito dalle (5.85):. Affinché le (5.85) forniscano na relazione lineare omogenea fra tensioni e deformazioni è necessario che il potenziale elastico F(e ij ) del materiale che parte dallo stato natrale abbia la segente strttra qadratica nelle componenti di deformazione: Materiale linearmente iperelastico s ij 5 0F 0e ij F(e ij ) 5 c ijhke ij e hk 5 E # ce (5.89) ove # è n tensore del qarto ordine costitito da 8 costanti, e viene chiamato tensore delle costanti elastiche o tensore di elasticità. Si è già osservato che la condizione di integrabilità di F(e ij ) è fornita dalla (5.87), che applicata alla (5.89) fornisce Tensore di elasticità # ijhk 5 # hkij, (5.90) la qale afferma la proprietà cosiddetta di simmetria maggiore del tensore di elasticità #. D altra parte, grazie alla simmetria dei tensori di sforzo e di deformazione, si dedce che il contribto alla F(e ij ) della e ij deve essere lo stesso di qello della e ji ; analogamente per qello dovto alle e hk ed e kh ; ne consege Simmetria maggiore # ijhk 5 # ijkh 5 # jihk, (5.9) proprietà che esprime le cosiddette simmetrie minori. La (5.85) si pò scrivere: Simmetrie minori T 5 #E (5.9) Grazie alle proprietà di simmetria maggiore e minori è possibile condensare gli indici presenti nella (5.9). Si consideri a ciò fare la rappresentazione vettoriale dei tensori di deformazione e di sforzo, di segito definita nello spazio vettoriale di dimensione 6 (dovta a Voigt): Rappresentazione vettoriale di tensioni e deformazioni Condensazione di Voigt e T 5e e e e 4 e 5 e 6 45e e e e e e 45e e e g g g 4 s T 5s s s s 4 s 5 s 6 45s s s s s s 45s s s t t t 4 (5.9) La definizione data è basata slla consistenza dell espressione del corrispondente prodotto interno:

80 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Potenziale elastico Matrice di elasticità T? E 5s T e La (5.89) pò scriversi a qesto pnto: F5 (5.94) C ije i e j 5 # et Ce 5 st e ove C è la matrice di elasticità del secondo ordine nello spazio vettoriale di dimensione 6. Con qesta rappresentazione si pò agevolmente dedrre la proprietà di simmetria maggiore (5.90) sopra ennciata, esplicitando la (5.94) e tilizzando la s 5 C e; con C nella forma: si ha: C C C C 4 C 5 C 6 C C C C 4 C 5 C 6 C C C C 4 C 5 C 6 C 5 F V C 4 C 4 C 4 C 44 C 45 C 46 C 5 C 5 C 5 C 54 C 55 C 56 C 6 C 6 C 6 C 64 C 65 C 66 F5 et # Ce5 st # e5 C ije i e j 5 s e s e s e s 4 e 4 s 5 e 5 s 6 e (C e C e C e...c 6 e 6 )e (C e C e C e...c 6 e 6 )e (C 6 e C 6 e C 6 e... C 66 e 6 )e (5.95) 0s i 0e j 5 0s j 0e i 5 a 6 i5 C i e i e C i e i e C i e i e C i4 e i e 4 C i5 e i e 5 C i6 e i e 6 4 Si nota qi esplicitamente che, mentre il tensore di elasticità # mta, al cambiare del riferimento, nel rispetto delle eqazioni di trasformazione tensoriale [Eqazioni (5.85)] la matrice C non gode di tale proprietà. Affinché la F(e i ) sia integrabile nelle variabili e i, devono valere le condizioni di Schwartz di gaglianza delle derivate miste delle s i espresse dalle qantità in parentesi tonde nella (5.95): dalle qali si ottiene la simmetria della matrice delle costanti elastiche: C ij 5 C ji (5.96) che ridce le 6 costanti che definiscono la C a sole qantità indipendenti. La (5.89), nella rappresentazione (5.95), assme la forma s i 5 0F (5.97) 0e i che si esplicita derivando la (5.95) rispetto a e i e tenendo conto della proprietà (5.96) di simmetria della C: s i 5 0F 5 C 0e ij e j s5ce (5.98) i e fornisce il vettore della tensione s noto lo stato di deformazione e e la matrice di elasticità. Tramite la (5.98) il potenziale elastico specifico si scrive in fnzione delle tensioni e delle deformazioni: F5 st # e (5.99)

81 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell Elasticità j 405 Un materiale elastico nello stato natrale, per essere deformato, necessita l intervento di forze esterne che compiano n lavoro che si trasforma completamente nell energia di deformazione. L Eqazione dei Lavori Virtali consente di affermare che il lavoro delle forze, che è assnto positivo, deve gagliare il lavoro interno; ne consege il carattere positivo di F qalnqe sia lo stato di deformazione e non nllo ragginto: F5 st # e e? 0 (5.00) Qesta condizione, che va sotto il nome di stabilità del materiale elastico, eqivale ad affermare che la (e T Ce) è na forma qadratica definita positiva; rislta infatti per tali forme: e T # Ce e? 0 (5.0) e # T Ce 5 0 e 5 0 Poiché la proprietà definitoria (5.0) vale per ogni determinazione di e, essa deve rigardare la matrice C che viene qindi detta definita positiva. Una matrice è definita positiva se e solo se ttti i soi minori principali hanno determinante positivo. Una condizione eqivalente è che ciascno dei soi atovalori sia positivo. Poiché la matrice C presenta determinante positivo essa è invertibile. Detta C la sa inversa, l eqazione costittiva (5.98) presenta l inversa e 5 C s5as (5.0) che fornisce in elasticità lineare la deformazione in fnzione della tensione mediante la matrice A 5 C di cedevolezza elastica. Il potenziale complementare nel caso di elasticità lineare assme l espressione: Stabilità del materiale elastico Forma qadratica definita positiva Matrice di cedevolezza elastica Potenziale complementare F c 5 st # As (5.0) Relazioni di Hooke dell elasticità lineare isotropa Si otterranno qi le eqazioni costittive dell elasticità lineare isotropa secondo na procedra assiomatica semplificata. In segito si mostrerà che le stesse relazioni sono ottenibili in generale tilizzando il potenziale elastico. Si è mostrato che per n materiale linearmente iperelastico il potenziale elastico F(e i ) deve avere n espressione qadratica nelle componenti di deformazione (5.94), affinché da esso per derivazione si possano dedrre tensioni lineari nelle deformazioni (5.97). La proprietà di isotropia d altra parte richiede che il materiale esibisca na risposta non dipendente dalla direzione di prova; ne consege che il potenziale F(e i ) deve essere fnzione delle deformazioni tramite il primo e il secondo invariante di deformazione, che sono appnto qantità indipendenti dal riferimento. Il potenziale elastico, nel caso lineare isotropo, deve dnqe avere la segente forma: Materiale isotropo F(e i ) 5 k I (e) k I (e) (5.04) nella qale gli invarianti di deformazione sono forniti dalla (5.65), mentre le k e k sono le de costanti elastiche del materiale, (che come si mostrerà in segito determinano le costanti o modli di Lamé). La (5.04) mostra che, per il materiale linearmente elastico e isotropo, le costanti elastiche indipendenti sono de. Modli di Lamé

82 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 406 ˇ ˇ 406 j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Figra 5.66 σ ii σ ii d i d i ( + ε ii )d i In n elemento di materiale linearmente elastico e isotropo (Figra 5.66) sia presente l nica tensione s ii ; la direzione i è dnqe principale di tensione. Si fa qi l ipotesi che le direzioni principali di tensione coincidano con qelle di deformazione: si dimostrerà sccessivamente in ttta generalità che ciò è vero per il solo materiale isotropo. La deformazione associata alla s ii è data dalla relazione lineare del tipo (5.0): Modlo di Yong Modlo di Poisson e kk 5 ne ii 5n s ii E e ii 5 s ii (5.05) E nella qale E è il modlo di elasticità normale o di Yong. Per la condizione (5.00) il modlo di Yong deve essere positivo E. 0. Gli esperimenti esegiti si materiali reali isotropi, come già rilevato sopra, evidenziano che in na qalnqe direzione normale a qella i in ci è applicata la s ii, si ha na deformazione, di segno opposto a qello della e ii, a qesta legata tramite il modlo di Poisson o di contrazione trasversale n, esplicitata per esempio per la direzione j a mezzo della: e jj 5 ne ii 5n s ii (5.06) E Similmente nella direzione k si ha:. Slla base di qesta osservazione, si pò ora considerare no stato di tensione nel qale siano presenti le tre tensioni normali (s ii 5s, s jj 5s, s kk 5s ). Per semplicità tensioni normali e dilatazioni corrispondenti si rappresentano con n nico pedice. Le direzioni (,, ) sono dnqe principali sia di sforzo che di deformazione. La deformazione nella direzione si ottiene ora per sovrapposizione degli effetti. In particolare alla deformazione diretta (5.05) vanno sommate qelle dovte agli effetti trasversali (5.06); si ottiene in definitiva: e 5 s E n s E n s E Generalizzando il ragionamento alle tre direzioni si ottengono: e 5 ˇ ˇ ˇ E s n(s s )4 e 5 ˇ ˇ ˇ E s n(s s )4 e 5 ˇ ˇ ˇ E s n(s s )4 (5.07) che legano le tensioni normali alle dilatazioni, per il materiale linearmente elastico isotropo. Similmente, l evidenza sperimentale mostra che na tensione tangenziale t determina lo scorrimento g corrispondente, pertanto si ha: Modlo di elasticità tangenziale Eqazioni inverse di qelle di Hooke g 5 t G g 5 t G g 5 t G (5.08) relazioni che legano le tensioni tangenziali ai corrispondenti scorrimenti. Il coefficiente G si chiama modlo di elasticità tangenziale e per la condizione di stabilità (5.00) deve essere positivo G. 0. Le (5.07) e (5.08) sono le relazioni inverse di Hooke dell elasticità lineare isotropa. Delle tre costanti elastiche (E, n, G) fin qi introdotte, solo de sono indipendenti.

