Esercizi di istituzioni di analisi superiore

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1 Esercizi di istituzioni di analisi superiore Adriana Garroni Aggiornato al: 24/6/216 Attenzione: Gli esercizi con sono difficili o molto teorici. Esercizio 1. Dato R n e sia u L p (). Denotiamo con C c () l insieme delle funzioni continue a supporto compatto in. Assumiamo che uϕ dx = ϕ C c (). (.1) 1. Nel caso p = 2 provare che u = q.o. in. 2. Provare lo stesso risultato assumendo che p (1, + ). 3. Analizzare il caso p = +. Nota: usando la convoluzione si fanno in una volta sola tutti i casi p 1. Esercizio 2. Dato R n e sia µ una misura di Radon su. Assumiamo che ϕ dµ = ϕ C c (). (.2) Provare che se µ è una misura positiva, allora µ(k) = per ogni compatto K. E quindi µ =. Esercizio 3. Provare che le affermazioni degli Esercizi 1 e 2 sono ancora vere se le (.1) e (.2) sono vere solo per ogni ϕ Cc () (probabilmente li avete già mostrati sotto queste condizioni). Esercizio 4. Dimostrare che la delta di Dirac δ non può essere identificata con una funzione f L 1 loc (Rn ), ossia mostrare che non esiste f L 1 loc (Rn ) tale che f(x)ϕ(x) dx = ϕ() ϕ D(R n ). R n Alcuni verranno svolti in aula. Da questa lista, con piccole modifiche verranno selezionati gli esercizi della prova scritta. 1

2 2 Esercizio 5. Provare che la distribuzione dipolo su R, δ, definita come δ, ϕ := ϕ () non può essere rappresentata da una misura (ossia non può essere scritta nella forma data da T, ϕ = ϕ dµ R n per alcuna misura µ). Suggerimento: Provarlo per assurdo testando il dipolo con la successione ψ k (x) = (sin(kx))ϕ(x). Esercizio 6. Mostrare che se T è una distribuzione allora xi x k T = xk x i T i, k {1,..., n Esercizio 7. Provare che se f C 1 ((a, b)), allora la sua derivata nel senso delle distribuzioni coincide con la derivata classica. In questo senso la nozione di derivata che abbiamo introdotto estende quella classica. Esercizio 8. Data una distribuzione T scrivere esplicitamente attraverso la sua azione su elementi di D o D(; R n ) (ossia n-ple di funzioni in D) le seguente operazioni differenziali: T (gradiente distribuzionale); divt (divergenza distribuzionale per distribuzioni vettoriali, T = (T 1, T 2,..., T n ), con T i D); T (Laplaciano distribuzionale), se n = 3 rott (rotore distribuzionale). Esercizio 9. Verificare che la funzione g(x) = 1 1 4π x è soluzione nel senso delle distribuzioni di g = δ. Suggerimento: Si prenda ϕ con supporto in B R e si usi che 1 1 ϕ(x) dx = lim ϕ(x) dx, B R x r B R \B r x più qualche integrazione per parti e qualche stima. Esercizio 1. Per ogni m N e f D K denotiamo con f m,k = sup D α f(x) (con D f intendiamo f). x K α, α m 1. Mostrare che la che m,k è una norma in D K ; 2. Provare che d K (ϕ, ψ) := m= 1 2 m ϕ ψ m,k 1 + ϕ ψ m,k definisce una distanza, e quindi una topologia metrizzabile T K, in D K ;

3 3 Esercizio 11. Dato un compatto K e sia L : D K R è un funzionale lineare, allora L è continuo su D K se e soltanto se esistono C > e N N tali che L, ϕ C ϕ N,K ϕ D K. Suggerimento: Un verso è facile. Provare l implicazione = per assurdo, usando che ϕ m,k ϕ N,K per ogni m N. Esercizio 12. Mostrare che le seguenti affermazioni sono equivalenti i) T D ; ii) Per ogni compatto K R n esistono C > e N N tali che T, ϕ C ϕ N,K ϕ D K. Esercizio 13. Provare che per ogni G D (R) esiste una soluzione (unica a meno di costanti) dell equazione nel senso delle distribuzioni T = G. In questo senso ogni distribuzione ammette una primitiva in D (R). Esercizio 14. Data una funzione discontinua a(x) = 1 + χ ( 1,1)(x) definita 2 nell intevallo (, 1). Determinare la soluzione in W 1,1 dell equazione (au ) = con la condizione u() = e u(1) = 3 (le derivate vanno intese nel senso delle distribuzioni) 1. Esercizio 15. Data f : [a, b] R una funzione monotona, allora µ((c, d)) = f(d ) f(c + ) è una misura esterna e può essere estesa a una misura di Radon su [a, b] (misura di Stieltjes associata a f, si veda [3]). Provare che µ è la derivata distribuzionale di f. Dedurne che se f è BV allora f M. Esercizio 16. Sia B 1 R 2 la palla unitaria in R 2. Determinare le derivate prime distribuzionali della funzione f(x) = χ B1 (x). Possiamo dire che sono delle misure? Come è caratterizzano? Esercizio 17. Si consideri la funzione di Cantor Vitali definita come limite uniforme della successione iterata 1 2 f n(3x) x [, 1 3 ) f (x) = x x [, 1] f n+1 (x) = 1 2 x [ 1 3, 2 3 ) f n(3x 2) x [ 2 3, 1]. 1 W 1,1 denota lo spazio delle funzioni in L 1 con derivata distribuzionale in L 1.

4 4 Provare che il limite f non è assolutamente continua ma è BV. Definiamo supporto di una misura positiva di Borel su, µ, l insieme supp µ = {x : N intorno di x = µ(n) >. Provare che se µ = f (derivata nel senso delle distribuzioni della funzione di Cantor Vitali) allora supp µ =, nonostante che µ (, 1) = 1. Esercizio 18. Consideriamo la distribuzione (pettine di Dirac) T = k Z δ k. Provare che T è una distribuzione e determinarne il supporto. Esercizio 19. Se una successione f k di funzioni L 1 loc (), con Rn aperto, converge a f in L 1 loc (), ossia lim f k f dx =, k allora ossia converge in D (). f k ϕ dx fϕ dx Esercizio 2. Mostrare che la successione f k (x) = k sin(kx) ϕ D() converge in D (R) a zero, questo si vede facilmente testando con una funzione in D(R) e integrando per parti, mentre non converge debolmente in alcun L p loc (R), ossia per ogni p [1, + ) esiste g Lp ((a, b)) tali che non converge. b a f k (x)g(x) dx Esercizio 21. Data f L p loc (R) è 1-periodica e definiamo f k(x) := f(kx). 1. Provare che f k converge in D alla sua media, ossia alla distribuzione costante uguale a 1 f(x) dx; 2. Provare che f k converge alla sua media debolmente in L p ((a, b)), con p > 1; 3. *Provare che f k converge alla sua media debolmente in L 1 ((a, b));

