Esercitazione 5 Domande 1. Supporre che un consumatore debba allocare il suo reddito nell acquisto di due beni, X e Y. La funzione di utilità di questo consumatore è pari a U = X Y (quindi, l utilità marginale rispetto a X è U X = Y, mentre quella rispetto a Y è U Y = X ), i prezzi dei beni sono P X = 3 e P Y = 1, mentre il suo reddito è M = 360. (a) Qual è il paniere ottimo (X*, Y*) che il consumatore decide di acquistare? (b) Se a questo consumatore venisse offerto, in una promozione commerciale, il paniere X = 100 e Y = 100 con una spesa complessiva di 360 euro, il consumatore lo preferirebbe rispetto al paniere trovato al punto (a)? (c) Supporre ora che, rispetto alla situazione iniziale, l inclinazione del vincolo di bilancio (rappresentato sul piano (X,Y)) si riduca della metà, ma il prezzo del bene Y rimanga inalterato. Qual è ora il paniere ottimo? 2. Supponete che ci sia un unica impresa nel mercato degli alimenti liofilizzati. La funzione di costo di produzione per questa impresa è TC = 50 + 20Q, a cui corrisponde un costo marginale pari a MC = 20. La funzione di domanda inversa per questa impresa è pari a P = 30 0,25Q. (a) Qual è la funzione di ricavo marginale per questa impresa? (suggerimento: ricordare che se la funzione di domanda inversa è P = a b Q, il ricavo marginale è P = a 2 b Q). (b) Qual è la quantità ed il prezzo del monopolista ed il conseguente profitto? (c) Calcolare la perdita netta derivante dal monopolio (cioè la perdita totale che si genera rispetto alla situazione di concorrenza perfetta)? 3. In un determinato mercato ci sono solo due imprese ( A e B ) che producono e, quindi, offrono un bene. In questo mercato la funzione di domanda inversa è data da P = 250 3Q. I costi medi di produzione sono costanti per entrambe le imprese, ma sono diversi tra di loro. Per l impresa A il costo medio è 100, mentre per l impresa B è pari a 130. Si determinino le quantità, il prezzo ed i profitti delle imprese secondo il modello di oligopolio di Cournot. NOTA: si ricordi che se la funzione di domanda inversa di mercato è P = a b Q, il ricavo marginale della prima impresa è RM A = a b Q B - 2 b Q A, dove Q A è la quantità prodotta dall impresa A e Q B quella prodotta dall impresa B. 1
4. Considerare un mercato di concorrenza perfetta dove la funzione di domanda è data da Q D = 96 P, ci sono N = 30 imprese e ogni impresa ha un costo marginale pari a MC = 2q. Si supponga che il governo introduca un imposta di 8 euro per unità venduta (a carico dei produttori), di quanto varia il surplus dei consumatori? 5. Supponete che in un dato mercato, dove vige la concorrenza perfetta, la curva di domanda inversa sia data dalla relazione P = 8 0.1 Q, dove P è il prezzo e Q è la quantità totale. Una singola impresa produce la quantità q con il seguente costo totale di lungo periodo TC = q 3 4 q 2 + 8q (a cui corrisponde un costo marginale pari a MC = 3q 2 8q + 8). In relazione al lungo periodo: (a) Ricavare l equilibrio del mercato. (b) Quale sarà il numero di imprese operanti sul mercato? (c) Calcolare il profitto ottenuto dalle imprese. Risposte 1. a. In questo esercizio è consigliabile seguire il secondo procedimento usato per risolvere l esercizio 1) dell esercitazione 4. Dovremo, cioè, uguagliare saggio marginale di sostituzione a rapporto tra i prezzi, tenendo in considerazione il vincolo di bilancio: PX SMS = PY M = PX X + PY Y dove SMS = Y/ X = U X / U Y = Y / X (abbiamo usato il dati del problema per l ultima uguaglianza) e P X /P Y = 3 (sempre dai dati del problema). Quindi, il sistema è: - Y/X = - 3 360 = 3X + Y Dalla prima relazione si può ricavare che Y = 3X. Sostituendola nella seconda si ha che 360 = 3X + 3X = 6X X* = 360/6 = 60. Di conseguenza Y* = 3 60 = 180. Il paniere che il consumatore decide di acquistare sarà allora (X*, Y*) = (60, 180). b. Qui l idea è che al consumatore viene offerta la possibilità di acquistare a fronte di una spesa totale di 360 euro un paniere di 100 unità di X e 100 di Y, a prescindere dai prezzi (si pensi ad una vendita abbinata promozionale). In questo caso, dato che il consumatore spende sia per (100, 2