83 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell Elasticità j 407 Sommando le (5.07), si ottiene: c 5e e e 5 n (5.09) E (s ( n) s s ) 5 p E la qale costitisce la relazione di elasticità lineare fra la tensione media p (5.7) e la variazione volmetrica c (5.48). La (5.09) nella forma c 5 p>c v, definisce il modlo di elasticità volmetrica (o blk modls) del materiale: E c v 5 ( n) (5.0) Come il modlo E, anche il modlo volmetrico c n deve essere positivo; ne consege che il modlo di Poisson deve rispettare la segente limitazione n,>. Precedentemente si è già avto modo di osservare che se il modlo di Poisson tende al valore >, il materiale diventa incomprimibile; ciò è confermato dalla (5.0) che mostra n c n che in tale condizione è divergente. Si mostrerà nell esempio segente che il modlo di Poisson deve anche rispettare la limitazione n.. In definitiva, il modlo di Poisson appartiene all intervallo: Modlo di elasticità volmetrica Limitazioni del modlo di Poisson 6 n 6 (5.) Talni materiali qali il cacciù e la gomma presentano valori di n intorno a 0.48 e sono qindi qasi incompressibili. Pr risltando in via teorica possibili, per la (5.), valori negativi del modlo di contrazione trasversale, non sono noti materiali che presentino tale caratteristica. Talni materiali progettati, di recente tilizzo, ottenti per assemblaggio di celle aventi forma particolare, qale qella di Figra 5.67, evidenziano s parti macroscopiche n effetto paragonabile con qello di n materiale avente n negativo (Niels Olhoff, On optimm design of strctres and materials, General lectre al XII Congresso Nazionale AIMETA 995, Napoli, Italia) Le Eqazioni (5.07) e (5.08) possono essere invertite tramite risolzione rispetto alle componenti di tensione, ottenendosi: s 5 G n ne ne ne 4 s 5 G n ne ne ne 4 s 5 G n ne ne ne 4 t 5 Gg t 5 Gg t 5 Gg (5.) Le (5.) esplicitano il legame costittivo del materiale linearmente elastico isotropo, o legge di Hooke. I modli elastici dei principali materiali di so nelle costrzioni, nitamente ad altri valori caratteristici del loro comportamento, sopra descritto, vengono riassnti nelle Tabelle 5. e 5.. I valori presentati, per i qali ove possibile si forniscono intervalli di variabilità, sono desnti dalla letteratra tecnica disponibile; Legge di Hooke Figra 5.67

84 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Tabella 5. Costanti Elastiche e parametri meccanici dei materiali da costrzione. Densità r 0 kg>m Modlo di Yong E GPa Modlo di elast. tangenz. G, GPa Modlo di Poisson n Modlo volmetrico C v MPa Tensione di snervamento s s MPa Tensione di rottra s r MPa Deformazione a rottra % Coeff. di Var. Termica Lineare variaz. di lng. s n milionesimo per grado centigrado o Kelvin a, (0 6 K ) Materiale Ferro %.8- Acciaio % -6 Acciaio %.6 precompresso Allminio Ghisa Nichel % Ottone Piombo Rame % 6.5 Zinco e leghe % Leghe di allminio variabile Leghe di rame Leghe di piombo Leghe di titanio % Grafite Traz Conglomerato cementizio Traz. -4 Compr Calcare Traz. Compr. -5 Basalto Traz.7-9 Compr Granito Traz Compr Marmo Traz Compr. -5 Vetro Gomma Tfo Traz ; Compr

85 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell Elasticità j 409 Laterizi 5-5 Legno (abete) E: Dir fibre 8-5 Ossa mane (5-0 anni) Femore, tibia, omero, radio. Direz. Longitd. - E: Normale fibre Traz. parall. fibre 0-0 Compr. parall. fibre 6-5 Compr. ortog. fibre Policarbonato Nylon PVC Polistirene Carbonio Polimeri termopl trazione Polimeri termoind trazione Tecnopolimeri trazione Fibre di carbonio Polimeri rinf. fibra carbonio CFRP Frazione volmet. fibre Fibre di vetro Polimeri rinf. fibra vetro GFRP Fibre aramidiche Polimeri rinf. fibre aramidiche AFRP Frazione volmet. fibre Frazione volmet. fibre Longitdinale Tabella di conversione nità di misra: GPa Pa N>m Kg>cm ; MPa Pa N>m Kg>m 5 0 kg>cm 5 N>mm

86 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Tabella 5. Prefissi per le potenze di dieci con le nità metriche Potenza Prefisso Abbreviazione Denominazione 0 4 yocto y Qadrilionesimo 0 zepto z Triliardesimo 0 8 atto a Trilionesimo 0 5 femto f Biliardesimo 0 pico p Bilionesimo 0 9 nano n Miliardesimo 0 6 micro m Milionesimo 0 milli m Millesimo 0 centi c Centesimo 0 deci d Decimo nità Unità 0 deka da Dieci 0 etto e Cento 0 kilo k Kilo 0 4 miria mi Diecimila 0 6 mega M Milione 0 9 giga G Miliardo 0 tera T Bilione 0 5 peta P Biliardo 0 8 ea E Trilione 0 zetta Z Triliardo 0 4 yotta Y Qadrilione 0 00 googol Googol (0 0 ) 00 googol Googolple (0 00 ) 00 anton A Antonple essi sono da considerarsi come pramente indicativi degli effettivi valori, i qali debbono comnqe essere saggiati sperimentalmente sl materiale reale in stdio, nei casi concreti in ci ciò sia necessario. j Esempio 5.5 e I 5 s I E ns II E 5 5 t ij n E P9P0 5e I d i " 5 5 d it ij n "E A titolo di esercizio si determina qi di segito l espressione del modlo di elasticità tangenziale G, in fnzione di qello di Yong E e di qello di Poisson n. Si faccia riferimento all elemento di materiale a base qadrata, di vertici OPQR, di dimensione d nel piano ( i, j ), al qale sia applicata la sola tensione tangenziale t ij (Figra 5.68). Il tracciamento del cerchio di Mohr per qesto stato piano di tensione mostra che le direzioni principali di tensione n I, n II nel piano ( i, j ) formano angoli di p>4 con gli assi ( i, j ). Le tensioni principali agenti si piani principali valgono rispettivamente s I 5t ij, s II 5t ij. Le direzioni principali di deformazione coincidono con qelle di tensione n I, n II. La dilatazione principale e I si ottiene dalla prima delle (5.07):. Poiché le dilatazioni e gli scorrimenti forniti dalle (5.07) e (5.08) sono disaccoppiati, in fnzione rispettivamente delle tensioni normali e di qelle tangenziali, ne consege che nel riferimento ( i, j ) non vi sono dilatazioni: ciò implica che nella deformazione il pnto P si sposta nel pnto P9, ortogonalmente all asse i. Lo spostamento P9P0 del pnto P nella direzione principale di deformazione n I vale.

87 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell Elasticità j 4 Figra 5.68 j R R τ ij Q n II Q n I τ nm d τ ij O ε ij τ ij d τ ij P P P ε ij = /γ ij i σ n σ II σ I σ II σ I τ nl σ I σ II Lo spostamento di P vale dnqe: PP9 5P9P0 " 5 d it ij n E Lo scorrimento g ij è dato dal doppio dell angolo P9OP, assimilabile alla sa tangente: g ij 5 PP9 d 5 t ij n E Confrontando qesta relazione con qella analoga delle (5.), si ottiene la cercata espressione per il modlo di elasticità tangenziale: G 5 E n (5.) In forza della positività di E e di G, dalla (5.) consege la segente limitazione per il modlo di Poisson n.. Il potenziale elastico lineare isotropo Qi si svilppa in termini più completi il legame costittivo del materiale linearmente elastico isotropo, già anticipato sopra in forma semplificata, a partire dal so potenziale che, come si è visto nella (5.04), è fornito dalla F(E) 5 k I (E) k I (E) che richiede de sole costanti elastiche. (5.4)

88 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 4 4 j Capitolo 5 j Meccanica dei contini L ipotesi di isotropia consente di ridrre le costanti dell elasticità lineare a sole de indipendenti. Le espressioni degli invarianti di deformazione (5.65) si pongono nella forma: I E 5e e e, I E 5e e e e e e e e e e e e Il legame costittivo (5.89) nel caso presente si specifica in componenti tensoriali s ij 5 k I E 0I E 0e ij k 0I E 0e ij 5 k k d ij e ll k e ij (5.5) Costanti di Lamé Tramite la definizione delle costanti di Lamé l5k k G 5 k > (5.6) si hanno le relazioni di Hooke già anticipate sopra in forma esplicita: s ij 5 Ge ij d ij le ii (5.7) in ci d ij è il delta di Kroneker. La (5.7) fornisce la relazione deformazioni-tensioni per il legame linearmente iperelastico isotropo e in forma assolta si scrive T 5 GE l(e e e )I (5.8) e si specifica in termini dei vettori di tensione e deformazione: F s s s s 4 s 5 s 6 V 5 F lg l l l l G l l l l G VF G G G e e e e 4 e 5 e 6 V (5.9) s s s 5 5(Gl)(e e e ) Le (5.8) mostrano che le tensioni normali s i sono fnzioni delle sole dilatazioni e j e la t ij della sola omonima g ij ; in tale senso c è n disaccoppiamento delle relazioni tra tensioni normali e dilatazioni da n lato e fra tensioni tangenziali e scorrimenti dall altro. Le (5.8) si invertono agevolmente, come di segito. La traccia di T vale che tramite la definizione della tensione media p (5.7) e del coefficiente di variazione volmetrica c (5.46) fornisce: p 5 G l c (5.0) Relazione fra variazione volmetrica e tensione media Modlo volmetrico che costitisce la relazione elastica lineare isotropa fra variazione volmetrica e tensione media; la (5.0) consente di definire il modlo di elasticità volmetrica (o blk modls): c v 5 p c 5 G l (5.) che rappresenta la tensione media necessaria per ottenere na variazione volmetrica nitaria [il che significa dimezzamento (o raddoppio) del volme].