5 5 4. Provare che f k converge forte in qualche L p loc costante. se e soltanto se f è Lo stesso risultati vale per f L p loc (Rn ) e Z n -periodica (ossia tale che f(x + z) = f(x) per ogni z Z n ). Esercizio 22. Consideriamo le distribuzioni in D(R) T n = n(δ 1/n δ 1/n ). Si può determinare il limite nel senso delle distribuzioni di T n? affermativo, determinarlo. In caso Esercizio 23. Provare che T, ϕ := R ϕ(x) ϕ( x) x dx ϕ D è una distribuzione. Suggerimento: Usare il teorema fondamentale del calcolo per rappresentare ϕ(x) ϕ( x) x e ricordare che ϕ ha supporto compatto in R. Esercizio 24. Sia u k una successione delta approssimante (ossia della forma u k (x) = k n u(kx), con u a supporto compatto, e convergente alla delta in distribuzioni). Provare che la successione u 2 k non può convergere in distribuzioni. Esercizio 25. Se consideriamo la funzione ψ(x) = x 3, questa è biunivoca da R in R, C ma ψ 1 (x) = x 1 3 non è C. Data u k (x) = kχ [,1/k] (x) (che è una delta approssimante), provare che la successione u k (x 3 ) non converge nel senso delle distribuzioni. Esercizio 26. Determinare la distribuzione δ ψ in D (R n ), per le seguenti scelte di ψ: 1. ψ(x) = ax con a R, a 2. ψ(x) = Ax con A M n n, det A 3. ψ(x) = Ax + b con A M n n, det A, e b R n Esercizio 27. Mostrare che data T D, la distribuzione converge in D a xi T T τ hei T h Esercizio 28. Provare che se T D (R n ) e φ D(R n ) allora 1. τ x (T φ) = (τ x T ) φ = T τ x φ ;

6 6 2. Per ogni multi-indice α N n In particolare T φ C (R n ) 2. D α (T φ) = (D α T ) φ = T D α φ. 3. Mostrare che T φ per ogni φ D(R n ) se e soltanto se T φ(x) = per ogni φ D(R n ) per qualche x R n. 4. Se T φ per ogni φ D(R n ) allora T = ; 5. Se T ha supporto compatto, allora T φ con φ D(R n ) è a supporto compatto. Nota: basta dimostrare che il supporto di T φ è limitato. Esercizio 29. *Date ψ, ϕ D e T D provare 1. ((T ψ) ϕ)() = (T (ψ ϕ))(). Suggerimento: Usare l approssimazione dell integrale con le somme di Riemann per approssimare ψ ϕ e usare la linearità delle distribuzioni. Attenzione: si usa che T ϕ() = T, ˇϕ. 2. ((T ψ) ϕ)(x) = (T (ψ ϕ))(x) per ogni x R n 3. Sia ϕ ε usa successione convergente a δ in distribuzioni (ossia una δ approssimante), provare che T, ψ = lim ε T ϕ ε, ψ = lim ε ((T ϕ ε ) ˇψ)() Nota; Osservare che se ϕ ε è una delta approssimante, lo è anche ˇϕ ε. 4. Mostrare che se T = allora esiste α R tale che T, φ = α φ dx φ D(R n ). R n Suggerimento: Usare che se T = allora (T ϕ ε ) = e il passo precedente. Esercizio 3. *Date due distribuzioni T e S, di cui almeno una a supporto compatto, provare che l espressione T S, ϕ := (T (S ˇϕ))() ϕ D(R n ) definisce una distribuzione e verifica (T S) ϕ = T (S ϕ) ϕ D(R n ). 2 Suggerimento: fare il limite del rapporto incrementale

7 7 e T S, ϕ = (S (T ˇϕ))() ϕ D(R n ) Suggerimento: Testare queste identità per ϕ = ϕ 1 ϕ 2 al variare di ϕ 1, ϕ 2 D e usare che ϕ 1 ϕ 2 = ϕ 2 ϕ 1. Esercizio 31. Provare che (H u) = u per ogni u D(R) (H è la funzione di Heaviside). Esercizio 32. Data ϕ D(R) con supp ϕ [ r, r] 1. Provare che ˆϕ (ossia la trasformata di Fourier di ϕ) è analitica (usando che e i2πξ = ( iξ2π) n n= n! e che r r xn ϕ(x) dx 2 ϕ r n+1 ). 2. Dedurne che ˆϕ non può avere supporto compatto. 3. Mostrare che ϕ (n) (ξ) = o( ξ m ) x + n, m N. Esercizio 33. Calcolare ˆx in R. Esercizio 34. Calcolare la derivata nel senso delle distribuzioni delle seguenti distribuzioni 1. T = 3H, dove H è la funzione Heaviside, ossia H(x) = χ [,+ ). 2. T = δ + 3δ 1 3. T = 2δ. Esercizio 35. Calcolare il gradiente delle seguenti distribuzioni in R 2 1. T = χ {x1 > 2. T, ϕ = 1 ϕ(x 1, ) dx 1 per ogni ϕ D(R 2 ) Esercizio 36. Data T = n Z δ n e u D(R) con supp u [, 1]. Determinare v = T u e provare che v è una funzione periodica. Esercizio 37. Data la funzione u(x) = ln x, x R mostrare che u S (R) e che u = vp 1 x. Suggerimento: usare che R ln x ϕ (x) dx = lim ε x >ε ln x ϕ (x) dx. Esercizio 38. Mostrare che C m (K) delle funzioni m-differenziabili sul compatto K R n è uno spazio di Banach con la norma (mostrare che è una norma) u C m := m n= α =n sup D α u. K

8 8 Esercizio 39. Sia α (, 1) e consideriamo l insieme delle funzioni α- hölderiane sull intervallo [a, b] R { C,α f(x) f(y) ([a, b]) := f C([a, b]) ; [f] α := sup x y x y α < 1. Mostrare che [f] α è un seminorma; 2. Provare che C,α ([a, b]) è denso in C([a, b]); 3. Mostrare che f C,α = f + [f] α è una norma e che rende C,α ([a, b]) uno spazio di Banach; 4. Provare che dato r [a, b] la funzione g r (x) = x r α è in C,α ([a, b]); 5. Provare che per ogni r s [g r g s ] α 2. Da questo dedurre che C,α ([a, b]) non è separabile (ossia non ammette un sottoinsieme numerabile denso). Esercizio 4. Consideriamo il sottospazio di C([, 1]) e definiamo X = {u C([, 1]) : u() = F (u) = 1 u(t) dt. Mostrare che non esiste alcuna funzione in X per la quale F X è raggiunta. Esercizio 41. Provare il seguente enunciato: Sia X normato e M un suo sottospazio. Allora M è denso se e solo se per ogni f X tale che f M f =. = si ha Esercizio 42. Dato X normato e x X. 1. Se x, esiste f X, con f X = 1 e f(x ) = x X ; 2. Se f(x ) = per ogni f X, allora x = ; 3. Mostrare un esempio di uno spazio X in cui l elemento f del punto 1) non è unico. 4. Diciamo che uno spazio normato è strettamente convesso se per ogni x, y X, con x y e x = y = 1 si ha che x+y 2 < 1. Mostrare che L 1 e L non sono strettamente concessi;

9 9 5. Provare che se X è strettamente convesso allora l elemento f del punto 1) è unico. Esercizio 43. Dato C convesso chiuso in R n e dato x R n, provare che esiste un unico elemento P (x ) R n tale che Seguire i seguenti passi: dist (x, C) = x P (x ) = min x C x x. 1. Provare l esistenza construendo una successione minimizzante e provando che converge a un minimo. 2. Mostrare l unicità per assurdo usando la convessità di C La mappa P : R n C è la proiezione su C. Osservare che se C è un sottospazio, allora P è lineare e continua (usando il punto 3). Esercizio 44. Sia C = {f L 1 ((, 1)) : f(x) dx = 1. Evidentemente / C. Mostrare che C è convesso e che esistono infiniti g C di norma minima, ossia che verificano g L 1 = min f C f L 1 = dist (, C). Esercizio 45 (Funzionale di Minkowski o Gauge di C). Sia X normato e C X un convesso chiuso con int(c). Il funzionale di Minkowski di C è dato da { x p C (x) = inf r > : r C x X. 1. Provare che l insieme su cui si fa l inf è non vuoto; 2. Mostrare che p C è positivamente 1-omogeneo e subadditivo su X 3. Provare che esiste M > tale che p C (x) M x X ; 4. Provare che p C (x) 1 x C; 1 5. Provare che p C (x) < 1 x Int (C). Nota: sotto ipotesi leggermente diverse questo esercizio è un risultato che sta sul Brezis. Esercizio 46. Sia X normato e C X convesso aperto con C. Assumiamo che C = C (ossia C sia simmetrico) e che C sia limitato. Provare che p C è una norma equivalente a X. Esercizio 47. Sia X = C([, 1]) con la norma del sup, f = sup x [,1] f(x). Per ogni p (1, + ) consideriamo { 1 C = f X : f p dx < 1.