100) che per (60, 180) un totale di 360, si dovrà andare a vedere qual è il paniere che fornisce una maggiore utilità al consumatore. Allora, dato che U(X,Y) = X Y, si deve confrontare U(100,100) = 100 100 = 10000 e U(60,180) = 60 180 = 10800. Il consumatore deciderà di consumare il paniere (60,180). c. Questo punto si risolve esattamente come il punto a), solo che, in questo caso P X /P Y = 1.5, dato che si è detto che la pendenza della retta di bilancio si è dimezzata, a parità di prezzo del bene Y. 2. a. Il ricavo marginale relativo ad una funzione di domanda lineare (quindi del tipo P = a b Q) è una funzione che ha la stessa intercetta e inclinazione doppia. Nel caso in esame, dato che la funzione di domanda è P = 30 0,25Q, il ricavo marginale sarà MR = 30 0,5Q. [Questo risultato lo si sarebbe potuto ottenere ricordando che TR = P*Q = (30 0,25Q)*Q = 30Q 0,25Q 2 e la derivata di TR rispetto a Q è, appunto, MR = 30 2*0,25Q = 30 0,5Q]. b. Per massimizzare il profitto, l impresa ragionerà usando la condizione di ottimo MC = MR. Quindi, 30 0,5Q = 20 0,5Q M = 10 Q M = 20. Da questa si ottiene il prezzo sostituendo Q M, quindi P M = 30 0,25Q M = 30 5 = 25. Per ottenere il profitto dobbiamo sottrarre i costi totali dai ricavi totali. I costi totali sono TC = 50 + 20*20 = 450, mentre i ricavi totali sono dati da TR = P*Q = 25*20 = 500. Allora, i profitti totali saranno π = 500 450 = 50. c. Per ottenere la perdita netta derivante dal monopolio bisogna mettere a confronto la situazione che si viene a creare in questo caso rispetto a quella che si sarebbe ottenuta in concorrenza perfetta. Nel caso di concorrenza perfetta vale la condizione P = MC. Usando i dati del problema si ha che 30 0,25Q = 20 Q* = 40. Sostituendo questa quantità nella funzione di domanda di ha P* = 30 0,25*40 = 20. Quindi, in CP la rendita del consumatore è RCONS C = ((30 20)*40)/2 = 200, cioè intercetta verticale della funzione di domanda inversa meno prezzo di equilibrio, moltiplicato quantità scambiata in equilibrio, diviso due. La rendita del produttore è RPROD C = 0, perché la curva di offerta in questo caso è una retta orizzontale coincidente con il costo marginale, a sua volta pari al prezzo, e la rendita totale è RTOT C = RCONS C + RPROD C = 200. D altra parte, in monopolio, la rendita del consumatore è RCONS M = ((30 25)*20)/2 = 50, quella del produttore è RPROD M = ((25 20)*20) = 100, e la conseguente rendita totale è RTOT M = 150. Avremo, quindi, che la perdita netta è pari alla differenza tra RTOT C e RTOT M, cioè 200 150 = 50. 3
3. Abbiamo che la funzione di domanda di mercato è P = 250 3Q = 250 3(Q A +Q B ) = 250 3Q A 3Q B. Il ricavo totale per l impresa A è TR A = P*Q A = (250 3Q A 3Q B )*Q A, a cui corrisponde un ricavo marginale pari a MR A = 250 6Q A 3Q B. Il ricavo totale per l impresa B è TR B = P*Q B = (250 3Q A 3Q B )*Q B, a cui corrisponde un ricavo marginale pari a MR B = 250 3Q A 6Q B. Dato che il costo medio è costante, il costo marginale è pari al costo medio. Ora, per ottenere la funzione di reazione di ciascuna impresa dobbiamo introdurre le condizioni di ottimo per ciascuna impresa, data la quantità prodotta dalla concorrente. Dalla condizione MC = MR, per ogni impresa, si ottiene che la funzione di reazione per l impresa A sarà ottenuta da: MC A = MR A 100 = 250 6Q A 3Q B Q A = 25 0.5Q B. Stesso procedimento per B, quindi Q B = 20 0.5Q A. Quindi, possiamo ottenere il prodotto di un impresa, ad esempio B: Q B = 20 0.5(25 0.5Q B ) = 20-12.5 + 0.25Q B Q B = 7.5/0.75 = = 10. Possiamo sostituire questo valore nella funzione di reazione di A e otteniamo Q A = 20. Si avrà allora che il prezzo è P = 250 3(Q A +Q B ) = 250 3*30 = 160. I profitti dell impresa A saranno pari a P*Q A -Q A *AC A = 160*20 20*100 = 1200. I profitti dell impresa B saranno pari a P*Q B -Q B *AC B = 160*10 10*130 = 300. 