Presentazione 1 1 Perchè e come studiare i fenomeni elettromagnetici 3 1.1 Introduzione............................ 3 1.2 Approccio induttivo e deduttivo................. 6 1.3 Teorie per descrivere i fenomeni elettromagnetici........ 11 1.3.1 Teoria geometrica o dei raggi.............. 11 1.3.2 Teoria ondulatoria.................... 12 1.3.3 Teoria elettromagnetica................. 12 1.3.4 Teoria quantistica..................... 12 1.4 In questo libro............................. 15 2 La teoria elettromagnetica vettoriale 17 2.1 Introduzione............................ 17 2.2 I postulati............................. 18 2.2.1 Le equazioni di Maxwell................. 18 2.2.2 La carica.......................... 19 2.2.3 La conservazione della carica............... 20 2.2.4 La Forza di Lorentz.................... 21 2.3 Le proprietà del mezzo materiale................ 24 2.3.1 Il modello macroscopico della materia.......... 24 2.3.2 Le relazioni costitutive.................. 25 2.4 Altre equazioni.......................... 31 2.4.1 Le equazioni della divergenza.............. 31 2.4.2 Equazioni in forma integrale............... 32 2.5 Il problema elettromagnetico................... 33 2.6 Teorema di Poynting....................... 34 2.7 Esempi di applicazione del teorema di Poynting........ 40
vi Indice 2.7.1 Collegamento....................... 40 2.7.2 Forno a microonde.................... 42 2.8 Teorema di unicità........................ 43 3 Campi elettromagnetici in regime armonico e polarizzazione 47 3.1 Introduzione............................ 47 3.2 Polarizzazione nel dominio del tempo.............. 48 3.3 Vettore complesso rappresentativo................ 51 3.4 Basi per i vettori complessi.................... 54 3.5 Operazioni sui vettori complessi................. 55 3.5.1 Applicazione di un operatore spaziale.......... 55 3.5.2 Applicazione di un operatore temporale......... 55 3.5.3 Prodotto scalare..................... 56 3.5.4 Modulo di un vettore complesso............. 56 3.5.5 Relazioni tra vettori................... 57 3.5.6 Cambiamento della base nel piano complesso...... 57 3.5.7 Cambiamento dell origine dell asse dei tempi...... 59 3.5.8 Condizione sull annullamento dei vettori........ 60 3.6 Polarizzazione e vettori complessi rappresentativi....... 60 3.6.1 Campo espresso in un sistema di assi principali.... 60 3.6.2 Rapporto di polarizzazione circolare........... 62 3.6.3 Rapporto di polarizzazione rettilinea.......... 63 3.6.4 Parametri di Stokes.................... 65 3.7 Relazioni tra vettori complessi.................. 68 3.7.1 Vettori complessi paralleli................ 68 3.7.2 Vettori complessi ortogonali............... 70 3.7.3 Vettori complessi perpendicolari............. 71 3.7.4 Vettori complessi coniugati................ 72 3.8 Importanza della polarizzazione................. 72 3.9 Esercizi.............................. 74 3.9.1 Esercizio.......................... 74 3.9.2 Esercizio.......................... 74 3.9.3 Esercizio.......................... 75 3.9.4 Esercizio.......................... 75 3.9.5 Esercizio.......................... 75 3.9.6 Esercizio.......................... 75 3.9.7 Esercizio.......................... 75 3.9.8 Esercizio.......................... 76
vii 3.9.9 Esercizio.......................... 77 3.9.10 Esercizio.......................... 77 4 La teoria elettromagnetica vettoriale in regime armonico 79 4.1 Introduzione............................ 79 4.2 Cariche e correnti magnetiche.................. 79 4.3 Le equazioni di Maxwell per le grandezze complesse rappresentative.............................. 81 4.3.1 Equazioni in forma differenziale............. 82 Equazioni di Maxwell................... 82 Relazioni costitutive................... 82 Equazioni della divergenza................ 84 Conservazione della carica................ 85 Forza di Lorentz..................... 85 4.3.2 Equazioni in forma integrale............... 85 Equazioni di Maxwell................... 85 Equazioni della divergenza................ 86 Conservazione della carica................ 86 4.4 Principio di dualità........................ 86 4.5 Soluzione delle equazioni di Maxwell: le equazioni vettoriali di Helmholtz............................ 87 4.6 Condizioni di continuità dei campi................ 89 4.7 Teorema di Poynting per campi complessi........... 93 4.8 Teorema di unicità per campi complessi............. 98 4.8.1 Regione limitata..................... 99 4.8.2 Regione limitata con parete di impedenza....... 100 4.8.3 La regione illimitata................... 102 4.9 Esempi di applicazione del teorema di unicità......... 102 4.9.1 La rete elettrica...................... 102 4.9.2 Guide d onda....................... 105 4.10 Teorema di equivalenza per campi complessi.......... 107 4.11 Esempi di applicazione del teorema di equivalenza....... 111 4.11.1 Olografia.......................... 111 4.11.2 Stereogrammi....................... 112 4.11.3 Correnti assorbenti.................... 112 4.12 Teorema d induzione per campi complessi............ 114 4.13 Esempi di applicazione del teorema di induzione........ 116 4.13.1 Metodi numerici..................... 116
