ANALISI MATEMATICA I MODULO, I e II MODULO, II MODULO CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA Prova scritta del 6 giugno 2004: soluzioni ESERCIZIO - Data la funzione f) 3 2 4 + 27 + 9 2 ) /3 4 + 27, + 9 si chiede di: a) calcolare il dominio di f; punto) b) studiare la positività e l intersezione con gli assi; 3 punti) c) stabilire se f ha asintoti orizzontali, verticali, obliqui; 2++25 punti) d) calcolare f, per > 9; 3 punti) e) studiare la crescenza e la decrescenza di f, per > 9. 2 punti) a) Affinché quello che c è scritto dentro la radice abbia senso, si deve avere: +9 0: pertanto il dominio di f è R \ { 9}, ossia ], 9[ ] 9, + [. b) La radice cubica di un argomento è positiva se e solo se l argomento stesso è positivo: per dimostrare quindi che la nostra funzione è positiva in tutto il suo campo di esistenza occorre e basta provare che il trinomio 2 4 + 27 assume sempre segno positivo. Questo è vero, perché il suo discriminante è uguale a 6 08 92 < 0. Quindi la nostra funzione f è sempre positiva in tutto il suo campo di esistenza. Si ha inoltre: f0) 3 3, e quindi il punto 0, 3 ) 3 costituisce l intersezione del grafico di f con l asse delle y. c) Iniziamo dagli asintoti orizzontali. Si ha: f) ± ± 2 4 + 27 3 + 9 3 + +. Quindi non esistono asintoti orizzontali. Vediamo ora quelli obliqui. Si ha: ± f) ± 2 4 + 27 3 3 + 9 0. Dunque non esistono asintoti obliqui. Veniamo ora a quelli verticali. Si ha: f) 9 9 2 4 + 27 3 + 9 44 0 + +.
Pertanto la retta 9 è un asintoto verticale per f, sia dalla parte destra che da quella sinistra. d) Notiamo che, per > 9, si ha: f) 2 4 + 27 3 + 9 2 ) /3 4 + 27. + 9 Per tali valori, dunque, è: f ) 2 ) 2/3 4 + 27 2 ) 4 + 27 D 3 + 9 + 9 + 9) 2/3 3 2 4 + 27) 2/3 2 4) + 9) 2 + 4 27 + 9) 2 3 2 4 + 27) 2/3 22 + 8 4 36 2 + 4 27 + 9) 4/3 3 2 4 + 27) 2/3 2 + 8 63 + 9) 4/3. e) Studiamo il segno della derivata prima per > 9. Essa è positiva se e solo se 2 + 8 63 > 0. Calcoliamo ora le radici di questo trinomio. Si ha:,2 9 ± 8 + 63 9 ± 2, da cui 2 da escludere perché abbiamo preso i valori > 9), 2 3. Per > 3, quindi, f è positiva e dunque f è crescente, mentre, per 9 < < 3, f è negativa ed f è decrescente. Il punto 3 è di minimo relativo, e lì la derivata f si annulla. ESERCIZIO - Data la funzione f) si chiede di: 2 3 + 56 2 ) /2 3 + 56, + 8 + 8 a) calcolare il dominio di f; 2 punti) b) studiare la positività e l intersezione con gli assi; 2 punti) c) stabilire se f ha asintoti orizzontali, verticali, obliqui; 2++25 punti) d) calcolare f, per > 8; 3 punti) e) studiare la crescenza e la decrescenza di f, per > 8. 2 punti) a) Affinché quello che c è scritto dentro la radice abbia senso, si deve avere, innanzi tutto: + 8 0, ossia 8; inoltre, visto che + 8 assume sempre segno positivo
