Il Responsabile coordinatore dei giochi: Prof. Agostino Zappacosta Chieti tel. 0871 65843 (cell.: 340 47 47 952) e-mail:agostino_zappacosta@libero.it Quarta Edizione Giochi di Achille e la tartaruga Giochi Matematici (11-12-08) Soluzioni Categoria M3 (Alunni di terza media) Quesito 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Risposta esatta C A E B E D D A C B (*) 2 87 27 24 864 Vale punti 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 8 8 12 12 (*) Basta prendere un numero in cui la cifra delle centinaia supera di 3 quella delle unità. Il massimo punteggio previsto è 100. Una risposta mancante vale 1 punto. Una risposta sbagliata vale 0 punti. Quesito 1 [Come finiscono.le potenze?] (vale 4 punti) Quale dei seguenti numeri termina con il minor numero di zeri? A) 2 5 3 5 5 4 ; B) 2 4 3 7 5 5 ; C) 2 12 3 5 5 2 ; D) 2 6 3 3 5 5 ; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta: C) 2 12 3 5 5 2. Soluzione: Un numero finisce con 1, 2, 3,.zeri, quando nella sua scomposizione figurano tanti 2 e tanti 5 che moltiplicati tra loro danno 10, 100, 1000, e, permettono, così, con gli altri fattori, di ottenere un numero terminante con 1, 2, 3, zeri (pari al minore dei due esponenti che figurano nel 2 e nel 5). Provare per credere!!! Nell alternativa A) il minimo comune esponente di 2 e 5 è 4. Nell alternativa B) il minimo comune esponente di 2 e 5 è 4. Nell alternativa C) il minimo comune esponente di 2 e 5 è 2. Nell alternativa D) il minimo comune esponente di 2 e 5 è 5. L alternativa C) esclude la possibilità di considerare l alternativa E). Quesito 2 [Bastoncini.spezzati!!! ] (vale 4 punti) Alessandra ha 19 bastoncini di varie lunghezze. Ne spezza due a metà, ed altri due un tre pezzi ciascuno. Quanti bastoncini ha Alessandra adesso? A) 25; B) 23; C) 15; D) 24; E) 27. Risposta esatta: A) 25. I bastoncini sono i quindici di prima più i quattro pezzi ottenuti spezzando a metà il sedicesimo ed il diciassettesimo bastoncino, più i sei pezzi ottenuti spezzando in tre parti ciascuno sia il diciottesimo che il diciannovesimo bastoncino. In tutto 15+4+6 = 25. Quesito 3 (vale 4 punti) Quale delle seguenti relazioni è vera? A) 107 5 = 100 5 + 7 5 ; B) 107 5 = 110 5 3 5 ; C) 107 5 = 99 5 + 8 7 ; D) 107 5 = 99 7 + 8 5 ; E) nessuna delle precedenti. Soluzioni_M3_IV-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga (11-12-2008) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 1
Risposta esatta: E) Le risposte C) e D) sono subito da scartare anche per il fatto che gli esponenti di 99 ed 8 non sono uguali. Le risposte A) e B) sono pure da scartare in quanto la proprietà distributiva dell elevamento a potenza si applica ad operazioni di un solo livello più basso (moltiplicazioni e divisioni) e non ad operazioni di due livelli più bassi rispetto all elevamento a potenza (come addizione e sottrazione). Del resto un esempio banale fa vedere che, comunque si spezzetta un numero in addendi, e si elevano, poi, i vari addendi alla stessa potenza, il risultato risulta sempre inferiore della stessa potenza del numero spezzettato : 15 3 = 3375; 15 = 14+1 14 3 +1 3 = 2744+1 = 2745 3375. 15= 13+2 13 3 +2 3 = 2197+8 = 2205 3375. 15= 12+3 12 3 +3 3 = 1728+27 = 1755 3375. 15= 11+4 11 3 +4 3 = 1331+641395 3375. 15 = 10+5 10 3 +5 3 = 1000+125 = 1125 3375. 