Oscillazioni particella-antiparticella

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Prof. A. Andreazza Lezione 17 Oscillazioni particella-antiparticella

Oscillazioni particella-antiparticella Abbiamo visto che nelle interazioni deboli non viene conservato il sapore dei quark Questo è associato a transizioni con scambio di carica spesso associate a produzioni di coppie leptone-neutrino decadimenti beta, decadimenti semileptonici delle particelle strane ma anche coppie quark-antiquark, di carica diversa. decadimenti adronici dei K e degli iperoni Queste caratteristiche permettono il prodursi di un fenomeno spettacolare: oscillazione tra una particella e la sua antiparticella. Introdurremo una Hamiltoniana efficace: include la descrizione degli autostati, la loro evoluzione temporale ed il decadimento. Questo fenomeno ha permesso di osservare la violazione di CP

Violazione di CP La violazione di CP è fondamentale per diversi motivi: Asimmetria materia-antimateria nell universo abbiamo evidenza che l universo contega molti più barioni e elettroni che anti-barioni e positroni ammontare osservato nei raggi cosmici compatibile con i processi di spallazione, conversione di coppie... perché possa generarsi questa asimmetria è necessario sottisfare le tre condizioni di Sakharov (1967): Deve esistere un processo che violi il numero barionico Devono essere violate C e CP Tali processi devono avvenire al di fuori dell equilibrio termico La freccia del tempo crediamo che CPT sia una simmetria fondamentale della natura. violazione di CP e conservazione di CPT implicano violazione di T Invarianza per inversione temporale rotta a livello microscopico. 3

I decadimenti dei quark Q=+/3 Q=-1/3 I quark possono essere classificati in famiglie, come i leptoni. Ogni famiglia costituita da un quark di carica /3 ed uno di carica -1/3. Le transizioni deboli sono mediate dalla matrice unitaria di Cabibbo-Kobayashi- Maskawa (CKM) Q=±1 V CKM = V ud V us V ub V cd V cs V cb V td V ts V tb cosθ c sinθ c ~ 10 ~ 10 3 ~ 10 1 3 sinθ c cosθ c ~ 10 σ[mb] 10-10 -3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 ρ ω φ ρ J/ψ Risonanze cc ψ(s) Risonanze bb Υ σ ( e + e adroni) 1 10 10 tt Z a 350 GeV s [GeV] Esempi: s V us u + V cs c + V ts t Probabilità proporzionali a V us ~ V cd ~sin θ c Non accessibili cinematicamente c V cd* d + V cs* s + V cb* b Il Q valore viene usato per produrre coppie lν ν o qq entro il range delle interazioni deboli: ħ/m W c ~.5 10-3 fm 4 10 3 J/ψ ψ(s) Υ Z

Oscillazioni particella-antiparticella L osservazione principale è che il sapore dei quark non è una quantità esattamente conservata: è conservato in interazioni forti ed elettromagnetiche è violato nelle interazioni deboli. Questa non-conservazione apre la possibilità di avere oscillazioni tra particella ed antiparticella: Autostati di sapore non sono, in generale, autostati dell Hamiltoniana Nota bene: non sono possibili invece oscillazioni del tipo: 0 0 ( ) B d ( db ) B d ( db) Alcuni stati mesonici neutri come K 0 ( ds ) K 0 ds differiscono dalla loro antiparticella solo per il numero quantico di sapore (stranezza, bellezza...), che però non è conservato nelle interazioni deboli. neutrone-antineutrone, visto che le due particella hanno diverso numero barionico, ed il numero barionico è conservato; neutrino-antineutrino, visto che le due particelle hanno diverso numero leptonico, che pure è una quantità conservata. 5

Hamiltoniana efficace Nel caso di una particella in quiete: E = m l equazìone di Schrödinger: i d dt ψ = mψ dove Hψ = mψ m = ψ H ψ la sua evoluzione temporale sarà ψ ( t ) = ψ ( 0 )e imt e la densità di probabilità: ψ ( t ) = ψ ( 0 ) = costante Se la particella è instabile si può descrivere con una componente immaginaria dell autovalore dell energia: Hψ = m i γ ψ l evoluzione temporale diventa: ψ ( t ) = ψ ( 0 )e imt γ t e la densità di probabilità decresce nel tempo: ψ ( t ) = ψ ( 0 ) e γt H non è hermitiana: non conserva la densità di probabilità: descrive in maniera efficace il comportamento di un singolo stato di un sistema più ampio γ è la larghezza di decadimento dello stato 6