viii Indice 4.13.2 Teoremi di Thevenin e Norton.............. 118 4.14 Teorema di reciprocità o di Lorentz per campi complessi... 122 4.14.1 Forma non coniugata................... 122 4.14.2 Forma coniugata..................... 125 4.14.3 Commento sulle due forme del teorema di reciprocità. 126 4.15 Esempi di applicazione del teorema di reciprocità....... 127 4.15.1 Dimensionamento di un collegamento e antenne.... 127 4.15.2 Circuito ad n porte passivo............... 127 4.15.3 Correnti su conduttore perfetto............. 129 4.16 Inversione del tempo....................... 130 5 Soluzione delle equazioni di Maxwell in un mezzo normale omogeneo in assenza di correnti 133 5.1 Introduzione............................ 133 5.2 La formulazione del problema.................. 134 5.3 La separazione delle variabili................... 136 5.4 La completezza dell insieme di soluzioni trovate........ 138 5.5 Le onde piane........................... 139 5.5.1 Espressioni dei campi................... 140 5.5.2 Vettore di Poynting.................... 141 5.5.3 Impedenza d onda.................... 142 5.5.4 Velocità di propagazione................. 142 Velocità di fase...................... 143 Velocità di gruppo.................... 144 5.6 Classificazione delle onde piane................. 148 5.6.1 Mezzo senza perdite................... 149 Onde piane uniformi................... 149 Onde piane evanescenti.................. 152 5.6.2 Mezzo con perdite.................... 154 Onda piana uniforme................... 156 Onda piana dissociata.................. 157 5.7 Completezza delle onde piane.................. 160 5.8 Materiali particolari........................ 166 5.8.1 Il buon dielettrico..................... 169 5.8.2 Il buon conduttore.................... 172 5.9 Esercizi.............................. 173 5.9.1 Esercizio.......................... 173 5.9.2 Esercizio.......................... 173
ix 5.9.3 Esercizio.......................... 174 5.9.4 Esercizio.......................... 175 5.9.5 Esercizio.......................... 175 5.9.6 Esercizio.......................... 176 6 Riflessione e rifrazione di onde piane 177 6.1 Introduzione............................ 177 6.2 Riflessione e rifrazione...................... 178 6.2.1 Condizioni di continuità................. 179 6.2.2 Onda riflessa....................... 180 6.2.3 Onda trasmessa...................... 181 Secondo mezzo senza perdite............... 181 Secondo mezzo con perdite................ 183 6.2.4 Costruzione grafica tramite le superfici dei vettori d onda185 6.3 Le formule di Fresnel....................... 187 6.3.1 Caso TE.......................... 189 Riflessione totale..................... 191 6.3.2 Caso TM......................... 192 Riflessione totale..................... 195 Rifrazione totale..................... 196 6.4 Riflessione e rifrazione in presenza di discontinuità multiple.. 197 6.4.1 Esempi........................... 202 Strato λ/4......................... 202 Strato λ/2......................... 203 Etalon o cavità Fabry-Perot............... 204 6.5 Esercizi.............................. 204 6.5.1 Esercizio.......................... 204 6.5.2 Esercizio.......................... 205 6.5.3 Esercizio.......................... 205 6.5.4 Esercizio.......................... 206 6.5.5 Esercizio.......................... 207 6.5.6 Esercizio.......................... 207 6.5.7 Esercizio.......................... 208 6.5.8 Esercizio.......................... 209 6.5.9 Esercizio.......................... 210 6.5.10 Esercizio.......................... 211 6.5.11 Esercizio.......................... 212 6.5.12 Esercizio.......................... 212