10 1 1. Provare che C è aperto, simmetrico e convesso; 2. È limitato? 3. Calcolare p C. È equivalente a? Esercizio 48. Per ogni α R considerare l insieme di L 2 ([ 1, 1]) C α := { f L 2 ([ 1, 1]) : continua e f() = α. Mostrare che C α è un convesso nè aperto, nè chiuso. Che per ogni α C α è denso in L 2 ([ 1, 1]). Dedurne che se α β C α e C β non possono essere separati da un iperpiano chiuso. Esercizio 49. Sia X uno spazio vettoriale normato di dimensione finita. Sia C X non vuoto, convesso tale che / C. 1. Scegliere un insieme {x n : n N C denso in C (perché esiste?). Per ogni n poniamo { n C n = co{x 1, x 2,..., x n := x = t i x i : t i R t i t i = 1. i=1 i Mostrare che C n è compatto e che n C n è denso in C. 2. Provare che esiste f n X tale che f n X = 1 e f n, x per ogni x C n. 3. Dedurre che esiste f X tale che f X = 1 e f, x per ogni x C. 4. Concludere che dati comunque due insiemi convessi disgiunti A e B in X, esiste un iperpiano chiuso che li separa (senza ulteriori ipotesi su A e B). Esercizio 5. Provare che se f n, f L 2 (), con R n verificano f n g dx fg dx g L 2 () e allora f n converge a f in L 2 (). lim n + f n L 2 = f L 2 Esercizio 51. Fissiamo un insieme X e una collezione S di sottoinsiemi di X. Supponiamo che W S = X. Consideriamo quindi la famiglia B di insiemi ottenuti facendo intersezioni finite di elementi di S { N B := W k : N N \ {, W k S, k {1,..., N. k=1

11 11 Consideriamo la collezione di insiemi di X { τ := V α : A un insieme V α B α A. α A 1. Provare che τ è una topologia in τ (ossia è chiusa rispetto a unioni qualsiasi e intersezioni finite, τ and X τ). 2. Provare che τ è la topologia meno fine che contiene S (ossia che presa un altra topologia τ S allora τ τ). Esercizio 52. Mostrare che in uno spazio normati di dimensione finita la topologia debole e la forte coincidono e quindi x n x x n x. Suggerimento: Usare che in dimensione finita tutte le norme sono equivalenti e la caratterizzazione degli intorni di σ(x, X ). Esercizio 53. Dare un esempio di una successione f k in L 2 ((, 1)) che converge q.o. a, che converge debolmente in L 2 ma non converge fortemente. Esercizio 54. Date due successioni {f k L ((, 1)) e {g k L 2 ((, 1)) e dati f e g tali che f k converge a f q.o. in (, 1) e g k converge a g debolmente in L 2. Provare che f k g k converge debolmente a fg in L 2. Esercizio 55. Consideriamo lo spazio l 2 = {x : N R : n= x2 n < + munito della norma x l 2 = x n 2. n= 1. Mostrare che l 2 è uno spazio di Banach (in realtà vedremo che è meglio, è uno spazio di Hilbert); 2. Mostrare che il duale di l 2 è l 2 (cosa che potremmo dedurre dalla sua struttura Hilbertiana, ma che si può fare esplicitamente in questo caso), ossia mostrare che per ogni F (l 2 ), esiste y l 2 tale che F (x) = x n y n x l 2 ; n= Suggerimento: definire y n = F (e n ). 3. Mostrare che se y : N R verifica sup n y n < + allora la successione di elementi di l 2 y (k) = y k e k, dove (e k ) n = per ogni n k e (e k ) k = 1, converge debole a in l 2.

12 12 4. Usando il punto precedente mostrare che per ogni x l 2 con x l 2 < 1 esiste una successione x (k) in l 2 con x (k) l 2 = 1 che converge debole a x. Esercizio 56. Sia 1 < p < + e R n aperto. Consideriamo una successione {f k L p () e f L p (), provare che f k f in L p f k L p C f k dx f dx Q cubo. Esercizio 57 (Lemma di Mazur). Sia X uno spazio di Banach e x n x. 1. Provare che esiste una successione y n tale che Q y n co {x 1, x 2,... y n x, in altre parole che x co {x 1, x 2, Provare che esiste z n tale che z n co {x 1,..., x n z n x, Suggerimento: Usare il punto precedente reindicizzando la successione. Esercizio 58. Siano X e Y due spazi di Banach e consideriamo lo spazio prodotto Z = X Y con la norma prodotto (x, y) Z = x X + y Y. 1. Provare che Z è un Banach. 2. Provare che per ogni f Z esistono g X e h Y tali che f(x, y) = g(x) + h(y) per ogni x X e y Y. Dedurne che (x n, y n ) Z (x, y) x n X x e yn Y y. 3. Sia W un sottospazio chiuso di X e {w n W allora 4. Sia T L(X, Y ) invertibile, allora Q w n W w wn X w. x n X x T (xn ) Y T (x). Esercizio 59. Dato 1 p < +, definiamo lo spazio di Sobolev (su cui torneremo) W 1,p ((, 1)) = { f L p ((, 1)) : f L p ((, 1)) (con f intendiamo la derivata nel senso delle distribuzioni). Consideriamo in questo spazio la norma f W 1,p := f L p + f L p.

13 13 1. Provare che W 1,p ((, 1)) è uno spazio di Banach. 2. Provare che se e soltanto se f n f in W 1,p ((, 1)) f n f in L p ((, 1)) e f n f in L p ((, 1)). Suggerimento: Usare l esercizio 58 e la mappa T : W 1,p f L p ((, 1)) associa T (f) = (f, f ). (L p ) 2 che a Esercizio 6. *Provare che il sottoinsieme E delle misure di Radon finite in [, 1], M([, 1]), definito da { n E := c i δ xi : x i [, 1] e c i R i=1 è denso in M([, 1]) rispetto alla topologia -debole, ma non rispetto alla topologia forte (indotta dalla variazione totale). Suggerimento: Data µ M([, 1]) considerare partizioni di [, 1], i I i, e definire c i = µ(i i ). Esercizio 61. Sia X uno spazio di Banach. Mostrare che se X è riflessivo allora f X = max x 1 f, x f X. ossia la norma duale è raggiunta da qualche x X. Esercizio 62. Dato p (1, + ) e g(x) = n 1/p e nx in L p ((, 1)) provare che 1. g n q.o in (, 1) 2. g n è limitata in L p 3. g n fortemente in L p 4. g n in L p 5. Cosa si può dire nel caso p = 1? Esercizio 63. Siano f n, f L p () con p (1, + ) tali che f n f q.o. in e f n L p f L p. Provare che f n converge fortemente a f in L p. Suggerimento: Usare l uniforme convessità e riflessività di L p (vedi Esercizio 8)

