Informatica (A-K) 3. Aritmetica del Computer

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1 Esempi - 1 Informatica (A-K) 3. Aritmetica del Computer Corso di Laurea in Ingegneria Civile & Ambientale A.A Semestre Prof. Giovanni Pascoschi In qualsiasi base, l essere il sistema di numerazione posizionale impone che combinazioni diverse di cifre uguali rappresentino numeri diversi; ad esempio: (319) 10 (193) 10 (152) 6 (512) 6, infatti... (152) 6 = = =(68) 10 (512) 6 = = =(188) 10 Numeri che hanno identica rappresentazione, in basi diverse, hanno valori diversi: (234) 10 (234) 8, infatti... (234) 8 = = = = (156) 10 Osservazione: più piccola è la base, minore è il valore del numero rappresentato dalla stessa sequenza di cifre a cura di Pascoschi Giovanni 2 Esempi - 2 Esempi - 3 La notazione posizionale si applica anche per il calcolo del valore dei numeri frazionari, infatti... (0,872) 10 = = 8/10 + 7/ /1000 = 0,8 + 0,07 + 0,002 Quante cifre occorreranno per rappresentare il numero decimale 36 in base 2? Sappiamo che con n cifre si rappresentano i numeri da 0 a 2 n 1, quindi... per n=1 (con una cifra) si rappresentano ,1 per n=2: per n=3: per n=4: per n=5: per n=6: Effettivamente possiamo verificare che (100100) 2 =(36) 10, infatti = = = 36 con 6 cifre necessarie per la codifica del numero in base 2 Quesito: Per quale base B risulterà vera l uguaglianza = 102? Se i numeri sono rappresentati in base B, sappiamo che: (17) B = 1 B 1 +7 B 0 = B+7 (41) B = 4 B 1 +1 B 0 = 4B+1 (22) B = 2 B 1 +2 B 0 = 2B+2 (102) B = 1 B 2 +0 B 1 +2 B 0 = B 2 +2 da cui... B+7+4B+1+2B+2 = 7B+10 = B 2 +2 Si ottiene un equazione di 2 grado: B 2 7B 8 = 0 Risolvendo: Δ = = 81 B = (7 ± Δ)/2 = (7+9)/2 = 8 È la soluzione! (7 9)/2 = 1 Non può essere una base a cura di Pascoschi Giovanni 3 a cura di Pascoschi Giovanni 4

2 Rappresentazione dei numeri in un computer Rappresentazione dei numeri in un computer Numeri interi positivi I numeri interi positivi sono rappresentati all interno dell elaboratore utilizzando un multiplo del byte (generalmente 8 byte) Se l intero si rappresenta con un numero di cifre minore, vengono aggiunti zeri nelle cifre più significative Esempio: 12 viene rappresentato in un byte come Numeri con segno Per rappresentare numeri con segno, occorre utilizzare un bit per definire il segno del numero Si possono usare tre tecniche di codifica Modulo e segno Complemento a 2 Complemento a 1 a cura di Pascoschi Giovanni 5 a cura di Pascoschi Giovanni 6 Modulo e segno Complemento a 2 Il bit più significativo rappresenta il segno: 0 per i numeri positivi, 1 per quelli negativi Esiste uno zero positivo (00 0) e uno zero negativo (10 0) Se si utilizzano n bit si rappresentano tutti i numeri compresi fra (2 n 1 1) e +2 n 1 1 Esempio: con 4 bit si rappresentano i numeri fra 7 ( (2 3 1)) e +7 (2 3 1) positivi negativi Il complemento a 2 di un numero binario (N) 2 a n cifre è il numero 2 n (N) 2 = 10 0 (N) 2 Il complemento a 2 si calcola { Effettuando il complemento a 1 del numero di partenza (negazione di ogni cifra): si trasforma ogni 0 in 1 e ogni 1 in 0 Aggiungendo 1 al numero ottenuto n zeri Oppure: a partire da destra, lasciando invariate tutte le cifre fino al primo 1 compreso, quindi invertendo il valore delle rimanenti complemento a N N N+1 a cura di Pascoschi Giovanni 7 a cura di Pascoschi Giovanni 8