per tali valori di, il trinomio 2 3 + 56 dev essere positivo o nullo. Ma ciò accade per tutti gli R, in quanto il discriminante del trinomio 2 3 + 56 è uguale a 9 224 25 < 0. Pertanto il dominio di f è R \ { 8}, ossia ], 8[ ] 8, + [. b) La radice quadrata di un argomento positivo o nullo è positiva se e solo se l argomento stesso è positivo. Avevamo visto che, nei punti del campo di esistenza di f, la parte che sta sotto radice è sempre positiva. Quindi f è sempre positiva in tutto il suo dominio. Si ha inoltre: f0) 7, e quindi il punto 0, ) 7 costituisce l intersezione del grafico di f con l asse delle y. c) Iniziamo dagli asintoti orizzontali. Si ha: f) 2 3 + 56 + +. ± ± + 8 Quindi non esistono asintoti orizzontali. Vediamo ora quelli obliqui. Si ha: [ ] f) ± ± 2 3 + 56 ± 2 0. + 8 Dunque non esistono asintoti obliqui. Veniamo ora a quelli verticali. Si ha: f) 2 3 + 56 44 8 8 + 8 0 + +. Pertanto la retta 8 è un asintoto verticale per f, sia dalla parte destra che da quella sinistra. d) Notiamo che, per > 8, si ha: f) 2 3 + 56 2 ) /2 3 + 56. + 8 + 8 Per tali valori, dunque, è: f ) 2 ) /2 3 + 56 2 ) 3 + 56 D 2 + 8 + 8 + 8) /2 2 2 3 + 56) /2 2 3) + 8) 2 + 3 56 + 8) 2 2 2 3 + 56) /2 22 + 6 3 24 2 + 3 56 + 8) 3/2 2 2 3 + 56) /2 2 + 6 80 + 8) 3/2. e) Studiamo il segno della derivata prima per > 8. Essa è positiva se e solo se 2 + 6 80 > 0. Calcoliamo ora le radici di questo trinomio. Si ha:,2 8 ± 64 + 80 8 ± 2,
da cui 20 da escludere perché abbiamo preso i valori > 8), 2 4. Per > 4, quindi, f è positiva e dunque f è crescente, mentre, per 8 < < 4, f è negativa ed f è decrescente. Il punto 4 è di minimo relativo, e lì la derivata f si annulla. ESERCIZIO - Data la funzione f) 3 2 6 + 2 2 ) /3 6, + 2 si chiede di: a) calcolare il dominio di f; punto) b) studiare la positività e l intersezione con gli assi; 3 punti) c) stabilire se f ha asintoti orizzontali, verticali, obliqui; 2++25 punti) d) calcolare f, per > 2; 3 punti) e) studiare la crescenza e la decrescenza di f, per > 2. 2 punti) a) Affinché quello che c è scritto dentro la radice abbia senso, si deve avere: +2 0: pertanto il dominio di f è R \ { 2}, ossia ], 2[ ] 2, + [. b) La radice cubica di un argomento è positiva se e solo se l argomento stesso è positivo: per studiare quindi la positività della nostra f, occorre e basta studiare il segno del binomio 2 6. Quest ultima espressione è positiva se e solo se ], 0[ ]6, + [, è negativa se e solo se ]0, 6[ e si annulla nei punti 0 ed 6. Pertanto f è positiva in ], 2[ ] 2, 0[ ]6, + [, negativa in ]0, 6[ e si annulla nei punti 0 ed 6. i punti 0, 0) e 6, 0) costituiscono i punti di intersezione del grafico di f con l asse delle, mentre il punto di intersezione del grafico di f con l asse y è 0, 0). c) Iniziamo dagli asintoti orizzontali. Si ha: f) ± ± 3 2 6 + 2 3 + +. Quindi non esistono asintoti orizzontali. Vediamo ora quelli obliqui. Si ha: f) ± 3 2 6 ± 3 + 2 0. Dunque non esistono asintoti obliqui. Veniamo ora a quelli verticali. Si ha: f) 2 2 3 2 6 + 2 6 0 + +.