x Indice 6.5.13 Esercizio.......................... 213 6.5.14 Esercizio.......................... 214 6.5.15 Esercizio.......................... 215 6.5.16 Esercizio.......................... 216 6.5.17 Esercizio.......................... 217 6.5.18 Esercizio.......................... 217 6.5.19 Esercizio.......................... 218 6.5.20 Esercizio.......................... 218 6.5.21 Esercizio.......................... 220 6.5.22 Esercizio.......................... 221 6.5.23 Esercizio.......................... 221 6.5.24 Esercizio.......................... 222 6.5.25 Esercizio.......................... 222 7 Propagazione di un campo elettromagnetico in un mezzo omogeneo 225 7.1 Introduzione............................ 225 7.2 La propagazione nello spazio omogeneo............. 225 7.2.1 Impostazione del problema................ 226 7.2.2 Soluzione nel dominio delle frequenze spaziali..... 227 7.2.3 Soluzione nel dominio delle coordinate spaziali..... 228 7.2.4 Approssimazioni nel dominio delle coordinate spaziali: l integrale di Fresnel................... 230 7.2.5 Le stesse approssimazioni nel dominio delle frequenze spaziali........................... 231 7.2.6 L equazione parabolica.................. 233 7.2.7 Integrale di Fraunhhofer................. 235 7.3 Zone di Fresnel e di Fraunhhofer................. 236 7.4 Estensione dei risultati al caso di strutture cilindriche..... 237 7.5 Esempi............................... 239 7.5.1 Campo diffratto da una fenditura............ 240 7.5.2 Propagazione di un campo gaussiano.......... 241 7.5.3 Lenti sottili........................ 243 7.5.4 Gli ologrammi....................... 249 7.5.5 Filtraggio spaziale e riconoscimento di forme...... 255 7.5.6 Il microscopio a contrasto di fase............ 261 7.6 Esercizi.............................. 263 7.6.1 Esercizio.......................... 263
xi 7.6.2 Esercizio.......................... 265 8 Teoria ondulatoria e teoria geometrica 267 8.1 Introduzione............................ 267 8.2 Teoria ondulatoria........................ 268 8.3 Teoria geometrica o dei raggi................... 268 8.3.1 L equazione dei raggi................... 270 8.3.2 Flusso di energia associato ad un raggio........ 274 8.3.3 Riflessione e rifrazione dei raggi............. 277 Riflessione......................... 277 Rifrazione......................... 278 8.4 Ellissoide di Fresnel........................ 279 8.5 Esempi di applicazione dell ottica geometrica.......... 283 8.5.1 Mezzo stratificato..................... 283 8.5.2 La fibra ottica....................... 285 8.5.3 I miraggi.......................... 287 8.5.4 Il green flash...................... 290 8.5.5 L arcobaleno........................ 294 8.6 Esercizi.............................. 297 8.6.1 Esercizio.......................... 297 8.6.2 Esercizio.......................... 298 9 Soluzione delle equazioni di Maxwell in mezzo normale omogeneo in presenza di sorgenti 299 9.1 Introduzione............................ 299 9.2 La formulazione del problema.................. 300 9.3 I potenziali vettore e scalare................... 301 9.3.1 I potenziali in presenza di correnti elettriche impresse. 301 Uso del potenziale scalare................ 303 Cambiamento della scelta................ 304 9.3.2 I potenziali in presenza di correnti magnetiche impresse 304 9.3.3 La soluzione complessiva del problema......... 305 9.4 Le funzioni di Green....................... 306 9.5 Espressioni generali dei potenziali................ 311 9.5.1 Regione illimitata..................... 311 9.5.2 Regione limitata..................... 311 9.5.3 Mezzo non omogeneo................... 313 9.6 Campi non periodici....................... 314
xii Indice 9.7 I potenziali nel dominio del tempo................ 315 10 Antenne 317 10.1 Introduzione............................ 317 10.2 L elemento di corrente elettrica................. 322 10.2.1 Scelta del sistema di riferimento............. 322 10.2.2 Il potenziale vettore A.................. 323 10.2.3 Il campo magnetico H.................. 323 10.2.4 Il campo elettrico E................... 323 10.2.5 La potenza irradiata................... 326 10.3 Momento equivalente di una sorgente estesa.......... 327 10.4 Cambiamento dell origine del sistema di riferimento...... 331 10.5 Regioni di radiazione ed espressioni approssimate dei campi.. 333 10.5.1 Caso r λ........................ 334 10.5.2 Caso r λ........................ 335 10.6 Grandezze caratteristiche delle antenne............. 337 10.6.1 Intensità di radiazione.................. 338 10.6.2 Funzione di radiazione.................. 339 10.6.3 Direttività......................... 340 10.6.4 Rendimento........................ 342 10.6.5 Guadagno......................... 342 10.6.6 Impedenza d antenna................... 343 10.6.7 Potenza irradiata efficace................. 344 10.6.8 Fattore di antenna.................... 344 10.7 Applicazione all elemento di corrente.............. 345 10.8 Esercizi.............................. 348 10.8.1 Esercizio.......................... 348 10.8.2 Esercizio.......................... 348 10.8.3 Esercizio.......................... 348 10.8.4 Esercizio.......................... 348 10.8.5 Esercizio.......................... 348 11 Antenne composite 351 11.1 Introduzione............................ 351 11.2 Momento equivalente di un antenna composita......... 352 11.3 Schiere di antenne......................... 353 11.4 Casi particolari di schiere di antenne.............. 357 11.4.1 Schiere broad-side..................... 357
