ROBOTICA. Studio di macchine che possano sostituire l uomo nell esecuzione di un compito, sia in termini di attività fisica che decisionale

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1 ROBOTICA Studio di macchine che possano sostituire l uomo nell esecuzione di un compito, sia in termini di attività fisica che decisionale Radici culturali mitologia automa robot (robota = lavoro esecutivo) letteratura fantascientifica Leggi fondamentali (Asimov) un robot non può far del male a un essere umano né consentire, restando inoperoso, che un essere umano si trovi in pericolo un robot deve obbedire agli ordini impartiti da esseri umani, a meno che tali ordini non entrino in conflitto con la prima legge un robot deve proteggere la sua esistenza a meno che tale protezione non vada in conflitto con la prima o la seconda legge

2 Robotica definita come scienza che studia la connessione intelligente tra percezione e azione sistema meccanico (locomozione + manipolazione) sistema sensoriale (sensori propriocettivi ed eterocettivi) sistema di governo Robotica avanzata spiccate caratteristiche di autonomia applicazioni in ambiente ostile (spaziale, sottomarino, nucleare, militare,...) missioni di servizio (applicazioni domestiche, assistenza medica, assistenza ai disabili, agricoltura,...). ancora in età infantile Robotica industriale progettazione, governo e applicazioni dei robot in ambito industriale tecnologia matura

3 L automazione è una tecnologia il cui obiettivo è quello di sostituire la macchina all uomo in un processo di produzione, non solo per quanto riguarda l esecuzione delle operazioni materiali, ma anche per ciò che concerne l elaborazione intelligente delle informazioni sullo stato del processo. automazione rigida (produzione in serie di grossi volumi di manufatti di caratteristiche costanti) automazione programmabile (produzione di piccoli e medi lotti di manufatti di caratteristiche variabili) automazione flessibile (produzione di lotti variabili di manufatti diversi) Robot industriale macchina con elevate caratteristiche di versatilità e flessibilità un robot è una struttura meccanica multifunzionale e riprogrammabile progettato per spostare materiali, parti, utensili o dispositivi specializzati secondo movimenti variabili programmati per l esecuzione di una varietà di compiti diversi (Robot Institute of America, 198) componente tipico di sistemi di automazione programmabile

4 ROBOT INDUSTRIALE Componenti: una struttura meccanica o manipolatore che consiste in un insieme di corpi rigidi (bracci) interconnessi tra di loro per mezzo di articolazioni (giunti); nel manipolatore si individuano una struttura portante, che ne assicura mobilità, un polso, che conferisce destrezza, e un organo terminale che esegue il compito per cui il robot è utilizzato attuatori che imprimono il movimento al manipolatore attraverso l azionamento dei giunti; si impiegano usualmente motori elettrici, idraulici e talvolta pneumatici sensori che misurano lo stato del manipolatore (sensori propriocettivi) ed eventualmente lo stato dell ambiente (sensori eterocettivi) una unità di governo (calcolatore) con funzioni di controllo e supervisione dei movimenti del manipolatore

5 CAPACITÀ DI IMPIEGO trasporto palettizzazione (disposizione di oggetti in maniera preordinata su un opportuno supporto raccoglitore) carico e scarico di magazzini carico e scarico di macchine operatrici e macchine utensili selezione e smistamento di parti confezionamento di merci manipolazione (lavorazione/assemblaggio) saldatura ad arco e a punti verniciatura a spruzzo fresatura e trapanatura incollaggio taglio laser e a getto d acqua finitura assemblaggio di gruppi meccanici ed elettrici montaggio di schede elettroniche avvitatura cablaggio

6 misura collaudo dimensionale rilevamento di profili individuazione di difetti di fabbricazione

7 STRUTTURA DEI MANIPOLATORI struttura meccanica a catena cinematica aperta oacatena cinematica chiusa gradi di mobilità (giunti prismatici o rotoidali) gradi di libertà (descrizione di un compito) spazio di lavoro (porzione dell ambiente circostante a cui può accedere l organo terminale)

8 Manipolatore cartesiano tre giunti prismatici ad ogni grado di mobilità corrisponde un grado di libertà ottime caratteristiche di rigidezza meccanica precisione di posizionamento del polso costante nello spazio di lavoro operazioni di trasporto e assemblaggio azionamenti elettrici (talvolta pneumatici)

9 Manipolatore a portale manipolazione di oggetti di dimensione e peso rilevanti

10 Manipolatore cilindrico un giunto rotoidale e due prismatici ad ogni grado di mobilità corrisponde un grado di libertà (in coordinate cilindriche) buone caratteristiche di rigidezza meccanica la precisione di posizionamento del polso si riduce al crescere dello sbraccio orizzontale operazioni di trasporto di oggetti anche di peso rilevante azionamenti idraulici (o elettrici)

11 Manipolatore sferico due giunti rotoidali e uno prismatico ad ogni grado di mobilità corrisponde un grado di libertà (in coordinate sferiche) discrete caratteristiche di rigidezza meccanica la precisione di posizionamento del polso si riduce al crescere dello sbraccio radiale operazioni di lavorazione azionamenti elettrici

12 Manipolatore SCARA due giunti rotoidali e uno prismatico elevata rigidezza a carichi verticali e cedevolezza a carichi orizzontali (Selective Compliance Assembly Robot Arm) la precisione di posizionamento del polso si riduce al crescere della distanza del polso stesso dall asse del primo giunto manipolazione di piccoli oggetti azionamenti elettrici

13 Manipolatore antropomorfo tre giunti rotoidali spalla e gomito (che connette braccio e avambraccio) struttura più destra precisione di posizionamento variabile applicazioni molteplici azionamenti elettrici

14 Polso sferico giunti rotoidali determinano l orientamento dell organo terminale caratteristiche di compattezza e destrezza disaccoppiamento tra posizione e orientamento Organo terminale specificato in relazione al compito che il robot deve eseguire pinza (trasporto) utensile o dispositivo specializzato (lavorazione e assemblaggio)

15 Alcuni robot industriali Robot AdeptOne XL Robot Comau SMART S

16 Robot ABB IRB 44 Unità lineare Kuka KL 5 con robot KR 15/

17 Robot Robotics Research K-17i Robot Fanuc I-1i

18 MODELLISTICA E CONTROLLO DI MANIPOLATORI Modellistica struttura meccanica (cinematica + cinematica differenziale + statica + dinamica) attuatori sensori Controllo pianificazione del moto controllo nello spazio libero controllo nello spazio vincolato unità di governo

19 Cinematica relazioni tra posizioni dei giunti e posizione e orientamento dell organo terminale Cinematica differenziale relazioni tra velocità dei giunti e velocità (lineare e angolare) dell organo terminale Statica relazioni tra forze e coppie applicate ai giunti e forze e momenti applicati all organo terminale in situazioni di equilibrio Dinamica equazioni del moto del manipolatore in funzione delle forze e momenti agenti su di esso

20 Pianificazione di traiettorie generazione delle leggi di moto per le variabili di interesse (giunti/organo terminale) Controllo del moto determinazione delle forze/coppie agli attuatori per garantire l esecuzione delle traiettorie di riferimento Controllo dell interazione gestione del contatto tra organo terminale e ambiente

21 Attuatori e sensori attuazione del moto misura di variabili di interesse Unità di governo implementazione delle leggi di controllo interfaccia con operatore

22 CINEMATICA relazioni tra posizioni dei giunti e posizione e orientamento dell organo terminale Matrice di rotazione Rappresentazioni dell orientamento Trasformazioni omogenee Cinematica diretta Spazio dei giunti e spazio operativo Calibrazione cinematica Problema cinematico inverso

23 o y o z POSIZIONE E ORIENTAMENTO DI UN CORPO RIGIDO Posizione 3 x o 5 4 o = Orientamento x = x xx + x yy + x zz y = y xx + y yy + y zz z = z xx + z yy + z zz

24 MATRICE DI ROTAZIONE x 3 T xt x z y T x = 5 z y x 4 R = T y y T y z T y x T z y T z z T z x R T R = I R T = R ;1

25 cos sin 1 Rotazioni elementari rotazione di intorno a z 3 ;sin cos 5 4 R z () =

26 sin cos 1 cos ;sin sin cos rotazione di intorno a y R y () = ;sin cos rotazione di intorno a x R x () =

27 p y p z 3 p = 5 p y p z Rappresentazione di un vettore p x 4 p x p = y z 3 5 p x 4 p = = Rp p = R T p

28 p z = p z Esempio p x = p x cos ; p y sin p y = p x sin + p y cos

29 p z = p z Rotazione di un vettore p = Rp p T p = p T R T Rp Esempio p x = p x cos ; p y sin p y = p x sin + p y cos p = R z ()p