3 Interi in complemento a 2 Interi a 16 bit I numeri positivi sono rappresentati (come) in modulo e segno I numeri negativi sono rappresentati in complemento a 2 la cifra più significativa ha sempre valore 1 Lo zero è rappresentato come numero positivo (con una sequenza di n zeri) Il campo dei numeri rappresentabili varia da 2 n 1 a +2 n 1 1 Esempio: numeri a 4 cifre Nota: Numeri interi rappresentati su 16 bit in complemento a 2: Il numero intero positivo più grande è =(32767) x 7 F F F Il numero intero negativo più piccolo è 2 15 =( 32768) x Il numero intero 1 è rappresentato come x F F F F a cura di Pascoschi Giovanni 9 a cura di Pascoschi Giovanni 10 Addizione in binario Sottrazione in binario 1 Le regole per l addizione di due bit sono = = = = 0 con riporto di 1 L ultima regola è (1) 2 +(1) 2 = (10) 2 (1+1=2) 10!! Esempio = riporti = 181 Le regole per la sottrazione di due bit sono Esempio = = 1 1 1= = 1 con prestito di 1 dalla cifra precedente a sinistra = = 20 La sottrazione può divenire complicata: quando si ha una richiesta sulla cifra precedente a sinistra, che è uno 0, l operazione si propaga a sinistra fino alla prima cifra ad 1 del sottraendo a cura di Pascoschi Giovanni 11 a cura di Pascoschi Giovanni 12

4 Sottrazione in binario 2 Rappresentazioni in complemento Utilizzando la rappresentazione in complemento a 2, addizione e sottrazione sono trattate come un unica operazione N 1 N 2 = N 1 +(2 n N 2 ) 2 n { complemento a 2 di N 2 : rappresentazione di ( N 2 ) Si calcola il complemento a 2 di N 2 Si somma N 1 con il complemento a 2 di N 2 Si trascura il bit più significativo del risultato Esempio: (010001) 2 (000101) 2 = (17) 10 (5) (12) 10 si trascura il bit n +1 Sono utili perché l operazione di somma algebrica può essere realizzata non curandosi del bit di segno In complemento a 1 (più semplice da calcolare) Zero ha due rappresentazioni: e La somma bit a bit funziona quasi sempre non utile (6) = ( 10) ( 4) In complemento a 2 Zero ha una sola rappresentazione La somma bit a bit funziona sempre ( 6) = ( 5) ( 12) a cura di Pascoschi Giovanni 13 a cura di Pascoschi Giovanni 14 Overflow Moltiplicazione binaria L overflow si ha quando il risultato di un operazione non è rappresentabile correttamente con n bit Esempio: 5 bit [ 16,+15] = = = = Per evitare l overflow occorre aumentare il numero di bit utilizzati per rappresentare gli operandi +14 Le regole per la moltiplicazione di due bit sono Esempio 0 0 = = = = Moltiplicare per 2 n corrisponde ad aggiungere n zeri in coda al moltiplicando = = 2 4 a cura di Pascoschi Giovanni 15 a cura di Pascoschi Giovanni 16