89 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell Elasticità j 4 Le relazioni di Hooke (5.8) e (5.9) si invertono sostitendovi il valore c 5e e e fornito dalla (5.0), pervenendo alle inverse di Hooke: Inverse di Hooke e ij 5 G a s ij d ijlp G l b (5.) e in forma assolta: E 5 T G lp GG l I (5.) Le relazioni elastiche si esplicitano, con tensioni e deformazioni in forma vettoriale: F e e e g g g V 5 I G l GG l l GG l l GG l 000 l G l l GG l GG l GG l GG l GG l GG l Y F G G 0 l l G l s s s t t t V (5.4) G Coassialità delle direzioni principali di sforzo e deformazione per il materiale linearmente iperelastico isotropo In qesto paragrafo si mostra che per il materiale linearmente iperelastico isotropo, le direzioni principali di sforzo coincidono con qelle principali di deformazione. A qesto fine è necessario introdrre il Teorema di Cayley-Hamilton il qale afferma che ogni tensore è solzione della propria eqazione caratteristica. Ciò pò essere facilmente verificato, per esempio, per il tensore di deformazione infinitesima E la ci eqazione caratteristica (5.64) e I (E)e I (E)e I (E) 5 0 scritta in forma matriciale per ttti e tre gli ato-valori (e I, e II, e III ) nella base principale Teorema di Cayley-Hamilton e I 0 0 e I 0 0 e I e II 0 I I (E) 0 e II 0 I (E) 0 e II 0 I (E) e III 0 0 e III 0 0 e III 0 si sintetizza nella forma E I (E)E I (E)E I (E) 5 0 (5.5) a dimostrazione dell assnto. Segendo l impostazione di Eric Reissner (945), si fa qi l ipotesi che nella base principale della deformazione, le componenti principali della tensione T 5 [s ij ] del materiale linearmente iperelastico isotropo (5.5) s ij 5 0F(I,I,I ) 0e ij 5 0F 0I 0F 0I 0F 0I 0I 0e ij 0I 0e ij 0I 0e ij (5.6) siano espresse in fnzione di E 5 [e ij ] nella forma polinomiale:

90 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini T 5 c 0 I c E... c n E n (5.7) nella qale, grazie all isotropia, i coefficienti c i sono fnzioni dei soli invarianti di deformazione. Dalla (5.5) consege che na qalnqe potenza n-esima (n P N) del tensore E 5 [e ij ] pò essere espressa come combinazione lineare di d ij, e ij, e ij e jk a mezzo di coefficienti che sono fnzioni polinomiali dei tre invarianti di E. Infatti la (5.5) permette di esprimere E in fnzione delle sole E, E: E 5 I E I E I e di esplicitare E 4 in fnzione dei soli E, E, nella forma E 4 5 EE 5 I E I E I E 5 (I I )E (I I I )E I I I Per iterazione del procedimento, n qalnqe termine c E i del polinomio (5.7) pò esplicitarsi in fnzione dei soli E, E, per ci la (5.7) pò riscriversi nella forma: T 5 s ij 4 5 a I a E a E (5.8) c 0F 0e ij d 5a Ia Ea E ove le costanti a, a, a sono polinomi negli invarianti di deformazione. Il risltato (5.8) mostra che il potenziale elastico F(e ij ) deve soddisfare l eqazione, qindi il potenziale elastico, nel caso di elasticità lineare isotropa, è cbico nelle deformazioni. Tenendo conto delle espressioni degli invarianti di deformazione: I (E) 5e ii 5e e e I (E) 5 (e iie jj e ij e ji ) 5e e e e e e e e e e e e I (E) 5DetE5e e e e e e e e e e e e e e e e e e 0I 0e ij 5 0 0I 0e ij 5e ji 0I 0e ij 5e ki e jk e kk e ij 0I 5 0e ij 0I 5e 0e ll e kk ij 0I 0e ij 5e kk e ll e kl e lk 0I 5 0 0e ij 0I 5 0 0e ij 0I 0e ij 5 0 i coefficienti della (5.6) si specificano: per i? j: ; per i 5 j: e nel riferimento principale di deformazione per i? j rislta e ij 5 0, ; pertanto la (5.6) fornisce s ij 5 0. Ne consege, come volevasi dimostrare, che slle facce della base principale di deformazione n Ie, n IIe, n IIIe sono nlle le componenti di tensione tangenziali s ij, i? j e pertanto qesta base coincide con la base principale di tensione n Is, n IIs, n IIIs. Relazione fra i deviatori La relazione costittiva (5.8) si pò esplicitare in termini delle parti idrostatiche e deviatoriche dei tensori di sforzo e deformazione. Infatti si è già mostrato tramite le (5.47), (5.48) e (5.49) che il tensore di sforzo presenta la decomposizione additiva T 5 T D pi, in ci la parte deviatorica T D è definita dalle (5.47), (5.48) e (5.49). Similmente il tensore di deformazione viene scomposto additivamente nella sa parte deviatorica e in qella volmetrica E 5 E D (c>)i, in ci c è il coefficiente di variazione volmetrica e la parte deviatorica è data da: e c e e E D 5 F e e c e V (5.9) e e e c

91 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell Elasticità j 45 La parte E D è responsabile del cambiamento di forma dell intorno, ma non di qello di volme: infatti il so invariante lineare è nllo. La parte (c>) I, complementare di qella deviatorica, essendo isotropa, trasforma qalnqe direzione in sé stessa e non modifica pertanto la forma, ma solo il volme dell intorno. La (5.8) consente di scrivere T 5 T D pi 5 GE lci la qale con la scomposizione E 5 E D (c>)i determina la: T D 5pI GE D c (G l)i Tenendo presente la (5.) si ottiene in definitiva la cercata relazione elastica lineare isotropa fra i deviatori di sforzo e deformazione: T D 5 GE D (5.0) La Tabella 5.4 che sege fornisce le costanti elastiche del materiale linearmente elastico isotropo in fnzione di sole de delle costanti assnte qali parametri indipendenti. Relazione fra i deviatori di sforzo e deformazione Un esempio di legame lineare non conservativo: il materiale di Cachy Si è visto che le relazioni s 5 C? e definiscono l elasticità lineare. Qesta relazione, indipendentemente dall esistenza del potenziale elastico, definisce il cosiddetto materiale di Cachy, nel qale le tensioni sono linearmente legate alle deformazioni. È però necessario evidenziare che la sola linearità pò non conigarsi con la conservatività del materiale. Infatti, operando a titolo di esempio in dimensione de, la relazione lineare si scrive. s5 c s s d 5 c C C C C dc e e d Tabella 5.4 Materiale linearmente elastico isotropo. Espressioni delle costanti elastiche in fnzione della coppia di costanti indipendenti. Costanti indipendenti Modlo di Yong E Modlo tangente G Modlo volmetrico c G, n G( n) G( v) ( v) G, E GE 9G E G, l Gl G lg G, c v 9Gc v c v G E, n E v E, c v Ec v 9c v {E c v, n c v ( n) c v ( v) l G Costante di Lamé l Gv v G(E G) G E c v G ( v) E ( v) Modlo di Poisson n E G G l (l G) ve ( v)( v) c v (9c v E) 9c v E c v v v c v G (c v G) c v E 6cv

92 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini È agevole verificare che per i de diversi percorsi deformativi g e g di Figra 5.69, sono diversi per tale materiale i valori dell energia di deformazione: e F 5 sde 5C C e e e C 5e a C C C b g F 5 g sde 5e a C C C C b Materiale non conservativo DF 5 e C C ε Qesto materiale qindi non è conservativo; infatti na trasformazione chisa g corrispondente per esempio al percorso (g g ) porta a n valore dell energia di deformazione non nllo pari a che in dipendenza dei valori assnti dalle costanti pò essere positiva o negativa e corrisponde qindi all accmlo nel sistema di energia o alla prodzione di energia. Solo nel caso C 5 C tale materiale è conservativo, risltando in accordo con la simmetria maggiore e con l esistenza di n potenziale. ε =ε γ γ ε Ahk ε=ε Figra 5.69 ε Regolarità secondo Kellog Problema misto al contorno Eqazioni dell eqilibrio elastico isotropo Nell elastostatica lineare il problema dell eqilibrio di n solido o di na strttra assme particolari forme, adatte alla risolzione in forma chisa o approssimata. Nei Capitoli e 4 sono già state trattate le particolari forme che assmono i sistemi di eqazioni di eqilibrio elastico per le diverse modellazioni dei sistemi di travi e sono state altresì fornite le principali metodologie soltive, con le corrispondenti esemplificazioni. In qesta sede si vole mostrare la forma generale che il sistema di eqazioni di eqilibrio elastico assme per il solido linearmente iperelastico e isotropo. Di norma è assegnato n linearmente elastico isotropo, vincolato, sl qale agiscono sistemi di forze sperficiali e di volme. I dati del problema sono in generale i segenti. È assegnato il solido, rappresentato dal dominio di frontiera 0@ generalmente regolare. Per la regolarità della frontiera in letteratra vengono proposte diverse definizioni; per gli scopi che qi ci si prefigge è sfficiente fare riferimento a na frontiera costitita dall nione di n nmero finito di sperfici differenziabili (regolarità secondo Kellog: O. D. Kellog, Fondations of Potential Theory, Dover, 99). La frontiera 0@ è a sa volta partizionata nelle de parti: 0@ slla qale sono assegnate le condizioni di vincolo 5 (5.) 0@ f slla qale sono assegnate le forze sperficiali f. S ogni pnto della frontiera sono dnqe assegnati o i carichi sperficiali o i vincoli: per qesto motivo si parla delle eqazioni di eqilibrio elastico come di n problema misto al contorno. è assegnato il campo di forze di volme b. Il materiale linearmente iperelastico isotropo e omogeneo è assegnato tramite de costanti elastiche, in qesta sede identificate nelle (G, v) Eqazioni di Navier-Cachy Nella prima formlazione che qi si propone, l incognita del problema è il campo di spostamento solzione 5 (,, ), dal qale sono poi dedcibili deformazioni

