Basi di matematica per il corso di micro

Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione tranumeri,taledaassociareaciascun numero un unico numero. Il valore assunto dalla è dunque dipendente dal valore assunto dalla. Scriviamo allora: f () ediciamoche èlavariabile indipendente e èlavariabile dipendente. Una funzione può essere descritta designando la regola di calcolo, per esempio: Si prenda un numero e lo si elevi al quadrato. In questo caso scriviamo: 2 Si prenda un numero e lo si moltiplichi per due. In questo caso scriviamo: 2. 1.2 Rappresentazione L andamento di una funzione viene rappresentato per mezzo di un grafico. Normalmente la variabile dipendente è rappresentata sull asse verticale mentre quella indipendente è rappresentata rappresentata su quello orizzontale. Per esempio nei due casi precedenti abbiamo: 1

2 2 Figura 1 1.3 Proprietà delle funzioni 1.3.1 Funzioni continue Una funzione continua è una funzione che può essere disegnata senza mai staccare la matita dal foglio. Una funzione continua non presenta salti. Funzione continua Funzione discontinua Figura 2 2

1.3.2 Funzioni monotone Una funzione monotona positiva è una funzione costantemente crescente. Una funzione monotona negativa è una funzione constantemente decrescente. Monotona positiva Non monotona Monotona negativa Non monotona Figura 3 1.3.3 Funzioni inverse Nel caso di funzioni monotone, ad ogni valore di corrisponde un solo valore di (e viceversa). La regola di calcolo che, a partire da una certa funzione f (), cidiceilvaloredi per ogni valore di èchiamatafunzione inversa e viene scritta come: g (). Per esempio data la funzione: 2 la sua inversa sarà: 1 2 3

Nel caso di funzioni non monotone la funzione inversa non esiste perchè ad ogni valore di può corrispondere più di un valire di (e viceversa). 1.3.4 Esempi di funzioni inverse Funzione Funzione inversa 3+ 3 6 +1 1 6 2 ± ± 1/2 5 5 1.4 Equazioni e identità Una equazione è un uguaglianza tra una funzione e un numero. La soluzione di un equazione èdatadaunoopiùvaloridi (a seconda del grado dell equazione). Per esempio, la soluzione della funzione 2 8è 4. Un identità è una relazione fra le variabili valida per qualunque valore delle variabili. Per esempio: ( + ) 2 2 + 2 +2 2(1+) 2+2 è il simbolo di identità. 1.5 Funzioni lineari Una funzione lineare è una funzione del tipo: a + b dove a e b sono costanti. 1.6 Saggi di variazione La notazione significa variazione di. Se varia da 1 a 2,scriviamo: 2 1 4

o, in modo equivalente, 2 1 + Se denota una piccola variazione viene comunemente chiamata variazione marginale. Il saggio di variazione (o rapporto incrementale) è il rapporto tra due variazioni. Se dipende da secondo la funzione f (), il saggio di variazione di rispetto a è rappresentato come: f ( + ) f () Il saggio di variazione è dunque la misura della variazione di al variare di. Nel caso di funzione lineare il saggio di variazione di rispetto a ècostante(cioènon dipende da ). Per esempio data la funzione: a + b, il saggio di variazione è dato da: a + b ( + ) a b b b Nel caso di funzione non lineare il saggio di variazione di rispetto a dipende da. Per esempio data la funzione: 2, il saggio di variazione è dato da: ( + )2 2 2 +2 2 + 2 +2 2 +2 In questo caso il saggio di variazione dipende da e dalla misura della variazione stessa. Se è molto piccolo, può essere approssimativamente considerato uguale a zero e può essere ignorato. 1.7 Inclinazione e intercetta Dal punto di vista della sua rappresentazione grafica, il saggio di variazione di una funzione corrisponde alla sua inclinazione. Nel caso di funzione lineare l inclinazione è costante. Per esempio data la funzione 2, la sua inclinazione è: 2( + ) 2 2 +2 2 2 2 Nel caso di funzione non lineare, l inclinazione varia punto per punto (al variare di ). Dunque l inclinazione in un certo punto viene misurata dall inclinazione della retta tangente la 5

