Docente Dipartimento di Fisica Ore didattica assegnate 2016/17 Registro del docente PIGNATELLI ROBERTO Tipo copertura: docente strutturato Attività didattica: Attività didattica [codice] Corso di studio Struttura Geometria [130465] Filosofia Dipartimento di Lettere e Filosofia Geometria I [145433] Fisica Dipartimento di Fisica Periodo di svolgimento: Primo Semestre Docenti Cognome e Nome Titolare del corso PIGNATELLI ROBERTO ( matr. 000296) Altri docenti BOTTAZZI EMANUELE ( matr. 0156864) CANCIAN NICOLA ( matr. 0025043) Ore didattica assegnate e rendicontate: Docente Ore didattica assegnate Altre ore assegnate Ore didattica rendicontate (A) Altre ore rendicontate (B) Totale ore rendicontate Stato registro PIGNATELLI ROBERTO 56 0 56 0 56 Stampato Ore didattica previste per gli studenti 84-88 Ore didattica rendicontate per tipologia di attività e per gruppi di studenti: Attività didattica frontale (A) Ore totali Ore suddivise per gruppi studenti Ore Gruppi di studenti lezione in aula 56 56 prevista per tutti gli studenti (senza gruppi associati) Firma del docente: Firma del Direttore: Data: Pag. 1 di 11
ATTIVITA' DIDATTICA FRONTALE Dettaglio delle attività svolte: Geometria [130465] 1. 14/09/2016 - lezione in aula - Ora inizio: 14:00 Ora fine: 16:00 Vettori applicati e vettori geometrici Vettori applicati. Vettori geometrici. Quozienti di insiemi. Relazioni di equivalenza. Relazioni riflessive, simmetriche e transitive. Somma di vettori geometrici. Associatività e commutatività della somma di vettori geometrici. Vettore nullo. Vettore opposto. 2. 15/09/2016 - lezione in aula - Ora inizio: 14:00 Ora fine: 16:00 Campi e spazi vettoriali Insiemi con operazioni. Campi. Esempi di campi: razionali, reali e "pari e dispari". Spazi vettoriali su un campo. Esempi di spazi vettoriali: vettori geometrici, polinomi su un campo, il campo stesso, n-uple di scalari, funzioni da un insieme qualunque a un campo. 3. 19/09/2016 - lezione in aula - Matrici Matrici. Struttura di spazio vettoriale sull'insieme delle matrici con un numero fissato di righe e colonne. Trasposta di una matrice. Matrici quadrate. Matrici identità. Matrici triangolari, strettamente triangolari e unitriangolari. Matrici simmetriche e antisimmetriche. Matrici ortogonali. Prodotto di matrici. Non commutatività del prodotto. Matrici invertibili. Proprietà del prodotto di matrici. Pag. 2 di 11
4. 20/09/2016 - lezione in aula - Sistemi lineari Sistemi lineari. Matrice dei coefficienti, vettore dei termini noti, matrice orlata. Sistemi lineari omogenei. Il sistema lineare omogeneo associato a un sistema lineare. Sistemi lineari non compatibili. Ogni sistema lineare omogeneo è compatibile. Le soluzioni di un sistema lineare compatibile sono esattamente ottenute sommando una soluzione particolare con una soluzione qualunque del sistema lineare omogeneo associato. Sistemi lineari a gradini. Come si risolve un sistema a gradini. L'algoritmo di Gauss-Jordan. 5. 26/09/2016 - lezione in aula - Invertire una matrice Richiami sull'eliminazione di Gauss-Jordan. Operazioni sulle righe viste come moltiplicazione a sinistra per matrici elementari. Una matrice quadrata è invertibile se e solo se è prodotto di matrici elementari, e questo è equivalente a poterla trasformare nella matrice identità mediante operazioni elementari sulle righe (o sulle colonne). Un metodo semplice per calcolare l'inversa di una matrice invertibile. 6. 27/09/2016 - lezione in aula - Sottospazi vettoriali La definizione di sottospazio vettoriale. Una circonferenza non è un sottospazio vettoriale del piano. Un sottospazio vettoriale contiene sempre il vettore nullo. Sottospazi banali. Il sottospazio vettoriale generato da un vettore. L'intersezione di sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale. L'unione di due sottospazi vettoriali non è detto che sia un sottospazio vettoriale. La somma di due sottospazi vettoriali. Somma diretta, sottospazi supplementari. Due sottospazi sono supplementari se e solo se ogni vettore dello spazio vettoriale "ambiente" si decompone in maniera unica come somma di un vettore per ciascuno dei due sottospazi. Somiglianze tra somma diretta e prodotto cartesiano. Pag. 3 di 11