Pertanto la retta 2 è un asintoto verticale per f, sia dalla parte destra che da quella sinistra. d) Notiamo che, per > 2, si ha: f) 3 2 6 + 2 Per tali valori, dunque, è: f ) 3 2 ) 2/3 6 D + 2 2 ) /3 6. + 2 2 ) 6 + 2 + 2) 2/3 3 2 6) 2/3 2 6) + 2) 2 + 6 + 2) 2 3 2 6) 2/3 22 6 + 4 2 2 + 6 + 2) 4/3 3 2 6) 2/3 2 + 4 2 + 2) 4/3. e) Studiamo il segno della derivata prima per > 2. Essa è positiva se e solo se 2 + 4 2 > 0. Calcoliamo ora le radici di questo trinomio. Si ha:,2 2 ± 4 + 2 2 ± 4, da cui 6 da escludere perché abbiamo preso i valori > 9), 2 2. Per > 2, quindi, f è positiva e dunque f è crescente, mentre, per 2 < < 2, f è negativa ed f è decrescente. Il punto 2 è di minimo relativo, e lì la derivata f si annulla. ESERCIZIO - Data la funzione si chiede di: f) 2 24 + 3 a) calcolare il dominio di f; 3 punti) 2 ) /2 24, + 3 b) studiare la positività e l intersezione con gli assi; punto) c) stabilire se f ha asintoti orizzontali, verticali, obliqui; 2++25 punti) d) calcolare f, per > 30; 3 punti) e) studiare la crescenza e la decrescenza di f, per > 30. 2 punti) a) Affinché quello che c è scritto dentro la radice abbia senso, si deve avere, innanzi tutto: + 3 0, ossia 3; inoltre, visto che + 3 assume sempre segno positivo
per tali valori di, il trinomio 2 24 dev essere positivo o nullo. Ma ciò accade per ], 0] [24, + [. Pertanto il dominio di f è ], 3[ ] 3, 0] [24, + [. b) La radice quadrata di un argomento positivo o nullo è positiva se e solo se l argomento stesso è positivo. Pertanto l insieme in cui f è positiva è ], 3[ ] 3, 0[ ]24, + [. Si ha inoltre: f0) 0, f24) 0, f si annulla solo nei punti 0 e 24 e non è mai negativa. Quindi il punto 0, 0) costituisce l intersezione del grafico di f con l asse delle y, mentre 0, 0) e 24, 0) sono i punti intersezione del grafico di f con l asse delle. c) Iniziamo dagli asintoti orizzontali. Si ha: f) ± ± 2 24 + 3 + +. Quindi non esistono asintoti orizzontali. Vediamo ora quelli obliqui. Si ha: [ ] f) ± ± 2 24 ± 2 0. + 3 Dunque non esistono asintoti obliqui. Veniamo ora a quelli verticali. Si ha: f) 2 24 8 3 3 + 3 0 + +. Pertanto la retta 3 è un asintoto verticale per f, sia dalla parte destra che da quella sinistra. Non vi sono altri asintoti verticali, in quanto f è continua nei punti 0 ed 24. d) Notiamo che, per > 30, si ha: f) 2 24 2 ) /2 24. + 3 + 3 Per tali valori, dunque, è: f ) 2 ) /2 24 2 ) 24 D 2 + 3 + 3 + 3) /2 2 2 24) /2 2 24) + 3) 2 + 24 + 3) 2 2 2 24) /2 22 24 + 6 72 2 + 24 + 3) 3/2 2 2 24) /2 2 + 6 72 + 3) 3/2. e) Studiamo il segno della derivata prima per > 30. Essa è positiva se e solo se 2 + 6 72 > 0. Calcoliamo ora le radici di questo trinomio. Si ha:,2 3 ± 9 + 72 3 ± 9,
da cui 2 da escludere perché abbiamo preso i valori > 30), 2 6. Per > 30, si ha in particolare che > 6, e quindi f è positiva, e pertanto f è crescente. ESERCIZIO 8 punti) a) Data la funzione k) sin, [0, ], si chiede di determinare i punti dove essa è crescente e dove è decrescente. Alla luce di questo, si determini il segno di k per ]0, ]. b) Tenendo conto dei risultati di cui al punto a), si studi il comportamento della seguente serie, al variare di ]0, ]: ) sin n. n a) Studiamo innanzi tutto k ) nell intervallo [0, ]. Si ha: k ) cos, e quindi k ) > 0 cos < ]0, ]. Dunque, nel nostro caso, k ) > 0 in tutto ]0, ], e pertanto