14 14 Esercizio 64. Siano f n, f L 1 () tali che f n f q.o. in e f n L 1 f L 1. Provare che f n converge fortemente a f in L 1. Suggerimento: Si deve fare a mano perchè L 1 non è uniformente convesso. Usare il Teorema di convergenza dominata (usare che a + b b a 2 b ). Esercizio 65. Data f : [a, b] R semicontinua inferiormente che verifica f(x) C, C R (ossia limitata dal basso), per ogni λ [, + ] e x [a, b] definiamo la trasformata di Yosida di f come f λ (x) = min {f(y) + λ x y : y [a, b]. 1. Provare f λ è ben definito e che il minimo è raggiunto; 2. Provare che f λ è λ-lipschtziana; 3. Mostrare che f λ (x) f(x) per ogni x [a, b] 4. Provare che f(x) = sup λ f λ (x) = lim λ + f λ (x); 5. Se f : R R è convessa, provare che f λ è convessa; 6. Provare che se f : R R ha supporto compatto, allora anche f λ ha supporto compatto. Mostrare che le stesse proprietà sono ancora vere per f : R, con R n e f(x) C x (attenzione che f λ con questa ipotesi di limitatezza da basso più debole non è definita per tutti i λ. Per quali?). Esercizio 66. Data f : [a, b] R L-lipschitziana, mostrare che la funzione definita per ogni x R f L (x) = min {f(y) + L x y : y [a, b]. è lipschitziana di costante L ed è un estensione di f a tutto R. Esercizio 67. Data una successione di misure in M(), µ h che convergono -debolmente a µ, provare che 1. Per ogni funzione ϕ : R semicontinua inferiormente si ha ϕ dµ lim inf ϕ dµ h h + 2. Per ogni funzione ϕ : R semicontinua superiormente si ha ϕ dµ lim sup ϕ dµ h h +

15 15 Suggerimento: Utilizzare l approssimazione di Yosida costruita nell Esercizio 65. Dedurne che per ogni aperto A in e per ogni compatto K in µ(a) lim inf h + µ h(a) µ(k) lim sup µ h (K). h + *Se E è un boreliano che verifica µ( E) =, allora µ(e) = lim µ h(e), h + (Quest ultimo punto usa che se µ( E) =, allora µ(e) = µ(int(e))). Esercizio 68. Consideriamo il sottospazio di L 2 ([1, + )) dato da V = { f L 2 ([1, + )) : + 1 x 2 f 2 (x) dx < + 1. Provare che V è uno spazio di Hilbert con prodotto scalare (f, g) V = 2. Mostrare che V L 2 ([1, + )) ; 3. Mostrare che V L 2 ([1, + )). + 1 x 2 fg dx ; Suggerimento: Trovare un funzionale lineare su V che non sia limitato in L 2 ([1, + )) (nota che le funzioni in V devono decadere più velocemente all infinito). Esercizio 69. Data una misura di Radon in R 2 data da µ = δ L 1 (ossia la misura prodotto tra la delta in R e la misura di Lebesgue 1-dimensionale), definiamo T, ϕ := ϕdµ ϕ D(R 2 ). (.3) R 2 Verificare che T è lineare e continua su D(R 2 ), ossia è una distribuzione. Mostrare che y T =. Facoltativo: Mostrare che la derivata x T non può essere rappresentata da una misura di Radon. Suggerimento per la parte facoltativa: Testare x T con la successione ψ k (x, y) = (sin(kx))ϕ(x)φ(y).

16 16 Esercizio 7. Per ognuna delle seguenti successioni mostrare se sono limitate in L p (), con 1 p +. Dire se convergono forte o debole in L p (), con 1 p < +. Dire se convergono *debolmente in L () o in M(). Determinarne, quando esiste, il limite. 1. = [, 1] e f k : [, 1] R data da { k 1 4 k 5 4 x se x 1 f k (x) = k altrimenti. 2. = R e f k (x) = k 1 2 ϕ( x k ) con ϕ C c (R) e supp ϕ [ 1, 1]. Esercizio 71. Sia X uno spazio di Banach e T L(X, X) tale che per ogni x X esiste n N tale che T n (x) =. Mostrare che esiste n tale che T n =. Suggerimento: Scrivere X = (T n ) 1 () e usare il lemma della categoria di Baire. Esercizio 72. Sia X uno spazio di Banach e {x n una successione convergente a x debolmente (ossia nella topologia σ(x, X )). Definiamo σ n = x x n n Provare che σ n converge debolmente a x. Dare un esempio in cui σ n converge fortemente, ma tale che x n non converge fortemente. Suggerimento per l esempio: Considerare in L 2 (R) una successione f k (x) = φ(x k) scegliendo φ opportunamente. Vedi anche Esercizio 82. Esercizio 73. Provare che se H è un Hilbert e v : N H è tale che v k è limitata (nel senso che sup k v k < + ) e (v k, v h ) = per ogni k h, allora la successione v k converge debole a zero per k. Esercizio 74. Provare che L p (), con p 1 e p 2, non è uno spazio di Hilbert. Suggerimento Provare che L p non verifica l identità del parallelogramma. Esercizio 75. Sia limitato e f n L p () con p (1, + ) e supponiamo che f n converga q.o. a f in e che f n sia limitata in L p (). Provare che f n converge fortemente a f in L r () per ogni r [1, p). Suggerimento: Usare la proprietà di Egorov della convergenza quasi uniforme. 3 3 Se f n f q.o. in, allora per ogni ε >, esiste un insieme misurabile A ε tale che A ε < ε e N ε N tale che per ogni n N ε si ha sup \A ε f n f < ε..

17 17 Esercizio 76. Sia f n L p () con p [1, + ) e supponiamo che f n converga q.o. a f in e che f n sia limitata in L p. 1. Mostrare che f n f in L p (), per p (1, + ). 2. Se sappiamo che f n g in L 1 (), mostrare che g = f q.o. in. Suggerimento: Usare l Esercizio 75. Esercizio 77. Data la successione di distribuzioni in R T n = n 2 (δ 1/n 2δ + δ 1/n ) dove δ x è la delta Dirac in x. Verificare se T n converge nel senso delle distribuzioni e eventualmente calcolarne il limite descrivendo la sua azione su ϕ D(R). Suggerimento: Usare lo sviluppo di Taylor. Esercizio 78. Supponiamo che X e Y siano normati, con X {. 1. Provare che esiste F X, con F ; 2. Data F X e y Y, mostrare che T (x) := F (x)y appartiene a L(X, Y ), con T L(X,Y ) = F X y Y ; 3. Provare che se L(X, Y ) è completo, allora Y è di Banach. Suggerimento: 1) Usare Hahn Banach. 3) Usare il punto 2). Esercizio 79. Data una successione di funzioni {φ k Cc [ 1, 1], che converge uniformemente a φ in R, con φ. (R) con supp φ k 1. Provare che φ k converge a φ in L p per ogni 1 p + ; 2. Definiamo la successione f k (x) = φ k (x k). Provare che f k è limitata in L p (R) per ogni p [1, + ]. 3. Provare che f k converge debolmente a zero in L p (R) per ogni p (1, + ). 4. Mostrare che f k non converge debolmente a zero in L 1 (R). 5. La successione converge *debolmente in L?

18 18 Esercizio 8. Provare la disuguaglianza di Clarkson f + g p 2 + f g p L 2 1 ( f p L + g p ) p L 2 p L p p f, g L p se p [2, + ) 4 Dedurne che L p per p [2, + ) è uniformemente convesso 5 Suggerimento: Basta dimostrare a + b 2 p + a b 2 p 1 2 ( a p + b p ) a, b R. Questa è conseguenza del fatto che la funzione g(x) = (x 2 + 1) p/2 x p 1 è crescente in [, + ) (provarlo). Esercizio 81. Mostrare che L 1 e L non sono uniformemente convessi. Esercizio 82. Sia H uno spazio di Hilbert. 1. Sia {u n una successione in H che converge debolmente a. Si costruisca induttivamente una sottosuccessione tale che u n1 = u 1 e (u nk, u nj ) 1 k j = 1, 2,..., k 1. Provare che la successione delle medie aritmetiche di u nk, σ k = 1 k k u nj, j=1 converge fortemente a zero per k + 6. Suggerimento: Stimare σ k Assumiamo che u n sia una successione limitata in H. Provare che esiste una sottosuccessione u nk tale che σ k = 1 k k j=1 u n j converge fortemente per k +. Esercizio 83. Mostrare con un esempio che C 1 ([ 1, 1]) con la norma sup f + sup f non è uno spazio di Hilbert (la norma non verifica l identità del parallelogramma). Mostrare che la successione f n (x) = x n appartiene a C 1 ([ 1, 1]) ed è di Cauchy rispetto alla norma ma non ha limite in C 1 ([ 1, 1]). f L 2 + f L 2, 4 Per 1 < p 2, la disuguaglianza di Clarkson è f + g p 2 f g p ( f p L p + 1 ) 1/(p 1) 2 g p L p f, g L p. L p + L p 5 Analogamente questo è vero per 1 < p 2. 6 Confrontare con l Esercizio 57