30 Matrice di rotazione fornisce l orientamento di una terna di coordinate rispetto ad un altra: i vettori colonna sono i coseni direttori degli assi della terna ruotata rispetto alla terna di partenza rappresenta una trasformazione di coordinate che mette in relazione le coordinate di uno stesso punto in due terne differenti (di origine comune) è l operatore che consente di ruotare un vettore in una stessa terna di coordinate

31 R = R 1R 1 R = R1 R 1 COMPOSIZIONE DI MATRICI DI ROTAZIONE p 1 = R 1 p = R 1p 1 p = R p p R j i = (Ri j );1 = (R i j )T Rotazione in terna corrente Rotazione in terna fissa

32 Esempio

33 ANGOLI DI EULERO matrice di rotazione 9 parametri con 6 vincoli rappresentazione minima dell orientamento 3 parametri indipendenti

34 ' c # c + c ' s ;s ' c # s + c ' c s ' s # s # c s # s c # ;s Angoli ZYZ R() = R z (')R y (#)R z ( ) c 'c # c ; s ' s ;c ' c # s ; s ' c c ' s # =

35 q Atan r 13 + r 3 r 33 = # q ; r 13 + r 3 r 33 Atan = # Problema inverso Assegnata 3 11 r 1 r 13 r 5 4 R = 1 r r 3 r 31 r 3 r 33 r i 3 angoli ZYZ sono (# ( )) ' = Atan(r 3 r 13 ) = Atan(r 3 ;r 31 ) ovvero (# (; )) ' = Atan(;r 3 ;r 13 ) = Atan(;r 3 r 31 )

36 Angoli di RPY R() = R z (')R y (#)R x ( ) c 'c # c ' s # s ; s ' c c ' s # c + s ' s = ' c # s ' s # s + c ' c s ' s # c ; c ' s s # c # s c # c ;s

37 q ;r 31 r 3 + r 33 Atan = # q ;r 31 ; r 3 + r 33 Atan = # Problema inverso Assegnata 3 11 r 1 r 13 r 5 4 R = 1 r r 3 r 31 r 3 r 33 r i 3 angoli di RPY sono (# (;= =)) ' = Atan(r 1 r 11 ) = Atan(r 3 r 33 ) ovvero (# (= 3=)) ' = Atan(;r 1 ;r 11 ) = Atan(;r 3 ;r 33 )

38 r y q x + r y r q x + r y r r x q x + r y r cos = r z ASSE/ANGOLO R(# r) = R z ()R y ()R z (#)R y (;)R z (;) sin = cos = sin =

39 r x (1 ; c #) + c # r x r y (1 ; c # ) ; r z s # r x r y (1 ; c # )+r z s # r y (1 ; c #)+c # r x r z (1 ; c # ) ; r y s # r y r z (1 ; c # )+r x s # r z (1 ; c #) + c # 6 R(# r) = 4 x r z (1 ; c # )+r y s # r y r z (1 ; c # ) ; r x s # r 3 5 R(# r) = R(;# ;r)

40 Problema inverso Assegnata 3 11 r 1 r 13 r 5 4 R = 1 r r 3 r 31 r 3 r 33 r l angolo e l asse di rotazione sono (sin # 6= ) = ;1 r11 + r + r 33 ; 1 # cos = 1 r sin# 3 3 ; r 3 r ; r 31 r 1 ; r 1 r con r x + r y + r z = 1

41 = cos # QUATERNIONE UNITARIO rappresentazione a 4 parametri Q = f g = sin # r + x + y + z = 1 (# r) e (;# ;r) forniscono lo stesso quaternione ( + x ) ; 1 ( x y ; z ) ( x z + y ) R( ) = 4 ( x y + z ) ( + y ) ; 1 ( y z ; x ) ( x z ; y ) ( y z + x ) ( + z ) ; 1

42 = 1 Problema inverso Assegnata 3 11 r 1 r 13 r r r 3 r 31 r 3 r 33 r R = il quaternione è( ) = 1 p r11 + r + r sgn (r 3 ; r 3 ) p r 11 ; r ; r sgn (r 13 ; r 31 ) p r ; r 33 ; r sgn (r 1 ; r 1 ) p r 33 ; r 11 ; r +1 quaternione estratto da R ;1 = R T Q ;1 = f ;g prodotto tra quaternioni Q 1 Q = f 1 ; T g

43 TRASFORMAZIONI OMOGENEE Trasformazione di coordinate (traslazione + rotazione) p = o 1 + R 1p 1 Trasformazione inversa p 1 = ;R 1 o 1 + R1 p

44 4 p 1 T 1 Rappresentazione omogenea ~p = 5 Matrice di trasformazione omogenea = 6 R 4 1 o A 5 Trasformazione di coordinate ~p = A 1 ~p1

45 ~p 1 = A 1 ~p = ; A 1 ;1 ~p T 1 = A 1A 1 :::An;1 n ~p n ~p Trasformazione inversa ove 1 = 6 R1 4 ;R 1 o A 5 A ;1 6= A T Successione di trasformazioni

46 CINEMATICA DIRETTA Manipolatore insieme di bracci connessi tramite giunti Catena cinematica (dalla base all organo terminale) aperta (sequenza unica) chiusa (sequenza forma un anello) Grado di mobilità tipicamente associato a una articolazione = variabile di giunto

47 Terna base e terna utensile Equazione cinematica diretta b (q) = 6 e T nb e (q) sb e (q) ab e (q) pb e (q) 4 1

48 1 1 Manipolatore planare a due bracci b (q) = 6 e T 3 7 nb e s b e a b e p b e s 1 c 1 a 1 c 1 + a c 1 ;c 1 s 1 a 1 s 1 + a s = 4

49 T b e (q) = T b T n (q)t n e Catena aperta n (q) = A 1 (q 1)A 1 (q ) :::A n;1 n (q n ) T

50 Convenzione di Denavit-Hartenberg si sceglie l asse z i giacente lungo l asse del giunto i +1 si individua O i all intersezione dell asse z i con la normale comune agli z assi i;1 z e i, e O con i si indica l intersezione della normale comune con i;1 z si assume l asse x i diretto lungo la normale comune agli z assi i;1 z e i con verso positivo dal i giunto al i +1 giunto si sceglie l asse y i in modo da completare una terna levogira

51 Definizione non univoca della terna: con riferimento alla terna, per la quale la sola direzione z dell asse risulta specificata: si possono quindi scegliere O arbitrariamente x ed con riferimento alla terna n, per la quale il solo asse x n risulta soggetto a vincolo (deve essere normale z all asse n;1 ): infatti non vi è n + giunto 1, per cui non è z definito n elo si può scegliere arbitrariamente quando due assi consecutivi sono paralleli, in quanto la normale comune tra di essi non è univocamente definita quando due assi consecutivi si intersecano, in quanto il verso x di i è arbitrario quando il giunto i è prismatico, nel qual caso la sola direzione z dell asse i;1 è determinata

52 se il giunto è rotoidale la variabile è # i se il giunto è prismatico la variabile è d i Parametri di Denavit-Hartenberg a i distanza di O i da O i ; d i coordinata su z i;1 di O i ; i angolo intorno all asse x i tra l asse z i;1 e l asse z i valutato positivo in senso antiorario; i angolo intorno all asse z i;1 tra l asse x i;1 e l asse x i valutato # positivo in senso antiorario. a i e i sono sempre costanti

53 i;1 i = A i i = A i i = A c ;s #i #i c s #i #i 1 d i 1 a i 1 c i ;s i s i c i 1 s c d i i i 1 Trasformazione di coordinate i (q i ) = A i;1 A i;1 i 6 c c s s ;s a #i i i c #i #i #i i c s ;c s c a #i i i s #i i #i #i

54 Procedura operativa 1. Individuare e numerare consecutivamente gli assi dei giunti; assegnare, rispettivamente, le direzioni agli assi z, :::, z n;1. Fissare la terna base posizionandone l origine z sull asse ; gli x assi y e sono scelti in maniera tale da ottenere una terna levogira Eseguire i passi da 3 a 5 i = 1 ::: n; per 1: 3. Individuare O l origine i all intersezione z di i con la normale comune agli z assi i;1 z e i. Se gli z assi i;1 z e i sono paralleli e il i giunto è rotoidale, O posizionare i in modo da d annullare i ; se il i giunto è prismatico, O scegliere i in corrispondenza di una posizione di riferimento per la corsa del giunto (ad esempio un fine-corsa) 4. Fissare l asse x i diretto lungo la normale comune agli assi z i;1 e z i con verso positivo dal giunto i al giunto i Fissare y l asse i in modo da ottenere una terna levogira Per completare: 6. Fissare la terna n, z allineando n lungo la direzione z di n;1 se il n giunto è rotoidale, ovvero z scegliendo n in maniera arbitraria se il n giunto è prismatico; fissare x l asse n in accordo al punto 4 7. Costruire i = per 1 ::: nla tabella dei a parametri d i i # i i 8. Calcolare sulla base dei parametri di cui al punto 7 le matrici di trasformazione A omogenea (q i;1 ) i i = 1 ::: n per 9. T Calcolare n (q) = A 1 :::An;1 n orientamento della terna rispetto alla terna n i che fornisce posizione e 1. Assegnate T b e T n e, calcolare la funzione cinematica diretta T b e (q) = T b T nt n e che fornisce posizione e orientamento della terna utensile rispetto alla terna base