5 Divisione binaria Numeri in virgola mobile La divisione binaria di A per B viene calcolata in modo analogo alla divisione decimale, così da ottenere un quoziente Q ed un resto R, tali che A = B Q + R La divisione binaria si compone di una serie di sottrazioni ( ^ ^^ = Dividere per 2 n equivale a scorrere il numero a destra di n posizioni; le cifre scartate costituiscono il resto : = 11 con resto 11 51:16 = 3 con resto 3 La rappresentazione dei numeri in virgola mobile è in relazione con la notazione scientifica (es =120) La IEEE 754 ha previsto uno standard per la rappresentazione in virgola mobile singola precisione (32 bit = 4 byte) doppia precisione (64 bit = 8 byte) quadrupla precisione (128 bit = 16 byte) Singola precisione bit 23 bit Il valore è Segno Esponente (o Caratteristica) ( 1) S 1.M 2 E 127 se E 0 Mantissa Eccesso: vale 2 t 1 1, se t è il numero di cifre riservate alla caratteristica rappresentazione interna dell esponente sempre positiva a cura di Pascoschi Giovanni 17 a cura di Pascoschi Giovanni 18 Esempio : Numeri in virgola mobile Aritmetica floating-point : addizione -1234,567 binario IEEE bit nascosto 0,567, , ,1001 -> 1, * mantissa caratteristica 1 segno Metodo per il calcolo dell addizione 1. Se le caratteristiche dei numeri sono diverse, si considera il numero con caratteristica minore e 1.1 Si trasla la mantissa di un posto a destra 1.2 Si incrementa la caratteristica di 1, fino a quando le due caratteristiche sono uguali, e corrispondono alla caratteristica del risultato 2. La mantissa del risultato è ottenuta dalla somma delle due mantisse 3. Se l addizione comporta un riporto oltre la cifra più significativa, si trasla la mantissa del risultato a destra di un posto, il riporto nel bit più significativo, e si incrementa la caratteristica di 1 a cura di Pascoschi Giovanni 19 a cura di Pascoschi Giovanni 20

6 Esempio di addizione Esempio di addizione 3,25 + 1,125 = 4,375 binario 3,25 11,0100 1,1010 * 2 1 esponente 101 1,125 1,0010 1,0010 * 2 0 esponente 100 su 8 bit (1 segno, 3 caratteristica, 4 mantissa) caratteristica eccesso 4 1,0010 * 2 0 0,1001 * 2 1 Supponiamo che per la rappresentazione floating point vengano utilizzati otto bit, di cui uno per il segno, tre per la caratteristica e quattro per la mantissa La caratteristica del secondo operando è più piccola di una unità, quindi la mantissa deve scorrere di una posizione a destra La caratteristica del risultato è 110 e la mantissa è = 10011; la caratteristica deve essere aumentata di 1 e portata a 110, la mantissa del risultato traslata a destra di una posizione 0001: Codifica il numero 4,25 (dato che la caratteristica si rappresenta in eccesso a 4), ma il risultato corretto è 4.375: errore di troncamento a cura di Pascoschi Giovanni 21 a cura di Pascoschi Giovanni 22 L aritmetica floating-point : moltiplicazione Aritmetica degli elaboratori - 1 Metodo per il calcolo della moltiplicazione 1. Si moltiplicano le due mantisse 2. Si addizionano le due caratteristiche 3. Si trasla a sinistra il prodotto delle due mantisse fino ad ottenere un 1 come cifra più significativa; si diminuisce la caratteristica di 1 per ogni traslazione eseguita 4. Si tronca la mantissa al numero di bit utilizzati nella rappresentazione; la mantissa del prodotto è il risultato del troncamento 5. Si sottrae l eccesso alla somma delle caratteristiche, ottenendo la caratteristica del prodotto L aritmetica interna degli elaboratori differisce notevolmente dall aritmetica classica Sebbene le stesse operazioni possano essere realizzate secondo modalità diverse su elaboratori diversi, si riscontrano alcune caratteristiche comuni: Rappresentazione binaria dei numeri Rango finito dei numeri rappresentabili intervallo finito Precisione finita dei numeri Operazioni espresse in termini di operazioni più semplici a cura di Pascoschi Giovanni 23 a cura di Pascoschi Giovanni 24