7. 03/10/2016 - lezione in aula - Dipendenza lineare Combinazioni lineari. Spazio vettoriale generato. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Il caso di un vettore. Il caso di due vettori. Dei vettori sono indipendenti se e solo se almeno uno di essi è combinazione lineare degli altri. Sottoinsieme di un insieme di vettori linearmente indipendenti è ancora un insieme di vettori linearmente indipendenti. Coordinate. 8. 04/10/2016 - lezione in aula - Basi Definizione di base (finita) di uno spazio vettoriale. Coordinate. Un insieme di vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale non può contenere più elementi di un suo insieme di generatori. Definizione di dimensione. Un insieme di vettori linearmente indipendenti ha cardinalità al massimo uguale alla dimensione. Un insieme di generatori ha cardinalità almeno uguale alla dimensione. Un insieme di cardinalità uguale alla dimensione è un insieme di generatori se e solo se è un insieme di vettori linearmente indipendenti. Completamento a base di un insieme di vettori linearmente indipendenti. Estrazione di una base da un insieme di generatori. Rango (per colonne) di una matrice. 9. 10/10/2016 - lezione in aula - Grassmann, Kronecker-Rouché-Capelli Dimensione e sottospazi. La formula di Grassmann: enunciato, esempi e dimostrazione. Il Teorema di Kronecker-Rouché-Capelli. Pag. 4 di 11
10. 11/10/2016 - lezione in aula - Rango Il rango per righe è uguale al rango per colonne. Il rango di una matrice è uguale al rango della trasposta. Il rango del prodotto di due matrici non supera il rango di ciascuna delle due matrici. Una matrice è invertibile se e solo se ha rango massimo. Il rango è uguale al massimo ordine di una sottomatrice invertibile. Definizione di determinante. 11. 17/10/2016 - lezione in aula - Determinante Il determinante di una matrice è uguale a quello della trasposta. Come si comporta il determinante rispetto a ciascuna "mossa" dell'eliminazione di Gauss-Jordan. Determinante di matrici triangolari. Calcolo del determinante mediante eliminazione. Il determinante del prodotto è uguale al prodotto dei determinanti (senza dimostrazione). Il determinante è non nullo se e solo se la matrice è invertibile. Sviluppo del determinante rispetto ad una riga o una colonna. Matrice dei cofattori e matrice inversa. Criterio degli orlati. 12. 18/10/2016 - lezione in aula - Spazi affini La regola di Cramer. Spazi affini, definizione e esempi. Dimensione. Sottospazi affini. Ogni sottospazio affine è determinato dalla sua giacitura e uno qualunque dei suoi punti. Come costruire il più piccolo sottospazio affine contenente dati punti. Punti indipendenti. Intersezione di sottospazi affini. Conseguenza della formula di Grassmann sulla dimensione di un'intersezione di sottospazi affini. Pag. 5 di 11
13. 24/10/2016 - lezione in aula - Spazi affini Equazioni parametriche e equazioni cartesiane. Ogni sottospazio affine ha equazioni parametriche e cartesiane. Come calcolare equazioni parametiche da equazioni cartesiane e viceversa. Posizione relativa di sottospazi: sottospazi paralleli, incidenti, coincidenti e sghembi. Rette coplanari. Geometria del piano affine: un semplice metodo per calcolare equazioni cartesiane di una retta da equazioni parametriche usando il determinante. Per dedurre la posizione relativa di due rette nel piano dalle loro equazioni cartesiane basta calcolare due ranghi. 14. 25/10/2016 - lezione in aula - Geometria affine nello spazio. Richiami di geometria affine nel piano: come passare da equazioni parametriche a cartesiane di una retta nel piano; equazioni della retta per due punti; come ricavare la posizione relativa di due rette dal calcolo del rango di due matrici. Come passare da equazioni parametriche a cartesiane di un piano o di una retta nello spazio tridimensionale. Equazioni del piano per tre punti non allineati. Come determinare se una retta data in termini parametrici è parallela ad un piano in forma cartesiana. Come determinare la posizione relativa di due sottospazi affini dello spazio (due piani, una retta e un piano o due rette) dati mediante equazioni cartesiane calcolando i ranghi di due matrici. Come determinare la coplanarità di due rette (entrambe in forma parametrica o entrambe in forma cartesiana) calcolando un determinante. Pag. 6 di 11
