Le leggi di Keplero Fino al 1600 si credeva che: la Terra fosse al centro dell'universo, con il Sole e i pianeti orbitanti attorno (modello geocentrico) (Esempio: modello aristotetelico-tolemaico); i corpi celesti, sferici e perfetti, orbitassero su traiettorie circolari. Copernico introdusse il modello eliocentrico (Sole al centro e pianeti su orbite circolari), che fu poi appoggiato da Galileo. Questo modello però non concordava con le osservazioni astronomiche.
Le leggi di Keplero Giovanni Keplero (1571-1630) perfezionò il modello eliocentrico con tre leggi: Prima legge di Keplero Le orbite dei pianeti sono ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. Si definiscono: - perielio: il punto dell'orbita più vicino al Sole. - afelio: il punto dell'orbita perielio Sole afelio più lontano dal Sole.
Le leggi di Keplero Seconda legge di Keplero Il raggio vettore che va dal Sole a un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali.
Le leggi di Keplero Terza legge di Keplero Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dell'orbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T è lo stesso per tutti i pianeti. T aumenta al crescere di a: i pianeti lontani impiegano più tempo a compiere un giro attorno al Sole.
La gravitazione universale Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti ma non ne spiegano le cause. Isaac Newton intuì che la forza che fa orbitare i pianeti attorno al Sole è la stessa che fa cadere i corpi verso la Terra. Questa forza è universale e vale per qualsiasi coppia di oggetti.
La gravitazione universale La legge di gravitazione universale afferma che la forza che si esercita tra due corpi puntiformi di masse m 1 e m 2 è: direttamente proporzionale alle masse dei corpi; inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza r.
La gravitazione universale L'espressione matematica della legge di gravitazione universale è: [2] G è la costante di gravitazione universale:
La gravitazione universale Vediamo le dipendenze di F da r e da m. 1) Tenendo fissa la distanza r tra i due corpi:
La gravitazione universale 2) Tenendo fisse le masse dei due corpi m 1 e m 2 : se r raddoppia, la forza diventa 1/4; se r triplica, la forza diventa 1/9; se r si dimezza, la forza quadruplica.
La gravitazione universale Il valore della forza F è inversamente proporzionale a r 2. Questo significa che: F diminuisce molto rapidamente al crescere di r; F aumenta molto velocemente al tendere di r a zero.
Il valore della costante G La forza-peso F P di un corpo di massa m è la forza di gravità con cui la Terra attrae m quando è posta vicino alla superficie terrestre. M T, R T : massa e raggio della Terra. Ricaviamo G: Con i valori di M T, R T noti a Newton si ottiene
L'esperimento di Cavendish Henry Cavendish nel 1798 misurò per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione. Le masse m 1 e m 1 del manubrio sono attratte dalle masse più grandi M 1 e M 2. Dall'angolo di torsione del filo si misura il valore di F. Si ottiene
L'accelerazione di gravità sulla superficie della Terra Dalla legge di gravitazione universale, noti M T e R T, si può ricavare il valore di g che abbiamo già incontrato. La quantità in parentesi è una costante e vale:
L'accelerazione di gravità sulla superficie della Terra Il valore dell'espressione corrisponde proprio al valore sperimentale di g. Questo permette di ottenere la formula F P = mg come caso particolare della legge di gravitazione, in prossimità della superficie terrestre.
LA FORZA GRAVITAZIONALE TRA CORPI DI GRANDI DIMENSIONI
IL CAMPO GRAVITAZIONALE
IL CAMPO GRAVITAZIONALE Una massa crea nello spazio circostante un CAMPO GRAVITAZIONALE (CAMPO DI FORZE), ossia crea una modifica dello spazio intorno e lo spazio modificato esercita una forza gravitazionale su un altra massa (piccola) posta nelle vicinanze della massa che crea tale campo.