k è crescente in tutto [0, ]. Siccome k0) 0, allora k) > 0 per ogni ]0, ]. b) Da quello che è stato detto nel punto a), segue che la serie data è una serie geometrica di ragione positiva e) strettamente compresa tra 0 ed. Pertanto la serie data è convergente in tutto ]0, ]. ESERCIZIO 8 punti) a) Data la funzione k) tan, [0, ], si chiede di determinare i punti dove essa è crescente e dove è decrescente. Alla luce di questo, si determini il segno di k per ]0, ]. b) Tenendo conto dei risultati di cui al punto a), si studi il comportamento della seguente serie, al variare di ]0, ]: ) tan n. n
a) Studiamo innanzi tutto k ) nell intervallo [0, ]. Si ha: e quindi k ) cos 2, k ) < 0 cos 2 > ]0, ]. Dunque, nel nostro caso, k ) < 0 in tutto ]0, ], e pertanto k è decrescente in tutto [0, ]. Siccome k0) 0, allora k) < 0 per ogni ]0, ]. b) Da quello che è stato detto nel punto a), segue che la serie data è una serie geometrica di ragione strettamente maggiore di. Pertanto la serie data è divergente in tutto ]0, ]. ESERCIZIO 8 punti) a) Data la funzione k) e +, 0, si chiede di determinare i punti dove essa è crescente e dove è decrescente. Alla luce di questo, si determini il segno di k per > 0. b) Tenendo conto dei risultati di cui al punto a), si studi il comportamento della seguente serie, al variare di > 0: n e ) n. a) Studiamo innanzi tutto k ). Si ha: k ) e, e quindi k ) < 0 e > > 0. Dunque, nel nostro caso, k ) < 0 in tutto ]0, + [, e pertanto k è decrescente in tutto [0, + [. Siccome k0) 0, allora k) < 0 per ogni > 0. b) Da quello che è stato detto nel punto a), segue che la serie data è una serie geometrica di ragione strettamente maggiore di. Pertanto la serie data è divergente in tutto ]0, + [.
ESERCIZIO 8 punti) a) Data la funzione k) arctan, 0, si chiede di determinare i punti dove essa è crescente e dove è decrescente. Alla luce di questo, si determini il segno di k per > 0. b) Tenendo conto dei risultati di cui al punto a), si studi il comportamento della seguente serie, al variare di > 0: ) arctan n. n a) Studiamo innanzi tutto k ). Si ha: e quindi k ) 2 +, k ) > 0 2 < 0. + Dunque, nel nostro caso, k ) > 0 in tutto ]0, + [, e pertanto k è crescente in tutto [0, + [. Siccome k0) 0, allora k) > 0 per ogni > 0. b) Da quello che è stato detto nel punto a), segue che la serie data è una serie geometrica di ragione positiva e) strettamente compresa tra 0 ed. Pertanto la serie data è convergente in tutto ]0, + [. ESERCIZIO 8 punti) - Calcolare il seguente integrale indefinito: 3 + 5 5 I 2) 2 2 + 9) d. Applicando la formula di Hermite, si ottiene: 3 + 5 5 2) 2 2 + 9) A 2 + B 2) 2 + C + D 2 + 9 A 2A + B 2) 2 + C + D 2 + 9 A 2A + B)2 + 9) + C + D) 2 4 + 4) 2) 2 2 + 9) A3 2A 2 + B 2 + 9A 8A + 9B + C 3 + D 2 4C 2 4D + 4C + 4D 2) 2 2 + 9) A + C)3 + 2A + B 4C + D) 2 + 9A 4D + 4C) + 8A + 9B + 4D) 2) 2 2. + 9)
Per il principio di identità dei polinomi, si ha: A + C, C A; 2A + B 4C + D 0; 9A 4D + 4C 5; 9A 4D + 4 4A 5; 5A 4D ; D 5A ; 4 4 + 3A 8A + 9B + 4D 5; 3A + 9B 4; B ; 9 2A + B 4C + D 0; 2A 4 9 + 3 9 A 4 + 4A + 5 4 A 4 0; in definitiva, si ottiene A B D, C 0. Pertanto I 2 d + 2) 2 d + log 2 2 + 3 arctan 3 2 + 9 d ) + c. ESERCIZIO 8 punti) - Calcolare il seguente integrale indefinito: I 3 2 2 + 3) 2 2 + 4) d. Applicando la formula di Hermite, si ottiene: 3 2 2 + 3) 2 2 + 4) A 3 + B 3) 2 + C + D 2 + 4 A 3A + B 3) 2 + C + D 2 + 4 A 3A + B)2 + 4) + C + D) 2 6 + 9) 3) 2 2 + 4) A3 3A 2 + B 2 + 4A 2A + 4B + C 3 + D 2 6C 2 6D + 9C + 9D 3) 2 2 + 4) A + C)3 + 3A + B 6C + D) 2 + 4A 6D + 9C) + 2A + 4B + 9D) 3) 2 2. + 4) Per il principio di identità dei polinomi, si ha: A + C, C A; 3A + B 6C + D ; 4A 6D + 9C 2; 4A 6D + 9 9A 2; 5A 6D ; D 2A + 4B + 9D ; 2A + 4B + 33 2 5 2 A ; 5A ; 6