funzione in quel punto. Per esempio data la funzione 2, la sua inclinazione è: ( + )2 2 2 +2 2 + 2 +2 2 +2 considerando infinitamente piccolo esso viene posto uguale a zero. L inclinazione della funzione in corrispondenza del punto 4è uguale a 8. Mentre l inclinazione della stessa funzione in corrispondenza del punto 6è uguale a 12. 2 2 4 1 Funzione lineare L inclinazione è sempre 2 4 6 Funzione non lineare L inclinazione è 8 per 4 L inclinazione è 12 per 6 Figura 4 Se la funzione è monotona positiva, e avranno lo stesso segno (quando aumenta, anche aumenta), se invece è monotona negativa, e avranno segno opposto (quando aumenta, diminuisce e viceversa). Le intercette sono i punti di incontro del grafico della funzione con gli assi. L intercetta verticale è il punto di incontro con l asse verticale e corrisponde al punto in cui 0. L intercetta orizzontale è il punto di incontro con l asse orizzontale e corrisponde al punto in cui 0. 6

1.8 Valore assoluto e logaritmi Il valore assoluto di un numero è una funzione f () tale che: f () se 0 e f () se <0 è possibile cioè determinare il valore assoluto di un numero semplicemente eliminando il segno. Il valore assoluto di si scrive come:. Il simbolo. èdettomodulodi. Il logaritmo naturale di rappresenta una particolare funzione di che scriviamo ln o ln(). Il logaritmo gode delle seguenti proprietà: ln () ln()+ ln() ln 2 2ln() ln (e) 1 (dove e è la base dei logaritmi naturali e corrisponde a 2.7183). 2 Derivate 2.1 Derivata prima La derivata prima di una funzione è il limite del saggio di variazione di rispetto a al tendere della variazione di a zero (cioè per piccolissimo). La derivata della funzione f () può essere anche scritta f 0 (). Dunque abbiamo: f 0 () df () d lim f ( + ) f () 0 La derivata prima di una funzione è dunque un coefficiente di variazione puntuale o istantaneo e rappresenta dunque l inclinazione della funzione punto per punto. Nel caso di funzione lineare, essa sarà costante. Per 2+3 : df () d lim 2+3 ( + ) 2 3 3 lim 3 0 0 7

Nel caso di funzione non lineare, essa varierà punto per punto. Per 2 : df () d lim ( + ) 2 2 0 2 +2 lim 0 2 + 2 +2 2 lim 0 lim ( +2) 2 0 Una funzione viene detta derivabile (o liscia) se: E continua Esiste ed è finito il limite per che tende a zero del rapporto /. In altri termini una funzione è derivabile se non presenta punti di discontinuità, angoli o spigoli. Due casi di funzioni non derivabili sono rappresentate in Figura 6. 1 2 Non continua e non derivabile per 1 Continua ma non derivabile per 2 Figura 6 2.2 Differenza fra saggio di variazione e derivata Il saggio di variazione rappresenta la velocità media di variazione di una funzione. Rappresenta cioè come varia la funzione f () nell intervallo. f ( + ) f () 8

Graficamente abbiamo: 2 5 Δ 1 3 1 1 2 4 14444 24444 3 Δ Figura 7 Il rapporto / rappresenta l inclinazione della retta (indicata dalla linea tratteggiata) che taglia la funzione nei punti ( 1, 1 ) e ( 2, 2 ). Tale inclinazione è costante nell intervallo. Invece l inclinazione della funzione f () varia in ciascun punto dell arco compreso fra i punti ( 1, 1 ) e ( 2, 2 ). L inclinazione della funzione punto per punto è data dalla derivata della funzione misurata nel punto. Essa ci dice come varia l inclinazione della funzione al variare infinitesimo di (per variazioni infinitamente piccole o tendenti a zero). Si ha quindi il coefficiente di variazione puntuale che rappresenta la velocità istantanea di variazione della funzione: Graficamente: lim 0 lim f ( + ) f () 0 0 9

2 5 1 3 1 1 2 4 Fugura 8 L inclinazione della funzione nel punto ( 1, 1 ) è data dalla inclinazione della retta tangente la funzione nel punto ( 1, 1 ) e, come si osserva è maggiore, dell inclinazione della funzione nel punto ( 2, 2 ) che è data dall inclinazione della retta tangente la funzione nel punto ( 2, 2 ). Se la derivata prima di una funzione è positiva la funzione è crescente,mentreseladerivata prima è negativa la funzione è decrescente. 10

