Note per il corso di Geometria 9- Corso di laurea in Ing. Elettronica e delle Telecomunicazioni Prodotto scalare e matrici simmetriche. Il prodotto scalare consente di introdurre in uno spazio vettoriale concetti metrici: lunghezze, distanze, angoli, etc. Per semplicita introdurremo solo il prodotto scalare euclideo su R n e sui suoi sottospazi (cf. x4.4 per R e R 3. Denizione. Il prodotto scalare euclideo (o canonico di R n e la funzione che alla coppia x y R n associa il numero reale (x y = n x i y i = x T y (nell'ultima espressione si considerano x e y come vettori colonna. i= Ha le seguenti proprieta: (i e simmetrico: (x y = (y x per ogni x y R n (ii e bilineare: (x + y z = (x z + (y z e (x y + z = (x y + (x z per ogni x y z R n e per ogni coppia di numeri reali (iii e denito positivo: (x x per ogni x R n e (x x =, x =. Denizione. La norma (o lunghezza euclidea in R n e la funzione che associa al vettore x il numero reale non negativo kxk = (x x = x + + x n : La distanza e la funzione che associa ai vettori x y R n il numero reale d(x y = kx yk: ( Per ogni scalare R, si ha kxk = (x x = (x x = jjkxk: ( Per la simmetria e per la bilinearita del prodotto scalare kx + yk = (x + y x + y = kxk + (x y + kyk e da cui 4(x y = kx + yk kx yk : kx yk = kxk (x y + kyk Denizione 3. I vettori x e y di V sono ortogonali se (x y =, cioe se vale il teorema di Pitagora kx + yk = kxk + kyk.
. Basi ortonormali Se y e un vettore non nullo, possiamo scomporre ogni vettore x R n nella somma x = cy + (x cy in modo che x cy sia ortogonale a y, cioe (x cy y = (x y ckyk =, da cui c = (x y=kyk. x x cy y cy Denizione 4. Il vettore pr y (x = e la proiezione ortogonale del vettore x su y. Esempio. Il vettore x = ( y = (. Dunque x = y + (x y, con x. Basi ortonormali (x y kyk y R 3 ha proiezione ortogonale (xy y = ( 3 (yy y = 3 6 y = y sul vettore ortogonale rispetto a y: Quando si studiano problemi che riguardano lunghezze di vettori, ortogonalita, angoli, conviene utilizzare delle basi di tipo particolare. Denizione 5. Una base fu : : : u m g di un sottospazio U di R n e una base ortonormale di U se (u i u j = per i 6= j e (u i u i = per i = : : : m. Ad esempio, la base canonica di R n e ortonormale. Se B = fu : : : u m g e una base ortonormale di U, le coordinate x : : : x m di un vettore v U rispetto a B si ottengono mediante il prodotto scalare x j = (v u j j = : : : m: Infatti, se v = x u + + x m u m, allora (v u j = m i= x i (u i u j = x j. Costruzione di basi ortonormali (Gram-Schmidt A partire da una base fv : : : v m g di U, si puo costruire una base ortonormale di U. Si procede ricorsivamente, ponendo u = v kv k e poi denendo in successione i vettori u : : : u m con la formula ( k u k = c v k (v k u i u i con c R scelto in modo che sia ku k k =. i=
.3 Il teorema degli assi principali 3 Esempio. Dalla base B = f( ( ( g di R 3, con il prodotto canonico, mediante il procedimento di Gram-Schmidt si ottiene u = v kv k = p ( ( = p p v (v u u = ( u = v (v u u kv (v u u k = p v 3 (v 3 u u (v 3 u u = ( da cui p p ( = ( ( ( p = p ( p u 3 = ( : p p ( p da cui p : p = ( Osservazione. Se B e una base ortonormale, la matrice di transizione P = MB E (Id dalla base B alla base canonica E di R n ha una proprieta particolare. Le colonne P i di P sono gli elementi di B. Quindi { per i = j (P i P j = cioe P T P = I n : per i 6= j Denizione 6. Una matrice quadrata P M n (R e detta ortogonale se P T P = I n. Ogni matrice ortogonale e invertibile, con inversa P = P T, poiche per il Teorema di Binet det(p T det(p = det(i n =, e quindi.3 Il teorema degli assi principali (det P = det P = : Teorema (Teorema degli assi principali o teorema spettrale. Sia A una matrice reale simmetrica n n. Allora esiste una base ortonormale di R n costituita da autovettori di A. Dimostrazione. La matrice reale A denisce una funzione lineare T A : C n! C n. Sia p A ( il polinomio caratteristico di A. Le sue radici (gli autovalori complessi di A sono esattamente n, contati con la loro molteplicita (per il teorema fondamentale dell'algebra. Sia Ax = x, x C n, x 6= autovettore. Allora (x T x = (x T x = (Ax T x = x T A T x = x T Ax = x T x = (x T x: Dunque ( x t x = ( i jx i j =, ed essendo x 6=, si ottiene =. Quindi A ha n autovalori reali (contati con la loro molteplicita. Sia v R n autovettore, con autovalore (reale e sia u = v =kv k. Si estenda l'insieme fu g ad una base ortonormale B di R n. La matrice di transizione P = MB E (Id dalla base B alla base canonica E di R n e ortogonale, e dunque A = M B (T A = P AP = P T AP =. B :
.3 Il teorema degli assi principali 4 Anche A e simmetrica: (A T = (P T AP T = P T A T P = P T AP = A, e quindi B e simmetrica e A ha la forma A =. B : Essendo B simmetrica, si puo ripetere il procedimento su di essa, a partire da un suo autovalore (reale. Continuando in questo modo, si rende la matrice associata a T A diagonale, e si ottiene la base ortonormale di autovettori. La relazione di similitudine tra A e D enunciata nel Teorema spettrale puo essere riscritta nel modo seguente: P AP = P T AP = D: Il Teorema degli assi principali viene talvolta enunciato nel modo seguente: ogni matrice reale simmetrica e \ortogonalmente simile" a una matrice reale diagonale. La matrice ortogonale P del teorema puo essere scelta di determinante. Infatti, se ha determinante, e suciente cambiare segno a una sua colonna (e ancora un'autovettore di A per ottenere det P =. Una matrice ortogonale di determinante e anche detta matrice di rotazione, poiche le rotazioni del piano attorno all'origine e le rotazioni dello spazio attorno a una retta per l'origine sono rappresentate da matrici di questo tipo. 7 Esempio. La matrice reale simmetrica A = 7 ha polinomio caratteristico 7 7 7 p A ( = det(a I 4 = det 7 = det 7 7 6 6 7 = ( 6 det 7 = ( 6( (6 (7 + = ( 6( 5 + 54 = ( 6 ( 9: Dunque ha autovalori 6 (doppio, e 9 (semplice, con autovettori E(6 = N(A 6I 4 = N = N = h( ( i: E(9 = N(A 9I 4 = N = N = h( i: Per ottenere una base ortonormale di E(6 basta applicare il procedimento di Gram-Schmidt: p ( ha norma, ( ( ( T ( = ( ( ( =
.3 Il teorema degli assi principali 5 che ha norma p 6. Dunque E(6 ha base ortonormale {( p 3 p 3 mentre E(9 ha base ortonormale costituita da autovettori di A. La matrice P = {( p ( p p 6 p 6 p 6 }, p 3 }, che unite formano una base ortonormale p p p 6 3 p p 6 3 p p p 6 3 con colonne gli elementi della base ortonormale dir 3, e una matrice ortogonale, di determinante, ed ha la proprieta 6 P T AP = P AP = 6 : 9