Teoria dei Giochi Dr. Giuseppe Rose (Ph.D., M.Sc., London) Università degli Studi della Calabria Corso di Laurea Magistrale in Economia Applicata a.a 2011/2012 Handout 1 1 Nozioni introduttive La teoria dei giochi racchiude modelli matematici per studiare i con itti o la cooperazione tra agenti che sono ragionevolmente razionali. Un gioco è una rappresentazione formale di una situazione in cui un certo numero di individui interagisce in un contesto di interdipendenza strategica. In tali situazioni il benessere di un agente dipende non solo dalle azioni che egli decide di compiere ma anche dalle azioni degli altri agenti. Inoltre, le azioni che egli considera come le migliori da intraprendere dipendono da cosa egli si aspetta riguardo al comportamento degli altri individui. Noi considereremo principalmente i problemi di interazione strategica che riguardano gli agenti economici (governo, banca centrale, imprese, lavoratori). In generale, cercheremo di illustrare ogni situazione di interazione strategica riferendoci in generale a dei giocatori (players), e successivamente forniremo esempi di rilevanza Economico-Aziendale. Da questo punto di vista, il corso potrebbe chiamarsi "Teoria dei Giochi ed Applicazioni". In generale è possibile distinguere i giochi in due classi principali: Giochi non cooperativi Giochi cooperativi Tale distinzione è in realtà non precisamente delineabile. Infatti, i giochi cooperativi rappresentano situazioni di interazione strategica dove gli agenti hanno un interesse comune nel trovare un determinato accordo (si pensi ad esempio ad un compratore e ad un venditore che devono accordarsi sul prezzo di un bene). I giochi cooperativi suppongono che, prima di fare l o erta sul prezzo di vendita e sul prezzo di acquisto (e cioè prima che il gioco venga giocato), gli individui si incontrino e discutano cercando di trovare l accordo. Nei giochi non cooperativi, invece, si suppone che i due agenti facciano le loro o erte/richieste all interno del gioco. Ma, allo stesso tempo, nei giochi non cooperativi è possibile modellare la presenza di un gioco più grande nella quale vengono studiate le varie proposte precontrattuali come azioni strategiche inglobando la fase di 1
"contrattazione" all interno di un gioco non cooperativo fuori dal quale non è possibile fare altra pre-contrattazione. Per questo motivo lo studio dei giochi non cooperativi è considerato solitamente più importante. In questo corso ci occuperemo solo di giochi non cooperativi. E utile distinguere i giochi anche in base alla seguente distinzione: Giochi a somma zero Giochi non a somma zero Un gioco è a somma zero se gli interessi degli agenti sono completamente opposti, ovvero se massimizzare il risultato di un giocatore equivale a minimizzare il risultato dell altro. Un esempio di gioco a somma zero è il così detto gioco dei matching-pennies. Due individui hanno in mano una moneta ciascuno e la mettono su un tavolo simultaneamente scegliendo il lato da mostrare. Se le facce delle due monete sono uguali (due teste a due croci) l individuo 2 paga un dollaro all individuo 1, mentre se le due facce sono diverse, l individuo 1 paga un dollaro all individuo 2. Rappresentiamo tale situazione nella forma seguente: Il gioco dei Matching-pennies Individuo 2 testa croce Individuo 1 testa 1, -1-1, 1 croce -1, 1 1, -1 Tale rappresentazione è detta in forma normale o forma strategica. Essa è rappresentata dalla matrice dei payo, dai possibili risultati (payo s) per i giocatori e dalle strategie che i giocatori possono scegliere. Tale gioco è a somma zero poichè la somma dei payo s in ogni possibile combinazione di strategie è pari a zero. Non tutti i giochi sono a somma zero. Ad esempio il seguente gioco, che rappresenta il dilemma del prigioniero in forma normale, non è un gioco a somma zero, e non rappresenta, come il precedente, una situazione di puro con itto: Il dilemma del prigioniero Individuo 2 confessa non confessa Individuo 1 confessa -6, -6 0, -10 non confessa -10, 0-1, -1 Inoltre, consideriamo il problema dell incontro tra due persone che non ricordano dove si sono date appuntamento a New York. Ad esempio i due individui non ricordano se avevano deciso di andare alla Metropolitan Opera House oppure al MoMa. Loro vogliono incontrarsi perchè vogliono vedere l opera o visitare il museo insieme, così come illustrato di seguito. 2