7 Aritmetica degli elaboratori - 2 Aritmetica degli elaboratori - 3 Rango finito dei numeri rappresentabili Qualunque sia la codifica utilizzata, esistono sempre il più grande ed il più piccolo numero rappresentabile I limiti inferiore e superiore del rango di rappresentazione dipendono sia dal tipo di codifica, sia dal numero di bit utilizzati Se il risultato di un operazione non appartiene al rango dei numeri rappresentabili, si dice che si è verificato un overflow (un underflow, più precisamente, se il risultato è più piccolo del più piccolo numero rappresentabile 0) Precisione finita dei numeri La precisione della rappresentazione di un numero frazionario è una misura di quanto essa corrisponda al numero che deve essere rappresentato Negli elaboratori, i numeri frazionari sono rappresentati in virgola mobile (floating point), utilizzando un numero finito di bit È plausibile che un numero reale non ammetta una rappresentazione finita, quindi dovrà essere codificato in maniera approssimata Negli elaboratori si rappresentano soltanto numeri razionali (fino ad una data precisione) a cura di Pascoschi Giovanni 25 a cura di Pascoschi Giovanni 26 Aritmetica degli elaboratori - 4 Codifica dei caratteri alfabetici - 1 Operazioni espresse in termini di operazioni più semplici La maggior parte degli elaboratori non possiede circuiti in grado di eseguire direttamente tutte le operazioni: La sottrazione si realizza per mezzo di una complementazione e di un addizione La moltiplicazione si realizza per mezzo di una successione di addizioni e di shift (traslazioni) La divisione si realizza per mezzo di una successione di shift e sottrazioni Le operazioni più semplici sono eseguite direttamente da appositi circuiti (in hardware); le operazioni più complesse sono realizzate mediante l esecuzione di successioni di operazioni più semplici, sotto il controllo di programmi appositamente realizzati, e generalmente memorizzati permanentemente (in firmware) Oltre ai numeri, molte applicazioni informatiche elaborano caratteri (simboli) Gli elaboratori elettronici trattano numeri Si codificano i caratteri e i simboli per mezzo di numeri Per poter scambiare dati (testi) in modo corretto, occorre definire uno standard di codifica A $ a cura di Pascoschi Giovanni 27 a cura di Pascoschi Giovanni 28

8 Codifica dei caratteri alfabetici - 2 Codifica ASCII Quando si scambiano dati, deve essere noto il tipo di codifica utilizzato La codifica deve prevedere le lettere dell alfabeto, le cifre numeriche, i simboli, la punteggiatura, i caratteri speciali per certe lingue (æ, ã, ë, è, ) Lo standard di codifica più diffuso è il codice ASCII, per American Standard Code for Information Interchange Definisce una tabella di corrispondenza fra ciascun carattere e un codice a 7 bit (128 caratteri) I caratteri, in genere, sono rappresentati con 1 byte (8 bit); i caratteri con il bit più significativo a 1 (quelli con codice dal 128 al 255) rappresentano un estensione della codifica La tabella comprende sia caratteri di controllo (codici da 0 a 31) che caratteri stampabili I caratteri alfabetici/numerici hanno codici ordinati secondo l ordine alfabetico/numerico cifre A 65 B 66. Y 89 Z 90 a 97 b 98. y 121 z 122 maiuscole minuscole a cura di Pascoschi Giovanni 29 a cura di Pascoschi Giovanni 30 Caratteri di controllo ASCII Caratteri stampabili I caratteri di controllo (codice da 0 a 31) hanno funzioni speciali Si ottengono o con tasti specifici o con una sequenza Ctrl+carattere Ctrl Dec Hex Code Nota ^@ 0 0 NULL carattere nullo ^A 1 1 SOH partenza blocco ^G 7 7 BEL beep ^H 8 8 BS backspace ^I 9 9 HT tabulazione orizzontale ^J 10 A LF line feed (cambio linea) ^K 11 B VT tabulazione verticale ^L 12 C FF form feed (alim. carta) ^M 13 D CR carriage return (a capo) ^Z 26 1A EOF fine file ^[ 27 1 B ESC escape ^_ 31 1F US separatore di unità Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr SPACE P ` p 33 21! A Q a q B R b r # C S c s $ D T d t % E U e u & F V f v G W g w ( H X h x ) I Y i y 42 2A * 58 3A : 74 4A J 90 5A Z 106 6A j 122 7A z 43 2B B ; 75 4B K 91 5B [ 107 6B k 123 7B { 44 2C, 60 3C < 76 4C L 92 5C \ 108 6C l 124 7C 45 2D D = 77 4D M 93 5D ] 109 6D m 125 7D } 46 2E. 62 3E > 78 4E N 94 5E ^ 110 6E n 126 7E ~ 47 2F / 63 3F? 79 4F O 95 5F _ 111 6F o 127 7F DEL Nota: il valore numerico di una cifra può essere calcolato come differenza del suo codice ASCII rispetto al codice ASCII della cifra 0 (es. 5 0 = = 5) a cura di Pascoschi Giovanni 31 a cura di Pascoschi Giovanni 32