2.3 Derivate fondamentali Le derivate di alcune funzioni elementari devono essere conosciute per risolvere alcuni esercizi di microeconomia che impareremo a svolgere in questo corso. Funzione Derivata prima c 0 0 f () 0 f 0 () 1 f () n n N 0 f 0 () n n 1 f () 2 0 f 0 () 2 1 2 f () 3 0 f 0 () 3 2 f () ln() >0 0 f 0 () 1 f () a f () e f () 1 1 0 f 0 () a ln (a) 0 f 0 () e ln (e) e 0 f 0 () 1 2 2 f () 1 2 2 0 f 0 () 2 2 3 3 1/2 0 f 0 () 1 2 1/2 1 1 2 1/2 1 2 2.4 Derivate di funzioni composte Supponiamo che la funzione f () sia esprimibile come il prodotto di due funzioni indicate rispettivamente da g () e h (). Quindi: La derivata di f () sarà data da: df () d f () g () h () dg () d h ()+g () dh () d Se invece la funzione f () è data dal rapporto fra due funzioni indicate rispettivamente da g () e h (), cioè, La derivata di f () sarà data da: df () d dg () d f () g () h () dh () h () g () d h () 2 11

In generale, date due funzioni g () e z h (), chiamiamo f () funzione composta se esprimibile come: f () h [g ()] la derivata di f () si ottiene secondo la regola di derivazione delle funzioni composte che è la seguente: df () dh () dg () d d d Se per esempio g () 2 e h () 3+2, avremoche f () h [g ()] 3 + 2 2 Per ottenere la derivata della funzione composta f () dobbiamo prima derivare h () rispetto a e poi moltiplicare il risultato ottenuto per la derivata di g () rispetto a. Abbiamo allora: dh () d d (3 + 2 ) d 2 e dg () d d2 d 2 Quindi: df () d dh () d dg () d 2 2 4 2.4.1 Regole fondamentali di derivazione Funzione f () g ()+h () f () g () h () Derivata prima 0 f 0 () g 0 ()+h 0 () 0 f 0 () g 0 () h 0 () f () g () h () f () g () /h () 0 f 0 () g 0 () h ()+g () h 0 () 0 f 0 () g0 () h () g () h 0 () [h ()] 2 f () 1/h () 0 f 0 () h 0 () / [h ()] 2 con h () 6 0 f () h [g ()] 0 f 0 () h 0 [g ()] g 0 () 2.5 Derivate parziali Supponiamo ora che dipenda da due variabili indicate da 1 e 2. Scriviamo allora: f ( 1, 2 ) 12

La derivata parziale di f ( 1, 2 ) rispetto a 1 èladerivatadellafunzionerispettoa 1 ipotizzando che 2 è una costante. Cioè: f0 ( 1, 2 ) f ( 1, 2 ) f ( 1 + 1, 2 ) f ( 1, 2 ) lim 1 1 0 1 mentre la derivata parziale di f ( 1, 2 ) rispetto a 2 è la derivata della funzione rispetto a 2 ipotizzando che 1 è una costante. Cioè: f0 ( 1, 2 ) f ( 1, 2 ) f ( 1, 2 + 2 ) f ( 1, 2 ) lim 2 2 0 2 La derivata parziale si indica con il simbolo. Le derivate parziali godono delle stesse proprietà delle derivate ordinarie. In particolare valgono le stesse regole delle funzioni composte anche se con una modifica. Supponiamo che 1 e 2 sono due variabili dipendenti da una terza variabile z. Definiamo la funzione g (z) come: g (z) f ( 1 (z), 2 (z)) Quindi al variare di z variano sia 1 (z) che 2 (z) e quindi la derivata parziale di g (z) rispetto a z sarà data dalla somma delle derivate parziali di 1 (z) e 2 (z) rispetto a z. In altri termini: dg (z) dz f ( 1 (z), 2 (z)) z f ( 1, 2 ) d 1 (z) 1 dz + f ( 1, 2 ) d 2 (z) 2 dz 2.5.1 Alcuni esempi Funzione Der. parziale rispetto a 1 Der. parziale rispetto a 2 f ( 1, 2 ) 1 + 2 f 0 1 ( 1, 2 )1 f 0 2 ( 1, 2 )1 f ( 1, 2 ) 2 1 + 2 f 0 1 ( 1, 2 )2 1 f 0 2 ( 1, 2 )1 f ( 1, 2 ) 2 1 +2 2 f 0 1 ( 1, 2 )2 1 f 0 2 ( 1, 2 )2 f ( 1, 2 ) 1 1 +2 2 f 0 1 ( 1, 2 ) 1 2 1 f 0 2 ( 1, 2 )2 f ( 1, 2 ) 1 2 f 0 1 ( 1, 2 ) 2 f 0 2 ( 1, 2 ) 1 f ( 1, 2 ) 1 f 0 1 ( 1, 2 ) 1 f 0 2 2 ( 1, 2 ) 1 ( 1 2 2 ) 1 2 2 2 13