55 Catena chiusa Connessione di un singolo braccio con due bracci giunto virtuale di taglio i j (q ) = A i i+1 (q i+1) :::Aj;1 j (q j ) A i k (q ) = A i i+1 (q i+1) :::Ak;1 k (q k ) A

56 it j (q ) x T n (q) = A i A i ja j n Vincoli giunto j +1rotoidale ( j i (q ) ; p i j (q ) ; p i k (q ) = [ d jk ] T R z i j (q ) = z i k (q ) giunto j +1prismatico 8 >< ;p i (q ) ; p i k (q ) = j it j (q ) y >: i j (q ) = z i k (q ) z it x j (q )x i k (q ) = cos # jk risolti in termini di q :::

57 Procedura operativa 1. Selezionare un giunto non attuato della catena chiusa. Ipotizzare di aprire tale giunto in modo da ottenere una catena aperta con struttura ad albero. Calcolare le trasformazioni omogenee secondo la convenzione di Denavit-Hartenberg 3. Trovare i vincoli di uguaglianza per le due terne connesse dal giunto di taglio 4. Risolvere i vincoli in termini di un numero ridotto di variabili di giunto 5. Esprimere le trasformazioni omogenee in funzione di tali variabili di giunto e calcolare la funzione cinematica diretta per composizione della varie trasformazioni dalla terna base alla terna utensile

58 Manipolatore planare a tre bracci

59 Braccio a i i d i # i 3 a 3 # 3 a 1 # 1 1 a #

60 i;1 i = A T 3 = A 1A 1 A i ;s i a i c i c i c i a i s i s i = ;s 13 a 1 c 1 + a c 1 + a 3 c 13 c 13 c 13 a 1 s 1 + a s 1 + a 3 s 13 s 3 7 = 4 5

61 Manipolatore a parallelogramma

62 Braccio a i i d i # i 1 # 1 1 a # a 3 # 3 3 a 1 # 1 a 1 4 a 4

63 A 3 (q ) = A 1 A1 A ;s 1 3 a 1 c 1 + a c 1 + a 3 c 1 3 c 1 3 c 1 3 a 1 s 1 + a s 1 + a 3 s 1 3 s 3 7 = ;s 1 a 1 c 1 c 1 c 1 a 1 s 1 1 s 3 7 A 1 (q ) = = A a

64 3 (q ) ; p 3 (q ) ; p 1 (q ) = R Risoluzione vincoli orientamento (OK) posizione a 1 (c 1 + c 1 3 )+a 1 (c 1 ; c 1 ) = a 1 (s 1 + s 1 3 )+a 1 (s 1 ; s 1 ) = # = # 1 ; # 1 # 3 = ; # = ; # 1 + # 1 Cinematica diretta (q) = A 3 (q)a3 4 = 4 T 6 s 1 a 1 c 1 ; a 4 c 1 ;c 1 ;c 1 a 1 s 1 ; a 4 s 1 1 ;s

65 Manipolatore sferico

66 Braccio a i i d i # i ;= # 1 1 = d # 3 d 3

67 1 ;s 1 c 1 c 1 s ;1 1 T 3 = A 1A 1 A s c ;c s = A 3 A 1 7 = d = A d c ;s 1 c 1 s c 1 s d 3 ; s 1 d c 1 c c 1 s 1 s s 1 s d 3 + c 1 d s 3 7 = 4 5 c c d 3 ;s 1

68 Manipolatore antropomorfo

69 Braccio a i i d i # i 3 a 3 # 3 = # 1 1 a #

70 i;1 i = A T 3 = A 1A 1 A 3 1 s 1 c 1 ;c 1 s c 3 ;c 1 s 3 s 1 c 1 (a c + a 3 c 3 ) c 1 c 3 ;s 1 s 3 ;c 1 s 1 (a c + a 3 c 3 ) s = A i ;s i a i c i c i c i a i s i s i = = c 3 a s + a 3 s 3 s 1

71 Polso sferico

72 Braccio a i i d i # i 6 d 6 # 6 ;= # 4 4 = # 5 5

73 4 ;s 4 c 4 c 4 s ;1 1 T 3 6 = A3 4A 4 5A ;s 6 c 6 c 6 s 5 s 5 c 5 ;c 5 s = A 3 A 4 7 = = A d c 5 c 6 ; s 4 s 6 ;c 4 c 5 s 6 ; s 4 c 6 c 4 s 5 c 4 s 5 d 6 c 4 c 5 c 6 + c 4 s 6 ;s 4 c 5 s 6 + c 4 c 6 s 4 s 5 s 4 s 5 d 6 s 3 7 = c 6 s 5 s 6 c 5 c 5 d 6 ;s 1

74 Manipolatore di Stanford

75 4 n s a p = T 3 T 3 6 = 6 6 T

76 1s d 3 ; s 1 d + ; c 1 (c c 4 s 5 + s c 5 ) ; s 1 s 4 s 5 d6 c p = 1 d 3 + c 1 d + ; s 1 (c c 4 s 5 + s c 5 )+c 1 s 4 s 5 d6 s s d 3 +(;s c 4 s 5 + c c 5 )d 6 c ; 3 c (c 4 c 5 c 6 ; s 4 s 6 ) ; s s 5 c 6 ; s1 (s 4 c 5 c 6 + c 4 s 6 ) c n = ; c (c 4 c 5 c 6 ; s 4 s 6 ) ; s s 5 c 6 + c1 (s 4 c 5 c 6 + c 4 s 6 ) s 1 (c 4 c 5 c 6 ; s 4 s 6 ) ; c s 5 c 6 ;s ; 3 ;c (c 4 c 5 s 6 + s 4 c 6 )+s s 5 s 6 ; s1 (;s 4 c 5 s 6 + c 4 c 6 ) c s = ; ;c (c 4 c 5 s 6 + s 4 c 6 )+s s 5 s 6 + c1 (;s 4 c 5 s 6 + c 4 c 6 ) s 1 (c 4 c 5 s 6 + s 4 c 6 )+c s 5 s 6 s 3 1(c c 4 s 5 + s c 5 ) ; s 1 s 4 s 5 c 5 4 a = 1 (c c 4 s 5 + s c 5 )+c 1 s 4 s 5 s c 4 s 5 + c c 5 ;s

77 Manipolatore antropomorfo con polso sferico

78 Braccio a i i d i # i = # 1 1 a # = # 3 3 ;= d 4 # 4 4 = # 5 5 d 6 # 6 6

79 3 s 3 c 3 ;c 3 s ;s 4 c 4 c 4 s = A 3 A 3 7 = ;1 d ; 3 c + d 4 c 1 s 3 + d 6 c1 (c 3 c 4 s 5 + s 3 c 5 )+s 1 s 4 s 5 a c 1 ; 4 c + d 4 s 1 s 3 + d 6 s1 (c 3 c 4 s 5 + s 3 c 5 ) ; c 1 s 4 s 5 5 s 1 a p = a s ; d 4 c 3 + d 6 (s 3 c 4 s 5 ; c 3 c 5 ) ; 3 c3 (c 4 c 5 c 6 ; s 4 s 6 ) ; s 3 s 5 c 6 + s1 (s 4 c 5 c 6 + c 4 s 6 ) c ; c3 (c 4 c 5 c 6 ; s 4 s 6 ) ; s 3 s 5 c 6 ; c1 (s 4 c 5 c 6 + c 4 s 6 ) s 1 (c 4 c 5 c 6 ; s 4 s 6 )+c 3 s 5 c 6 3 s n = ; 3 ;c3 (c 4 c 5 s 6 + s 4 c 6 )+s 3 s 5 s 6 + s1 (;s 4 c 5 s 6 + c 4 c 6 ) c ; ;c3 (c 4 c 5 s 6 + s 4 c 6 )+s 3 s 5 s 6 ; c1 (;s 4 c 5 s 6 + c 4 c 6 ) s 1 (c 4 c 5 s 6 + s 4 c 6 ) ; c 3 s 5 s 6 3 ;s s = 3 1(c 3 c 4 s 5 + s 3 c 5 )+s 1 s 4 s 5 c 5 4 a = 1 (c 3 c 4 s 5 + s 3 c 5 ) ; c 1 s 4 s 5 s 3 c 4 s 5 ; c 3 c 5 s