Hamiltoniana efficace: il sistema del K 0 Consideriamo il caso dei due stati del K 0 e della sua antiparticella: ψ(t) = a(t) K 0 + b(t) K 0 i d dt ψ(t) = i d dt a(t) K 0 + i d dt b(t) K 0 = Hψ(t) = a(t)h K 0 + b(t)h K 0 Facendo il prodotto scalare: con K 0 i d dt a(t) = a(t) K 0 H K 0 + b(t) K 0 H K 0 con K 0 i d dt b(t) = a(t) K 0 H K 0 + b(t) K 0 H K 0 Possiamo scrivere in forma matriciale: i d dt a(t) b(t) = K 0 H K 0 K 0 H K 0 K 0 H K 0 K 0 H K 0 se esistessero solo interazioni elettromagnetiche e forti: per la conservazione della stranezza: K 0 H K 0 = K 0 H K 0 = 0 per la simmetria di coniugazione di carica: a(t) b(t) = H eff a(t) b(t) K 0 H K 0 = K 0 H K 0 = m K 0 Puramente reale conservazione stranezza 7

Hamiltoniana efficace La forma più generale dell hamiltoniana efficace si può ottenere scomponendola in una parte hermitiana ed una anti-hermitiana: H eff = M i Γ = m 0 m * m m 0 dove M e Γ sono matrici hermitiane e abbiamo indicato i 1 Γ 0 Γ * Γ Γ 0 K 0 H K 0 = K 0 H K 0 = m 0 i Γ 0 Si può dimostare che la conservazione di CPT impone: K 0 H K 0 = K 0 H K 0 Mostreremo che se m e Γ sono reali, allora H eff conserva CP Se ci fossero solo interazioni forti ed elettromagnetiche: H eff = m K 0 ( 1 0 ) ψ ( t ) = ψ ( 0 )exp( im 0 1 K 0t) 8

Oscillazioni: visione microscopica Le interazioni deboli: permettendo il decadimento producono una componente immaginaria negli autovalori modifiche della stranezza attraverso scambi multipli di W K 0 d s W u u W s d K 0 È un processo molto debole: scambio di due W soppressione dovuta alla matrice CKM Stato intermedio: uu = sin θ c cos θ c cu = sin θ c cos θ c cc = sin θ c cos θ c uc = sin θ c cos θ c Interferenza distruttiva: meccanismo di Glashow-Iliopolous-Maiani L espressione esatta è: m G Fm K f π K B K sin θ c cos θ c ( m c m u ) Dipende dalla funzione d onda del K, ~(00 MeV) 9

Oscillazioni: visione macroscopica Il fatto che ci possa essere termini non diagonali m si può anche inferire dal fatto che ci sono decadimenti comuni a K 0 e anti-k 0 Consideriamo i principali decadimenti dei K carichi K + µ + ν µ µ ν µ π 0 e + ν e, π 0 µ + ν µ π 0 e ν e, π 0 µ ν µ π + π 0 π π 0 π + π 0 π 0,π + π + π π π 0 π 0,π π π + K e di quelli neutri K 0 K 0 π e + ν e, π µ + ν µ π + e ν e, π + µ ν µ π + π,π 0 π 0 π 0 π 0 π 0,π + π 0 π 10

Oscillazione: visione macroscopica La presenza di stati comuni implica che gli autostati dell hamiltoniana completa devono essere misture di K 0 e K 0 Questo è analogo a quanto accade in una teoria con una hamiltoniana non relativistica H, con autofunzioni ψ n : se aggiungiamo una perturbazione V, vediamo che le autofunzioni diventano: ψ m V ψ n ψ n ʹ = ψ n + + m n m n k n E n E m ψ m al primo ordine solo le autofunzioni collegate direttamente contribuiscono al secondo ordine contribuiscono anche autofunzioni collegate tramite uno stato a ψ k con prodotto 0 sia con ψ n che con ψ m In particolare per la matrice Γ, intuitivamente possiamo dire che Γ 0 = π! ψ m V ψ k ψ k V ψ n ( E n E m ) E n E k f ( ) ψ m K 0 H f f H K 0 " $$$ # $$$ % ρ f M fk o m n ψ n V ψ n ψ m V ψ n ψ ( E n E m ) m ψ n Γ = π! f somma sui modi di decadimento comuni ad entrambi gli stati m n K 0 H f f H K 0 ρ f ψ m V ψ n ( E n E m ) 11