3 + 39A 24A + 8B + 33 5A 2 B ; 8 3A 3 8 + 39 A 6 + 6A + 8 6 5 6 A ; 72A + 7A 93 44 + 44 20A 24 69A 93 24 69; in definitiva, si ottiene A B D, C 0. Pertanto I 3 d + 3) 2 d + log 3 3 + 2 arctan 2 2 + 4 d ) + c. ESERCIZIO 8 punti) - Calcolare il seguente integrale indefinito: I 3 + 2 + ) 2 2 + ) d. Applicando la formula di Hermite, si ottiene: 3 + 2 + ) 2 2 + ) A + B ) 2 + C + D 2 + A A + B ) 2 + C + D 2 + A A + B)2 + ) + C + D) 2 2 + ) ) 2 2 + ) A3 A 2 + B 2 + A A + B + C 3 + D 2 2C 2 2D + C + D ) 2 2 + ) A + C)3 + A + B 2C + D) 2 + A 2D + C) + A + B + D) ) 2 2. + ) Per il principio di identità dei polinomi, si ha: A + C, C A; A + B 2C + D ; A 2D + C ; A 2D + A ; 2D 2; D ; A + B 2C + D ; A + B + D ; e quindi, facendo la differenza tra queste ultime due equazioni, otteniamo 2C 0; C 0; A ; + B + ; B.
Pertanto I d + ) 2 d + log + arctan + c. 2 + d ESERCIZIO 8 punti) - Data la funzione h definita ponendo: si chiede di: h) arctan π 2 a) calcolare il ite destro α 0 + h);, ]0, ], b) dire se la funzione h : [0, ] R, definita ponendo h ) h) per ]0, ], h 0) α, soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell intervallo [0, ]. a) Notiamo innanzi tutto che la funzione h, al tendere di a zero dalla destra, si presenta sotto la forma 0/0: infatti Applicando la regola de l Hôpital, si ha: α 0 0 + arctan 0 + π 2. h) + 2 + 0 + ) + ) 2 2. Per ]0, ], h è derivabile in quanto composizione e prodotto di funzioni derivabili. Studiamo ora la derivabilità destra) nel punto 0, direttamente con il ite del rapporto incrementale. Si ha: h ) h 0) h) + 0 + 0 0 + 0 + 0 + arctan π 2 + arctan π 2 + 2 Hospital) 0 + 2 + + 2 0 + 2 2 2 + ) 0 + 2 2 + ) 0.
Pertanto h è derivabile in 0, ed h 0) 0. Quindi h è derivabile in tutto l intervallo chiuso [0, ], e pertanto h è in particolare continua in [0, ] e derivabile in ]0, [. Perciò le ipotesi del teorema di Lagrange sono verificate. ESERCIZIO 8 punti) - Data la funzione h definita ponendo: si chiede di: h) arctan π 2 a) calcolare il ite sinistro β 0 h);, [, 0[, b) dire se la funzione h : [, 0] R, definita ponendo h ) h) per [, 0[, h 0) β, soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell intervallo [, 0]. a) Notiamo innanzi tutto che la funzione h, al tendere di a zero dalla sinistra, si presenta sotto la forma 0/0: infatti 0 Applicando la regola de l Hôpital, si ha: β 0 0 arctan ) π 2. h) 2 + 0 ). ) + 2 2 Per [, 0[, h è derivabile in quanto composizione e prodotto di funzioni derivabili. Studiamo ora la derivabilità sinistra) nel punto 0, direttamente con il ite del rapporto incrementale. Si ha: h ) h 0) h) 0 0 0 0 0 arctan π 2 arctan π 2 2 Hospital) 0 2 + 2 0 2 2 2 + ) 0 2 2 + ) 0. Pertanto h è derivabile in 0, ed h 0) 0. Quindi h è derivabile in tutto l intervallo chiuso [, 0], e pertanto h è in particolare continua in [, 0] e derivabile in ], 0[. Perciò le ipotesi del teorema di Lagrange sono verificate.