80 q n SPAZIO DEI GIUNTI E SPAZIO OPERATIVO Spazio dei giunti q q = q i = # i (giunto rotoidale) q i = d i (giunto prismatico) Spazio operativo p x = p (posizione) (orientamento) Equazione cinematica diretta x = k(q)

81 y p 3 = k(q) = 5 Esempio p x 4 a 1c 1 + a c 1 + a 3 c s 1 + a s 1 + a 3 s 13 a 1 + # + # 3 # x =

82 Spazio di lavoro Spazio di lavoro raggiungibile p = p(q) q im q i q im i = 1 ::: n elementi di superficie planare, sferica, toroidale e cilindrica Spazio di lavoro destro orientamenti diversi

83 Esempio configurazioni ammissibili

84 spazio di lavoro

85 Accuratezza scostamento tra posizione conseguita con la postura assegnata e posizione calcolata tramite la cinematica diretta valori tipici: (: 1) mm Ripetibilità capacità del manipolatore di tornare in una posizione precedentemente raggiunta valori tipici: (: :) mm Ridondanza cinematica m < n (intrinseca) r < m = n (funzionale)

86 = ( n ) CALIBRAZIONE CINEMATICA Valori precisi dei parametri DH per migliorare l accuratezza di un manipolatore Equazione cinematica diretta in funzione di tutti i parametri x = k(a d #) x m locazione misurata x n locazione nominale (parametri fissi + variabili giunto) x @k d +

87 x l l 3 = 5 l misure (lm 4n) x = x = 4. 5 Soluzione = ( T ) ;1 T x = n + :::finché converge stime più accurate dei parametri fissi correzioni alle misure dei trasduttori Inizializzazione postura di riferimento (home)

88 q =) T T =) q PROBLEMA CINEMATICO INVERSO Cinematica diretta q =) x Cinematica inversa x =) q Complessità soluzione analitica (in forma chiusa) soluzioni multiple infinite soluzioni non esistono soluzioni ammissibili Intuizione algebrica geometrica Tecniche numeriche

89 = # 1 + # + # 3 p Wx = p x ; a 3 c = a 1 c 1 + a c 1 p Wy = p y ; a 3 s = a 1 s 1 + a s 1 Soluzione del manipolatore planare a tre bracci Soluzione algebrica

90 q = 1 ; c s # 3 = ; # 1 ; # p Wx + p Wy ; a 1 ; a c = a 1 a # = Atan(s c ) 1 = (a 1 + a c )p Wy ; a s p Wx s Wx + p Wy p 1 = (a 1 + a c )p Wx + a s p Wy c Wy + p Wy p # 1 = Atan(s 1 c 1 )

91 c qp Wx + p Wy = a 1 + a c = cos p Wx + p Wy + a 1 ; a a 1 qp Wx + p Wy Soluzione geometrica p Wx + p Wy ; a 1 ; a c. = a 1 a # = cos ;1 (c ) = Atan(p Wy p Wx ) 1 A # 1 =

92 calcolare R 3 6 (# 4 # 5 # 6 ) = R 3 T R Soluzione di manipolatori con polso sferico p W = p ; d 6 a Soluzione disaccoppiata calcolare la posizione del polso p W (q 1 q q 3 ) risolvere la cinematica inversa per (q 1 q q 3 ) calcolare R 3 (q 1 q q 3 ) risolvere la cinematica inversa per l orientamento (# 4 # 5 # 6 )

93 (A 1 );1 T 3 = A1 A 3 ;p Wx s 1 + p Wy c 1 Soluzione del manipolatore sferico 1 = p Wxc 1 + p Wy s 1 ;p Wz 4 W p 3 3s d 4 = 5 3 c ;d d 3 5

94 = Atan ;p Wx qp Wx + p Wy ; d d + p Wy 1 # ;d 3 c q Wx c 1 + p Wy s 1 ) + p Wz (p 1 = 1 ; t c s 1 = t 1+t 1+t (d + p Wy )t +p Wx t + d ; p Wy = Wx 1 + p Wy s 1 p c = d 3s Wz ;p # = Atan(p Wx c 1 + p Wy s 1 p Wz ) d 3 =

95 q = 1 ; c 3 3 s (a + a 3 c 3 )p Wz ; a 3 s 3 qp Wx + p Wy p Wx + p Wy + p Wz q + a 3 c 3 ) p Wx + p Wy + a 3s 3 p Wz (a p Wx + p Wy + p Wz Soluzione del manipolatore antropomorfo # 1 = Atan(p Wy p Wx ) # 1 = +Atan(p Wy p Wx ) p Wx + p Wy + p Wz ; a ; a 3 c 3 = 3 a a s = c =

96 Quattro configurazioni ammissibili soluzione univoca solo se p Wx 6= p Wy 6=

97 n 3 z s 3 z a 3 z q = Atan (a 3 x ) +(a 3 y ) a 3 z 5 # q Atan ; (a 3 x ) +(a 3 y ) a 3 z = 5 # Soluzione del polso sferico 3 = n3 x s 3 x a 3 x n 3 y s 3 y a 3 3 y R # 4 = Atan(a 3 y a3 x ) # 6 = Atan(s 3 z ;n3 z ) # 4 = Atan(;a 3 y ;a3 x ) # 6 = Atan(;s 3 z n3 z )

98 CINEMATICA DIFFERENZIALE relazioni tra velocità dei giunti e velocità dell organo terminale Jacobiano geometrico Jacobiano analitico Singolarità cinematiche Analisi della ridondanza Inversione della cinematica differenziale Algoritmi per l inversione cinematica STATICA relazioni tra forze all organo terminale e coppie ai giunti

99 _p! T 1 = J P (q) _q _p = J O (q) _q! = J(q) _q JACOBIANO GEOMETRICO R(q) p(q) 5 T (q) = 4 Obiettivo v =

100 _R(t)R T (t) +R(t) _ R T (t) = O S(t) +S T (t) = O _R(t) = S(!(t))R(t) z ;! x! y! x ;! Derivata di una matrice di rotazione R(t)R T (t) = I Posto S(t) = _ R(t)R T (t) ;! z! y S =

101 cos ; _ sin cos sin 1 3 = S(!(t)) 5 sin cos cos ;sin Esempio 3 ;sin cos 5 4 R z () = ; _ sin ; _ cos S(t) = 1 ; _ 4 =

102 = _o 1 + R 1 _p1 + S(! 1 )R 1p 1 = _o 1 + R 1 _p1 +! 1 r 1 p = o 1 + R 1p 1 _p = _o 1 + R 1 _p1 + _ R 1p 1

103 Velocità di un braccio Velocità lineare i = p i;1 + R i;1 r i;1 i;1 i p i = _p i;1 + R i;1 _r i;1 i;1 i +! i;1 R i;1 r i;1 i;1 i _p = _p i;1 + v i;1 i +! i;1 r i;1 i

104 Velocità angolare i = R i;1 R i;1 i R i )R i = S(! i;1 )R i + R i;1 S(! i;1 i;1 i )Ri;1 i S(! S(! i;1 )R i + S(R i;1! i;1 i;1 i )R i = i =! i;1 + R i;1! i;1 i;1 i! =! i;1 +! i;1 i

105 i;1 i = _ d i z i;1 v! i =! i;1 i =! i;1 +! i;1 i! i = _p i;1 + v i;1 i +! i;1 r i;1 i _p Giunto prismatico! i;1 i = i = _p i;1 + _ d i z i;1 +! i r i;1 i _p Giunto rotoidale i;1 i = _ # i z i;1! i;1 i =! i;1 i r i;1 i v i =! i;1 + _ # i z i;1! i = _p i;1 +! i r i;1 i _p

106 ::: O1 On _q i Oi = _ # i z i;1 =) Oi = z i;1 Calcolo dello Jacobiano 3 P 1 Pn 5 4 J = Velocità angolare giunto i prismatico _q i Oi = =) Oi = giunto i rotoidale

107 i Pi = _ d i z i;1 =) Pi = z i;1 _q Velocità lineare giunto i prismatico giunto i rotoidale _q i Pi =! i;1 i r i;1 n = _ # i z i;1 (p ; p i;1 ) + Pi = z i;1 (p ; p i;1 )

108 Oi >: zi;1 ~p = A 1 (q 1) :::A n;1 n (q n )~p Colonna dello Jacobiano geometrico 8 >< per un giunto prismatico Pi (p ; p i;1 ) zi;1 i;1 z per un giunto rotoidale = z i;1 = R 1 (q 1) :::R i; i;1 (q i;1)z ~p i;1 = A 1 (q 1) :::A i; i;1 (q i;1)~p