15. 07/11/2016 - lezione in aula - Applicazioni lineari Definizione di applicazione lineare. Operatori (aka endomorfismi), funzionali, isomorfismi, automorfismi. Lo spazio delle applicazioni lineari tra due spazi vettoriali fissati è uno spazio vettoriale. Esempi di operatori su R che non sono lineari. Un'applicazione lineare manda sempre zero in zero. Applicazioni nulle. Applicazioni identiche. Inclusioni di sottospazi. Applicazioni indotte da matrici. Risolvere un sistema lineare è calcolare la preimmagine di un punto per un'applicazione lineare. Le coordinate sono un'isomorfismo lineare. La proiezione su un sottospazio indotta dalla scelta di un supplementare. Spazio quoziente. La proiezione sul quoziente. Gli operatori su uno spazio di dimensione uno sono esattamente le moltiplicazioni per una costante fissata. 16. 08/11/2016 - lezione in aula - Nullità e rango Le applicazioni lineari "rispettano" le combinazioni lineari. Applicazioni lineari mandano vettori linearmente dipendenti in vettori linearmente dipendenti. Le applicazioni lineari sono determinate dall'immagine di una base. Per ogni scelta di immagini della base esiste un'unica applicazione lineare che ha tale comportamento. Ogni applicazione lineare da K^n in K^m è il prodotto a sinistra per una matrice fissata. Immagine e nucleo di un'applicazione lineare. Nullità e rango. Il rango del prodotto a sinistra per una matrice è uguale al rango della matrice. Il teorema di nullità più rango e applicazioni. Matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a una base. 17. 14/11/2016 - lezione in aula - Cambi di base Calcolare nucleo e immagine di un'applicazione lineare usando le matrici. Prodotto di matrici e composizione di applicazioni lineari. Matrici di cambio di base. Come cambia la matrice di un'applicazione lineare se cambio le basi scelte. Un trucco per calcolare l'elevamento a potenza (anche molto alta) di una matrice quadrata. Pag. 7 di 11
18. 15/11/2016 - lezione in aula - Diagonalizzazione Matrici associate ad operatori. Matrici simili. La matrice identità è simile a solo a se stessa. La matrice nulla è simile solo a se stessa. Diagonalizzare una matrice e diagonalizzare un operatore. Autovettori, autovalori, spettro. Polinomio caratteristico. Autospazi. Esempio di un calcolo di una base di autovettori per un'operatore diagonalizzabile. Una matrice nilpotente non è diagonalizzabile a meno che sia nulla. Una matrice che non si diagonalizza sui reali ma si diagonalizza sui complessi. 19. 21/11/2016 - lezione in aula - Diagonalizzazione Corrispondenza tra diagonalizzabilità di matrici e diagonalizzabilità di un operatore. Matrici simili hanno lo stesso determinante. Il determinante di un operatore. Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Il polinomio caratteristico di un operatore. Lo spettro è l'insieme delle radici del polinomio caratteristico. Matrici simili hanno la stessa traccia. La traccia di un operatore. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Operatori il cui polinomio caratteristico ha esattamente tante radici distinte quanto la dimensione dello spazio sono diagonalizzabili. 20. 22/11/2016 - lezione in aula - Diagonalizzazione Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Un operatore è diagonalizzabile se e soltanto se la somma delle molteplicità geometriche degli autovalori è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale e in tal caso una base diagonalizzante si ottiene unendo basi di ciascun autospazio. Criterio di diagonalizzabilità: un operatore è diagonalizzabile se e soltanto se tutte le radici del polinomio caratteristico sono nel campo e inoltre la molteplicità algebrica di ogni autovalore è uguale a quella geometrica. Due esercizi. Pag. 8 di 11
21. 28/11/2016 - lezione in aula - Affinità e lunghezze Definizione di isomorfismo affine e di affinità. Gli automorfismi di uno spazio vettoriale sono affinità dello stesso (visto come spazio affine su se stesso). Le traslazioni sono affinità con isomorfismo lineare associato l'identità. Come si scrivono tutte le affinità usando le matrici, una volta fissato un sistema di riferimento affine (senza dimostrazione). Come descrivere un segmento, un triangolo... Le affinità mandano triangoli in triangoli: essere un triangolo è una proprietà affine. Essere un triangolo rettangolo non lo è. Lunghezza di un vettore nello spazio euclideo. Il prodotto scalare standard. Il prodotto di Minkowski. Definizione di forma bilineare, forma bilineare simmetrica e forma bilineare antisimmetrica. La matrice associata a una forma bilineare rispetto ad una base. Come calcolare la forma bilineare in una coppia di vettori una volta nota la matrice. La corrispondenza che una base fissata determina tra forme bilineari e matrici quadrate è biunivoca. La matrice del prodotto scalare standard rispetto alla base canonica è la matrice identica. 