MORAL HAZARD. L assenza in senso stretto di azzardo morale prevede che la distribuzione di ŷ sia esogena per l individuo

Transcript

1 MORAL HAZARD L assenza in senso stretto di azzardo morale prevede che la distribuzione di ŷ sia esogena per l individuo Un requisito meno stringente, richiede che la distribuzione di ŷ possa essere influenzata dall individuo, ma ad un costo superiore ai benefici attesi Il problema generale riguarda: - attività di consumo che incrementano l utilità ma anche il rischio - investimenti costosi in prevenzione o protezione In entrambi in casi, la presenza di esternalità sui risarcimenti (negative e positive, rispettivamente) determinano free-riding e dunque sovra-consumo e sotto-investimento (rispetto al livello ottimo in assenza di assicurazione) Il problema è evidentemente originato dalla incompletezza contrattuale Considereremo un mercato perfettamente competitivo (λ = 0), in quanto la presenza di potere di mercato delle imprese non altera i risultati che saranno presentati, e comunque vogliamo mettere in evidenza una distinta ragione di ottimalità della copertura parziale. Evidentemente non si apprezza la differente capacità di estrarre surplus ai consumatori da parte delle imprese nelle diverse situazioni presentate Trascuriamo il caso in cui gli individui possano alterare la rischiosità altrui, il caso in cui i costi di investimento siano non pecuniari, il caso di moral hazard con hidden information ed escludiamo la presenza di selezione avversa

2 DITRIBUZIONE BINOMIALE E INVETIMENTI IN PROTEZIONE (HAVELL, 1979) La probabilità di sinistro è π(x), π < 0, π > 0, π (0) = (il che garantisce la presenza di una soluzione ottima unica interna), dove x è l investimento monetario in protezione La quantità ottima di protezione in assenza di assicurazione risolve il seguente problema: x 0 = argmax z [π(z) u(w z L) + (1 π(z)) u(w z)] Quando l assicuratore (sottoposto ad un regime di perfetta concorrenza) offre un menu di contratti {α, P(α)} il comportamento ottimo dell assicurando risolve il seguente problema: max α,x E(u) = [π(x) u(w x P(α) + αl L) + (1 π(x)) u(w x P(α))] s.t. P(α) = π(x) α L [PC] x = argmax z [π(z) u(w z P(α) + αl L) + (1 π(z)) u(w z P(α))] [ICC] La forma di π(x) garantisce che la [ICC] possa essere rispettata sostituendone nel problema principale la FOC (risultato standard dei modelli P-A, Rogerson, 1985): π N 14 x [ u( Y ) u( Y )] effetto della var iazione di probabilità del sinistro = ( ) ( ) u Y u Y π + ( 1 π ) N 14 Y 4444 Y N 3 effetto della var iazione di utilità causato dall' investimento ( α ) x = x x < 0

3 ( u) E α = π x x α [ u( Y ) u( Y )] ( ) π x u Y πl + αl π x 44 3 α Y P α N + ( 1 π ) ( ) x u Y π α Y u YN Y ( 1 π ) ( ) u( Y ) ( ) i primi due termini si compensano per la condizione del primo ordine sull [ICC] e Il moral hazard è rappresentato dal termine ove appare con x/ α ( 0); gli altri due termini sarebbero presenti anche in assenza dell [ICC] N + + π π x u Y { π + α π var iazione del premio x α Y derivante dalla variazione var iazione del premio var di copertura derivante dalla iazione di premio unitario ( ) + Y u Y Y ( 1 π ) L N N = 0 ( ) u( Y ) u YN YN + π Y var iazione del livello di copertura = 0 L ottimo prevede copertura parziale, anche con premi equi, ed inoltre premi non lineari : P (α) > 0 L ottimo di first best richiede la soluzione dello stesso problema senza il vincolo dell [ICC]: il livello ottimo di x non credibile di per sé dovrebbe essere disciplinato da un contratto completo. Ne risulterebbe la scelta di una copertura completa e (con funzioni di utilità normali ) di un livello di protezione intermedio tra quello in assenza di assicurazione e quello con moral hazard