109 R t R t R t R t Rappresentazione in terna differente t _p t! R t O R t _p! O = = J _q O O J J t = O O

110 Manipolatore planare a tre bracci

111 z (p ; p ) z 1 (p ; p 1 ) z (p ; p ) z z 1 z 4 3 p1 = 5 3 p = 5 4 J(q) = a 1c 1 4 a 1c 1 + a c s 1 a 1 s 1 + a s 1 a p = a 1c 1 + a c 1 + a 3 c p = 1 s 1 + a s 1 + a 3 s 13 a z = z 1 = z = 3 5 1

112 1 1 1 a 1 c 1 + a c 1 + a 3 c 13 a c 1 + a 3 c 13 a 3 c s 1 ; a s 1 ; a 3 s 13 ;a s 1 ; a 3 s 13 ;a 3 s 13 ;a 1 c 1 + a c 1 + a 3 c 13 a c 1 + a 3 c 13 a 3 c 13 a J = ;a1 s 1 ; a s 1 ; a 3 s 13 ;a s 1 ; a 3 s 13 ;a 3 s 13 J P =

113 Manipolatore antropomorfo

114 z (p ; p ) z 1 (p ; p 1 ) z (p ; p ) z z 1 z p = 5 3 z1 = z 5 = J = a c 1 c 4 s 1 c a s a 3 5 p = p 1 = 3 1(a c + a 3 c 3 ) c (a c + a 3 c 3 ) s s + a 3 s 3 a p = s ;c z = 1

115 6 1 (a c + a 3 c 3 ) ;c 1 (a s + a 3 s 3 ) ;a 3 c 1 s 3 ;s 1 (a c + a 3 c 3 ) ;s 1 (a s + a 3 s 3 ) ;a 3 s 1 s 3 c J = a c + a 3 c 3 a 3 c 3 s 1 s ;c 1 ;c ;s 1(a c + a 3 c 3 ) ;c 1 (a s + a 3 s 3 ) ;a 3 c 1 s J P = 1 (a c + a 3 c 3 ) ;s 1 (a s + a 3 s 3 ) ;a 3 s 1 s 3 c a c + a 3 c 3 a 3 c 3

116 Manipolatore di Stanford

117 z (p ; p ) z 1 (p ; p 1 ) z (p ; p 3 ) z 4 (p ; p 4 ) z 5 (p ; p 5 ) z 3 z 4 z 5 3 z 4 3 p3 = p 5 = p 5 = 4 1 s d 3 + c 1 d + d 6 (c 1 s 4 s 5 + c c 4 s 1 s 5 + c 5 s 1 s ) s d 3 + d 6 (c c 5 ; c 4 s s 5 ) c 4 3 z1 = 5 3 z5 = 5 3 z = z 5 = 3 z z 1 J = p = p 1 = c 1s d 3 ; s 1 d 4 1 s d 3 + c 1 d s d 3 c s d 3 ; s 1 d + d 6 (c 1 c c 4 s 5 + c 1 c 5 s ; s 1 s 4 s 5 ) c 5 4 p = ;s 1 4 c 1s z = c 1 1 s s c 1 ;c 1c s 4 ; s 1 c 4 4 c 1c c 4 s 5 ; s 1 s 4 s 5 + c 1 s c c s 4 + c 1 c 4 ;s s 4 s 1 c c 4 s 5 + c 1 s 4 s 5 + s 1 s c 5 s c 4 s 5 + c c 5 ;s z 4 =

118 = J A (q) _q JACOBIANO ANALITICO = p(q) p = (q) _p _q = J P (q) q = J (q) _p x = = JP (q) _q J (q) A (q)

119 Velocità di rotazione in terna corrente di angoli di Eulero ZYZ per effetto di _': [! x! y! z ] T = _' [ 1] T per effetto di _ #: [! x! y! z ] T = _ # [ ;s ' c ' ] T per effetto di _ : [! x! y! z ] T = _ [ c ' s # s ' s # c # ] T

120 3 _ = T () _ 5 Composizione di velocità di rotazione elementari ;s ' c ' s # 4! = c ' s ' s # c # 1

121 Significato fisico di! Z = [ = ] T t 1! = [ = ] T t 1! = [ = ] T 1 < t! = [ = ] T 1 < t!!dt = [ = = ] T

122 I J = T A ()J A Relazione tra Jacobiano analitico e Jacobiano geometrico _x = T A () _x v = O T () O Jacobiano geometrico grandezze di significato fisico Jacobiano analitico grandezze differenziali di variabili nello spazio operativo

123 SINGOLARITÀ CINEMATICHE v = J(q) _q se J diminuisce di rango =) singolarità cinematiche (a) perdita di mobilità (b) infinite soluzioni al problema cinematico inverso (c) velocità elevate nello spazio dei giunti (nell intorno di una singolarità) Classificazione Singolarità ai confini dello spazio di lavoro raggiungibile Singolarità all interno dello spazio di lavoro raggiungibile

124 a 1 c 1 + a c 1 a c 1 det(j) = a 1 a s Manipolatore planare a due bracci J = ;a1 s 1 ; a s 1 ;a s 1 + # = # = [ ;(a 1 + a )s 1 (a 1 + a )c 1 ] T parallelo a [ ;a s 1 a c 1 ] T (componenti di velocità dell organo terminale non indipendenti)

125 Disaccoppiamento di singolarità calcolo delle singolarità della struttura portante calcolo delle singolarità del polso

126 J 1 J J11 J 1 J = J 1 = z 3 (p ; p 3 ) z 4 (p ; p 4 ) z 5 (p ; p 5 ) J = z 3 z 4 z 5 p = p W =) p W ; p i paralleli a z i, i = J 1 = det(j) = det(j 11 )det(j ) det(j 11 ) = det(j ) =

127 z 3 parallelo a z 5 Singolarità di polso # 5 = # 5 = rotazioni uguali e opposte di # 4 e # 6 non producono alcuna rotazione dell organo terminale

128 Singolarità di struttura portante Manipolatore antropomorfo det(j P ) = ;a a 3 s 3 (a c + a 3 c 3 ) s 3 = a c + a 3 c 3 = Singolaritàdigomito # 3 = # 3 =

129 Singolaritàdispalla p x = p y =

130 ANALISI DELLA RIDONDANZA Cinematica differenziale v = J(q) _q se %(J) = r dim ; R(J) = r dim ; N (J) = n ; r in generale dim ; R(J) + dim ; N (J) = n

131 _q = _q + P _q a Se N (J) 6= ove R(P ) N (J) verifica: J _q = J _q + JP _q a = J _q = v _q a genera moti interni della struttura

132 Z t INVERSIONE DELLA CINEMATICA DIFFERENZIALE Equazione cinematica non lineare Equazione cinematica differenziale lineare nelle velocità Data v(t) + condizioni iniziali =) (q(t) _q(t)) se n = r _q = J ;1 (q)v q(t) = _q(&)d& + q() regola di integrazione numerica (Eulero) q(t k+1 ) = q(t k )+ _q(t k )t

133 se W = I T = g( _q) = 1 _qt W _q è la pseudo-inversa destra di J T = Manipolatori ridondanti Per una data configurazione q, trovare le soluzioni _q che soddisfino e che minimizzino v = J _q metodo dei moltiplicatori di Lagrange g( _q ) = 1 _qt W _q + T (v ; J soluzione ottima _q = W ;1 J T (JW ;1 J T ) ;1 v ove _q = J y v J y = J T (JJ T ) ;1

134 _q = J y v +(I ; J y J) _q a Utilizzo della ridondanza g ( _q) = 1 ( _qt ; _q T a )( _q ; _q a) come sopra ::: g ( _q ) = 1 ( _qt ; _q T a )( _q ; _q a)+ T (v ; J _q) soluzione ottima

135 @w(q) k a _q = T qdet ; J(q)J T (q) nx kp(q) ; ok Caratterizzazione dei moti interni misura di manipolabilità w(q) = distanza dai fine-corsa dei giunti w(q) = ; 1 i qi ; q q im ; im q n i=1 distanza da un ostacolo = min w(q) p o

136 Singolarità cinematiche Le soluzioni precedenti valgono solo se J è di rango pieno Se J non è di rango pieno (singolarità) se v R(J) =) soluzione _q estraendo tutte le equazioni linearmente indipendenti (traiettoria fisicamente eseguibile) se v = R(J) =) il sistema non è risolvibile (traiettoria non eseguibile) Inversione nell intorno di singolarità det(j) piccolo =) _q elevate inversa a minimi quadrati smorzata J = J T (JJ T + k I) ;1 ove _q minimizza g ( _q) = kv ; J _qk + k k _qk

137 = _x d ; _x _e _x d ; J A (q) _q = ALGORITMI PER L INVERSIONE CINEMATICA Inversione cinematica q(t k+1 ) = q(t k )+ J ;1 (q(t k ))v(t k )t fenomeni di deriva della soluzione Soluzione algoritmica errore nello spazio operativo e = x d ; x trovare _q = _q(e): e!