Diagonalizzazione di H eff Procederemo ora determinare autovalori ed autovettori di H eff. H eff = m 0 i Γ 0 m i Γ m * i Γ * m 0 i Γ 0 K S = p K 0 + q K 0 K L = p K 0 q K 0 Prima di procedere con i calcoli formali, anticipiamo i risultati principali: Se H eff conserva CP, gli autostati sono gli autostati di CP: ( ), K = 1 ( K 0 + K 0 ) K 1 = 1 K 0 K 0 Questi hanno una grossa differenza di vita media, dando luogo agli stati K S ~K 1 e K L ~K L interferenza di questi stati permette di osservare oscillazioni Nel 1964 Fitch e Cronin osservarono il decadimenti K 0 L, CP dispari, in uno stato con CP pari: significa che K 0 L non è un autostato di CP Violazione della simmetria CP nelle interazioni deboli K 0 K 0

Diagonalizzazione di H eff Se prendiamo la forma generale di H eff : L equazione degli autovalori è: m 0 i Γ 0 λ H eff = m 0 i Γ 0 m i Γ m * i Γ * m 0 i Γ 0 m i Γ m * i Γ * Le soluzioni sono immediatamente: λ ± = m 0 i Γ 0 ± m i Γ m * i Γ * che possiamo scrivere anche m S i Γ S = m 0 + 1 Δm i Γ 0 + 1 ΔΓ, m i L Γ = m 1 L 0 Δm i Γ 1 0 ΔΓ dove: Δm = R m i Γ m * i Γ *, ΔΓ = 4I m i Γ m * i Γ * 13

Diagonalizzazione di H eff Gli autovettori corrispondenti sono dati dalla relazione: ovvero: = m 0 i Γ 0 λ + m i Γ (H eff λ + ) K S = 0 m * i Γ * m 0 i Γ 0 λ + m i Γ m * i Γ * m i Γ m * i Γ* m i Γ m p q * i Γ * K S = p K 0 + q K 0 p q = 0 che ha come soluzione: m i Γ m * i Γ * p + m i Γ q = 0 m * i Γ * p m i Γ m * i Γ * q = 0 q / p = m i Γ m * i Γ * / m i Γ q / p = m * i Γ * / m i Γ m * i Γ * q m * p = i Γ * m i Γ con la condizione di normalizzazione p + q = 1 14

Diagonalizzazione di H eff È poi immediato dimostrare che se l autovettore K S è dato da: (H eff λ + ) K S = 0 allora l autovettore K L è dato da: K S = p K 0 + q K 0 incidentalmente notiamo che i due autostati non sono ortogonali: In generale (H eff λ ) K L = 0 q p = m * i Γ * m i Γ 1 K L = p K 0 q K 0 K S K L = ( p * K 0 + q * K 0 )( p K 0 q K 0 ) = p q = p 1 q p esiste però un caso notevole in cui ciò avviene: se m e Γ sono reali in tal caso possiamo prendere p=1/, q=-1/ ed abbiamo: K S = 1 ( K 0 K 0 ) = K 1 K L = 1 ( K 0 + K 0 ) = K 15

Autostati di CP Per i mesoni pseudoscalari: CP K 0 = C K 0 = K 0 CP K 0 = C K 0 = K 0 e gli autostati sono autostati di CP CP K 1 ( ) = 1 ( CP K 0 CP K ) 0 = 1 ( K 0 + K ) 0 = K 1 = CP 1 K 0 K 0 CP K = CP 1 ( K 0 + K ) 0 = 1 ( CP K 0 +CP K ) 0 = 1 ( K 0 K ) 0 = K 16