19 19 Esercizio 84. Sia = B(, 1) R n, con n 2. Consideriamo f : R data da f(x) := x α. 1. Provare che f è derivabile in senso debole (ossia il suo gradiente nel senso delle distribuzioni appartiene a (L 1 loc ())n ) se e soltanto se α > n + 1. Suggerimento: Considerare prima B(,1)\B(,ε) f x i ϕ dx e poi passare al limite per ε. 2. Dato p [1, + ), determinare α in modo che f appartenga a W 1,p (). Esercizio 85. Sia I = (, 1), mostrare che W 1,1 (I) non è riflessivo. Sapreste mostrarlo anche per W 1,1 (B(, 1)) con B(, 1) R n? Suggerimento: Usare il fatto che se fosse riflessivo tutte le successioni limitate sarebbero debolmente convergenti. Trovare una successione che non verifica questa proprietà. Esercizio 86. Sia I = (, 1). Supponiamo che u n sia una successione limitata in W 1,p (I), 1 < p +. Mostrare che esiste una sottosuccessione u nk e una funzione u in W 1,p (I) tali che u nk u (ossia u nk converge uniformemente a u e quindi fortemente in L p ) e u n k u debolmente in L p (I), se p < +, mentre u n k u debolmente in L (I). Suggerimento: Ricordare che W 1,p (I) W 1,1 (I) e che le funzioni in W 1,1 (I) sono assolutamente continue. Esibire una successione in W 1,1 (I) che non ammette sottosuccessioni convergenti fortemente in L (I). Suggerimento: Si veda l esercizio sulla non riflessività di W 1,1 (I). Esercizio 87. Data u W 1,p ((, + )) estendiamo la funzione per riflessione 7 u (x) = { u(x) se x u( x) se x <. Provare che u W 1,p (R) e u W 1,p (R) = 2 u W 1,p ((,+ )). Suggerimento: Usare il teorema fondamentale del calcolo. Nel caso u W 2,p ((, + )) come si fa a estenderla a una funzione in W 2,p (R) controllando la sua norma? Esercizio 88. Consideriamo le funzioni di troncatura ξ h (x) = ξ ( x h), con ξ Cc (R n ) tale che { 1 se x 1 ξ(x) = se x > Mostrare che ξ h C c (R n ) W k, (R n ) per ogni k N. 7 Notare che u è assolutamente continua e si può estendere in per continuità

20 2 2. Mostrare che se g W 1,p (R n ), con p [1, + ] e allora ξ k g W 1,p (R n ) e ξ k g converge a g fortemente in W 1,p (R n ). 3. Sapendo che C (R n ) è denso in W 1,p (R n ), mostrare che anche C c (R n ) lo è. Esercizio 89 (Regola del prodotto). Sia p [1, + ] e p il suo esponente coniugato (ossia tale che 1 = 1 p + 1 p ). Sia f W 1,p () e g W 1,p (). Provare che fg W 1,1 () e xi (fg) = g xi f + f xi g. (.4) Dedurne che se è limitato e f, g W 1,2 () L (), allora fg W 1,2 () L () e vale (.8). Suggerimento: Supporre che p + e usare l approssimazione C di f e la definizione di derivata debole. Esercizio 9 (Regola della catena). Sia G C 1 (R) con G() = e G (t) M per ogni t R. Dato f W 1,p (), provare che G f W 1,p () e xi (G f) = (G f) xi f. (.5) Suggerimento: Mostrare che G f L p () e (G f) xi f L p (). Infine provare (.5) per approssimazione. Esercizio 91. Sia f W 1,p (). Provare che le funzioni f + := max{f, f := max{ f, f = f + f sono in W 1,p (), cone derivate deboli date da con xi f + = χ E + xi f xi f = χ E xi f xi f = χ E + xi f χ E xi f, E + := {x : f(x) > E := {x : f(x) <. Dedurre che per ogni M > la funzione troncata T M f = f M M = max{min{f, M, M appartiene a W 1,p (). Suggerimento: È sufficiente fare il caso f +. Data la funzione t+ 1 k g k (t) = 2k s + ds, t 1 k provare che g k C 1 (R), che g k (t) t + 1 k, g k (t) 1, g k in (, ) e g k 1 in (, + ). Quindi usare l Esercizio.

21 21 Esercizio 92. Sia p [1, + ] e f W 1,p (). Sia E misurabile e a R. Provare che f = a in E = xi f = i. Suggerimento: Usare l Esercizio 91 e il fatto che f = (f a) + (f a) + a. Esercizio 93 (Criterio di selezione di Helly). Sia u n una successione limitata in W 1,1 ((, 1)). L obiettivo è provare che esiste una sottosuccessione u nk, tale che u nk (x) converge per ogni x [, 1] 1. Mostrare che si può assumere che per ogni n la funzione u n sia non decrescente in [, 1]. Suggerimento: Basta definire v n (x) = x u n(t) dt e w n = v n u n. 2. Provare che esiste una sottosuccessione {u nk e un insieme misurabile E [, 1] con E = tale che u nk (x) converge a un limite u(x) per ogni x [, 1] \ E. Suggerimento: Usare che l immersione di W 1,1 ((, 1)) in L 1 ((, 1)) è compatta. 3. Assumendo che u n è non decrescente, mostrare che il limite u è non decrescente in [, 1] \ E e dedurre che c è un insieme numerabile D (, 1) e una funzione ū : (, 1) \ D R non decrescente tale che ū(x + ) = ū(x ) per ogni x (, 1) \ D e ū(x) = u(x) per ogni x (, 1) \ (E D). 4. Provare che u nk (x) ū(x) per ogni x (, 1) \ D. 5. Costruire una successione {u nk che converge per ogni x in [, 1]. Suggerimento: Usare un argomento diagonale. Esercizio 94. Sia = B(, 1) R n e 1 p < n. Definiamo u k : R come {k n p p (1 k x ) se x < 1 u k (x) = k altrimenti. Provare che u k è limitata in W 1,p () ma non ammette una sottosuccessione convergente in L p () con p = np n p. Sia u : R data da u(x) = log(log(1 + 1 x )) se x \ { e u() =. Provare che u W 1,n () ma non a L ().