4 Intuitivamente, se il costo di protezione è molto basso, l effetto di MH è basso e la copertura è quasi completa; se il costo è molto alto, non viene comunque sostenuto; per valori intermedi una significativa co-insurance è ottimale e invece di essere in concorrenza, il mercato fosse stato monopolistico, si sarebbe invertito l attore del problema di ottimizzazione e del [PC] max P(α) π(x) (P(α) αl) + (1 π(x)) P(α) s.t. [π(x) u(w x P(α) + αl L) + (1 π(x)) u(w x P(α))] [π(x) u(w x L) + (1 π(x)) u(w x)] x = argmax z [π(z) u(w z P(α) + αl L) + (1 π(z)) u(w z P(α))] [PC] [ICC]

5 INVETIMENTI IN PROTEZIONE CON PERDITE INCERTE e l entità della perdita eventuale è certa, il risultato rilevante è la preferenza per la copertura parziale Il caso con perdita certa è comunque inefficace per individuare quale forma di copertura parziale tra quelle che usualmente si osservano nella pratica (co-insurance, franchigia, massimale) sia quella ottima e π(x) è la probabilità del sinistro, ma la relativa severità Lˆ è caratterizzata da funzione di distribuzione e di densità G(L) e g(l), il problema di scelta diventa il seguente: max I(L),x [π(x) u(w x P(I(L)) + I(L) L) g(l) dl +(1 π(x)) u(w x P(I(L)))] s.t. P(I(L)) = π(x) I(L) g(l) dl [PC] x = argmax z [π(z) u(w z P(I(L)) + I(L) L) g(l) dl + (1 π(z)) u(w z P(I(L)))] [ICC] Il contratto ottimo si dimostra essere la franchigia

6 RICHIOITÀ ETEROGENEA La selezione avversa si manifesta in presenza di rischiosità eterogenea e informazione dell assicurando più raffinata i analizza dapprima il caso monopolistico con informazione simmetrica I sinistri sono distribuiti binomialmente e l eterogeneità deriva dal fatto che una quota δ di assicurandi ha una probabilità π H di subire una perdita di valore L, mentre i restanti (1 δ) sono sottoposti alla probabilità π L di subire tale perdita (π H > π L ) L assicuratore è in grado di discriminare a costo nullo tra i due tipi offrendo loro i contratti C H = {P H, I H } e C L = {P L, I L } Il problema è dunque: max CH,CL {δ [(1 π H ) P H + π H (P H I H )] + (1 δ) [(1 π L ) P L + π L (P L I L )]} s.t. U(C i π i ) U( π i ) i = H, L [PC] dove U(C i π i ) = (1 π i ) u(w P i )+ π i u(w P i L + I i ) La soluzione, come è intuitivo, prevede C H = {π H L + ρ H, L} e C L = {π L L + ρ L, L}, cioè copertura completa, efficienza paretiana, ma tutto il surplus estratto dall assicuratore. Non ci sono sussidi incrociati tra assicurati

7 INFORMAZIONE AIMMETRICA (TIGLITZ, 1977) e tuttavia l informazione è asimmetrica, il monopolista non può discriminare, ma può indurre gli assicurandi a rivelare il loro tipo tramite screening (self-selection) Il problema è analogo al precedente ma con un vincolo in più max CH,CL {δ [(1 π H ) P H + π H (P H I H )] + (1 δ) [(1 π L ) P L + π L (P L I L )]} s.t. U(C i π i ) U( π i ) i = H, L [PC] U(C i π i ) U(C j π i ) i,j = H, L [C] Y Y C L C H C L W L C H W L C H C L Y N Y N W W

8 Il caso in cui viene offerto un unico contratto pooling (C L, allora), tipicamente non massimizza i profitti del monopolista, che offre invece: - un contratto a copertura parziale e premio per unità di copertura inferiore - un contratto a piena copertura e premio per unità di copertura superiore Diversamente accade se i tipi a basso rischio sono pochi (δ alto), quando potrebbe convenire al monopolista rinunciare ad assicurare i tipi a basso rischio per estrarre tutto il surplus da quelli ad alto rischio L equilibrio non è più socialmente efficiente, i profitti del monopolista scendono, il surplus del consumatore a basso rischio si mantiene nullo, aumenta quello del consumatore ad alto rischio (esternalità positiva della presenza dei soggetti a basso rischio, nonostante il meccanismo di self-selection elimini l asimmetria informativa) I premi per unità di copertura mostrano entrambi una minor distanza dai premi puri

