Programma dettagliato del corso di MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Civile Anno Accademico 2017-2018 A. Ponno (aggiornato al 20 dicembre 2017)
2 Ottobre 2017 2/10/17 Benvenuto, presentazione del corso e dei suoi contenuti. Descrizione del materiale didattico e delle modalità di esame. Concetti di base: punto materiale, massa, carica. Curve nello spazio euclideo e legge oraria di un punto materiale. Velocità e accelerazione di un punto materiale che si muove con assegnata legge oraria. 3/10/17 Esempi di moti: moto rettilineo uniforme; moto uniformemente accelerato; moto elicoidale. Principi della dinamica del punto materiale. Primo principio (principio di inerzia). Classe di equivalenza dei sistemi inerziali. Secondo principio: legge di Newton. 4/10/17 Esempio: punto soggetto a forza assegnata come funzione del tempo; soluzione generale ed esempi. Coppie isolate di punti materiali: terzo principio (principio di azione e reazione). Interazioni fondamentali: forza di gravità e forza elettrostatica. Quarto Principio (di sovrapposizione delle forze); esempio: sistema Terra-Luna-Sole. Quinto principio (di determinismo newtoniano). Calcolo approssimato della posizione di un punto sulla retta soggetto alla legge di Newton. 9/10/17 Sesto Principio (di relatività galileiana) e sue conseguenze. Esempio: sistema isolato di due punti materiali. Struttura generale delle forze di interazione di coppia tra punti materiali. Esempi di dinamica del punto: moto di un punto soggetto alla propria forza peso (e moto di una particella carica in un campo elettrico uniforme e costante). Traiettoria parabolica e elementi di balistica. Punto attaccato a una molla reale e a una molla ideale. Dinamica di un punto materiale attaccato a una molla ideale (moto armonico tridimensionale). 10/10/17 Soluzione generale dell equazione dell oscillatore armonico unidimensionale e soluzione corrispondente a un assegnato dato iniziale. Soluzione del problema in tre dimensioni. Dinamica del punto soggetto a forza centrale. Legge di conservazione del momento angolare. 11/10/17 Punto soggetto a forza centrale. Planarità del moto. Equazione di Newton in coordinate polari piane. Conservazione del momento angolare ed eliminazione dell angolo. Equazione radiale. Legge di conservazione dell energia per l equazione radiale. 16/10/17 Analisi qualitativa del moto radiale e angolare. Insieme di sotto-livello dell energia potenziale efficace e sua struttura generale: punti isolati, intervalli limitati e intervalli semiinfiniti. Diagramma di fase del moto radiale. Moti circolari in corrispondenza dei punti di minimo locale dell energia potenziale efficace. Moto su corone circolari su intervalli radiali limitati. Fuga all infinito con moto asintotico rettilineo uniforme su intervalli radiali semi-infiniti. Verso di rotazione dell angolo. 17/10/17 Analisi qualitativa del moto per l oscillatore 3D. Struttura ellittica delle curve di fase del moto radiale per energie di poco superiori al valore di minimo assoluto (o locale) dell energia potenziale efficace.
18/10/17 Analisi qualitativa del moto nel caso di forza inversamente proporzionale al quadrato della distanza. Caso attrattivo con momento angolare diverso da zero: orbite circolari, limitate e aperte. 23/10/17 Analisi qualitativa del moto nel caso di forza inversamente proporzionale al quadrato della distanza. Caso attrattivo con momento angolare nullo e caso repulsivo. Problema dei due corpi. Separazione del moto del centro di massa da quello relativo. Riduzione del problema allo studio del un moto centrale di un punto con massa ridotta. Leggi di conservazione del problema dei due corpi: momento angolare ed energia totale. 24/10/17 Dimostrazione delle leggi di conservazione generali del problema dei due corpi. Moto dei pianeti. Vettore di Laplace-Runge-Lenz e sua conservazione. Calcolo del modulo del vettore. 25/10/17 Equazione dell orbita. Richiami sulle sezioni coniche e la loro forma polare. Classificazione delle orbite in base al valore dell eccentricità (modulo del vettore di LRL) e relazione con l analisi qualitativa del moto radiale: legame eccentricità-energia. Enunciato delle tre leggi di Keplero e loro dimostrazione. 30/10/17 Commenti finali sul sistema solare, la sua struttura reale e i limiti di applicabilità del problema dei due corpi puntiformi. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie (EDO). Definizioni generali. EDO autonome del primo ordine: separazione di variabili; introduzione all analisi qualitativa. 