22 22 Esercizio 95. Data f : R R, semicontinua inferiormente, che verifica f(t) C, con C >. Mostrare che il funzionale F (u) = 1 f(u ) dx è semicontinuo inferiormente rispetto alla topologia debole in W 1,p ((, 1)) se e soltanto se f è convessa. Suggerimento: In un verso si può usare il lemma di Fatou o il teorema di Hahn Banach. Per mostrare che la semicontinuità inferiore debole di F implica la convessità di f usare una successione la cui derivata è periodica e oscilla tra due valori. Esercizio 96. Sia un aperto di classe C 1 (eventualmente = R n ). Usando i risultati di immersione per W 1,p (R n ) mostrare che valgono i seguenti risultati: 1. Se 2p < n allora W 2,p () si immerge in modo continuo in L q () per ogni p q np n 2p. L immersione è compatta per ogni p q < np n 2p, se è limitato. 2. Se 2p = n allora W 2,p () si immerge in modo continuo in L q () per ogni p q +. L immersione è compatta per ogni p q < +, se è limitato. 3. Se 2p > n allora W 2,p () si immerge in modo continuo in L (). L immersione è compatta per ogni se è limitato. Esercizio 97. Mostrare che W 2,4 (R 2 ) si immerge in modo continuo in C 1, 1 2 (R 2 ) (ossia funzioni derivabili con derivate 1 2 -hölderiane). Esercizio 98. Sia Q il quadrato aperto Q = {x R 2 : x 1 < 1, x 2 < 1. Definiamo 1 x 1 se x 1 >, x 2 < x x 1 se x 1 <, x 2 < x 1 u(x) = 1 x 2 se x 2 >, x 1 < x x 2 se x 2 <, x 1 < x 2. Stabilire se u è in W 1, (Q). Suggerimento: Determinare le derivate deboli di u. Esercizio 99. Fissato α > e = B(, 1) R n. Mostrare che esiste una costante che dipende solo da α e n, tale che u 2 dx c u 2 dx per ogni u H 1 () tale che {x : u(x) = α. Suggerimento: Procedere per assurdo.

23 23 Esercizio 1. Sia = B(, 1) R 2 e sia < α < 1 2. Mostrare che la funzione f(x) = (1 + log x ) α, appartiene ad H 1 (). Mostrare che f L q (B(, 1)) per ogni q < + ma che f / L (B(, 1)). Esercizio 11. Sia = B(, 1) R n e sia p 1 e α >. 1. Mostrare che la funzione u(x) = x α per x, appartiene ad W 1,p () se e solo se (α + 1)p < n. In particolare u / W 1,p () se p > n. 2. Sia {r k un insieme numerabile denso in e definiamo v(x) = k=1 1 2 k x r k α Mostrare che v appartiene ad W 1,p () se (α + 1)p < n. In particolare v è un esempio di funzione in W 1,p () che è illimitata in ogni intorno contenuto in. 1. Supponiamo che f H 1 (R n ) con trasformata di Fou- F(f)(k) := e i2πxk f(x) dx R n Esercizio 12. rier in H 1 (R n ). Mostrare che per ogni j = 1,..., n si ha che F( xj f) = i2πk j F(f)(k) per ogni k R n. 2. Supponiamo che f L 2 (R n ) con F(f) L 2 (R n ). Provare che f H 1 (R n ) se e solo se k k F(f) è in L 2 (R n ). Mostrare che se f H 1 (R n ), allora Esercizio 13. Sia un aperto di R n. f 2 H 1 (R n ) = R n (1 + k 2 ) F(f)(k) 2 dk. 1. Provare la seguente disuguaglianza di interpolazione ( u 2 dx D 2 u 2 dx ) 1 ( 2 u 2 dx ) 1 2 (.6) per ogni u Cc () (dove D 2 u denota la matrice delle derivate seconde di u). Suggerimento: Integrare per parti.

24 24 2. Provare la disuguaglianza (.6) per tutte le funzioni u H 2 () H 1 (). Suggerimento: Approssimare u in H 1 con funzioni u n C 1 c () e con funzioni w n C () in H 2 e usare l integrazione per parti. 3. Provare per ogni funzione u W 2,p () W 1,p () la seguente disuguaglianza ( u p dx D 2 u p dx ) 1 ( 2 u p dx Esercizio 14. Sia = (a, b) R e consideriamo una partizione a = x < x 1 <... < x n = b di. Poniamo I n k = (x k, x k+1 ), k n Mostrare che se f : R con f H 1 (Ik n ) per ogni k n 1, allora f H 1 () se e soltanto se f C(). 2. Mostrare che se sup k Ik n quando n + (per esempio In k = b a n per ogni n), allora per ogni u H 1 () esiste una successione u n H 1 () che converge forte a u in H 1 () e tale che u n è costante in ogni Ik n al variare di k n 1 (ossia u n è affine a tratti). 3. Chiamiamo A n l insieme delle funzioni affini a tratti descritte nel punto 2. (in corrispondenza di Ik n k(b a) = (a + n, a + (k+1)(b a) n ). Mostrare che data f L 2 () per ogni n N esiste un unica funzione u n A n che realizza il minimo { b min u 2 dx u A n a b a ) 1 2 fu dx : u(a) =, u(b) =. Suggerimento: Usare che A n si può identificare con R n+1, ossia è uno spazio finito dimensionale. Mostrare che la successione u n converge debolmente in H 1 () al minimo u di { b b min u 2 dx fu dx. u H 1() a a Esercizio 15. Siano 1 e 2 due aperti con bordo regolare (quanto basta per poter applicare il teorema della divergenza, e.g. Lipschitz) tali che 1 2 = e = 1 2, aperto di R n. Sia u : R tale che u 1 C 1 ( 1 ) H 1 ( 1 ) e u 2 C 1 ( 2 ) H 1 ( 2 ). Allora u H 1 () se e soltanto se u C(). Suggerimento: usare il teorema della divergenza (ossia integrare per parti).

25 25 Esercizio 16. Dato R n aperto considerare lo spazio { n H(div, ) = u = (u 1,..., u n ) (L 2 ()) n : div u = xi u i L 2 (), dove quindi la divergenza va intesa nel senso delle distribuzioni, munito della norma ( n ) 1 2 u H(div,) := u i 2 L 2 () + div u 2 L 2 (). i=1 1. Mostrare che H(div, ) è uno spazio di Hilbert. 2. Mostrare che la funzione u : Q R 2, con Q il cubo di lato 1 in R 2 centrato in, definita da { (, ) se x 1 < u(x) = (, 1) se x 1 i=1 appartiene a H(div, Q). Osservare che u (H 1 (Q)) 2. Esercizio 17. Sia un aperto di R n e f : R m R una funzione che verifica la mappa x f(x, v) è misurabile per ogni v R m la mappa v f(x, v) è continua per quasi ogni x (una funzione che verifica queste due proprietà si dice di Caratheodory). Supponiamo inoltre che dato p [1, + ) f(x, v) a v p + b(x) q.o. x con a R + e b L 1 (). Allora la mappa u f(x, u(x)) dx è continua rispetto alla topologia forte in L p (). Esercizio 18. Dato aperto di R n, consideriamo una funzione u W 1,p (), con p [1, + ). Per ogni e h dist (, R n \ ), definiamo la derivata parziale discreta di u 1. Mostrare che D i h u = u(x + he i) u(x) h D i h u L p ( ) i u L p (). 2. Mostrare che D i h u W 1,p ( ) e se ψ C c (R n ) allora v = ψd i h u W 1,p ( ). Inoltre scrivere il gradiente di v.

26 26 3. Mostrare che lim h Di h u iu L p ( ) =. Suggerimento: Usare il fatto che se v C () allora D i h v iv uniformemente in e la densità di C. Quindi usare il punto 1. Esercizio 19. Sia R n e u L p (), con p (1, + ). Supponiamo che esista una costante K > tale che per ogni i = 1,..., n si abbia D i h u L p ( ) K per ogni e h < dist (, R n \). Sappiamo che quindi u W 1,p (). Provare che per ogni i = 1,..., n i u L p ( ) K. Esercizio 11. Dato R > e Φ (, 2π], poniamo α := π/φ e il settore circolare R,Φ := {(r cos φ, r sin φ) : < r < R, < φ < Φ R 2. Definiamo la funzione u : R,Φ R che in coordinate polari scriviamo 1. Mostrare che u = in R,Φ. u = r α sin(αφ). 2. Dato p [1, + ) determinare per quali Φ, u L p ( R,Φ ). Esercizio 111. Sia R n un aperto limitato e sia f k L 2 (). Sia u k H 1() la soluzione debole di u k = f k in, ossia tale che u k v dx = f k v dx v H 1 (). Mostrare che se f k converge debolmente in L 2 a f allora u k converge fortemente a u in H 1 (), con u soluzione debole di u = f in. Suggerimento: Provare la seguente stima a priori: u k L 2 () f k L 2 (). Usare la riflessività per mostrare la convergenza debole delle u k. Per la convergenza forte usare l immersione compatta di H 1() in L2 () (testando l equazione di u con u k e l equazione di u k con u). Il fatto che tutta la successione converge è conseguenza dell unicità della soluzione. Esercizio 112. Sia R 2 aperto limitato. Dati a, a 1, a 2 R e f L 2 (), considerare il seguente problema di minimo { 1 min a 1 x1 u 2 + a 2 x2 u 2 dx + 1 a u 2 dx fu dx : u H 1 () 2 2