Il problema del coordinamento Individuo 2 Metropolitan MoMa Individuo 1 Metropolitan 100, 100 20, 20 MoMa 20, 20 100, 100 Si tratta di una situazione dove non c è nessun con itto. Gli interessi degli agenti sono completamente allineati. Ma l utilità di ogni individuo dipende da cosa farà l altro e, ancora più importante, l azione di ogni individuo dipenderà da cosa egli pensa che l altro farà. Quindi anche il semplice coordinamento tra persone che hanno lo stesso interesse ha natura strategica. La teoria dei giochi permette di analizzare tutte le situazioni di puro con itto, di con itto parziale e le situazioni di coordinamento tra agenti. 1.1 Gli ingredienti di un gioco in forma normale 1. Giocatori i = 1; 2; :::n 2. L insieme delle strategie S i per ogni giocatore i. Una strategia tipica è indicata da s i 2 S i : 3. La funzione dei payo (una funzione di utilità) i : S i S i! R per ogni giocatore i, dove S i = n j=1 S j 8j 6= i: Un tipico elemento di S i è indicato da s i : In altre parole, il payo è funzione delle strategie giocate: i = i (s i ; s i ): Possiamo quindi riassumere un gioco come l aggregazione di questi tre elementi. Formalmente: G = (S i ; i ) n i=1 (1) In generale indichiamo con S = n i=1 S i come l insieme di tutte le strategie di tutti gli n giocatori. E importante notare che l elemento s i 2 S i rappresenta un piano di azione (o regola decisionale) per ogni possibile contingenza in cui il giocatore i è chiamato a decidere nel gioco G: Si tratta di capire che una strategia deve dire che cosa fare ad ogni possibile livello decisionale. Per capire meglio, consideriamo il dilemma del prigioniero illustrato sopra. In quel gioco ogni giocatore ha due possibili azioni per un totale di S i S i = 4 possibili risultati o strategie (azioni data l azione dell avversario). Consideriamo adesso il caso in cui il dilemma del prigioniero sia giocato due volte consecutive con i giocatori che ricordano esattamente le strategie precedentemente giocate (perfect recall). Nel secondo periodo ogni giocatore può essere chiamato a giocare da 4 possibili set di informazioni. Egli ha sempre due possibili strategie S i : Quindi per ogni nodo di informazione avremo S i S i = 4, quindi nel complesso avremo 16 possibili strategie per ogni giocatore. Il che vuol dire un totale di 32 strategie. Quindi, se abbiamo 5 set 3
di informazioni e due azioni per giocatore, il totale delle strategie è dato da 2 5 = 32: 1 st time 2 nd time sets di informazioni 1# 4# risultati 4% 16 ogni giocatore ha 5 set di informazioni e 2 strategie per ogni set, questo signi ca che le può combinare in 2 2 2 2 2 = 2 5 = 32 modi. Quanti sono i set di informazioni se il gioco è giocato 3 volte? 1 st time 2 nd time 3 th time sets di informazioni 1# 4# 16 risultati 4% 16 64 I set di informazioni sono 21. Il totale delle possibili strategie in un dilemma del prigioniero giocato 3 volte è pari a 2 21 = 2097152! Questo ci serve a capire che quando aumenta il numero dei nodi a cui un individuo è chiamato a giocare, la de nizione di tutte le combinazioni dei suoi possibili comportamenti aumenta in maniera incontrollabile. La teoria dei giochi ci aiuta a modellare tali situazioni. (Sapreste dire quanti sono i set di informazioni se il gioco del dilemma del prigioniero è ripetuto tre volte ma ogni giocatore ricorda solo le sue azioni e non quelle dell avversario?). 1.2 Gli ingredienti di un gioco in forma estesa 1) Giocatori 2) Nodo iniziale (no predecessori, rappresentato da un cerchio vuoto); 3) Nodi successori 4) Payo s Per quanto riguarda i giochi sopra illustrati (matching pennies, dilemma del prigioniero o gioco del meeting in New York), quando questi vengono rappresentati in forma estesa, i nodi successori, in cui il giocatore 2 è chiamato a giocare non sono in realtà "staccati" dal nodo precedente, in quanto i due giocatori stanno giocando simultaneamente. Per capire meglio, tali nodi sarebbero staccati se il gioco fosse in due fasi (se fosse un gioco dinamico, la cui tipologia verrà studiata in dettaglio più avanti). Consideriamo il Matching-pannies game. Se il gioco fosse dinamico, avremmo che il giocatore 1 mette per primo la sua moneta sul tavolo, dopo di che, il giocatore 2 osserva la scelta del giocatore 1 e sceglie il lato della sua moneta (un bel gioco per il giocatore 2!). Per indicare invece, che la scelta dell azione avviene simultaneamente tra i due giocatori, si "cerchiano" i nodi che "appartengono" al nodo precedente. Tutti i nodi che in una rappresentazione in forma estesa non sono cerchiati sono intesi essere singletoni, ovvero sono singoli set di informazione. 4
Figure 1: Matching pennies sequenziale 1.3 Strategie miste Un elemento s i 2 S i è detto strategia pura. Gli individui possono giocare a caso su tutti gli elementi di S i ovvero giocare con una certa probabilità tutte le strategie che egli ha a disposizione. Tale "randomizzazione" sulle strategie pure è detta strategia mista o mixed strategy (nel gioco dei matching pennies simultaneo, ad esempio, un giocatore non sceglie quale lato della moneta giocare ma la lancia per aria. Egli sta giocando una strategia mista che attribuisce una probabilità di 1=2 a entrambe le sue strategie pure. L insieme delle strategie miste del giocatore i, indicato da S i è l insieme della distribuzione di probabilità su S i: In presenza di strategie miste i payo degli individui sono dati dai valori attesi dati i payo originali (la funzione di utilità che è contenuta nella matrice soddisfa tale condizione). Il generico gioco con strategie miste derivato da un gioco G = (S i ; i ) n i=1 in strategie pure, è indicato con la seguente forma: G = (S i ; E[ i ]) n i=1 (2) In un gioco con due giocatori dove ognuno ha due strategie, la situazione può essere rappresentata come segue: 5