15 = 9+6 9 3 +6 3 = 729 + 216 = 945 3375. 15 = 8+7 8 3 +7 3 = 512+343 = 855 3375. E così con tre, quattro, cinque addendi, ecc. 15 = 1+2+3+4+5 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 = 1+8+27+64+125 = 225 = 15 2 ma non 15 3 (Strano questo risultato!!! Ma vero!!!!). Quesito 4 [Distribuzione di cioccolatini] (vale 4 punti) Ad una festa del Reparto degli scouts, il capo distribuisce, come premio, dei cioccolatini solo a coloro che si sono impegnati per ripulire ed abbellire la sede. Nella distribuzione, procede così: ad ogni scout premiato dà almeno un cioccolatino e il numero dei cioccolatini ricevuti da ciascun scout (di quelli premiati) è sempre diverso da uno scout all altro. Quanti scouts, al massimo, possono essere premiati, se il capo dispone solo di 100 cioccolatini? A) 10; B) 13; C) 20; D) 25; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta B) 13. Il numero minimo di cioccolatini da dare al primo scout è 1. A seguire, il secondo ne riceverà 2, il terzo 3, il quarto 4, il quinto 5, il sesto 6, il settimo 7, l ottavo 8, il nono 9, il decimo 10, l undicesimo 11, il dodicesimo 12, il tredicesimo 13 ed il quattordicesimo 14. Ma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 105. Quindi volendo premiare 14 scouts, adoperando la regola suesposta, i cioccolatini non bastano. Perciò gli scouts che possono essere premiati, al massimo, possono essere 13. Quesito 5 [Giardino e manto stradale dei viottoli] (vale 5 punti) La figura disegnata a fianco, mostra la pianta di un giardino con al centro una villetta. Tre quarti del giardino ospita prato verde e qualche aiuola con fiori ornamentali. La parte restante del giardino è formata da strada di accesso più alcuni viottoli. Quanti Euro occorrono per asfaltare strade e viottoli di quel giardino sapendo che il costo complessivo (asfalto e mano d opera) viene a costare 12 a m 2? A) 2250; B) 2850; C) 3250; D) 2750; E) nessuno dei precedenti. A 5m 5m Soluzioni_M3_IV-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga (11-12-2008) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 2
Risposta esatta: E) 2700. Il lato del quadrato A misura 5 metri; quindi la sua superficie è di m 2 (5x5) = m 2 25. Quindi, la superficie del cortile, (pari a 36 volte la superficie del quadrato A), sarà di m 2 (25x36) = m 2 900. La superficie del giardino da asfaltare è solo un quarto (1-3/4= ¼) e corrisponde a m 2 (900:4) = m 2 225. Il costo sarà: (12x225) = 2700. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Quesito 6 [Che sfortuna il vento!!!] (vale 5 punti) L altro giorno, Marina è andata a scuola in bicicletta impiegando esattamente 10 minuti per percorrere il tragitto casascuola pari a tre chilometri. Al ritorno, a causa del fortissimo vento contrario, è riuscita ad andare solo a 15 km orari. Quanti minuti in più ha impiegato, Marina, per tornare a casa? A) 3; B) 5; C) 4; D) 2; E) nessuno dei precedenti Risposta esatta D) 2. Nel percorso di andata, Marina, ha impiegato 10 minuti per percorrere 3 km. Avrebbe impiegato 20 minuti per percorrere una distanza doppia; 60 minuti (cioè un ora) per percorrere una distanza sestupla. E il sestuplo di 3 è proprio 18 (3x6). Quindi all andata, Marina ha portato una velocità media di 18 km/h. Al ritorno la velocità è diminuita: ma 15 km/h vuol dire che in un ora Marina è in grado di percorrere 15 km. Siccome ne deve percorrere solo 3, che rappresenta la quinta parte di 15, vuol dire che impiegherà un quinto di ora che corrisponde a 12 minuti (1/5x60 = 12). Marina ha impiegato due minuti in più (12-10). Quesito 7.