138 _q = J y A ( _x d + Ke)+(I ; J y A J A) _q a (Pseudo-)inversa dello Jacobiano Linearizzazione della dinamica di errore = J ;1 A (q)( _x d + Ke) _q + _e + Ke = Per un manipolatore ridondante

139 V (e) = 1 et Ke _V (e) = e T K _x d ; e T K _x = e T K _x d ; e T KJ A (q) _q _V (e) = e T K _x d ; e T KJ A (q)j T A (q)ke Trasposta dello Jacobiano _q = _q(e) senza linearizzare la dinamica di errore Metodo di Lyapunov ove V (e) > 8e 6= V () = la scelta comporta che _q = J T A (q)ke se _x d = =) _ V < con V > (asintotica stabilità) se N (J T A ) 6= =) _ V = se Ke N (J T A ) = con e 6= (stallo) _q

140 Se _x d 6= e(t) limitato (conviene aumentare la norma di K) e(1)!

141 T P = 4 J 1 (a s + a 3 s 3 ) ;s 1 (a s + a 3 s 3 ) ;c nullo di J T P ;a 3 c 1 s 3 ;a 3 s 1 s 3 a 3 c 3 Esempio 3 5 y ; = = 1 z 1 # tan x

142 Errore di orientamento Errore di posizione e P = p d ; p(q) _e P = _p d ; _p Angoli di Eulero e O = d ; (q) _e O = _ d ; _ = ;1 A (q) _p d + K P e P _q J + K O e O d _ agevole per assegnare l andamento temporale d (t) richiede comunque il passaggio attraverso R = [ n s a ] Manipolatore con polso sferico calcolare q P =) R W calcolare R T W R d =) q O (angoli di Eulero ZYZ)

143 L = ; 1 ; S(n d )S(n) +S(s d )S(s) + S(a d )S(a) _e P O _e d T _p I ; d! L d K e P _p P ; + T! ;1 + K O e O d L L Asse/angolo R(# r) = R d R T errore di orientamento e O = r sin # = 1 (n n d + s s d + a a d ) _e O = L T! d ; L! ove d ; J P (q) _q _p T! d ; LJ O (q) _q L _e = = O = L O J _q _q = J ;1 (q)

144 = ;1 _pd + K P e P _q J + K (q) e O O d! _ = ; 1 T! _ = 1 _V = ;e T OK O e O Quaternione unitario Q = Q d Q ;1 errore di orientamento e O = = (q) d ; d (q) ; S( d )(q)! d ;! + K O e O = propagazione del quaternione (I ; S())! studio della stabilità V = ( d ; ) + ( d ; ) T ( d ; )

145 y p Confronto tra gli algoritmi per l inversione cinematica Manipolatore planare a tre bracci x = k(q) p x 4 3 1c a 1 + a c 1 + a 3 c 13 4 = s 1 + a s 1 + a 3 s 13 a 1 + # + # 3 # a 1 = a = a 3 = :5 m 3 1s 1 ; a s 1 ; a 3 s 13 ;a s 1 ; a 3 s 13 ;a 3 s 13 ;a 5 4 J A = 1 c 1 + a c 1 + a 3 c 13 a c 1 + a 3 c 13 a 3 c 13 a 1 1 1

146 ; cos t) :5(1 + sin t) :5( q i = [ ;= ;=] T rad + p di = [ :5] T m = rad traiettoria desiderata p d (t) = t 4 d (t) = sin 4 t t 4 Simulazione in MATLAB con integrazione numerica di Eulero q(t k+1 ) = q(t k )+ _q(t k )t e t = 1 ms

147 _q = J ;1 A (q) _x x 1 3 norma errore pos x 1 5 errore orien 1.5. [m] [s] [rad] [s]

148 _q = J ;1 A (q)( _x d + Ke) K = diagf5 5 1g 5 pos giunti 1 vel giunti [rad] 1 3 [rad/s] [m] [s] x 1 5 norma errore pos [s] [rad] [s] x 1 8 errore orien [s]

149 _q = J T P (q)k P e P libero (r =, n = 3) _q = J y P ( _p d + K P e P ) K P = diagf5 5g 5 x 1 6 norma errore pos.5 orien 4 [m] 3 [rad] [s] [s] K P = diagf5 5g.1 norma errore pos.5 orien.8 [m].6.4 [rad] [s] [s]

150 _q = J y P ( _p d + K P e P )+(I ; J y P J P ) _q a K P = diagf5 = k a a misura di manipolabilità w(# # 3 ) = 1 (s + s 3 ) T k a = pos giunti 5 1 pos giunti [rad] 3 [rad/s] [s] [m] 5 x norma errore pos [s] [rad] [s] manip [s]

151 @w(q) = k a a distanza dai fine-corsa dei giunti w(q) = ; 1 6 3X i qi ; q q im ; im q i=1 ; q 1 ;= q = ;3= q 3 ;= T k a = 5 [rad] pos giunto [s] pos giunto 3 5 [rad] pos giunto [s] x norma errore pos [rad] [m] [s] [s]

152 dw = T dq = f T J P (q)dq + T J O (q)dq = T J(q)dq W = T q W = T J(q)q STATICA Relazione tra forze e momenti (forze) all organo terminale e forze e/o coppie (coppie) ai giunti con il manipolatore in configurazione di equilibrio lavoro elementare compiuto dalle coppie lavoro elementare compiuto dalle forze dw = f T dp + T!dt spostamenti elementari spostamenti virtuali

153 W = W Principio dei lavori virtuali il manipolatore èinequilibrio statico se e solo se 8q + = J T (q)

154 Dualità cineto-statica N (J) R (J T ) R(J) N (J T ) forze N (J T ) interamente assorbite dalla struttura

155 Interpretazione fisica dello schema con la trasposta dello Jacobiano dinamica ideale = _q forza elastica Ke che tira l organo terminale verso la postura desiderata nello spazio operativo ha effetto solo se Ke = N (J T )

156 ! ;S(r 1 ) I I O r 1 = R 1 r 1 1! 1 _p 1 = R 1 _p 1 1 _p = R _p = R 1R 1 _p! 1 = R 1! 1 1! = R! = R 1R 1! Trasformazione di velocità e forze _p _p 1 =

157 _p! v = J 1 v ;R 1S(r 1 1 ) 1 _p 1 1 R 1 1 = J 1 T O R 1 R 1 S(r 1 1 )R1 R 1! 1 1 f = in virtù della dualità cineto-statica: 1 1 f = O

158 _q o = _q a #1 1 ; + 3 q u a = T o ;1 ;1 1 # Catena chiusa Struttura ad albero equivalente a catena aperta q o = qa Risolvendo i vincoli: q u = q u (q a ) I = per la dualità cineto-statica Manipolatore a parallelogramma q a = # 3 # 1 q u = = 4 5 a = 1 + ; 3 u =

159 qdet ; J(q)J T (q) ELLISSOIDI DI MANIPOLABILITÀ Ellissoide di manipolabilità in velocità insieme delle velocità ai giunti a norma costante _q T _q = 1 manipolatore ridondante _q = J y (q)v + v T; J(q)J T (q) ;1 v = 1 Assi autovettori u i di JJ T =) direzioni valori singolari i = p i (JJ T ) =) dimensioni Volume proporzionale a w(q) =

160 Manipolatore planare a due bracci Misura di manipolabilità w = jdet(j)j = a 1 a js j max per # = = max per a 1 = a (a parità di estensione a 1 + a )

161 Ellissi di manipolabilità in velocità 1.5 [m] [m] Valori singolari [m] max min [m]

162 Ellissoide di manipolabilità in forza insieme delle coppie ai giunti a norma costante T = 1 + T; J(q)J T (q) = 1 Dualità cineto-statica una direzione lungo la quale si ha elevata manipolabilitàin velocità è una direzione lungo la quale si ha scarsa manipolabilità in forza, e viceversa

163 Manipolatore planare a due bracci Ellissi di manipolabilità in velocità 1.5 [m] [m] Ellissi di manipolabilità in forza 1.5 [m] [m]

164 Manipolatore trasformatore meccanico di velocità e forze dallo spazio dei giunti allo spazio operativo rapporto di trasformazione lungo una direzione per l ellissoide in forza J(q)J ;1= (q)u T T u (q) = rapporto di trasformazione lungo una direzione per l ellissoide in velocità J(q)J (q) ;1 ;1= u T T; u (q) = utilizzazione di gradi di mobilità ridondanti

165 Compatibilità della struttura ad eseguire un compito assegnato lungo una direzione compito di scrittura su superficie orizzontale vel piano di scrittura forza compito di lancio di un peso in direzione orizzontale forza vel direzione di lancio

166 DINAMICA equazioni del moto del manipolatore in funzione delle forze e momenti agenti su di esso Formulazione di Lagrange Proprietà notevoli del modello dinamico Identificazione dei parametri dinamici Formulazione di Newton-Eulero Dinamica diretta e dinamica inversa Modello dinamico nello spazio operativo Ellissoide di manipolabilità dinamica

167 d = i i n 3 = q 5 FORMULAZIONE DI LAGRANGE Lagrangiana (energia cinetica) ; (energia potenziale) L = T ;U Equazioni di Lagrange i = 1 ::: n coordinate generalizzate 1 4..