93 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell Elasticità j 47 e sforzi. L incognito campo infinitesimo solzione 5 (,, ), deve rispettare le condizioni di vincolo (5.0). Dallo spostamento solzione si ottiene lo stato di deformazione infinitesimo corrispondente, tramite le eqazioni di compatibilità e ij 5 a 0 i 0 j 0 j 0 i b (5.) Dalle deformazioni, tramite le eqazioni costittive dell elasticità lineare (5.9), si ottiene il tensore di sforzo T 5 # E. Le tensioni, in qanto solzioni, debbono a loro volta rispettare le Eqazioni (5.) di eqilibrio interno (0s ij >0 j ) b i 5 0 e qelle dell eqilibrio al bordo (5.4) s ij n j 5 f i. Le condizioni di congrenza al contorno del tipo (5.), che impongono preassegnate forme per lo spostamento nelle zone vincolate, vengono denominate condizioni al contorno alla Dirichlet. Slla parte vincolata del contorno 0@, le tensioni emergenti determinano le reazioni vincolari s ij n j 5 r i. Le condizioni di eqilibrio al contorno caricato (5.4) che lavorano sl flsso degli sforzi emergenti al contorno, qindi tramite le (5.9) e (5.) vincolano le derivate del campo di spostamento incognito, vengono chiamate condizioni al contorno alla Nemann. Si pò in definitiva affermare che il campo di spostamento infinitesimo 5 (,, ) è solzione del problema di eqilibrio elastico lineare, se esso rispetta i segenti cinqe sistemi di eqazioni differenziali alle derivate parziali: eqazioni di congrenza al contorno vincolato (5.); eqazioni di compatibilità spostamento-deformazione (5.); legame costittivo dell elasticità lineare isotropa (5.9); eqazioni di eqilibrio interno (5.); eqazioni di eqilibrio al bordo (5.4). Si dedcono qi di segito le eqazioni di Navier-Cachy dell eqilibrio elastico, le qali assmono come incognita esplicita lo spostamento 5 (,, ). Le relazioni di Hooke (5.7), tilizzanti le costanti elastiche (G, v), si scrivono Gn s ij 5 Ge ij d ij (5.) n e kk La sostitzione delle eqazioni di compatibilità nelle relazioni di Hooke (5.) fornisce: s ij 5 G a 0 i 0 j 0 j 0 i b Gn n d 0 k ij 0 k (5.4) Qest ltima, sostitita nella i-esima eqazione dell eqilibrio interno (5.5), la trasforma come di segito: Vincoli alla Dirichlet Vincoli alla Nemann e ij 5 a 0 i 0 j 0 j 0 i b 0s ij 0 j b i G c a 0 i b 0 j d Gn 0 j 0 j 0 j 0 i n d 0 ij a b b 0 j i 5 0 ove nei monomi vanno svilppate le somme sgli indici ripetti. Tenendo conto che il delta di Kroneker assme valore diverso da zero e nitario solo per j 5 i, l eqazione diventa: G 0 i 0 j G n 0 0 i a b b i 5 0 (5.5)

94 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Le (5.5) che si scrivono per esteso: G a b G 0 a b b 50 n G a b G 0 a b b n (5.6) G a b G 0 a b b n Eqazioni di Navier-Cachy dell eqilibrio elastico sono le eqazioni differenziali dell eqilibrio elastico di Navier-Cachy, che associate alle condizioni di congrenza al contorno vincolato (5.) e a qelle di j Approfondimento 5.4 Eqazioni di Beltrami-Michell Il problema di eqilibrio elastico è stato risolto con na formlazione alternativa a qella di Navier-Cachy, assmendo qali incognite le componenti di tensione. Qi di segito si ripropone la procedra analitica che prodce le eqazioni di Beltrami-Michell, nel caso di forze volmetriche costanti. Derivando la prima eqazione indefinita di eqilibrio rispetto alla variabile, derivando la seconda rispetto alla variabile e la terza rispetto a, sommando le prime de e sottraendo la terza si ottiene: 0 t 5 0 s s s (AP5.9) La prima delle eqazioni di compatibilità (5.96), 0 e 0 0 e g 0 0 tenendo conto delle relazioni inverse di Hooke, fornisce: 0 s 0 na 0 s 0 0 s 0 b 0 s 0 n a 0 s 0 0 s 0 b 5 5 n 0 t 0 0 (AP5.0) Le (AP5.9) e (AP5.0) permettono di ottenere: ( n) a 0 s 0 0 s 0 b na 0 I 0 0 I 0 0 I 0 0 I 0 b 5 ( n) a 0 s 0 s 0 s b che si trasforma con i segenti passaggi (n) a 0 s 0 0 s 0 0 s 0 0 s 0 0 s 0 b 5 5n= I n 0 I 0 (n) c 0 0 (s s ) 0 0 (s s ) 0 s 0 )d5 5n= I n 0 I 0 (n) c 0 I 0 0 s 0 0 I 0 0 s 0 0 s 0 d 5 5n= I n 0 I 0

95 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell Elasticità j 49 eqilibrio ai limiti (5.), determinano la solzione 5 (,, ) del problema. Le (5.6) si scrivono in forma assolta: G= G grad div b 5 0 n (5.7) dove = è l operatore di Laplace. L esistenza della solzione del problema qi sopra formlato, che dipende essenzialmente dalla regolarità degli enti coinvolti (dominio e sa frontiera, carichi, vincoli ecc.) è stata discssa sotto ipotesi assai generali in trattati specialistici, ai qali si rinvia per gli approfondimenti (G. Fichera, in Enciclopedia of Physics, Springer, III/, Via/, Via/, 97). Nella teoria di de Saint Venant, le (5.6) sono state tilizzate per dedrre le solzioni di base del problema della trave elastica. (n)= s 5(n) a = I 0 I 0 bn a = I 0 I 0 b di Beltrami-Michell dell eqilibrio elastico del tipo (AP5.): e in definitiva: = I 0 I 0 5 ( n)= s (AP5.) dalla qale permtando gli indici si ottengono le tre eqazioni: = I 0 I 0 5 ( n)= s = I 0 I 0 5 ( n)= s = I 0 I 0 5 ( n)= s Sommando le tre (AP5.) si ottiene: (AP5.) ( n)= s 0 I ( n)= s 0 I ( n)= s 0 I ( n)= t 0 I ( n)= t 0 I ( n)= t 0 I (AP5.4) = I = I 5 ( n)= I la qale deve risltare = I 5 0 e determina l eqazione: ( n)= s 0 I (AP5.) Le altre cinqe eqazioni di congrenza, con la stessa procedra, determinano il sistema finale di eqazioni Le (AP5.4) sono le eqazioni di Beltrami-Michell dell eqilibrio elastico nelle componenti di tensione, le qali, per come sono state ottente, garantiscono il rispetto delle eqazioni di congrenza interna, di eqilibrio e di qelle di elasticità; esse, associate a opportne condizioni al contorno, consentono di dedrre lo stato di tensione solzione. Noto qesto, le relazioni di elasticità determinano le deformazioni e qeste per integrazione condcono al campo di spostamento solzione.