31/10/17 Analisi qualitativa delle EDO autonome del primo ordine: equilibri, diagramma di fase, stabilità e linearizzazione attorno agli equilibri semplici. EDO del secondo ordine; caso conservativo: analisi qualitativa e diagramma di fase. Novembre 2017 6/11/17 Dettagli sul diagramma di fase delle EDO conservative del secondo ordine: punti ellittici e punti iperbolici. EDO lineari a coefficienti costanti: definizioni ed esempi. Proprietà generali: soluzione generale dell omogenea; soluzione particolare e soluzione generale della non omogenea. 7/11/17 Principio di sovrapposizione per le EDO lineari a coefficienti costanti. Soluzioni in forma esponenziale, polinomio caratteristico e sue proprietà. Collocazione delle radici caratteristiche nel piano complesso; esempi. Caso di radici distinte: soluzione generale dell omogenea in forma reale. Esempio: caduta dei gravi con resistenza del mezzo. 8/11/17 Esercizi su EDO lineari: equazione del dinamometro ideale; equazione del terzo ordine. Oscillatore armonico forzato e smorzato. Soluzione generale dell omogenea nei tre casi. 13/11/17 Oscillatore forzato e smorzato. Soluzione particolare corrispondente a forzante di tipo armonico piú costante. Fattore di ampiezza e ritardo di fase. Analisi del fattore di ampiezza in funzione della frequenza della forzante: risonanza. 3
4 14/11/17 Analisi del ritardo di fase in funzione della frequenza della forzante e del coefficiente di smorzamento. Risposta dell oscillatore in fase, in quadratura e in opposizione di fase. Risposta in quasi-quadratura in risonanza. Forzante contenente un numero arbitrario di funzioni armoniche. Applicazioni: oscillazioni di strutture; sintonizzazione (circuiti LRC serie). 15/11/17 Oscillatore forzato in assenza di attrito: battimenti e risonanza ideale. Analisi dei piccoli spostamenti dei sistemi di punti attorno alle configurazioni di equilibrio. Spazio delle configurazioni, riscrittura astratta delle equazioni di Newton e loro linearizzazione attorno a una configurazione di equilibrio. 20/11/17 Piccole oscillazioni dei sistemi di punti materiali. Riduzione ai modi normali di oscillazione per il sistema lineare sotto opportune ipotesi. 21/11/17 Teorema spettrale per la matrice di oscillazione (enunciato e dimostrazione). Esercizi sulle piccole oscillazioni. 22/11/17 Esercizi sulle piccole oscillazioni. 27/11/17 Esercizi sulle piccole oscillazioni. 28/11/17 Esercizi sulle piccole oscillazioni. 29/11/17 Esercizi sulle piccole oscillazioni. Dicembre 2017 4/12/17 Introduzione ai vincoli. Punto vincolato su curva o superficie. Reazione vincolare, componente normale e tangenziale. Ipotesi di vincolo ideale. Vincolo non ideale: ruolo dell attrito. Esempi. Legge dell attrito statico di Coulomb-Morin. Esempio. 5/12/17 Proposizione sull apertura di continui di equilibrio non ideale. Attrito dinamico. Esempio. Reazioni vincolari nei punti di fissaggio e nei punti di ancoraggio mobile. 6/12/17 Esercizi su statica e dinamica del punto vincolato. 11/12/17 Equazioni cardinali della meccanica. Deduzione della prima equazione cardinale. Deduzione della seconda equazione cardinale. Discussione sulle equazioni e sul loro utilizzo. Caso dei sistemi isolati. 12/12/17 Esempio: sistema di punti soggetti al proprio peso, senza e con attrito del mezzo. Equazioni cardinali per sistemi di corpi rigidi. Definizione di corpo rigido e giustificazione euristica della completezza delle equazioni cardinali nella descrizione della dinamica e della statica dei corpi rigidi. Esempio: manubrio ideale (rigido) e manubrio elastico. Statica. Asta e filo ideale.
13/12/17 Sistemi di forze applicate; definizione di risultante e momento risultante. Formula di trasposizione del momento (dipendenza dal polo). Esempio: coppia. Sistemi equivalenti di forze applicate (indipendenza della definizione dal polo). Riduzione di un sistema generico di forze applicate a risultante nel polo piú coppia opportuna. Sistemi di forze applicate parallele; caso di risultante non nullo: equivalenza del sistema a risultante nel centro. Esempio: sistema di forze peso. Teoria dei solidi in appoggio ideale. Discussione fenomenologica. Insieme di appoggio; poligono di appoggio e sue proprietà. 18/12/17 Proprietà del poligono di appoggio e del centro delle reazioni. Teorema sul centro di pressione: enunciato e dimostrazione. Esercizi di statica. 19/12/17 Esercizi di statica. 20/12/17 Esercizi di statica. 5