Autostati di CP Questo formalismo venne proposto dopo l osservazione del decadimento 0 + K 0, K π π Il fatto che gli stati π + π - fossero accessibilità ad entrambe le particelle forniva lo stato intermedio necessario per le oscillazioni. Il decadimento osservato avveniva in uno stato di CP=+1: nel caso di pioni carichi, l operazione di coniugazione di carica equivale allo scambio delle due particelle, quindi: P π + π - >=(P π ) (-1) L π + π - > 17 C π + π - >=P π + π - > CP π + π - >=(-1) L π + π - >= π + π - > nel caso di pioni neutri, la simmetria della funzione d onda per particelle identiche implica che L deve essere pari quindi C π 0 π 0 >=P π 0 π 0 >=CP π 0 π 0 >= π 0 π 0 > I decadimenti osservati dovevano quindi essere quelli del K 1. Accanto al K 1, doveva quindi esistere il K, al quale non era accessibile il decadimento in due pioni, ma solo quello in tre. Questo stato finale ha CP=-1, infatti, dato il poco spazio delle fasi disponibile, (~80 MeV su 500 MeV di m K ), i tre pioni devono trovarsi in uno stato con momento angolare orbitale uguale a 0. In tal caso: CP πππ>=p πππ>=(-1) 3 πππ> in entrambi i canali π 0 π 0 π 0 > e π + π 0 π - >. I due stati hanno una differenza di vita media notevole a causa dello notevole soppressione di spazio delle fasi per il decadimento del K.

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Evoluzione temporale In collisioni tra adroni vengono prodotte particelle con stranezza ben definita. ad esempio π + p Λ + K 0 Lo stato iniziale è quindi K 0 = 1 ( K 1 + K ) L evoluzione temporale dà K 0 ( t) = 1 St Γ S e im t K 1 + e im Lt Γ L = e im 0t e i t K = e im 0t Δm t Γ S t 1 ( K 0 K 0 ) + e iδm t Γ L t 1 ( K 0 + K 0 ) e i Δm t Γ S t K 1 + e iδm t Γ L t K = e im 0t e iδm t Γ S t + e iδm t Γ L t K 0 e iδm t Γ S t e iδm t Γ L t K 0 da cui si vede chiaramente il comparire di una componente di antiparticelle, da una stato iniziale puro di particelle. 0

Evoluzione temporale La struttura dell evoluzione temporale si può verificare sfruttando decadimenti deboli accessibili ad una particella, ma non alla sua antiparticella. Il primo esempio studiato sperimentalmente è il canale K e3. Come è facile rendersi conto scrivendo i decadimenti usando i quark componenti: 0 + + K π + e + ν e K π + e + ν e È quindi possibile misurare la frazione di K 0 che hanno oscillato ad un tempo t tramite l asimmetria: 0 N K 0 π e + ν N K 0 π + e ν N K 0 π e + ν + N K 0 π + e ν = K 0 K 0 t K 0 K 0 t ( ) K 0 K 0 ( t ) ( ) + K 0 K 0 ( t ) K 0 K 0 (t) = 1 4 e iδm t Γ S t + e iδm t Γ L t = 1 4 e Γ St + e iδmt Γ L+Γ S t iδmt Γ L+Γ S t + e + e Γ L = 1 4 e iδm t Γ S t + e iδm t Γ L = 1 4 e Γ St + e Γ L +Γ S t t e i Δm t Γ S t + e iδm t Γ L t ( e iδmt + e iδmt ) + e Γ L K 0 K 0 (t) = 1 4 e Γ St + e Γ L+Γ S t cosδmt + e Γ L 1