22. 29/11/2016 - lezione in aula - Forme bilineari e cambi di base, ortogonalità Come cambia la matrice associata ad una forma bilineare quando cambio la base. Matrici congruenti. Matrici ortogonali. La formula per il coseno di un angolo tra due vettori usando il prodotto scalare standard. Ortogonalità. Vettori isotropi. Un vettore isotropo nello spazio di Minkowski. Ortogonale di un insieme. Radicale. Vettori totalmente isotropi. Forme non degeneri. Una forma è non degenere se e solo se la sua matrice associata (qualunque sia la base) è invertibile. La forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica. La forma quadratica determina la forma bilineare simmetrica. 23. 05/12/2016 - lezione in aula - Diagonalizzazione di forma quadratiche Ogni forma quadratica è diagonalizzabile. Forma normale di una forma quadratica complessa. Teorema di Sylvester e forma normale di una forma quadratica reale. Positività, negatività e nullità di una forma quadratica reale. Forme quadratiche definite e semidefinite. Pag. 9 di 11
24. 06/12/2016 - lezione in aula - Spazi euclidei Spazi vettoriali euclidei. Disuguaglianza di Schwartz. Angoli. Norma. Proprietà della norma. Disuguaglianza triangolare. Basi ortogonali e ortonormali. Processo di ortogonalizzazione e/o ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Una base dello spazio euclideo standard è ortogonale se e solo se la matrice di cambio di base da essa alla base canonica è una matrice ortogonale. 25. 12/12/2016 - lezione in aula - Operatori unitari Un operatore unitario è un operatore su uno spazio vettoriale euclideo che rispetta il prodotto scalare. Un operatore di uno spazio vettoriale euclideo in se stesso rispetta la norma se e solo se è unitario. Un'applicazione di uno spazio vettoriale euclideo in se stesso fissa zero e rispetta le distanze se e solo se è unitario. Un sistema ortonormale di vettori è sempre un insieme di vettori linearmente indipendenti. Un operatore è unitario se e solo se manda una qualunque base ortonormale in un sistema di vettori ortonormale. Un operatore è unitario se e solo se manda una specifica base ortonormale in un sistema di vettori ortonormale. Un operatore è unitario se e solo se la sua matrice relativa a una base ortonormale è una matrice ortogonale. Un operatore è unitario se e solo se la sua matrice relativa a qualunque base ortonormale è una matrice ortogonale. Determinante e spettro di operatori unitari. Operatori unitari del piano. Pag. 10 di 11
26. 13/12/2016 - lezione in aula - Operatori simmetrici Isometrie di spazi affini euclidei. Operatori simmetrici su spazi euclidei. L'enunciato del teorema spettrale reale: ogni operatore simmetrico su uno spazio vettoriale euclideo ha una base ortonormale di autovettori. Ogni matrice simmetrica reale è diagonalizzabile ed inoltre si può diagonalizzare mediante una matrice ortogonale. Applicazione del teorema spettrale reale alle forme bilineari simmetriche: la positività di una forma quadratica è uguale al numero di autovalori positivi della matrice associata contati con molteplicità, la negatività di una forma quadratica è uguale al numero di autovalori positivi della matrice associata contati con molteplicità. Usare gli autovettori della matrice per trovare una base che metta una forma quadratica in forma normale. 27. 19/12/2016 - lezione in aula - Teorema spettrale reale Tutti gli autovalori di una matrice simmetrica a coefficienti reali sono reali. La dimostrazione del teorema spettrale. Autovettori relativi a autovalori distinti per un operatore simmetrico sono ortogonali. Diagonalizzazione di operatori simmetrici: dove serve un processo di ortonormalizzazione à la Gram- Schmidt. 28. 20/12/2016 - lezione in aula - Minori principali e segnatura Positività e negatività non crescono quando restringiamo una forma quadratica a un sottospazio. Criterio dei minori principali per determinare se una forma è positiva o negativa. Cosa i minori principali ci permettono di dire sulla segnatura in generale. Cenni sul caso complesso: forme hermitiane, prodotti hermitiani, matrici autoaggiunte, matrici unitarie, enunciato del teorema spettrale complesso. Pag. 11 di 11