2.6 Derivate seconde La derivata seconda di una funzione è la derivata della derivata di quella funzione. Se f (), la derivata seconda rispetto a si scrive d2 f () d 2 o f 00 (). Per esempio sappiamo che se f () 2 allora f 0 () 2 le rispettive derivate seconde sono: d 2 f () d 2 f 00 () f 0 (2) 0 d 2 g () d 2 g 00 () g 0 (2) 2 La derivata seconda misura la curvatura della funzione. Come vediamo nel paragrafo successivo. se g () 2 allora g 0 () 2 2.7 Concavità e convessità delle funzioni Ritorniamo a considerare una funzione in una sola variabile, f (). Una funzione si dice concava se il segmento che unisce due punti qualsiasi della funzione si trova sempre al di sotto della funzione stessa. Questo vuol dire che la pendenza della curva risulta via via minore per valori crescenti di. La condizione di concavità può essere anche scritta come: Graficamente abbiamo: 2 5 f ( 2 ) f ( 1 ) 2 1 ( 1 )+f ( 1 ) f () 1 3 Concava 1 1 2 4 Figura 9 14

L inclinazione della funzione in corrispondenza di 1 è maggiore dell inclinazione della funzione in corrispondenza di 2. Una funzione è concava nell intorno di un punto se la derivata seconda della funzione in quel punto è negativa (e dunque la sua derivata prima è decrescente). Una funzione si dice convessa se il segmento che unisce due punti qualsiasi della funzione si trova sempre al di sopra della funzione stessa. Questo vuol dire che la pendenza della curva risulta via via maggiore per valori crescenti di. La condizione di convessità può essere anche scritta come: Graficamente abbiamo: f ( 2 ) f ( 1 ) 2 1 ( 1 )+f ( 1 ) f () 2 1 Convessa 1 2 Figura 10 L inclinazione della funzione in corrispondenza di 1 è minore dell inclinazione della funzione in corrispondenza di 2. Una funzione è convessa nell intorno di un punto se la derivata seconda della funzione in quel punto è positiva (e dunque la sua derivata prima è crescente). 3 ttimizzazione Se f (), allora il punto di sarà detto massimo di f () se f ( ) f () per qualsiasi valore di. Se f () soddisfa alcune proprietà di derivabilità, le condizioni perchè ci sia un 15

massimo in sono: df ( ) d 0 condizione del primo ordine d 2 f ( ) d 2 0 condizione del secondo ordine La condizione del primo ordine stabilisce che la funzione è piatta nel punto.la condizione del secondo ordine stabilisce che la funzione è concava in un intorno del punto. Entrambe le proprietà devono valere perchè sia un massimo. Se f (), allora il punto di sarà detto minimo di f () se f ( ) f () per qualsiasi valore di. Se f () soddisfa alcune proprietà di derivabilità, le condizioni perchè ci sia un minimo in sono: df ( ) d 0 condizione del primo ordine d 2 f ( ) d 2 0 condizione del secondo ordine La condizione del primo ordine stabilisce sempre che la funzione è piatta nel punto. La condizione del secondo ordine stabilisce che la funzione è convessa in un intorno del punto. Entrambe le proprietà devono valere perchè sia un minimo. Graficamente: * * Massimo in * Minimo in * Figura 11 Se consideriamo una funzione in due variabili: f ( 1, 2 ) che soddisfa le condizioni di deriv- 16

abilità, le condizioni del primo ordine perchè ci sia un massimo o un minimo in sono: f ( 1, 2 ) 1 0 f ( 1, 2 ) 2 0 Esistono anche condizioni del secondo ordine ma per semplicità non verranno considerate. 4 ttimizzazione vincolata Spesso si cerca di individuare il massimo o il minimo di una funzione per qualche insieme ristretto di valori di. La notazione del problema di ottimo vincolato così ottenuto è allora: Ma 1, 2 f ( 1, 2 ) sotto il vincolo: g ( 1, 2 )c Questa formulazione significa che si cercano i valori di 1, 2 tali che f ( 1, 2 ) f ( 1, 2 ) per tutti i valori di 1 e 2 che soddisfano l equazione g ( 1, 2 )c. La funzione f ( 1, 2 ) viene della funzione obiettivo, mentre g ( 1, 2 )c èilvincolo. 17