Elaborazione nel dominio della frequenza Soluzioni

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1 Elaborazione dei Segnali Multimediali a.a. 2009/2010 Elaborazione nel dominio della frequenza Soluzioni 1 La trasformata discreta 1D Calcoliamo lo spettro di x(n) = R L (n) al variare di L = 2, 10, 20, 30 attraverso interpolazione lineare dei campioni della DFT: L = [ ]; N = 500; for i=1:4, x = boxcar(l(i)); X=fft(x,N); v = [-1/2:(1/N):1/2-1/N]; X = fftshift(x); plot(v,abs(x)); title(sprintf( Lunghezza della finestra pari a %d,l(i))); pause; end Potete facilmente notare come all aumentare della lunghezza della finestra rettangolare il lobo principale si stringe, coerentemente col fatto che più il segnale varia lentamente più lo spettro di ampiezza risulta essere concentrato intorno all origine, ovvero le componenti frequenziali rilevanti che compongono il segnale sono quelle relative alle basse frequenze. Viceversa se un segnale varia velocemente ci sarà un contributo non trascurabile alle alte frequenze. Ripetiamo adesso l esperimento con il segnale x(n) = ( 1) n R L (n) fissando L = 10 e confrontando gli spettri: L = 10; N = 500; n = [0:L-1]; x = boxcar(l); X = fftshift(fft(x,n)); y = x.*((-1).^n); Y = fftshift(fft(y,n)); v = [-1/2:(1/N):1/2-1/N]; subplot(211); plot(v,abs(x)); title( impulso rettangolare ); subplot(212); plot(v,abs(y)); title( impulso rettangolare alternato ); Confrontando i due spettri di ampiezza si può concludere che risultano identici eccetto che per una traslazione di 1/2, in particolare lo spettro dell impulso rettangolare è concentrato intorno all origine (comportamento 1

2 La trasformata discreta 2D 2 passabasso) mentre quello dell impulso rettangolare alternato intorno a ±1/2 (comportamento passaalto). Ciò si spiega notando che risulta: y(n) = ( 1) n x(n) = e jπn x(n) Dal momento che ad un prodotto nel tempo per e j2πν 0n corrisponde la traslazione dello spettro proprio in ν 0, si può concludere che cambiare il segno dei coefficienti di posto dispari di un segnale è un operazione che permette di traslare lo spettro di 1/2 e quindi per esempio può essere usata per trasformare un filtro passabasso in un passaalto. 2 La trasformata discreta 2D 1. Importanza dello spettro di fase. Di seguito si presenta il codice per visualizzare modulo e fase di un immagine usando le funzioni matlab fft2 e ifft2: close all; clear all; clc; x = double(imread( Fig0427(a).tif )); X = fft2(x); Xf = fftshift(x); figure(1); Z = log(1+abs(xf)); % enhancement per visualizzazione subplot(121); imagesc(z);axis off; colormap(gray(256)); axis image; title( Spettro di ampiezza ); subplot(122); imagesc(angle(xf)); axis off; colormap(gray(256)); axis image; title( Spettro di fase ); Proviamo adesso a ricostruire un immagine con la sola informazione di ampiezza o con la sola informazione di fase: ym = real(ifft2(abs(x))); % ricostruzione solo modulo yf = real(ifft2(exp(i*angle(x)))); % ricostruzione solo fase figure(2); z = log(ym-min(ym(:))+1); % enhancement per la visualizzazione subplot(121); imagesc(z); axis off; colormap(gray(256)); axis image; title( Ricostruzione spettro di ampiezza ); subplot(122); imagesc(yf); axis off; colormap(gray(256)); axis image; title( Ricostruzione spettro di fase ); Infine, proviamo a scambiare spettri di ampiezza e fase di due immagini: close all; clear all; clc; x1 = double(imread( Fig0427(a).tif )); x2 = double(imread( Fig4.03(a).jpg )); X1 = fft2(x1); X2 = fft2(x2);

3 La trasformata discreta 2D 3 y = real(ifft2(abs(x2).*exp(i*angle(x1)))); figure(1); imagesc(y); axis off; colormap(gray(256)); axis image; title( Modulo rettangolo, Fase volto ) y = real(ifft2(abs(x1).*exp(i*angle(x2)))); figure(2); imagesc(y); axis off; colormap(gray(256)); axis image; title( Modulo volto, Fase rettangolo ) 2. Risposta in frequenza dei filtri. Visualizziamo la risposta in frequenza del filtro media aritmetica per k = 5, 10, 15. P=500; Q=500; dv1=1/p; dv2=1/q; n=-1/2:dv2:1/2-dv2; m=-1/2:dv1:1/2-dv1; for i=5:5:15, h = fspecial( average,[i i]); H=fft2(h,P,Q); H=abs(fftshift(H)); figure(1); mesh(k,l,h); figure(2); freqz2(h,500,500); pause; close all; end % verifica La trasformata discreta di Fourier può anche essere implementata facilmente tramite prodotto matriciale, grazie al fatto che è una trasformata separabile, nel seguente modo: function X = dft2d(x); x = double(x); n = [0:N-1]; k = [0:N-1]; WN = exp(-j*2*pi*k *n/n); m = [0:M-1]; l = [0:M-1]; WM = exp(-j*2*pi*l *m/m); X = WM*x*WN; X = fftshift(x); figure; imagesc(log(1+abs(x))); axis image; title( Spettro di ampiezza );