96 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Cambiamento di base relazioni elastiche f b e f a Oltre alla base {e i } 5 {e, e, e } si consideri n altra base {f p } 5 {f a, f b, f c }; per semplicità ambede le basi siano ortonormali (Figra 5.70) I versori della base {f p } sono esprimibili nella base {e i } nella forma cartesiana: o e f a 5 a a e a a e a a e f b 5 a b e a b e a b e e f c f c 5 a c e a c e a c e Ove a qj è la componente q-esima di f q nella base {e i }; a qj è qindi il coseno direttore di f q rispetto all asse e j : Figra 5.70 a qj 5 f q? e j Si indica con p, oppre con q e r, l indice generico degli assi della nova base p, q, r P {a, b, c} mentre con i, j, k gli indici generici della base {e, e, e }, i, j, k P {,, }. La matrice R dei coefficienti del sistema di sopra viene definita matrice di trasformazione dalla base iniziale {e i } a qella nova {f p }; ogni riga della R è formata dalle componenti di n versore della nova base {f p } rispetto a qella iniziale {e i }. a a a a a a R 5 a b a b a b a c a c a c v v 5 v v v a v9 5 v b v c Poiché i versori {f p } sono indipendenti, R ha determinante nllo ed è invertibile presentando qale inversa la R T. Un generico vettore v nella base {e i } abbia rappresentazione e nella base {f p } rappresentazione. Si vole ora dimostrare che nel cambiamento della rappresentazione dello stesso vettore da na base all altra valgono le segenti relazioni di trasformazione delle se componenti: v9 5Rv v 5 R T v9 Infatti con riferimento alla rappresentazione di v9 nella base {f p } si ha: v9 5v a f a v b f b v c f c e sostitendo in qesta le espressioni sopra assegnate per le {f p } si ottiene: v9 5v a (a a e a a e a a e ) v b (a b e a b e a b e ) v c (a c e a c e a c e ) e mettendo a fattore nei versori della base {e i } si ottiene l espressione di v in tale base: v 5 (v a a a v b a b v c a c )e (v a a a v b a b v c a c )e (v a a a v b a b v c a c )e dalla qale si dedce l espressione di v nella base {e i }: che si pò anche scrivere: v v a a a v b a b v c a c v 5 v 5 v a a a v b a b v c a c v v a a a v b a b v c a c Nnziante L. Scienza delle Costrzioni. Il Contino. JOVENE,997. Cap..

97 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell Elasticità j 4 a a a b a c v a v 5 a a a b a c # v b 5 R T v9 a a a b a c v c Qest ltima eqazione fornisce le cercate espressioni delle componenti del vettore nella base {e i } in fnzione di qella nella base {f p } e dell inversa della matrice di trasformazione R T. L eqazione di sopra pò invertirsi come sege premoltiplicando primo e secondo membro per R: v9 5R v Il prodotto scalare fra de vettori v e w è na qantità intrinseca; essa deve essere indipendente dalla base scelta. Con riferimento alle de basi sopra introdotte si ha: Trasformazione di n vettore al mtare della base cartesiana e deve risltare: v 5 R T v9 w 5 R T w9 (v? w) 5 (R T v9)? (R T w9) 5 v9rr T w95v9w9 la qale implica RR T 5 I e qindi R T 5 R Matrici che rispettano tale condizione si dicono ortogonali. Di tale tipo devono essere le matrici della trasformazione sopra introdotta. Si vole qi determinare la legge di variazione delle componenti della matrice del tensore di deformazione infinitesima E al cambiare della base del riferimento scelto, da qella {e i } a qella {f q } e viceversa. Si faccia riferimento all Eqazione (5.54) che correla il vettore posizione al campo di spostamento da deformazione pra e : Matrice ortogonale e 5 E scritta nella base {e i }. Nella nova base {f q } l eqazione presenti la scrittra e 95E99 ove gli elementi con apice sono riferiti alla nova base {f q }. In fnzione della matrice di trasformazione R e della sa inversa R T e grazie alle relazioni di trasformazione sopra dedotte, si ha: ottenendosi: dalla qale si dedce: che per confronto fornisce: e 95R e R e 5 E9 R 95R e 5 R T E9 R E 5 R T E9 R (5.8) avente la segente forma indiciale e ij 5e pq a qj a pi

98 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 4 4 j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Trasformazione di n tensore al mtare della base cartesiana Matrici simili Proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva e I 0 0 E9 5 0 e II e III s ij 5 0f 0e ij f5 c ijhke ij e hk L inversa dell eqazione precedente è data dalla E9 5RER T (5.9) eqazione che determina la matrice E9 nella nova base in fnzione della E e della matrice di trasformazione R. La forma indiciale dell ltima eqazione è la segente: e pq 5e ij a pj a qi (5.40) Matrici E ed E9 che si trasformano l na nell altra tramite na matrice R invertibile, secondo le eqazioni sopra riportate, si dicono simili. La similitdine delle matrici è na relazione di eqivalenza, godendo delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Matrici simili hanno gali i determinanti, le eqazioni caratteristiche, gli invarianti, gli atovalori. De matrici che al variare della base si trasformano per similitdine, cioè mediante eqazioni del tipo sopra definite, hanno eqazioni caratteristiche coincidenti e qindi invarianti gali e atovalori coincidenti. Con riferimento alla matrice di deformazione infinitesima E, essa è diagonalizzabile se esiste na base {p i } 5 {p a, p b, p g } nella qale la sa trasformata per similitdine E9 ha la forma diagonale; E è diagonalizzabile se esiste qindi na matrice invertibile P tale che rislti: E9 5PEP con E9 avente la forma:. Le proprietà qi stabilite a titolo esemplificativo per il tensore E valgono anche per gli altri tensori trattati nel testo. In particolare per il tensore di sforzo si hanno, al rotare del riferimento, le eqazioni di trasformazione: T 5 R T T9 R (5.4) T9 5R T R T (5.4) Si vogliono qi ottenere le eqazioni dell elasticità lineare valide al rotare della base di riferimento ortonormale da qella iniziale (e, e, e ) a qella (a, b, c). Lo stato di tensione fornito dalla (5.85). Se il potenziale elastico è dato dalla (5.89) il tensore di sforzo rislta espresso dalla T 5 #E nella base {e i } (5.4) T9 5#9E9 nella nova base {f q } (5.44) Le formle di trasformazione del tensore di deformazione (5.8)-(5.40) e di qello di sforzo (5.4)-(5.4) si scrivono in forma indiciale: e pq 5e ij a pj a q (5.45) e kl 5e rs a rk a sl (5.46) s pq 5s ij a pj a qi (5.47) s kl 5s rs a rk a sl (5.48) ove i, j, k, l P {,, }, mentre gli indici p, q, r, s P {a, b, c}. Le eqazioni dell elasticità lineare sopra richiamate (5.4) si scrivono, nelle de basi, nella forma indiciale: s ij 5 c ijkl e kl (5.49) s pq 5 c pqrs e rs (5.50)

99 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell Elasticità j 4 con le inverse E 5 bt E9 5b9 T9 e ij 5 b ijkl s kl e pq 5 b pqrs s rs (5.5) (5.5) (5.5) (5.54) Sostitendo nella (5.4) la (5.4) e in qesta la (5.8), si ottiene: T9 5RTR T 5 RcER T 5 RcR T E9RR T 5 RcR T E9 la qale, confrontata con la (5.4), fornisce c9 5RcR T (5.55) che costitisce la formla di trasformazione del tensore di elasticità al rotare del riferimento. La sa inversa si ottiene premoltiplicando per R T e postmoltiplicando per R la (5.55): Trasformazione del tensore di elasticità al mtare della base cartesiana c 5 R T c9 R La forma indiciale della (5.55) si ottiene come sege: s pq 5s ij a pj a qi 5 c ijkl a pj a qi e kl 5 c ijkl a pj a qi a sl a rk e rs (5.56) (5.57) che, confrontata con la (5.49), fornisce: c pqrs 5 c ijkl a pj a qi a sl a rk (5.58) Con procedimento simile si ottengono le segenti formle di trasformazione della matrice inversa di qella di elasticità al mtare della base b pqrs 5 b ijkl a pj a qi a sl a rk (5.59) Elasticità lineare non isotropa Si è gia mostrato che per il materiale a elasticità lineare che ammetta potenziale elastico lo stato di tensione è fornito dalla: f5 c ijhke ij e hk s ij 5 0f 0e ij 5 c ijhk e hk (5.60) (5.6) la qale presenta la forma inversa: e ij 5 b ijkl s kl (5.6) Il materiale è stato definito isotropo se si comporta nello stesso modo in ttte le direzioni; ciò significa che la relazione costittiva è invariante al mtare della base del riferimento. Nnziante L. Scienza delle Costrzioni. Il Contino. JOVENE, 997. Cap. 4.

100 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Grppi di simmetria Materiale anisotropo Materiale ortotropo Si è già dimostrato che le costanti indipendenti del materiale nel caso isotropo sono de. Talni materiali, non isotropi, presentano peraltro le stesse proprietà e qindi lo stesso legame costittivo al rotare della base del riferimento secondo valori opportni degli angoli; gli insiemi di basi ottenibili l na dall altra con tali direzioni costitiscono grppi di trasformazioni che vengono detti grppi di simmetria delle costanti elastiche (Smirnov V.I., Corso di Matematica Speriore, Editori Riniti, 98). Un materiale ideale avente, secondo ttte le direzioni, proprietà diverse si dice anisotropo; le costanti indipendenti di tali materiali sono ventno, grazie alla simmetria di #. Fra il materiale isotropo e qello anisotropo si collocano qindi na serie di materiali dotati di certe simmetrie. Definizione : Materiale ortotropo Un materiale si dice ortotropo se esso presenta tre piani di simmetria delle costanti elastiche mtamente ortogonali. Piani principali del materiale o r Figra 5.7 Direzioni principali del materiale Materiale a isotropia trasversa v Materiale ortotropo A tale classe, per esempio, appartiene il legno, (Figra 5.7) di ci n elemento proveniente dal taglio di n albero presenta nella direzione radiale r, orizzontale o e verticale v (fibre) comportamenti diversi; i tre piani ortogonali rispettivamente r, o, v sono piani di simmetria delle costanti elastiche. Le direzioni r, o, e v vengono chiamate direzioni principali del materiale. Definizione : Materiale a isotropia trasversa Un materiale la ci storia di formazione presenti na sola direzione n particolare, si definisce a isotropia trasversale; esso presenta nel piano a ortogonale a n le stesse proprietà ed è in tal senso isotropo nel piano a Ricadono in qesta classe materiali come il marmo, i materiali stratificati, le ardesie, i laminati, i metalli che abbiano sbito processi di rollatra piana, nonché talni materiali compositi. La n è direzione principale del materiale a isotropia trasversa. Il materiale ortotropo Si vogliono qi dedrre le relazioni dell elasticità lineare per il materiale ortotropo. Qesto materiale, sopra definito, presenta le stesse relazioni costittive e qindi le stesse costanti elastiche, al rotare dell elemento materiale di n angolo p intorno alle tre direzioni {e, e, e } che per ipotesi sono ortogonali ai piani di simmetria del materiale e che sono le direzioni principali del materiale. Invece di rotare l elemento materiale intorno agli assi, si pò pensare di descrivere lo stesso effetto al rotare della base di riferimento nel qale si descrive l eqazione costittiva: così si opererà nel segito. Si consideri per prima la base ortonormale {e, e, e } delle tre direzioni principali del materiale. Le eqazioni costittive del materiale nella base {e, e, e } scritte in forma estesa sono del tipo:

101 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell Elasticità j 45 s # # # # # # # # # e s # # # # # # # # # e s # # # # # # # # # e s # # # # # # # # # e Hs X5H # # # # # # # # # X?H e X s # # # # # # # # # e s # # # # # # # # # e s # # # # # # # # # e s # # # # # # # # # e (5.6) e in forma sintetica e indiciale: s5ce con le inverse: e5bs s ij 5 c ijhk e hk e ij 5 b ijhk s hk (5.64) (5.65) dove si è tilizzata la forma vettoriale dei tensori di deformazione e di 5 # e i, j, h, k P {,, }. Si ricorda qi che, per l esistenza del potenziale elastico, per la matrice # delle costanti elastiche devono valere le proprietà di simmetria totale:. Si consideri poi na nova base ortonormale di versori {a, b, c}, ottenibile per rotazione intorno a e di n angolo p da qella iniziale (Figra 5.7). In tale nova base le eqazioni costittive si scrivono in forma assolta e indiciale: Simmetria totale c ijhk 5 c hkij c ijhk 5 c jihk 5 c ijkh s9 5 c9e9 s pq 5 c pqrs # ers (5.66) con le inverse e9 5b9s9 e pq 5 b pqrs # srs (5.67) dove p, q, r, s P {a, b, 5#9. Nelle (5.66)-(5.67), nella forma assolta si sono indicati con apice gli enti riferiti alla nova base {a, b, c}. La matrice di trasformazione per tale rotazione come già ampiamente espresso nel Paragrafo 5.4.8, è formata qale assemblaggio dei vettori riga {a, b, c} letti nella base {e, e, e }; a pj è il coseno direttore del versore p P {a, b, c} rispetto all asse e j. Se la nova base {a, b, c} si ottiene rotando qella iniziale di n angolo p intorno all asse e, la matrice di trasformazione assme la forma. a a a a a a R 5 a b a b a b a c a c a c 0 0 R c Figra 5.7 e a e b e

102 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini L esplicitazione delle (5.5) consente di pervenire alla segente eqazione, nella qale, grazie alla simmetria maggiore, si pò riportare la sola parte speriore delle matrici di elasticità nel riferimento rotato, in fnzione delle componenti relative al riferimento iniziale: c aaaa c aaab c aaac c aaba c aabb c abab c abac c abba c abbb c acac c acba c acbb c aabc c abbc c acbc c aaca c aacb c abca c abcb c acca c accb c aacc c abcc c accc H c baba c babb c babc c bbbb c bbbc c baca c bacb c bbca c bbcb c bacc c bbcc X 5 sege c b c bcbc c bcca c bccb c bccc c b c caca c cacb c cacc c b c b c cbcb c cbcc c b c b c cccc c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c 5 H c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c X A segito della detta rotazione la matrice a primo membro delle costanti elastiche deve essere coincidente con qella della (5.4) riferita alla base iniziale; ne consege pertanto il necessario annllarsi delle costanti elastiche della matrice qi sopra scritta aventi segno negativo. Le costanti nlle indipendenti, avendo scontato le eqivalenze dovte alle simmetrie maggiori e minori, sono le otto segnate con na croce nella segente espressione aggiornata della matrice e corrispondono a valori nlli indipendenti delle costanti H c,c,c,c,c,c,c,c c c c c c c c 0 c c c c c c c 0 0 c 0 0 c c c c c 0 0 c 4 X c c c c c 0 c c 0 c c 0 0 R Procedendo poi a na rotazione di n angolo p intorno all asse e si ottiene la nova base {a, b, c} rappresentata in Figra 5.7. La matrice di trasformazione, per tale rotazione si scrive. L esplicitazione delle (5.57) in tale caso condce alla matrice nella forma che si aggiorna grazie a qattro nove costanti nlle indipendenti, segnate con

103 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell Elasticità j 47 Figra 5.7 e e b e a c na croce, corrispondenti ai valori, che grazie alle simmetrie maggiori e minori condcono alla: ˆ 0 0 ˆ ˆ (5.68) L ltima rotazione della base iniziale di n angolo p intorno all asse e, che porta alla base {a, b, c} di Figra 5.74, è retta dalla matrice di trasformazione tramite la qale si calcolano per mezzo della (5.58) le nove costanti, le qali lasciano invariati gli zeri della forma (5.68) precedente. La matrice di elasticità del materiale ortotropo è qindi qella (5.68) nella qale sono sottolineate le costanti indipendenti; sono contrassegnate speriormente allo stesso modo le costanti gali fra loro a casa delle simmetrie minori. Per il materiale ortotropo le costanti indipendenti sono qindi nove. Con i simboli E, v, G già adoperati per definire le costanti elastiche ingegneristiche nel caso isotropo, le relazioni elastiche del materiale ortotropo si scrivono più sinteticamente, nello spazio vettoriale di dimensione sei, nella forma inversa: 0 0 R e a Figra 5.74 e b e c

104 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Relazioni inverse di elasticità lineare per il materiale ortotropo F e e e g g g E n E n E n E E n E n n E V 5 H E E G G 0 nella qale, per la simmetria, devono risltare soddisfatte le tre relazioni: G X # F s s s t t t V (5.69) n E 5 n E n E 5 n E n E 5 n E (5.70) Delle nove costanti E, E, E, v, v, v, v, v, v, le (5.70) ricondcono a sole sei qelle indipendenti. Si noti che, in qesto caso, le direzioni principali di sforzo non coincidono con qelle di deformazione; ne consege che i tre modli tangenti G, G, G non sono correlati alle altre costanti, come accade nel caso isotropo. Le costanti indipendenti sono qindi nove. La (5.69) ha la forma assolta e avente per inversa s 5 #e. La matrice # si scrive: Relazioni di elasticità lineare per il materiale ortotropo definita tramite le: c 5 c c c c c c c c c c 5 F V c c c 66 E E n E E n E E n E E n n n n E 4 c 5 c 5 E E E n E n n E n E E n E E n n n n E 4 E E E n E n n E n E E n E E n n n n E 4 c 5 E E n E E n E E n E E n n n n E 4 (5.7) c 5 c 5 E E E n n n E n E E n E E n n n n E 4 E E E n E E n E E n E E n n n n E 4

105 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Meccanica dei materiali. Legami costittivi Teoria dell Elasticità j 49 Figra 5.75 Elemento di mratra in mattoni a na testa. e e c 44 5 G c 55 5 G c 66 5 G Si osserva che la descrizione omogeneizzata di na mratra in mattoni a na testa, come qella rappresentata in Figra 5.75, corrisponde a n materiale ortotropo, con e, e, e direzioni principali del materiale. Omogeneizzazione Materiale a isotropia trasversa Il materiale a isotropia trasversa sia isotropo nel piano {e, e } e presenti direzione principale n ; e. Si pò in tale caso partire dalla ortotropia che tale materiale presenta rispetto agli assi {e, e, e } inizialmente considerati qali direzioni principali del materiale; tale assnzione consente di partire dalla matrice di elasticità (5.68). Data l eqivalenza fra le direzioni e ed e, consegono le egaglianze fra le costanti in forza delle qali, delle nove costanti iniziali, ne restano sole sei indipendenti. Inoltre, l lteriore condizione di invarianza delle costanti per na generica rotazione di valore a intorno all asse e, caratterizzata dalla matrice di trasformazione consente di esprimere le (5.58), tramite le qali si dedce che le costanti #, #, # relative al piano {e, e } di isotropia, sono correlate fra loro, sicché solo de fra le tre sono indipendenti. Tale circostanza è la stessa che si verifica nel caso di materiale isotropo, per il qale, assegnate la E e la v, si ha che G è ottenibile nella forma: G 5 E>[( v)]. Le costanti indipendenti per il materiale a isotropia trasversa sono qindi cinqe; la matrice di elasticità si scrive: Materiale a isotropia trasversa c 5 c c 5 c c 5 c cosa sena 0 R 5 sena cosa G 0 G G 0 G (5.7)

106 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Meccanica dei contini Siano: e 5 B s le eqazioni costittive inverse del materiale in stdio nella notazione di Voigt che tilizza le forme contratte vettoriali di sforzo e di deformazione; qeste si esplicitano agevolmente nelle componenti ingegneristiche delle tensioni e delle deformazioni, tilizzando modli meccanici di immediato significato, come sege: Relazioni inverse di elasticità lineare per il materiale trasversalmente isotropo F e e e g g g E n E n E m E E m E m m E V 5 H E E G G 0 G XF s s s t t t V (5.7) Nelle (5.7) E ed E sono i modli di Yong nel piano di isotropia (e, e ) e nella direzione principale e a qesto normale; v è il modlo di Poisson nel piano di isotropia, mentre m è il modlo di Poisson che opera fra la direzione principale e del materiale e na qalnqe direzione del piano (e, e ). G è il modlo tangente operante fra la direzione e e na qalnqe altra appartenente a (e, e ). Le cinqe citate costanti sono indipendenti. Il modlo G, operante nel piano di isotropia, dipende da E e v, come per il materiale isotropo: G 5 E>[( v)]. La matrice # inversa presente nella (5.7) si scrive: E μe μe+ νe μe E ( ν ) E μ( + ν) E ( ν ) E μ( + ν) ν μ E E E μ E μe E( ν) E μ( + ν) ν μ EE = E( ν ) ν + μ EE E ( + ν) G G (5.74) Relazioni di elasticità lineare per il materiale trasversalmente isotropo e consente di esplicitare l eqazione costittiva per il materiale linearmente elastico a isotropia trasversa: s 5 #e (5.75)