Evoluzione temporale La struttura dell evoluzione temporale si può verificare sfruttando decadimenti deboli accessibili ad una particella, ma non alla sua antiparticella. Il primo esempio studiato sperimentalmente è il canale K e3. Come è facile rendersi conto scrivendo i decadimenti usando i quark componenti: 0 + + K π + e + ν e K π + e + ν e È quindi possibile misurare la frazione di K 0 che hanno oscillato ad un tempo t tramite l asimmetria: N N K 0 π e + ν K 0 π + e ν N + N = K 0 π e + ν K 0 π + e ν K 0 K 0 K 0 K 0 K 0 K 0 (t) = 1 4 e iδm t Γ S t e iδm t Γ L t = 1 4 e Γ St e iδmt Γ L+Γ S t e iδmt Γ L+Γ S t ( t) K 0 K 0 ( t) = ( t) + K 0 K 0 ( t) 0 = 1 4 e iδm t Γ S t e iδm t Γ L + e Γ Lt = 1 4 e Γ St e Γ L +Γ S t e Γ s+γ L t cosδmt e Γst + e Γ Lt t e i Δm t Γ S t e iδm t Γ L t ( e iδmt + e iδmt ) + e Γ Lt K 0 K 0 (t) = 1 4 e Γ St e Γ L+Γ S t cosδmt + e Γ Lt

Evoluzione temporale La struttura di interferenza è stata effettivamente osservata. Da un fit alla funzione si ottiene: ΔmK = m 0 m 0 = K L K S 14 si noti che Δm / m 10 ( 3.483± 0.006) 10 MeV 3

Esperimento di Fitch e Cronin: il fascio Nel 1964 Fitch e Cronin realizzarono un esperimento con lo scopo di migliorare i limiti sull ipotetico decadimento K 0 L π+ π - : Realizzazione di un fascio di K 0 L Rivelatore in grado di osservare il decadimento in due corpi. Si osserva che: BR( K L π + π ) 0 BR( K L π + π ) R = BR K L π + π π 0 ( ) + BR K L πlν l Il K 0 L, autostato dell Hamiltoniana è diverso da K autostato di CP: K L = 1 ( K 1+ ε + ε K 1 ) in tal caso, avremmo che la larghezza di decadimento: ( ) = R BR( K τ L π + π π 0 ) + BR K L πlν l L Γ K L π + π Fitch e Cronin Nobel 1980 = (.4 ± 0.4) 10 3 ( ) l=e+µ ( ( ) = ε Γ K S π + π l=e+µ ) BR( K ( ) = ε S π + π ) τ S ε = ( ) + BR K L πlν l ( ) Rτ BR K S L π + π π 0 ( ) l=e+µ ~. 10 3 τ L BR K S π + π 4

Violazione di CP dovuta al mixing La violazione di CP sia dovuta al fatto che K L K. autostati delle interazioni non sono autostati di CP violazione di CP nel mixing Un altra misura che permette di mettere in evidenza che in effetti il K L contenga una parte di K 1 è quella di ( ) Γ( K L π + µ ν ) ( ) + Γ( K L π + µ ν ) δ = Γ K L π µ + ν Γ K L π µ + ν Il valore misurato δ=(3.7±0.) 10-3 è compatibile con il valore di ε =(.84±0.014) 10-3. Solo molti anni dopo è stato osservato che esiste una componente di violazione π + π K 0 diretta si veda il libro di testo δ = N e + = = N e + N e + N e 1 1+ ε = K 0 K L K 0 K L ( 1+ ε ( ) 1 ε ) 1 1+ ε (( 1+ Rε ) ( ) + ( Iε ) ( 1 Rε ) ( Iε ) ) Rε Il K L ha una stranezza totale diversa da 0 5

Violazione di CP e matrice CKM Per avere violazione di CP è necessario che m e/o Γ abbiano delle parti immaginarie. Queste possono venire introdotte dalla matrice CKM Determiniamo il numero di parametri che descrivono la fisica della matrice CKM: una generica matrice complessa NxN ha N parametri reali le condizioni di unitarietà danno: N vincoli reali (diagonale principale) ½ N(N-1) vincoli complessi (annullamento dei termini non diagonali) la fisica non cambia se ridefiniamo le fasi dei quark N-1 parametri non fisici (una fase globale non cambia la matrice!) il totale di parametri liberi diventa quindi (N-1) ½ N(N-1) angoli di rotazione reali; ½ (N-1)(N-) fasi complesse. Per N= abbiamo un unico parametro, l angolo di Cabibbo Per N=3 abbiamo tre angoli di mixing ed una fase complessa: possibilità di descrivere la violazione della simmetria CP Kobayashi e Maskawa Nobel 008 6