4. Bisogna prima ricavare la funzione di offerta di ognuna delle 50 imprese presenti sul mercato e poi ottenere per aggregazione, cioè per somma, la funzione di offerta di mercato in modo da individuare l equilibrio di mercato dall uguaglianza tra domanda e offerta. La funzione di offerta delle singole imprese si ottiene dalla condizione di ottimo dell impresa in concorrenza perfetta: P = MC P = 2q da cui q = P/2, questa è la funzione di offerta dalla singola impresa, cioè la funzione che indica il livello di produzione della singola impresa ad ogni livello di prezzo. L offerta totale di mercato sarà data dall aggregazione (somma) delle 30 imprese, cioè Q s = 30 q = 15P (dato che ogni impresa è supposta identica, la somma della quantità offerta dalle 50 imprese si ottiene dalla moltiplicazione del numero di imprese per il loro prodotto). Dato che la funzione di domanda di mercato è Q d = 96 P, il prezzo di equilibrio deriva da Q s = Q d 15P = 96 P P* = 96/16 = 6. La quantità che viene domandata e offerta (dato che corrisponde all equilibrio; è indifferente sostituire nella funzione di domanda o in quella dell offerta) è Q* = 15 P* = 15 6 = 90. Dati P* e Q*, per ricavare il surplus del consumatore è necessario prima ricavare la funzione di domanda inversa, P = 96 Q. Il surplus è poi dato da SCONS = ((96 6) 90)/2 = 4050, cioè intercetta verticale dalla curva di domanda inversa meno prezzo di equilibrio, moltiplicato quantità scambiata in equilibrio, diviso due. L introduzione dell imposta non fa altro che spostare verso l alto la curva di offerta inversa dei produttori di un ammontare pari alla tassa stessa, quindi P = (Q s+t /15) + 8 (si usa s+t per 4
indicare che è l offerta dopo l introduzione dell imposta; ricordare che prima dell imposta la funzione di offerta diretta era Q s = 15P da cui si ricava la curva di offerta inversa P = Q s /15). Quindi, in presenza di una tassa pari a 8, la funzione di offerta diretta è data da, cioè Q s+t = 15P 120. Allora nel nuovo equilibrio si avrà che Q d = Q s+t 96 P = 15P - 120 P* = 13,5. La conseguente quantità scambiata è adesso Q* = 15P* 120 = 82,5. Il nuovo surplus del consumatore è ora pari a SCONS t = ((96 13,5) 82,5)/2 = 3403,1. Dopo l introduzione dell imposta c è stata quindi una diminuzione del surplus del consumatore pari a SCONS SCONS t = 4050 3403,1 = 646,9. 5. a. Ricordare che nel lungo periodo un impresa in concorrenza perfetta produce al costo medio minimo e che nel punto di costo medio minimo si avrà che il costo medio totale è uguale al costo marginale. Quindi, si può procedere in due modi equivalenti: 1) [non consigliato a chi ha problemi con le derivate] si minimizza la funzione di costo medio totale ATC = q 2 4q + 8, quindi si deve uguagliare la derivata prima a zero. Si avrà che q 2 4 = 0 q* = 2; 2) si uguaglia costo marginale a costo medio. Si avrà, allora, TC/q = MC, cioè q 2 4q + 8 = 3q 2 8q + 8 2q 2 = 4q. Dividendo per q entrambi i lati dell equazione ho che 2q = 4, quindi q* = 2. Il prezzo deriva dalla relazione P = MC. Dato che abbiamo trovato q* = 2, avremo che P* = 3q* 2 8q* + 8 = 3 2 2 8 2 + 8 = 4. La quantità di equilibrio di mercato la si trova sostituendo P* nella curva di domanda. Si ha che Q* = (8 P*)/0.1 = 40. b. Dato che Q* = 40 (quantità domandata dal mercato) e q* = 2 (quantità offerta dalla singola impresa), allora il numero di imprese sarà N* = Q* / q* = 40/2 = 20. c. Il profitto è π = TR TC = P* q* (q* 3 4 q* 2 + 8q*) = 4 2 (2 3 4 2 2 + 8 2) = 0. 5