168 Esempio energia cinetica T = 1 I _ # + 1 I mk r _ # energia potenziale lagrangiana U = mg`(1 ; cos #) L = 1 I _ # + 1 I mk r _ # ; mg`(1 ; cos #) equazione del moto (I + I m k r ) # + mg` sin # = = ; F _ #

169 nx (T`i + T mi ) Energia cinetica Contributo bracci + attuatori T = i=1

170 T`i = 1 V`i p`i = 1 m`i V`i _p i = _p`i +! i r i = _p`i + S(! i )r i Braccio i Z _p i T _p i dv Z baricentro p i dv velocità lineare della particella elementare

171 V`i V`i _p T`i _p`idv = 1 m`i V`i _p T`i (p i ; p`i)dv _p`i Traslazionale 1 Z Mutuo! 1 Z = _p T`iS(! i )r i dv! 1 Z _pt`is(! i ) =

172 V`i I`i = r T i S T (! i )S(! i )r i dv = 1!T i R (r iy + r iz )dv ;R r ix r iy dv ; R r ix r iz dv I`ixx ;I`ixy ;I`ixz I`iyy ;I`iyz I`izz V`i R (r ix + r iz )dv R (r ix + r iy )dv! i Rotazionale Z Z! 1 S T (r i )S(r i )dv = 1!T i I`i! i tensore di inerzia ;R r iy r iz dv =

173 (`i) Pj = T`i = 1 m`i _p T`i (`i) Oj _p`i (`i) P 1 = i = (`i) O1! (`i) P J 1 + :::+ (`i) Pi _q 1 + :::+ (`i) Oi _q i = J (`i) P _q i = J (`i) O _q i I ì ir T i J (`i) O R Energia cinetica del braccio i + 1!T i R i I ì ir T i! i 1 = m`i _q T J (`i)t P + 1 _q _qt J (`i)t O _q velocità lineare _p`i _q per un giunto prismatico z j;1 (p`i ; p j;1 ) per un giunto rotoidale zj;1 velocità angolare _q = per un giunto prismatico per un giunto rotoidale z j;1

174 ! mi =! i;1 + k ri _q i z mi Motore i (elettrico rotante) trasmissione rigida

175 T mi = 1 m m i _p T m i _p mi + 1!T m i I mi! mi (m i) Pj = 1 m _q T (m i)t P J (m i) P _q + 1 = J J (m i)t O R mi I m i m R T m m J (m i) i O _q i _qt i (m i) P = (m i) P 1 ::: (m i) P i;1 J (m i) = (m i) O1 ::: (m i) O i;1 (m i) Oi ::: O J (m i) Oj = ( (`i) Oj j = 1 ::: i; 1 k ri z mi Energia cinetica del rotore i velocità lineare ::: per un giunto prismatico z j;1 (p mi ; p j;1 ) per un giunto rotoidale zj;1 velocità angolare j = i

176 T = 1 nx nx (`i)t P J (`i) P m`ij +m J (m i)t P J (m i) P mi b ij (q)_q i _q j = 1 _qt B(q) _q i I ì ir T i J (`i) O R R m i I m J (m i) R O T mi m i i Energia cinetica totale i=1 j=1 Matrice di inerzia B(q) = nx J (`i)t O + i=1 J (m i)t O + simmetrica definita positiva dipendente dalla configurazione (in generale)

177 U`i = ; V`i U mi nx nx (U`i + U mi ) g T p i dv = ;m`ig T p`i = ;m mi g T p mi i=1 (m`ig T p`i + m mi g T p mi ) Energia potenziale U = i=1 Braccio i Z Rotore i Energia potenziale totale U = ;

178 d dt = 1 = = ; = ; nx nx nx nx nx i nx nx nx _q k _q k nx _q k _q j (q) m T g (m j) Pi j +m Pi _q j Equazioni del moto L(q _q) = T (q _q) ;U(q) b ij (q)_q i _q j + ; m`ig T p`i(q)+m mi g T p mi (q) i=1 i=1 j=1 Equazioni di = d dt i db ij (q) = b ij (q)q j + j=1 dt ij (q) = b ij (q)q j + k=1 j=1 jk (q) k=1 j=1 T mj i + m mj g T (q) m`jg T (`j ) j=1 = g i (q)

179 nx nx nx h ijk (q)_q k _q j +g i (q) = i Equazioni del moto b ij (q)q j + i = 1 ::: n j=1 j=1 k=1 ove ij ; = jk i termini in accelerazione: il b coefficiente ii rappresenta il momento di inerzia visto all asse del giunto i, nella configurazione corrente del manipolatore, quando gli altri giunti sono bloccati il b coefficiente ij tiene conto dell effetto dell accelerazione del j giunto sul i giunto termini quadratici in velocità: il h termine _q j ijj rappresenta l effetto centrifugo indotto al i giunto dalla velocità del giunto j; si noti h che = poiché =@q i = ii il termine h ijk _q j _q k rappresenta l effetto di Coriolis indotto al giunto i dalle velocità dei giunti j e k termini dipendenti solo dalla configurazione: il termine g i rappresenta la coppia generata all asse del giunto i nella configurazione corrente del manipolatore per effetto della gravità

180 coppie di attuazione coppie di attrito viscoso ;F v _q coppie di bilanciamento di forze di contatto ;J T (q)h nx nx nx h ijk _q k _q j Forze non conservative coppie di attrito statico ;f s (q _q) F s sgn ( _q) Modello dinamico nello spazio dei giunti B(q)q + C(q _q) _q + F v _q + f s ( _q) +g(q) = ; J T (q)h c ij _q j = j=1 k=1 j=1

181 Anti-simmetria della matrice _ B ; C = 1 nx Elementi di C nx nx nx c ijk _q @q j _q k _q j _q k _q j PROPRIETÀ NOTEVOLI DEL MODELLO DINAMICO nx nx nx nx jk c ij _q j = h ijk _q k _q j k ; 1 j=1 j=1 k=1 k=1 j=1 _q k _q j + jk ; j=1 k=1 k=1 j=1 c ij = k=1 simboli di Christoffel del primo tipo ijk ik c jk ; Proprietà notevole N (q _q) = _ B(q) ; C(q _q) = ;N T (q _q)

182 Elementi di C c ij = 1 = 1 Elementi di N nx _b ij @q j _q k _q k _q k = ;n ji _q k + jk ; k=1 jk ; k=1 n ij = _ b ij ; c ij ik ; k=1 + w T N (q _q)w = 8w se w = _q: 8C _q T N (q _q) _q =

183 d T ; B(q) _q = _q T; ; F v _q ; f s ( _q) ; g(q) ; J T (q)h _q dt d T ; _q = 1 _qt _q _B(q) _q + _q T B(q)q B(q) dt Principio di conservazione dell energia (Hamilton) = _qt; _B(q) ; C(q _q) _q _q T; ; F v _q ; f s ( _q) ; g(q) ; J T (q)h +

184 T`i = 1 m`i _p T`i T i = T`i _p`i + T mi+1 T mi+1 = 1 m m i+1 _pt m i+1 _p m i+1 + 1!T m i+1 I m i+1! mi+1 _p`i = _p Ci +! i r Ci `i _p mi+1 = _p C i +! i r Ci m i+1 Linearità nei parametri dinamici Insieme braccio i e rotore i !T i I`i! i con riferimento al baricentro p Ci dell insieme braccio rotore Ci `i = p`i ; p Ci r Ci m i+1 = p m i+1 ; p Ci r

185 T`i = 1 m`i _p T C i _p Ci + _p T C i S(! i )m`ir Ci `i T mi+1 = 1 m m i+1 _pt C i I`i = I`i + m`is T (r Ci `i)s(r Ci `i) _p Ci + _p T C i S(! i )m mi+1r Ci m i+1 + 1!T i I mi+1! i + k r i+1 _q i+1 z T m i+1 I m i+1! i + 1 k r i+1 _q i+1z T m i+1 I m i+1z mi+1 I mi+1 = I m i+1 + m m i+1s T (r Ci m i+1 )S(r C i m i+1 ) Braccio + 1 m`i! T i S T (r Ci `i)s(r Ci `i)! i + 1!T i I`i! i = 1 m`i _p T C i _p Ci + _p T C i S(! i )m`ir Ci `i + 1!T i I`i! i per il teorema di Steiner Rotore per il teorema di Steiner