Figure 2: Matching pennies simultaneo Player 2 p 2 1 p 2 A2 B2 Player 1 p 1 A1 1, 0 0, 1 1 p 1 B1 0, 1 1, 0 con p i 2 [0; 1] per ogni i: La coppia [p i ; (1 p i )] è una tipica strategia mista per il giocatore i: L insieme delle strategie miste è dato da. S i = f(p; 1 p) j p 2 [0; 1]g (3) Una strategia pura è una strategia mista a cui è assegnata una probabilità p = 1: Quale è il payo atteso dal giocatore 1 in tale gioco? Informalmente, il giocatore 1 sta "randomizzando" (così come il giocatore 2). Il risultato di tale processo sarà: E[ 1 (p 1 ; p 2 )] = p 1 p 2 (1) + p 1 (1 p 2 )(0) + (1 p 1 )p 2 (0) + (1 p 1 )(1 p 2 )(0) = p 1 p 2 + (1 p 1 )(1 p 2 ): E ovvio che nel caso di un giocatore con due strategie la sua distribuzione di probabilità può essere semplicemente espressa con p i ed 1 p i (vedi relazione 6
(3)): Ma abbiamo bisogno di poter generalizzare anche al caso in cui un giocatore ha più di 2 strategie sulle quali distribuisce la sua probabilità. In generale indichiamo una strategia mista con i 2 S i : Se S i è un insieme nito, noi avremo che i è tale che: X i (s i ) = 1: (4) s i2s i Con questa notazione, possiamo scrivere una de nizione più corretta di profitto atteso (expected payo ). In particolare per ogni ( i ; i ), avremo che il payo atteso per il giocatore i è dato da: X E[ i ( i ; i )] = (s i ; s i ) i (s i ) i (s i ) (5) s i2s i;s i2s i Nei giochi in forma estesa ogni giocatore può generare una distribuzione di probabilità su tutte le sue strategie o ad ogni nodo di ogni set di informazioni. Questo ultimo caso è noto come strategia comportamentale (behavioural strategies, do noi non studiate in questo corso. Ad ogni modo nei giochi con perfect recall le strategie comportamentali e le strategie miste coincidono.). 1.4 Conoscenza (knowledge) ed informazione E fondamentale stabilire cosa i giocatori conoscono in un gioco. Abbiamo già detto che si assume che ogni giocatore ricorda tutte le strategie giocate (da lui e dagli altri) nel passato (perfect recall). Diamo le seguenti de nizioni. Un evento si de nisce common knowledge se è noto a tutti i giocatori, se tutti i giocatori sanno che tale elemento è noto a tutti i giocatori, se tutti i giocatori sanno che tutti i giocatori sanno che tale elemento è noto a tutti i giocatori e se tutti i giocatori sanno...ad in nitum. Un gioco è un gioco ad informazione completa se la struttura del gioco è common knowldge. Un gioco è detto essere ad informazione perfetta se tutti i set di informazioni sono singletoni (le mosse passate sono perfettamente osservate). Nota che un gioco ad informazione imperfetta con informazione completa è un gioco la cui struttura è nota a tutti e che al suo interno prevede un asimmetria informativa (in forma estesa, due nodi non singletoni e la struttura del gioco perfettamente nota a tutti i giocatori). Come vedremo più avanti, un gioco con informazione incompleta (ad esempio un individuo non sa quale gioco sta giocando, mentre l altro individuo sa che gioco sta giocando e sa che l altro giocatore non sa che gioco sta giocando) può essere trasformato, secondo l approccio di Harsanyi (premio nobel) in un gioco con informazione imperfetta ma completa. Esercizi 1) a. Si descrivino in forma normale ed in forma estesa il seguente gioco: 7
Giocatori: 2 imprese Regole: L impresa 1 inizialmente deve decidere se entrare o non in un mercato. Se l impresa 1 non entra, il gioco nisce e l impresa 2 che è già nel mercato si gode un pro tto di monopolio di 2000 euro e l impresa 1 prende zero pro tti. Se l impresa 1 entra, l impresa 2 deve decidere se fare la concorrenza ( ght) contro l impresa 1 oppure se dividere il mercato (share). Se l impresa 2 decide di fare la guerra con l impresa 1 entrambe avranno una perdita di 1000 euro. Se invece l impresa 2 decide di dividere il mercato con il nuovo entrato, entrambi faranno un pro tto di 1000. b. Come si modi cano le rappresentazioni se lo scenario prevedesse che dopo l entrata nel mercato entrambe le imprese devono decidere se farsi la guerra o cooperare? (si assumano payo a piacere). (Suggerimento: fare prima la forma estesa). 2) In un gioco dove un giocatore i ha N set di informazioni con n = 1; 2; :::N e M n possibili azioni ad ogni set n, quante strategie ha il giocatore i? 8