Figura 14
IL CAMPO GRAVITAZIONALE DI UNA MASSA PUNTIFORME Dalla definizione di g = F, anche il vettore g è diretto m verso la massa M. Sostituendo abbiamo che:
CAMPO GRAVITAZIONALE TERRESTRE Il campo gravitazionale terrestre i n qualunque punto P situato a una distanza r dal centro della terra ha modulo: g = G M T r 2 Per r = R T, il vettore g esprime l accelerazione di gravità in prossimità della superficie della Terra, che vale 9,8 m s 2
Massa inerziale e massa gravitazionale Abbiamo incontrato la grandezza fisica massa di un corpo in due casi distinti: massa inerziale, m i : indica la resistenza del corpo ad essere accelerato; massa gravitazionale, m g : indica la capacità di attrarre oggetti ed essere attratto da essi. I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali.
Massa inerziale e massa gravitazionale Se scegliamo il kg come unità di misura per entrambe possiamo considerare: m i = m g, anche se concettualmente sono diverse.
Il moto dei satelliti Supponiamo di sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocità arbitraria).
Diversi tipi di orbite L'orbita di un proiettile con v 0 =7,9x10 3 m/s è una circonferenza. All'aumentare ancora di v 0 la traiettoria diventa un'ellisse; superato un certo valore la traiettoria è un'iperbole: il proiettile si allontana dalla Terra.
La velocità dei satelliti in orbita circolare Satellite di massa m in orbita circolare di raggio R con velocità v intorno alla Terra. Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta: R al denominatore: più il satellite è lontano dalla Terra, più è lento.
Satelliti geostazionari Sono satelliti che si muovono alla velocità di rotazione terrestre, quindi appaiono fermi rispetto alla Terra.
La deduzione delle leggi di Keplero Le tre leggi di Keplero sono conseguenze dei princìpi della dinamica e della legge di gravitazione universale. Prima legge di Keplero: si dimostra che è conseguenza della proporzionalità della F gravitazionale a 1/r 2 : le traiettorie possono essere ellissi, parabole o iperboli; le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze).
La deduzione delle leggi di Keplero Seconda legge di Keplero: si dimostra che è conseguenza della conservazione del momento angolare. poiché L è costante, r e v sono inversamente proporzionali. Al perielio r P è minimo, quindi v P è massima; All'afelio r A è massimo, quindi v A è minima.
La deduzione delle leggi di Keplero Terza legge di Keplero: dimostriamola per orbite circolari. Moto circolare uniforme: Essendo, si ha ovvero Poiché la quantità a destra dell'uguale è costante, la terza legge di Keplero è verificata.
L'energia potenziale gravitazionale Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto l'azione di una massa maggiore M. Si dimostra che Quindi l'energia potenziale U è:
Scelta dell'energia potenziale che si annulla all'infinito Nella formula di U è conveniente porre k=0. Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita. Si scrive dunque
Scelta dell'energia potenziale che si annulla all'infinito Rappresentiamo il grafico della funzione U(r). La dipendenza da 1/r determina: l'annullarsi di U(r) per r che tende ad infinito; il tendere all infinito di U per r che tende a zero. U(r) è sempre negativa (potenziale attrattivo).
La forza di gravità e la conservazione dell'energia meccanica Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validità della legge di gravitazione universale e dei princìpi della dinamica, anche perché nel vuoto spaziale non esiste attrito.
La forza di gravità e la conservazione dell'energia meccanica La legge di conservazione dell'energia in questo caso è valida e dà un'altra spiegazione alla seconda legge di Keplero.
LA VELOCITA DI FUGA DA UN PIANETA O DA UNA STELLA
La forza di gravità e la conservazione dell'energia meccanica Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza è infinita. Se il proiettile percorre un'orbita ellittica, v<v fuga e l'energia totale E=K+U è negativa. Se il proiettile ha v=v fuga, riesce a liberarsi e l'energia totale E=K+U è zero. Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica, v>v fuga e l'energia totale E=K+U è positiva.