107 Capitolo 5 j Esercizi j 4 j ESERCIZI j 5. A titolo introdttivo rispetto alle applicazioni slle deformazioni, si intende svilppare qi di segito il percorso logico da segire, per esempio per lo svilppo dell Esercizio 5. segente, sopratttto per semplificare lo svilppo dell applicazione che l Allievo alle prime armi deve svolgere, richiamando procedre, formle e ttto l armamentario necessario. Per ttte le operazioni richieste si raccomanda vivamente l so del compter sl qale sia installato no dei programmi di matematica più diffsi (Mathematica, Matlab, ), cosa che consentirà di realizzare con grande efficacia e precisione, senza errori, i calcoli richiesti. Sia assegnato il campo di spostamento contino e differenziabile: nel dominio di na trave di lce, e sezione retta A a. Si calcolino i tensori: gradiente di spostamento H, gradiente di deformazione F, deformazione finita D, deformazione infinitesima E 5 symh, rotazione infinitesima W 5 antisymh. Risposta Per derivazioni parziali si calcola il tensore gradiente di spostamento: che per trasposizione (delle righe con le colonne) determina anche il trasposto: 5 (,, ) (,, ) (,, ) H = = = i j, La trasposizione è fornita da Mathematica con il comando Transpose [=]. Grazie alla conoscenza di H si pò formare il tensore gradiente di deformazione Il tensore di deformazione finita D si ottiene tramite l espressione (5.b): e si esplicita: Il tensore di deformazione infinitesima E si ottiene troncando in D i termini speriori a qelli lineari nelle derivate di, ed è di segito fornito, anche con i simboli ingegneristici della deformazione, = = T ji, F I = + = + + ( ) ( ) + ( ) D F F-I + T T = = = = + = = d ij T ( ) ) + + = i j j i k i k j k i ij, = D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Solzioni s 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 4

108 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 4 4 j Capitolo 5 j Esercizi Solzioni s Il tensore delle rotazioni infinitesime W si ottiene tramite l espressione segente, esplicitata anche in termini di rotazioni intorno agli assi: E= = H = + T = ij sym + + = + = = i i i W= H= = antisym T ij = 0 = 0 = 0 0 = 0 0 Riposta Noto F: b. Si verifichi la condizione per l invertibilità J 5 det F.0. 5 F a 0 0 b F 5 I = b a a 0 b V Si calcola il determinante richiesto J 5 det =f() 5 det F. 0. c. Fnzioni invarianti di deformazione. Risposta Gli invarianti di deformazione si calcolano esplicitando le espressioni: I 5 TrE 5e ii 5e e e. I 5 (e iie jj e ij e ji ) 5e e e e e e e e e e e e I 5 dete 5e e e e e e e e e e e e e e e e e e e si ottiene come Det[E]. d. Con riferimento al pnto 5 [ ] T si calcoli:. Dilatazione in direzione e in direzione. Risposta Il versore dell asse è e 5 [0 0 ] T, pertanto va esplicitata l espressione del coefficiente di dilatazione n dl' = = + nt Dn dl per l asse. Si calcola dnqe la qantità: e De = 00 T T d d d d d d = che consente di dedrre il cercato coefficiente di dilatazione in deformazione finita d = + + In deformazione infinitesima il coefficiente si ottiene dalla relazione precedente, assmendo al posto di D il tensore E: in generale rispetto alla direzione n si ha e n 5 n T En, e per la direzione di si ottiene e 5 e T Ee 5e. Similmente si opera per la direzione. Si ottiene il ben noto risltato che le dilatazioni nelle direzioni degli assi sono fornite dalle rispettive componenti della diagonale principale del tensore di deformazione infinitesima E.. Spostamento dovto alla rotazione del segmento di direzione e lnghezza a. 0 0 d

109 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 4 Capitolo 5 j Esercizi j 4 Risposta In ambito infinitesimo lo spostamento di n pnto dell intorno di pò ottenersi tramite la relazione (5.4), la parte di spostamento dovta alla rotazione è qella R 5W(*), che per n pnto dell asse di ascissa a, fornisce: 0 a = + = = R W a W a 0 0 a. Coefficiente di variazione volmetrica. Risposta Il coefficiente di variazione volmetrica in deformazione finita vale: c= det( + I) = J facilmente calcolabile, avendo già valtato J. In deformazione infinitesima si ha = = + + = = + c Tr + E div 4. Invarianti di deformazione. Risposta Sono i valori che le fnzioni già calcolate per il qesito c) di sopra, assmono nel pnto. 5. Variazione di volme di n dominio costitito dalla parte di trave speriore al piano (, ). Risposta Il coefficiente calcolato in. va integrato al dominio volmetrico prescritto. 6. Variazione di volme dell intera trave. Risposta Il coefficiente calcolato in. va integrato al dominio volmetrico prescritto. 7. Scorrimento fra le direzioni (, ). Risposta Il cercato scorrimento (, ), in deformazione infinitesima è dato dal valore g, contento nell espressione di E. 8. L area del trasformato di n qadrato di lato cm di sperficie intorno a, appartenente al piano (, ). Risposta La formla di Nanson (AP5.) è: ds = dst ds = m mds = T T = J ( ds F ) [( F) ds] = = Jds( nf T ) [( FT) n] che poiché la normale alla detta sperficie è e 5 [0 0 ] T, si specifica ds = J( ef T ) [( FT) e] nella qale F è stato calcolato in. 9. Il coefficiente c s di variazione della sperficie di ci al qesito precedente. Risposta A segito della risposta al qesito precedente, si ottiene: c s = ds ds ds 0. Variazione di area di n qadrato di lato cm appartenente al piano 5 0, dovta alla deformazione. Risposta La valtazione già effettata in 8. e 9. Va qi ripetta per il versore normale e 5 [0 0] T, valtando ds e poi come già mostrato.. Si verifichi la prima eqazione di congrenza interna. Risposta Con riferimento alle fnzioni e, e, g, presenti nel tensore di deformazione infinitesima E, va verificato che rislta soddisfatta la: = +. Direzioni principali e deformazioni principali. Risposta Noto E, bisogna scrivere l eqazione caratteristica del problema di ato-valori [Eqazione (5.64)], le ci solzioni costitiscono i tre atovalori o deformazioni principali e I, e II, e III. Qesti valori, sostititi no alla volta nell eqazione di atovalori (E ei)? n 5 0, insieme alla condizione rigardante i versori n? n 5, permettono di determinare le tre direzioni principali di Solzioni s

110 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Esercizi Solzioni s deformazione (n I, n II, n III ). In alternativa, i codici di calcolo nmerico consentono, tramite i comandi Eigenvales [E] ed Eigenvectors [E], di calcolare atovalori e atovettori di E. 5. Qesto esercizio viene svolto segendo la procedra per l Esercizio 5.. Sia assegnato il campo 0.y 5 z 0.y 4 che costitisce lo spostamento di na trave IPE00 di lce L 5 00 cm, sollecitata in flessione retta con M 5 tm (Paragrafo 6.4). (E kg cm, I 5 94 cm 4, n50.). a. Si calcolino i tensori: gradiente di spostamento H, gradiente di deformazione F, deformazione finita D, deformazione infinitesima E 5 symh, rotazione infinitesima W 5 antisymh. b. Si verifichi la condizione per l invertibilità J 5 detf. 0. c. Fnzioni invarianti di deformazione. d. Con riferimento al pnto si calcoli: e. Dilatazioni lineari in direzione z e in direzione. f. Spostamento da rotazione del segmento di direzione y. g. Coefficiente di variazione volmetrica. h. Invarianti di deformazione. i. Variazione di volme della parte di trave speriore al piano (, z). j. Variazione di volme dell intera trave. k. Scorrimento fra le direzioni e y. l. L area del trasformato di n qadrato di lato cm di sperficie intorno a, appartenente alla sezione retta (z 5 L>) (Formla di Nanson: (AP5. ). m.il coefficiente c s di variazione della sperficie di ci al qesito precedente. Risposta c s n. Variazione di area di n qadrato di lato cm appartenente al piano y 5 0, dovta alla deformazione. yz cm 5 y 5 0cm z 50cm Risposta S s cm o. Si verifichi la prima eqazione di congrenza interna. p. Direzioni principali e deformazioni principali. 5. È assegnato il tensore di deformazione infinitesima: E 5 0 a. Lo stato di deformazione è piano? b. Determinare direzioni e deformazioni principali di E e l espressione del tensore nel riferimento principale. Risposta e I ; e II ; e III 50.00; c. Allngamento del segmento di lnghezza 0 mm disposto nella direzione n 5 >!, >!, >!4 T d. Determinare lo scorrimento fra le direzioni ortogonali r 5 >!, >!, 04 T s 5 >!, >!, 04 T e. Determinare gli invarianti della deformazione. f. Determinare la variazione volmetrica del cbo di lato cm. 5.4 Nel riferimento (,, ) è assegnato il tensore di sforzo di Cachy: T MPa a. Lo stato di sforzo è piano? b. Determinare tensioni e direzioni principali risolvendo il problema di atovalori. Risposta σ I = MPa σ II = 8.67 MPa σ III = MPa T ni = [,0,0] T nii = [0, , ] n = [0, , ] III T