27 27 1. Mostrare che se a 1, a 2 > e a allora il problema ammette un solo minimo. 2. Scrivere l equazione di Eulero Lagrange corrispondente. 3. Mostrare che se a 1, a 2 > e a <, ma con a sufficientemente piccolo, esiste un unico minimo. 4. *Mostrare che in generale se a 2 < il problema non ammette minimo. Suggerimento: Testare l energia con una funzione della forma u n (x 1, x 2 ) = ψ(x 1 )φ(nx 2 ) con ψ e φ a supporto compatto e C 1. Esercizio 113. Sia R n un aperto limitato e sia A una matrice n n definita positiva. 1. Provare che esistono α, β > tali che α ξ 2 Aξ ξ β ξ 2 ξ R n. 2. Dato f (L 2 ()) n, considerare il seguente problema di Dirichlet (formale) { div (A u) = div (f) in (.7) u = su. Scrivere la formulazione debole del problema (.7) e provare che ammette un unica soluzione. 3. Mostrare che se A è simmetrica (.7) è l equazione di Eulero Lagrange di un problema di minimo. Scrivere il problema di minimo. Esercizio 114. Sia un aperto limitato di R n. Supponiamo che f : R n R sia di Carathèodory 8, ossia, f(, v) misurabile per ogni v R n e f(x, ) continua per quasi ogni x e che soddisfi per p (1, + ) e c 1, c 2 >. f(x, v) c 1 v p c 2 v R n q.o. x, 1. Provare che se u n u fortemente in W 1,p () allora f(x, u) dx lim inf f(x, u n ) dx. n + Suggerimento: Usare Fatou. 8 NOTA: Si dimostra che se f è di Carathèodory, allora per ogni v : R n misurabile, si ha che f(x, v(x)) è quasi ovunque uguale a una funzione Borel misurabile

28 28 2. Provare che se f(x, ) è convessa per q.o. x allora per ogni u n u debolmente in W 1,p () allora f(x, u) dx lim inf f(x, u n ) dx. n + Suggerimento: Usare Hahn-Banach o il lemma di Mazur. 3. Provare che esiste { min f(x, u) dx : u W 1,p (). 4. Se f è C 1, scrivere la corrispondente equazione di Eulero Lagrange. Esercizio 115. Provare che per una funzione u W 1,p (I), con I = (, 1), vale la formula di integrazione per parti: 1 u ϕ dx = u(1)ϕ(1) u()ϕ() 1 uϕ dx per ogni ϕ C1 (Ī) e dove u è il rappresentante continuo. Esercizio 116. Sia I = ( 1, 1) R e siano I + = (, 1) e I = ( 1, ). 1. Data u W 1,p (I + ) definiamo { u(x) se x I + ū(x) = u( x) se x I. Mostrare che ū è derivabile in senso debole, calcolarne la derivata e mostrare che ū W 1,p (I). 2. Data u W 1,p (I + ) definiamo { u(x) se x I + ũ(x) = u( x) se x I. Mostrare che ũ è derivabile in senso debole, calcolarne la derivata e mostrare che e ũ W 1,p (I). Esercizio 117. Sia Q = ( 1, 1) n R n e siano Q + = {x Q : x n > e Q = {x Q : x n <. a) Data u W 1,p (Q + ) definiamo { u(x) se x Q + ū(x) = u(x 1,..., x n 1, x n ) se x Q. Mostrare che ū è derivabile in senso debole, calcolarne la derivata e mostrare che ū W 1,p (Q).

29 29 b) Data u W 1,p (Q + ) definiamo { u(x) se x Q + ũ(x) = u(x 1,..., x n 1, x n ) se x Q. Mostrare che ũ è derivabile in senso debole, calcolarne la derivata e mostrare che e ũ W 1,p (Q). Esercizio 118. Dato un insieme aperto E con aperto limitato in R n con n 1, definiamo { Cap(E, ) := inf u 2 dx : u H 1 (), u χ E q.o. in. Questa si chiama la capacità (armonica) di E in. a) Provare che l insieme {u H 1 (), u χ E q.o. in è non vuoto. b) Mostrare che Cap(E, ) < +. Dedurne che il problema che definisce Cap(E, ) ammette minimo, u E (potenziale capacitario). Suggerimento: Usare Lax Milgram o il metodo diretto. c) Provare che il minimo è unico. d) Provare che u E = 1 q.o. in E. Suggerimento: Usare che u E 1 è una funzione test ammissibile e) Provare che se F E con F aperto, allora Cap(F, ) Cap(E, ). f) *Per n = 2 calcolare Cap(B r, B R ) (dove < r < R e B r denota la palla di raggio r e centro ). Suggerimento: Usare che u Br minimizza { min B R \B r u 2 dx : u H 1 (), u = 1 q.o. in B r è a simmetria radiale e calcolarla usando l equazione di Eulero. Esercizio 119. Sia = B 1 () R 3 e consideriamo il funzionale F (u) = u(x) 2 + a u(x) p dx su H 1 (), con a R e p [1, 6]. a) Mostrare che F (u) è debolmente semicontinuo inferiormente in H 1 se a o se a < ma p [1, 6). Suggerimento: Usare l immersione di Sobolev.

30 3 b) Se p = 6 and a < mostrare che F è fortemente continuo. c) Usare la successione u n (x) = cn α max{, 1 n 2 x con una scelta opportuna di c e α per contraddire la semicontinuità inferiore debole di F nel caso a < e p = 6. Esercizio 12. Sia I = (, 1) R. Dato α R e f L 2 (I) e sia H = {u H 1 (I), con u() =. a) Si provi che H è un sottospazio (debolmente) chiuso di H 1 (I). b) Si provi che esiste un unica soluzione del problema di minimo { 1 min 2 1 ( u 2 + u 2 ) dx 1 fu dx + αu(1) : u H 1 (I), con u() = c) Si mostri che l equazione di Eulero Lagrange del problema di minimo è u v dx + uv dx = fv dx + αv(1) v H. Dedurne che u H 2 e che u è la soluzione debole del problema { u + u = f in I u() = u (1) = α. Esercizio 121. Sia {f k una successione in W 1,p (), con p > 1 e aperto limitato. Supponiamo che f W 1,p () verifichi {x : f(x) = =. 1. Provare che se f k converge fortemente a f in L p (), allora χ {fk converge a χ {f in L q (), per ogni q [1, + ). È ancora vero in L ()? Provarlo o mostrare un controesempio. 2. Provare che se f k converge fortemente a f in W 1,p (), allora f + k converge fortemente a f + in W 1,p (). Suggerimento: Dare per noto che f + = χ {f f. 3. Assumiamo solo che f k converga ad f debolmente in W 1,p (), è vero che f + k converge debolmente a f + in W 1,p ()? (giustificare la risposta) Esercizio 122. Sia {f k una successione in W 1,p (), con p > 1 e aperto limitato. 1. Provare che se f k converge fortemente a f in W 1,p (), allora f + k converge fortemente a f + in W 1,p (). Suggerimento: Dare per noto che f + = χ {f f e che quindi f + k f k.