186 T i = 1 m i _p T C i _p Ci + 1!T i I i! i + k r i+1 _q i+1 z T m i+1 I m i+1! i + 1 k r i+1 _q i+1z T m i+1 I m i+1z mi+1 m i m I = i Energia cinetica rotore con distribuzione di massa simmetrica intorno al suo asse di rotazione I m i xx I mi xx I zz mi + mi+1z = m m i+1 i+1im I RT m i+1 i+1 m i+1 = mi+1 m i+1z mi+1 I R z

187 + 1 k r i+1 _q i+1 I m i+1 1 = m i _p it i + k r i+1 _q i+1 I mi+1z it m i+1!i i + 1 k r i+1 _q i+1 I m i+1 ^I i i = I i i + m is T (r i i C i )S(r i i C i ) Quantità riferite alle terne solidali ai bracci i 1 m i _p it C _p = i C + 1 T i!it i i I i i! i i + k r i+1 _q i+1 I mi+1z it m i+1!i i i i + _pit i S(! i i )m ir i i C _p + 1 i!it i ^I i i! i i per il teorema di Steiner

188 ixx m i (` C I ` y + C i z i ) + ^I ixx ; ^I ixy ; ^I ixz ^I iyy ^I iyz ^I izz m y i`ci m z i`ci iyy + m i (` C ` z I C i x i ) + Energia cinetica lineare rispetto a: massa m i momento primo di inerzia 3 i`ci x m 5 4 m i r i i C i = tensore di inerzia i = 6 4 i ^I ; I ixy ; m i`ci x`ci y ; I ixz ; m i`ci x`ci z 3 7 iyz ; m i`ci y`ci z ; I + m i (` C I ` x izz i + C i y ) = 4

189 i = ;m i g it p i C U i i`ci y m i`ci z m Energia potenziale ;g it (m ip i i + m ir i i C = ) i lineare rispetto a: massa m i momento primo di inerzia 3 i`ci x m 5 4 m i r i i C i =

190 nx i=1 ( T T i ; T Ui ) i i = [ m i m i`ci x m i`ci y m i`ci z y ij = d dt nx Lagrangiana L = vettore (11 1) di parametri dinamici ^I ixx ^I ixy ^I ixz ^I iyy ^I iyz ^I izz I mi ] T Le operazioni richieste dalle equazioni di Lagrange non alterano la linearità ove j=1 i = y T ij j T T j Uj +

191 n T T ::: y T nn n Proprietà notevole = 6 6 T 11 y T 1 ::: y T 1n y T y T ::: y T n in forma compatta: = Y (q _q q)

192 masse m mi momenti di inerzia I mi p mi = p i;1 z mi = z i;1 Manipolatore cartesiano a due bracci Motori

193 (`1) P = J (m 1) P = J (m 1) O = J r1 k m` + k r I m (m`1 + m m + k r1 I m 1 + m`) d 1 +(m`1 + m m + m`)g = f 1 (m` + k r I m ) d = f Jacobiani 4 3 J (`) P = 4 3 J (m ) P = 4 3 J (m ) 5 k 3 r 5 4 O = Matrice di inerzia B = m`1 + m m + k r1 I m 1 + m` Forze gravitazionali g 1 = (m`1 + m m + m`)g g = Equazioni del moto

194 masse m mi momenti di inerzia I mi p mi = p i;1 z mi = z i;1 Manipolatore planare a due bracci Motori

195 (`1) P = J 1 `1c (m 1) P = J (m 1) O = J r1 k c 1 a Jacobiani ;`1s J (`) 5 3 1s 1 ; `s 1 ;`s 1 ;a c 1 + `c 1 `c 1 a P = (`1) = 3 5 J (`) 4 O J = 4 O J (m ) 5 3 1s 1 ;a 5 4 P = 4 3 J (m ) O = k r 1

196 b 1 (# ) b + I m + m m a 1 Matrice di inerzia B(q) = b11 (# ) b 1 (# ) 11 = I`1 + m`1` 1 + k r1 I m 1 + I` + m`(a 1 + ` +a 1`c ) b 1 = b 1 = I` + m`(` + a 1`c )+k r I m b = I` + m`` + k r I m b Forze centrifughe e di Coriolis c 111 = 1 = c 11 = c 11 = = ;m`a 1`s = h 1 ; = = h 1 ; = 11 c = c 1 = c 1 = = c =

197 h _ # h( _ # 1 + _ # ) h _ # h _ # ;h _ # 1 ; h _ # h _ # h( _ # 1 + _ # ) g 1 = (m`1`1 + m m a 1 + m`a 1 )gc 1 + m``gc 1 g = m``gc 1 C(q _q) = ;h _ # 1 anti-simmetria N (q _q) = _ B(q) ; C(q _q) = ; ;h _ # 1 h _ # = h _ # 1 + h _ # Forze gravitazionali

198 ; m`a 1`s _ # 1 _ # ; m`a 1`s _ # +(m`1`1 + m m a 1 + m`a 1 )gc 1 + m``gc 1 = 1 + m`a 1`s _ # 1 + m``gc 1 = Equazioni del moto ; + m`1` 1 I`1 k r1 I m 1 + I` + m`(a 1 + ` +a 1`c ) + +I m + m m a 1 # 1 ; + + a 1`c )+k r I m # m`(` I` + ; m`` I` k r I m # + ; I` + m`(` + a 1`c )+k r I m # 1 + +

199 1 = m 1 = m`1 + m m 3 = ^I 1 = I`1 + m`1(`1 ; a 1 ) + I m 4 = I m1 5 = m = m` 8 = I m Parametrizzazione del modello = [ ] T = m 1`C1 = m`1(`1 ; a 1 ) 6 = m``c = m`(` ; a ) 7 = ^I = I` + m`(` ; a )

200 y 1 y y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 11 = a 1 # 1 + a 1 gc 1 y 1 = a 1 # 1 + gc 1 y 13 = # 1 y 14 = k r1 # 1 y 15 = (a 1 +a 1a c + a ) # 1 +(a 1 a c + a ) # ; a 1 a s _ # 1 _ # ; a 1 a s _ # + a 1gc 1 + a gc 1 y 16 = (a 1 c +a ) # 1 +(a 1 c +a ) # ; a 1 s _ # 1 _ # y 17 = # 1 + # ; a 1 s _ # + gc 1 y 18 = # 1 + k r # y 5 = (a 1 a c + a ) # 1 + a # + a 1 a s _ # 1 + a gc 1 y 6 = (a 1 c +a ) # 1 +a # + a 1 s _ # 1 + gc 1 y11 y 1 y 13 y 14 y 15 y 16 y 17 y 18 Y = y 1 = y = y 3 = y 4 = y 7 = # 1 + # y 8 = k r # 1 + k r #.

201 k r1 = k r = 1 m1 = m m = 5 kg I m1 = I m = :1 kg m m Esempio Manipolatore planare a due bracci a 1 = a = 1 m `1 = ` = :5 m m`1 = m` = 5 kg I`1 = I` = 1 kgm

202 [rad] pos giunto [s] 6 vel giunto 1 [rad] pos giunto [s] 6 vel giunto [rad/s] 4 [rad/s] 4 [Nm] [rad/s^] [s] acc giunto [s] coppia giunto [s] [Nm] [rad/s^] [s] acc giunto [s] coppia giunto [s]

203 5 inerz_11 5 inerz_ [Nm] [Nm] [s] 1 1 inerz_ [s] 1 1 inerz_1 [Nm] [Nm] [s] centrif_ + coriol_ [s] centrif_ [Nm] 5 [Nm] [s] [s] grav_1 grav_ [Nm] 4 [Nm] [s] [s]

204 4 pos giunto 1 4 pos giunto 3 3 [rad] 1 [rad] [rad/s]..4.6 [s] vel giunto [s] 4 acc giunto 1 [rad/s]..4.6 [s] vel giunto [s] 4 acc giunto [rad/s^] [rad/s^] [s] [s] coppia giunto 1 coppia giunto 5 5 [Nm] [Nm] [s]..4.6 [s]

205 [Nm] inerz_ [s] inerz_ [Nm] inerz_ [s] inerz_ [Nm] 5 [Nm] [s]..4.6 [s] centrif_ + coriol_1 centrif_ [Nm] [Nm] [s]..4.6 [s] 1 grav_1 1 grav_ [Nm] 4 [Nm] [s]..4.6 [s]