xiii 11.4.2 Schiere end-fire...................... 358 11.5 Grandezze caratteristiche delle schiere di antenne....... 360 11.5.1 Funzione di radiazione.................. 361 11.5.2 Guadagno......................... 361 11.6 Considerazioni sulla scelta dei parametri della schiera..... 362 11.7 Esempi di antenne composite.................. 367 11.7.1 Il radiotelescopio Croce del Nord di Medicina.... 367 11.7.2 VLBI, Very Large Base Interferometry e SKA, Square Kilometer Array..................... 371 11.8 Esercizi.............................. 371 11.8.1 Esercizio.......................... 371 11.8.2 Esercizio.......................... 372 11.8.3 Esercizio.......................... 372 11.8.4 Esercizio.......................... 373 11.8.5 Esercizio.......................... 374 11.8.6 Esercizio.......................... 375 11.8.7 Esercizio.......................... 375 11.8.8 Esercizio.......................... 376 12 Il dimensionamento di un collegamento 379 12.1 Introduzione............................ 379 12.2 La formula di Friis........................ 381 12.2.1 L approccio deduttivo.................. 381 Applicazione del teorema di reciprocità......... 382 Calcolo del termine di reazione............. 384 Espressione in funzione delle potenze.......... 386 Il bilancio di potenze del collegamento......... 388 12.2.2 L approccio induttivo................... 390 12.3 Dimensionamento di un collegamento.............. 393 12.4 L equazione del RADAR..................... 394 12.5 Esempi di applicazione dei RADAR............... 398 12.5.1 RADAR meteorologici.................. 398 12.5.2 Identificazione di meteoriti in avvicinamento alla terra 398 12.5.3 LIDAR........................... 399 12.6 Esercizi.............................. 401 12.6.1 Esercizio.......................... 401 12.6.2 Esercizio.......................... 401 12.6.3 Esercizio.......................... 402
xiv Indice 12.6.4 Esercizio.......................... 403 12.6.5 Esercizio.......................... 404 12.6.6 Esercizio.......................... 405 12.6.7 Esercizio.......................... 406 12.6.8 Esercizio.......................... 406 12.6.9 Esercizio.......................... 408 12.6.10 Esercizio.......................... 409 12.6.11 Esercizio.......................... 410 12.6.12 Esercizio.......................... 411 12.6.13 Esercizio.......................... 412 13 Soluzioni degli esercizi 413 13.1 Soluzioni degli esercizi del capitolo 3.............. 413 13.2 Soluzioni degli esercizi del capitolo 5.............. 419 13.3 Soluzioni degli esercizi del capitolo 6.............. 426 13.4 Soluzioni degli esercizi del capitolo 7.............. 473 13.5 Soluzioni degli esercizi del capitolo 8.............. 474 13.6 Soluzioni degli esercizi del capitolo 10.............. 477 13.7 Soluzioni degli esercizi del capitolo 11.............. 481 13.8 Soluzioni degli esercizi del capitolo 12.............. 504 A Identità vettoriali notevoli 527 A.1 Operazioni tra vettori....................... 527 A.2 Operatori su funzioni scalari e vettoriali............ 528 A.3 Relazioni relative alle onde piane................ 529 A.4 Relazioni tra componenti longitudinali e trasversali di un vettore530 A.5 Relazioni valide in sistemi di coordinate sferico polari..... 531 B Gradiente, Divergenza e Rotazionale in sistemi di coordinate curvilinee ortogonali 533 B.1 L operatore simbolico..................... 533 B.2 Gradiente............................. 539 B.3 Divergenza............................. 541 B.4 Rotazionale............................ 543 B.5 Esempi di sistemi di coordinate ortogonali........... 545 B.5.1 Coordinate cartesiane ortogonali............. 545 B.5.2 Coordinate cilindrico polari............... 546
xv Leggi di trasformazione tra coordinate cilindrico polari e cartesiane................... 547 B.5.3 Coordinate sferiche.................... 549 Leggi di trasformazione tra coordinate sferiche e cartesiane....................... 550 C Unità di misura 551 D Costanti fisiche fondamentali 553