4 Progetto dei filtri in frequenza 4 Questa funzione fornisce lo stesso risultato di fft2, solo che quest ultima presenta tempi di esecuzione molto più rapidi, grazie all implementazione mediante algoritmi veloci (Fast Fourier Transform). Confrontate i tempi con i comandi tic e toc. 3 Progetto dei filtri in frequenza 1. Testo a bassa risoluzione. Usiamo il filtro passa-basso gaussiano per migliorare un testo a bassa risoluzione: clear all; close all; clc; x = double(imread( Fig4.19(a).jpg )); [M,N] = size(x); P = M; Q = N; D = sqrt(k.^2+l.^2); s = [ ]; for i=1:3, H = exp(-d.^2/(2*s(i)^2)); % filtro gaussiano X = fftshift(fft2(x)); Y = H.*X; y=real(ifft2(fftshift(y),m,n)); figure; imagesc(y); colormap(gray(256)); axis image; axis off; title(sprintf( Filtraggio gaussiano con sigma = %0.5g,s(i))) end 2. Impronta digitale. Vediamo come sia possibile usare un filtro passa-alto seguito da thresholding per ridurre le macchie ed evidenziare le creste che caratterizzano un impronta digitale: clear all; close all; clc; x = double(imread( Fig0457(a).tif )); figure; image(x); colormap(gray(256)); axis image; axis off; title( immagine originale ); P = M; Q = N; D = sqrt(k.^2+l.^2); sigma = 0.02; H = 1-1./(1+(D/sigma).^8); % filtro di Butterworth

5 Progetto dei filtri in frequenza 5 X = fftshift(fft2(x)); Y = H.*X; y = real(ifft2(fftshift(y),m,n)); figure; imagesc(y); colormap(gray(256)); axis image; axis off; title( immagine filtrata ); y(y<0) = 0; y(y>0) = 255; figure; image(y); colormap(gray(2)); axis image; axis off; title( risultato del thresholding ); 3. Filtraggio di rumore periodico. Per eliminare un rumore sinusoidale in un immagine basta progettare un filtro notch che elimini solo la porzione dello spettro intorno cui è localizzata la sinusoide: clear all; close all; clc; x = double(imread( lena.jpg )); figure; imshow(x,[]); title( immagine originale ); [n m] = meshgrid(1:n,1:m); noise = 150*sin(2*pi*(0.25*n *m)); w = x + noise; figure; imshow(w,[]); title( immagine rumorosa ); W = fftshift(fft2(w)); figure; mesh(k,l,log(1+abs(w))); title( Trasformata di Fourier immagine rumorosa ); % Definizione del filtro mu_0 = 0.25; nu_0 = 0.25; B = 0.005; D = sqrt((k-mu_0).^2+(l-nu_0).^2); H1 = (D <= B); D = sqrt((k+mu_0).^2+(l+nu_0).^2); H2 = (D <= B); H = 1-H1-H2; figure; mesh(k,l,double(h)); title( Riposta in frequenza del filtro ); Y = W.*H; figure; mesh(k,l,log(1+abs(y))); title( Trasformata di Fourier immagine filtrata ); y = real(ifft2(fftshift(y))); figure; imshow(y,[]); title( Immagine filtrata );

6 Progetto dei filtri in frequenza 6 Notate che teoricamente la sinusoide dovrebbe essere rappresentata da due impulsi in frequenza. Nella pratica non abbiamo degli impulsi ideali, bensì due sinc. Questo è dovuto al fatto che il rumore sinusoidale aggiunto è limitato all immagine, cioè risulta troncato nello spazio lungo le due direzioni attraverso una finestra rettangolare bidimensionale. Il prodotto tra la sinusoide e la finestra in frequenza è la convoluzione tra i due impulsi e la sinc bidimensionale(trasformata dell impulso rettangolare), quindi due sinc localizzate proprio alle frequenze specificate dalla sinusoide. 4. Filtraggio notch. Questo problema richiede un po di attenzione, infatti prima di procedere nel progetto del filtro è necessario analizzare attentamente sia l immagine rumorosa che la sua trasformata di Fourier: x = double(imread( Fig0465(a).tif )); figure; imshow(x,[]); title( immagine originale ); X = fftshift(fft2(x)); figure; imagesc(log(1+abs(x))); title( Trasformata di Fourier immagine rumorosa ); In effetti dall immagine si può notare come il fastidio si presenta con delle righe orizzontali, ovvero la sinusoide varia proprio lungo l asse verticale così come si può osservare dai picchi di energia presenti proprio lungo l asse verticale vicino all origine. Per eliminare questo contributo si può progettare un filtro rettangolare molto stretto che (conservando i valori intorno all origine che corrispondono al contenuto frequenziale rilevante del segnale) sia diretto proprio lungo l asse verticale. % Definizione del filtro B = 0.004; H1 = (-B <= l) & (l <= B); H2 = (-0.02 <= k) & (k <= 0.02); H = 1-H1+H2.*H1; figure; imagesc(double(h)); colormap(gray(3)); axis off; title( Riposta in frequenza del filtro ); Y = X.*H; figure; imagesc(log(1+abs(y))); title( Trasformata di Fourier immagine filtrata ); y = real(ifft2(fftshift(y))); figure; imshow(y,[]); title( Immagine filtrata ); noise = y - x; figure; imshow(noise,[]); title( Rumore eliminato ); Un ultima considerazione. Nel progettare un filtro non esiste una regola fissa, il tipo di problema guida la scelta dl filtro, e tale scelta non è detto che sia l unica possibile.