ESERCIZIO Siano p e q il numero delle lettere rispettivamente del vostro nome e del vostro cognome. Data la funzione g, y) p 4 qy 4 + 2 y 2 + 9,, y) R 2, si chiede di: a) calcolare le derivate parziali prime e seconde di g; 2 punti) b) determinare i punti stazionari o critici) di g; 3 punti) c) calcolare gli autovalori e gli autovettori della matrice hessiana, nei punti stazionari; 6 punti) d) determinare, con il test dell hessiano, gli eventuali) punti di massimo relativo, di minimo relativo e di sella per g. 3 punti) a) Si ha: g 4p 3 + 2; g y 4qy 3 2y; g 2p 2 + 2; g yy 2qy 2 2; g y 0 g y. b) Imponiamo la condizione dell annullamento del gradiente g g y 0. Si deve avere: 4p 3 + 2 0; 4qy 3 2y 0; ossia 4p 2 + 2) 0; y4qy 2 + 2) 0. Si ottiene: 0, y 0; e quindi l unico punto stazionario è 0, 0), cioè l origine. c) Si ha: e quindi H, y) 2p2 + 2 0 0 2qy 2 2 H0, 0) 2 0 0 2 Gli autovalori della matrice hessiana in 0, 0)) sono le soluzioni λ dell equazione det H0, 0) 2 λ 0 λi) 0, cioè 0, ossia 2 λ) 2 λ) 0. Gli autovalori sono dunque 0 2 λ λ 2, λ 2 2..,
Calcoliamo gli autovettori della matrice deve avere: cioè 2 0 0 2 2 0 0 2 2 in corrispondenza all autovalore 2. Si 2 2 2 2 2 ; 2 2 2 2, da cui 2 0, e quindi tutti i vettori del tipo, 0), con arbitrario, 0 n.b.: il vettore nullo 0, 0) non può essere mai un autovettore), sono tutti gli autovettori corrispondenti all autovalore 2. Calcoliamo ora gli autovettori della matrice 2. Si deve avere: cioè 2 0 0 2 2 2 0 0 2 2 2 2, 2 2 ; 2 2 2 2, in corrispondenza all autovalore da cui 0, e quindi tutti i vettori del tipo 0, 2 ), con 2 arbitrario, 2 0, sono tutti gli autovettori corrispondenti all autovalore 2. d) Gli autovalori della matrice H0, 0) sono 2 e 2, e quindi sono di segno diverso. Pertanto il punto 0, 0) è un punto sella. Allo stesso risultato si perviene osservando che il determinante di H0, 0) è uguale a 4 < 0. ESERCIZIO 8 punti) Risolvere, con il metodo della variazione delle costanti arbitrarie, la seguente equazione differenziale: supponendo >, y > 0) y y log + 2 log2 Si tratta di un equazione differenziale lineare del primo ordine. Studiamo dapprima l equazione omogenea associata: y y log. Quest ultima equazione risulta essere a variabili separabili: risulta pertanto dy d y log, dy y log d
e si ha dy y d log y loglog ) + log C y C log. log L integrale generale dell equazione omogenea associata è pertanto y C log. Ora, applicando il metodo della variazione delle costanti arbitrarie, cerchiamo un integrale particolare del tipo Si ha: y) C) log. y ) C ) log + C). Si deve avere, affinché y sia una soluzione dell equazione differenziale di partenza: y ) y) log + 2 log2 cioè ossia C ) log + C) C) log log + 2 log2, C ) log 2 log 2, C ) 2 log, e quindi C) 2 log d 2 ) log d 2 log d 2 log 2 2 non serve qui la costante additiva +c, in quanto stiamo prendendo una particolare funzione). Pertanto y) C) log 2 log 2 2 log è un integrale particolare 2 dell equazione differenziale data, e quindi l integrale generale dell equazione differenziale di partenza è: y C log + 2 log 2 2 2 log.