111 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 45 Capitolo 5 j Esercizi j 45 c. Determinare tensioni e direzioni principali tilizzando il cerchio di Mohr (giacitre passanti per l asse ). d. Determinare l espressione del tensore nel riferimento (, 9, 9 ) che si ottiene rotando qello iniziale (,, ) di p>6 intorno all asse. Eqazioni della trasformazione: matrice di rotazione [Paragrafo 5.4.8, Eqazione (5.4)]). Risposta 0 0 R = T' = RTRT = MPa Nel riferimento (,, ) è assegnato il tensore di sforzo di Cachy: T MPa4 6 8 a. Lo stato di sforzo è piano? b. Determinare tensioni e direzioni principali risolvendo il problema di atovalori. Risposta I = MPa II = MPa III = 0 MPa ni = [ , , 0.4] T T nii = [-0.04, , 0.995] n = [ 0.447, , 0] T III c. Determinare l espressione del tensore nel riferimento principale, tilizzando la matrice di rotazione R e verificando in tal modo anche gli atovalori. Risposta R = d. Tracciare i cerchi principali di Mohr e l arbelo di Mohr. Determinare le massime tensioni tangenziali relative ai fasci di piani di sostegno e le direzioni principali. e. Determinare il vettore tensione di Cachy sl piano ottaedrale, avente normale scente n 5 c T ", ", " d Determinare le componenti normale e tangenziale della tensione sl piano ottaedrale. Risposta T t= T n= -5.0, , MPa = t n= MPa = pp = 6.89MPa f. Calcolare i tre invarianti di sforzo. Risposta I = 4MPa I = 445MPa I = 0 g. Effettare la decomposizione di T nella parte idrostatica e in qella deviatorica (5.49). Risposta Ti I = I= MPa D i T = T- T = MPa In n pnto della sezione rettangolare di na trave, è presente lo stato di sforzo T MPa4 8 0 riferito alla sale base baricentrica (G,, y, z). a. Verificare che lo stato di tensione sia piano. b. Si tracci il cerchio di Mohr dello stato di sforzo s z,t z 5 "t z t y determinando le direzioni e le tensioni principali non nlle. c. Tramite il cerchio di Mohr si determinino le giacitre slle qali si hanno tensioni tangenziali massime (in valore assolto) e i loro valori. d. Determinare il piano scarico. e. Determinare i cerchi di Mohr principali e l arbelo di Mohr. Solzioni s

112 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina j Capitolo 5 j Esercizi Solzioni s f. Scomposizione di T nella parte idrostatica e in qella deviatorica (5.49). g. Determinare la massima componente principale deviatorica. 5.7 Sia assegnato il campo ny 5 z ny 4 yz che nell sale base baricentrica (G,, y, z) costitisce lo spostamento di na trave a sezione rettangolare, omogenea di materiale isotropo, avente lce L 5 50 cm, sollecitata in flessione retta niforme dovta a de coppie } gali e opposte applicate alle de basi, che generano il momento flettente costante M tm [Eqazione (6.4)]. a. Si calcolino i tensori: gradiente di spostamento H, gradiente di deformazione F, deformazione finita D, deformazione infinitesima E 5 symh, rotazione infinitesima W 5 antisymh. b. Si calcoli lo stato di sollecitazione tramite le relazioni di Hooke. c. Si calcoli la rotazione relativa fra le sezioni di estremità tilizzando il Teorema di Clapeyron. Riposta Integrazione dell energia di deformazione = z z all intera trave. d. Con riferimento al pnto 5 y 5 5cm 5cm 0cm 5 M EI z si calcoli:. Tensori E, T.. Si piani che si appoggiano all asse per il pnto parallelo a qello, sono presenti tensioni tangenziali? Se sì, qale è il valore della t massima e s qale giacitra agisce? Operare con il cerchio di Mohr.. Dilatazioni lineari in direzione z e in direzione. 4. Rotazione del segmento di direzione y. 5. Coefficiente di variazione volmetrica. 6. Invarianti di deformazione e di tensione. 7. Scomposizione del tensore di sforzo nella parte volmetrica e in qella deviatorica. 8. Scorrimento fra le direzioni e y. 9. L area del trasformato di n qadrato di lato cm di sperficie intorno a, appartenente alla sezione retta [formla di Nanson: (AP5.)]. 0. Il coefficiente c s di variazione della sperficie di ci al qesito precedente (AP5.).. Variazione di area di n qadrato di lato cm appartenente al piano 5 0, dovta alla deformazione.. Si verifichi la prima eqazione di congrenza interna.. Direzioni principali di deformazione e di sforzo. Atovalori di deformazione e di sforzo. e. Variazione di volme della parte di trave speriore al piano (, z). f. Variazione di volme dell intera trave. 5.8 La trave di allminio (E 5 80 GPa, n 5 0.) a sezione di corona circolare con R i 5 0 cm, R e 5 5 cm, e lnghezza L 5 m, presenta il campo di spostamento: 5 c yz d 5q9c v z d che nell sale base baricentrica (G,, y, z) rappresenta lo spostamento dovto a torsione, di momento torcente M z 5 tm. a. Si determini il tensore di deformazione, poi qello di sforzo tramite le relazioni di Hooke. b. Si determini l angolo specifico di torsione, particolarizzando il campo. c. Si determini la rigidezza torsionale k T della trave. d. Si determini la rotazione torsionale relativa fra le de basi, tilizzando il Principio dei Lavori Virtali: sistema forze costitito dalla stessa trave caricata da de coppie torcenti nitarie atoeqlibranti slle de basi, sistema spostamenti costitito dalla trave in stdio. Si integri il lavoro interno t9 g a ttta la trave. e. Con riferimento al pnto 5 yz4 T 5.5, 0.0, 004 T cm si calcoli:. Tensori E, T.. Direzioni principali di deformazione e di sforzo. Atovalori di deformazione e di sforzo.. Si piani che si appoggiano all asse per il pnto parallelo a qello, sono presenti tensioni normali? Se sì, qali sono i valori delle

113 05ttI_NUNZIANTE_00 0/07/ :5 Pagina 47 Capitolo 5 j Esercizi j 47 s massima e minima e s qali giacitre agiscono? Operare con il cerchio di Mohr. 4. Dilatazioni lineari in direzione z, in direzione e y. 5. Rotazione del segmento di direzione y. 6. Coefficiente di variazione volmetrica. 7. Invarianti di deformazione e di tensione. 8. Scomposizione del tensore di sforzo nella parte volmetrica e in qella deviatorica. 9. Scorrimento fra le direzioni e y. 0. L area del trasformato di n qadrato di lato cm di sperficie intorno a, appartenente alla sezione retta [Formla di Nanson: (AP5.)].. Il coefficiente c s di variazione della sperficie di ci al qesito precedente (AP5.).. Variazione di area di n qadrato di lato cm appartenente al piano 5 0, dovta alla deformazione.. Si verifichi la prima eqazione di congrenza interna f. Variazione di volme della parte di trave speriore al piano (, z). g. Variazione di volme dell intera trave. 5.9 Costrire il cerchio di Mohr per lo stato di tensione definito dalle segenti componenti non nlle: s 5 50 MPa, s 550 MPa, t 5 80MPa Si determinino tensioni principali e direzioni principali. 5.0 Un parallelepipedo che nel riferimento cartesiano (G,,, ) ha le dimensioni l 5 50 cm, l 5 70 cm, l 5 60 cm, è costitito da materiale ortotropo omogeneo linearmente elastico avente le segenti costanti elastiche: E 5 0GPa, E 5 GPa, E 5 0.8GPa, G 5 GPa, G 5.8GPa, G 5 0.6GPa, n 5 0.0, n 5 0.5, n 5 0. Il parallelepipedo è caricato slle de facce parallele al piano (, ) da distribzioni niformi di forze sperficiali di compressione di valore f 550 Ncm e slle de facce parallele al piano (, ) da distribzioni niformi di forze sperficiali di trazione di valore f 50 Ncm. a. Si determini il tensore di sforzo niforme T. b. A mezzo delle relazioni inverse di elasticità e (5.6)-(5.7) si determini il tensore di deformazione infinitesima E. c. Tramite integrazioni si determini il campo di spostamento rispettoso di condizioni omogenee nel baricentro G del rettangolo di base iniziale. d. In n pnto qalsiasi si determini:. Direzioni principali di deformazione.. Direzioni principali di sforzo.. Atovalori di deformazione e di sforzo. 4. Si piani che si appoggiano all asse per il pnto parallelo a qello, sono presenti tensioni tangenziali? Se sì, qal è il valore della t massima e s qale giacitra agisce? Operare con il cerchio di Mohr. 5. Dilatazioni lineari in direzione, in direzione e. 6. Rotazione di n segmento di direzione. 7. Coefficiente di variazione volmetrica. 8. Variazione di volme dell intero parallelepipedo. 9. Invarianti di deformazione e di tensione. 0. Scomposizione del tensore di sforzo nella parte volmetrica e in qella deviatorica.. Scorrimento fra le direzioni e.. L area del trasformato di n qadrato di lato cm di sperficie appartenente al piano (, ) [Formla di Nanson: (AP5.)].. Il coefficiente c s di variazione della sperficie (AP5.) di ci al qesito precedente. Solzioni s

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