9 CONTRATTI MULTIPERIODALI (BIPERIODALI) Il contratto più semplificato assume la forma C i2 = {P i1, I i1, P i2s, I i2s, P i2ns, I i2ns }; si trascurano i tipici problemi di questo tipo di contratto: commitment e under-reporting Il problema del monopolista è ora, assumendo unitario il fattore di sconto: max C2H,C2L {δ [(1 π H ) P H1 + (1 π H ) (1 π H ) P H2ns + (1 π H ) π H (P H2ns I H2ns ) + + π H (P H1 I H1 ) + π H (1 π H ) P H2s + π H2 (P H2s I H2s )] + + (1 δ) [(1 π L ) P L1 + (1 π L ) (1 π L ) P L2ns + (1 π L ) π L (P L2ns I L2ns ) + + π L (P L1 I L1 ) + π L (1 π L ) P L2s + π L2 (P L2s I L2s )]} s.t. U(C 2 i π i ) U( π i ) [PC] U(C 2 i π i ) U(C2 j π i ) i,j = H, L [C] Cooper e Hayes (1987) dimostrano che: - i tipi H ottengono piena copertura, non sono exper. rated e mantengono un surplus; - i tipi L ottengono copertura parziale e hanno premi che salgono e copertura che scende se subiscono un sinistro nel primo periodo e viceversa - i tipi L hanno surplus in media nullo, e il profitto del monopolista (ovviamente) sale Intuitivamente il monopolista sfrutta la preferenza per la copertura e la consapevolezza del proprio rischio per offrire una copertura mediamente superiore ad L ed estrarre più surplus. Anche ad H viene estratto più surplus in quanto gli costa di più fingersi di tipo L. I premi per unità di copertura si allontanano quindi entrambi dai premi puri rispetto al caso uniperiodale Il bonus-malus è una forma di experience rating non necessariamente associata a screening che sfrutta anche un meccanismo di aggiornamento bayesiano, cosa che in questo modello non si verifica a causa della presenza di self-selection completa

10 RICHIOITÀ ETEROGENEA, INFORMAZIONE IMMETRICA E CONTRATTI COMPETITIVI i analizza dapprima il caso benchmark con informazione completa. Le imprese sono in grado di discriminare, e in assenza di caricamenti offrono contratti completi commisurati al rischio degli assicurati. La perfetta competizione impone contratti cui corrispondono profitti nulli, C H = {π H L, L} e C L = {π L L, L} Y C H C L W L Rispetto al caso monopolistico si ha, come unica differenza, che il surplus non viene estratto dalla compagnia, ma resta all assicurato W Y N

11 RICHIOITÀ ETEROGENEA, INFORMAZIONE AIMMETRICA E CONTRATTI COMPETITIVI (ROTHCHILD E TIGLITZ, 1976) In caso di informazione asimmetrica circa il tipo di assicurato, con informazione dell assicurato più raffinata, nessun assicuratore è in grado di discriminare e dunque non può offrire i due contratti con premio puro R& analizzano l efficacia di un meccanismo di screening nel quale tutte le compagnie scelgono simultaneamente al primo stadio la composizione del menu di contratti e al secondo stadio gli assicurandi scelgono dal menu i dimostra che in funzione dei parametri può esistere o meno un equilibrio in strategie pure. e esiste tale equilibrio, esso è di natura separating Y Per dimostrare questa prima affermazione, basta notare che qualsiasi ipotetico contratto pooling C P a profitti nulli è dominato dal menu separating {C H, C L }, che genera profitti a chi lo offre e fa fare perdite a chi mantiene l offerta pooling (cream skimming) W L C H C P C L Y N W

12 C è da chiedersi allora se esista un menu separating di equilibrio competitivo Il fatto che il menu di contratti {C L, C H } sia un equilibrio di Nash dotato di unicità dipende in realtà dalla proporzione di soggetti H e L Il contratto pooling C P è evidentemente preferito sia dai soggetti H che da quelli L, ma determina profitti negativi all impresa che lo offrisse qualora la proporzione di tipi H fosse alta (linea di profitti medi nulli a). Viceversa potrebbe generare profitti positivi e rendere dominata la strategia separating di screening Y Y a b C H C H C P C L C L W L W L Y N Y N W W