9 Tabella ASCII estesa Codifica UNICODE I codici oltre il 127 non sono compresi nello standard originario E per gli altri simboli di tutte le lingue del mondo come si fa? estensione della codifica ASCII UNICODE che utilizza 2 byte simboli a cura di Pascoschi Giovanni 33 a cura di Pascoschi Giovanni 34 La codifica delle immagini - 1 La codifica delle immagini - 2 Le immagini vengono anch esse codificate come una sequenza di bit: il processo di traduzione da un immagine ad una sequenza binaria prende il nome di digitalizzazione L immagine è suddivisa in punti o pixel (per picture element ) e ciascun punto viene codificato con un numero, che corrisponde ad un colore o ad un particolare tono di grigio Si utilizzano un numero di colori o di sfumature che sia una potenza del 2, in modo da codificare l informazione legata a ciascun pixel con un opportuno numero di bit Le immagini vengono memorizzate come lunghe sequenze di bit: per interpretarle è necessario conoscere......le dimensioni dell immagine (base ed altezza in numero di pixel), detta anche risoluzione...il numero di colori (o toni di grigio) disponibili per ogni pixel Se un immagine viene codificata ad una data risoluzione, potrà comunque essere presentata su un dispositivo a più bassa risoluzione, a patto di ignorare parte dell informazione a cura di Pascoschi Giovanni 35 a cura di Pascoschi Giovanni 36

10 La codifica delle immagini - 3 La codifica delle immagini - 4 Come è avvenuto per i caratteri, anche per le immagini sono stati definiti standard di codifica, che assicurano la compatibilità fra sistemi diversi, per quanto concerne la trasmissione e la visualizzazione delle immagini TIFF Tagged Image File Format JPEG PNG Portable Network Graphics Per ridurre lo spazio necessario per memorizzare le immagini si utilizzano tecniche di compressione (utili anche per la trasmissione su rete Internet) Le tecniche di compressione si dividono in Tecniche lossless: non provocano perdita di informazione, sono adatte a codificare immagini in cui sono presenti ampie aree monocromatiche si codificano in maniera compatta insiemi di pixel aventi le stesse caratteristiche Tecniche lossly: provocano perdita di informazione, facendo decadere la qualità dell immagine Normalmente ai formati JPEG e PNG, molto diffusi per lo scambio di immagini su Internet, si applicano metodi di compressione lossly a cura di Pascoschi Giovanni 37 a cura di Pascoschi Giovanni 38 Sommario della lezione Fine della lezione Aritmetica del computer Rappresentazione dei numeri all interno del computer Operazioni aritmetiche nel computer Codifica delle informazioni all interno del computer Domande? a cura di Pascoschi Giovanni 39 a cura di Pascoschi Giovanni 40

11 Esercizi per casa Esercizi per casa Esercizio 1 Assumendo che un elaboratore rappresenti i numeri interi con segno su quattro bit in complemento a 2, si calcolino entrambi i membri della seguente identità: (A C) C)+B = (A+B) B) C, con A=7, B=5, C=7. Si ottiene lo stesso risultato dal calcolo dei due membri? Discutere le motivazioni della risposta. Esercizio 2 Si determini, se esiste, la base b di un sistema di numerazione tale che (842) b = (1202) 10 Si determini, se esiste, la base b 16 di un sistema di numerazione tale che (725) b (626) b = (224) 10 Esercizio 3 Rappresentare in singola precisione (32 bit secondo lo standard IEEE 754) i seguenti numeri reali: +567, , ,09678 Esercizio 4 Addizionare in complemento a 2, dopo averli convertiti in binario, i seguenti numeri decimali: a cura di Pascoschi Giovanni 41 a cura di Pascoschi Giovanni 42