31 31 2. Assumiamo solo che f k converga ad f debolmente in W 1,p (), è vero che f + k converge debolmente a f + in W 1,p ()? (giustificare la risposta) Esercizio 123. Dato aperto connesso limitato di R n sia ω un sottoinsieme misurabile di con ω >. Provare che esiste C ω tale che u(x) 1 u(y) dy 2 dx C ω u(x) 2 dx u H 1 () ( ) ω usando la seguente strategia: ω 1. Provare che se non vale ( ) allora si può trovare una successione u n H 1 () tale che u n L 2 (), ω u n dx = e u n L 2 () = Mostrare, usando la compattezza dell immersione di H 1 () in L 2 (), che il punto 1) porta a una contraddizione. Esercizio 124. Sia I = (, 1) R. Dato f L 2 (I), sia H = {u H 1 (I) con u() = u(1) Si provi che H è un sottospazio chiuso di H 1 (I). 2. Sia a > ; si provi che esiste un unica soluzione del problema di minimo { 1 min 2 1 ( u 2 + a u 2 ) dx 1 fu dx : u H 3. Si mostri che l equazione di Eulero Lagrange del problema di minimo è u v dx + a uv dx = fv dx v H. Dedurne che u H 2 (I) e che u è la soluzione debole del problema { u + au = f in I u() = u(1) u () = u (1). Mostrare che la funzione u estesa per periodicità a tutto R appartiene a H 2 loc (R). 4. Provare che se f C(Ī), allora la soluzione è classica. Esercizio 125. Sia I = ( 1, 1) R e consideriamo a 1 (x) = 1 + x 2 e a 2 (x) = 2 + x. 9 È sottointeso che u è il rappresentante continuo.

32 32 1. Provare che esiste un unico punto di minimo del problema { 1 min a 1 (x) u 2 dx a 2 (x) u 2 dx u dx : u H 1 ( 1, 1) Suggerimento: Usare il metodo diretto o Lax Milgram provando la coercività della forma quadratica associata al problema. 2. Scrivere l equazione di Eulero Lagrange (in forma debole) che il minimo u deve verificare. 3. Indichiamo con I 1 = ( 1, ) e I 2 = (, 1) e denotiamo rispettivamente con u 1 e u 2 la restrizione di u a I 1 e I 2. Provare che u k H 2 (I k ), k = 1, 2. Suggerimento: Usare le equazioni in forma debole risolte da u 1 e u 2, prendendo funzioni test v H 1 (I k). 4. Mostrare che u 1 e u 2 ammettono un rappresentante C 1 (Īk), k = 1, 2. Provare che u 1 () = u 2 () u 1() = 2u 2(). Esercizio 126. Sia {f k una successione in W 1,p (), con p > 1 e aperto limitato. Supponiamo che f W 1,p () verifichi {x : f(x) = =. 1. Provare che se f k converge fortemente a f in L p (), allora χ {fk converge a χ {f in L q (), per ogni q [1, + ). È ancora vero in L ()? Provarlo o mostrare un controesempio. 2. Provare che se f k converge fortemente a f in W 1,p (), allora f + k converge fortemente a f + in W 1,p (). Suggerimento: Dare per noto che f + = χ {f f. 3. Assumiamo solo che f k converga ad f debolmente in W 1,p (), è vero che f + k converge debolmente a f + in W 1,p ()? (giustificare la risposta) Esercizio 127. Dato aperto limitato in R n con n 1, sia p (1, + ) e f k una successione di funzioni in L p (), con p l esponente coniugato di p ( 1 p + 1 p = 1). Consideriamo il funzionale F k (u) := u p dx f k u dx. 1. Provare che per ogni k esiste un unico punto minimo u k W 1,p () del problema { min F k (u) : u W 1,p () Suggerimento: Usare il metodo diretto provando che F k : W 1,p () R è debolmente semicontinuo inferiormente e coercivo.

33 33 2. Scrivere l equazione di Eulero Lagrange in forma debole soddisfatta dalla funzione u k. Suggerimento: Per ogni ϕ W 1,p () porre g k (t) = F k (u k + tϕ) e calcolare g (). 3. Mostrare che u k p dx f k L p u k L p. 4. Provare che se f k converge a zero fortemente in L p (), allora u k converge fortemente a zero in W 1,p (). Esercizio 128. Sia I = (, 1) R e α R. 1. Si provi che F (u) := α(u(1) u()) appartiene al duale di H 1 (I) (con u() e u(1) si intendono rispettivamente il limite destro in e il limite in 1 del rappresentante continuo di u). Suggerimento: Usare il teorema fondamentale del calcolo. 2. Si provi che esiste un unica soluzione del problema di minimo { 1 min 2 1 ( u 2 + u 2 ) dx + α(u() u(1)) : u H 1 (I) 3. Si mostri che l equazione di Eulero Lagrange in forma debole del problema di minimo è 1 u v dx + 1 uv dx = αv(1) αv() v H 1 (I). Dedurne che u H 2 (I) e che u è la soluzione debole del problema { u + u = in I u () = u (1) = α. Esercizio 129. Sia ϕ C(R) una funzione periodica di periodo 1 a media nulla (ossia 1 ϕ(y) dy = ) e sia f k (x) = kϕ(kx). 1. Mostrare che f k converge in D (R) a zero. Suggerimento: Integrare per parti e usare il Lemma di Riemann- Lebesgue (provando che la primitiva di una funzione periodica a media nulla è periodica).

34 34 2. Provare che in generale, se ϕ, la successione f k non converge debolmente in alcun L p loc (R). Suggerimento: Dato un intervallo (a, b), calcolare la norma L p ((a, b)) di f k. Esercizio 13. Siano X e Y due spazi di Banach e sia {T n una successione in L(X, Y ). Assumiamo che per ogni x X, T n x converge per n + a un limite che denotiamo con T x. 1. Provare che T L(X, Y ); 2. Mostrare che se x n converge a x in X allora T n x n converge a T x in Y. Suggerimento: Usare il Teorema di Banach-Steinhaus. Esercizio 131. Sia = B(, 1) R 2 e 1 p < 2. Definiamo u k : R come {k 2 p p (1 k x ) se x < 1 u k (x) = k altrimenti. 1. Provare che u k è limitata in W 1,p () 2. Provare che u k converge fortemente a zero in L p () 3. Mostrare che u k non ammette una sottosuccessione convergente fortemente in L p () con p = 2p 2 p. Esercizio 132. Dire, giustificando la risposta, quali delle seguenti mappe sono ben definite da D(R) in R e sono delle distribuzioni T 1, ϕ := T 3, ϕ := + k= + k= ϕ(k), T 2, ϕ := + k= ϕ (k) (k), T 4, ϕ := R ϕ (k) (), ϕ(x) 2 dx, dove ϕ (k) denota la derivata k-esima. Suggerimento: Per T 2 testare con una funzione della forma ϕ(x) = e x g(x) con g Cc (R) e g = 1 in un intorno di. Mostrare che ϕ (k) () = 1 per ogni k. Esercizio 133. Sia R n, con n 1, p [1, + ] e p il suo esponente coniugato (ossia tale che 1 = 1 p + 1 p ). 1. Sia f W 1,p () e g W 1,p (). Provare che fg W 1,1 () e xi (fg) = g xi f + f xi g. (.8) Suggerimento: Supporre che p + e usare l approssimazione C di f e la definizione di derivata debole.

35 35 2. Dedurre che se f, g W 1,2 () L (), allora fg W 1,2 () L () e vale (.8). Riferimenti bibliografici [1] Brezis H.: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer. [2] Evans C. e Gariepy R.: Measure theory and fine properties of functions. CRC Press 1992 [3] Fomin A.N. e Kolmogorov S.V.: Elementi di teoria delle funzioni e analisi funzionale [4] Rudin W.: Functional Analysis. Second edition, McGraw-Hill International Editions, 1991.