[Serbatoio mezzo pieno e mezzo vuoto!!] (vale 5 punti) Un autobotte, che trasporta il latte, quando è completamente carico, pesa 116 quintali. Se invece l autobotte è riempita a metà, pesa solo 81 quintali. Qual è il peso dell autobotte vuota? A) 36; B) 35; C) 45; D) 46; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta: D) 46 quintali. q (116-81) = q 35 (rappresenta il peso del latte contenuto in mezzo serbatoio). q (35x2) = q 70 (quantità di latte che può contenere il serbatoio). Q (116-70) = q 46 (peso dell autobotte vuota). Quesito 8 [dalle parole. alla formula] (vale 5 punti) Quale tra le seguenti espressioni rappresenta: il triplo della differenza tra il quadrato del consecutivo della quarta parte di un numero intero n e il cubo del precedente della terza parte di n? A) 3[(n/4+1) 2 (n/3-1) 3 ]; B) [3 (n/4+1) 2 (n/3-1) 3 ]; C) 3[(n/4-1) 2 (n/3+1) 3 ]; D) [3 (n/4-1) 2 (n/3+1) 3 ]; E) nessuna delle precedenti. Risposta esatta: A) La quarta parte di un numero si indica con n/4. Il consecutivo avrà un unità in più: n/4 + 1. Il quadrato si indicherà con (n/4+1) 2. La terza parte di un numero si indica con n/3. Il precedente avrà un unità in meno: n/3 1. Il cubo si indicherà (n/3+1) 3. Il triplo della differenza tra le suddette due espressioni verrà infine indicato con 3[(n/4+1) 2 (n/3-1) 3 ]. Soluzioni_M3_IV-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga (11-12-2008) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 3
Quesito 9 (Mattoni e.mattonelle!!] (vale 6 punti) So che un quinto di un mattone più due chili e 400 grammi pesano quanto un mattone. Inoltre so che un terzo di mattone pesa come una mattonella. Quanto pesa una mattonella? A) 1.8; B) 1,4; C) 1; D) 1.6; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta C) 1 Kg. Un quinto di mattone peserà 600g. Tutto il mattone peserà quindi cinque volte 600 g cioè tre chili. La mattonella peserà la terza parte del mattone cioè 1 kg. Un quinto 4 volte 600 g = 2 chili e 400 g 600 g 600 g 600 g 600 g Mattone Quesito 10 [Ciclista alle prese con salite e discese!!] (vale 6 punti) Un cicloamatore parte dal suo paese, in provincia di Chieti, per raggiungere il Blockhaus (località della Maiella situata a quasi 2000 m di altitudine sul livello del mare). All andata, percorre i 45 km in tre ore. Giunto in cima, rigira e ridiscende a valle (percorrendo la stessa strada) impiegando esattamente un ora. Qual è la media complessiva, in km/h, tenuta dal cicloamatore, durante tutto il suo viaggio? A) 30; B) 22,5; C) 24,5; D) 45; E) nessuna delle precedenti. Risposta esatta B) 22.5. All andata, il cicloamatore, quando la strada era in salita, ha pedalato per il triplo del tempo di quanto abbia fatto in discesa durante il ritorno a casa. Perciò la media oraria dell andata (15 km/h) deve essere moltiplicata per tre. L altra media 45 Km/h deve essere moltiplicata per 1 perché ha viaggiato con questa media per un ora. Velocità media = (3x15+1x45):4 = 90:4 = 22.5 km/h. Più semplicemente, il cicloamatore ha impiegato 4 ore per percorrere 90 km (andata e ritorno). Vm = km/h (90:4) = km/h 22.5. Quesito 11 [Le cifre parlano: scambiamoci di posto io e te!!!] (vale 6 punti) Quale numero di tre cifre diminuisce di 297 se si scambia la cifra delle centinaia con quella delle unità? ATTENZIONE: le cifre delle centinaia e delle unità devono essere diverse tra loro, e diverse da 0. (Basta riportare un solo numero). Risposta esatta: basta prendere uno dei sessanta numeri in cui la cifra delle centinaia supera di 3 quella delle unità. E chiaro che la cifra delle decine resta la stessa. 401 401-104 = 297; 411-114 = 297; 421-124 = 297; 431-134 = 297;..; 491-194 = 297; 502 502-205 = 297; 512-215 = 297; 522-225 = 297; 532-235 = 297;.. ; 592-295 = 297; 603 603-306 = 297; 613-316 = 297; 623-326 = 297; 633-336 = 297; ; 693-396 = 297; 704 704-407 = 297; 714-417 = 297; 723-327 = 297; 734-437 = 297; ; 794-497 = 297; 805 805-508 = 297; 815-518 = 297; 823-328 = 297; 835-538 = 297;.; 895-598 = 297; 906 906-609 = 297; 916-619 = 297; 923-329 = 297; 936-639 = 297;.; 996-699 = 297. Quesito 12 [Ma quanto costa produrre le uova??] (vale 6 punti) In un allevamento di polli, in media, 30 galline, in un mese (consideriamo un mese di trenta giorni), riescono a produrre 450 uova. Sapendo che 300 galline mangiano 300 kg di mangime in 10 giorni, quanti chilogrammi di mangime occorrono per produrre 10 uova? Risposta esatta: 2. Se 30 galline, producono in un mese, 450 uova, 300 galline, nello stesso periodo di tempo, produrranno 4500 uova (dieci volte la produzione di 30 galline) Le 300 galline in dieci giorni (la terza parte di un mese) produrranno la terza parte delle uova prodotte in un mese, cioè 1500 (4500:3). Alle 300 galline, per produrre 1500 uova occorrono 300 kg di mangime. Ma 10 uova rappresentano la 150 a parte di 1500 (1500:10=150). Per produrre 10 uova occorrerà la 150 a parte di 300 kg di mangime, cioè 2 kg. (300:150). Soluzioni_M3_IV-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga (11-12-2008) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 4
Quesito 13 [Pianta che cresce.a dismisura] (vale 8 punti) Una pianta acquatica, dalle foglie grandi e galleggianti, chiamata ninfea bianca, si riproduce molto velocemente. Una di queste, caduta in uno stagno, raddoppia la sua superficie in 72 ore (tre giorni). Dopo novanta giorni è riuscita a ricoprire tutto lo stagno. Quanti giorni ha impiegato per ricoprire la metà dello stagno? Risposta esatta 87. Se al novantesimo giorno la pianta ha ricoperto tutto lo stagno, tre giorni prima ne copriva evidentemente la metà, dato che ogni tre giorni le foglie di questa pianta raddoppiano. Quesito 14 [Si avvicina Natale si gioca con i dadi!!!] (vale 8 punti) Lanciando tre dadi simultaneamente in quanti modi diversi posso ottenere il totale undici? Risposta esatta: abbiamo le seguenti 27 possibilità: 1 dado 2 dado 3 dado Totale 1 dado 2 dado 3 dado Totale 1 dado 2 dado 3 dado 1 4 6 11 3 4 4 11 5 1 5 11 1 5 5 11 3 5 3 11 5 2 4 11 1 6 4 11 3 6 2 11 5 3 3 11 2 3 6 11 4 1 6 11 5 4 2 11 2 4 5 11 4 2 5 11 5 5 1 11 2 5 4 11 4 3 4 11 6 1 4 11 2 6 3 11 4 4 3 11 6 2 3 11 3 2 6 11 4 5 2 11 6 3 2 11 3 3 5 11 4 6 1 11 6 4 1 11 Totale Quesito 15 [angolare su griglia bi-piramidale!!] (vale 12 punti) In quanti modi diversi posso disporre l angolare A sulla griglia disegnata? A Risposta esatta: 24. Ci sono in tutto (3+3+2+2)+(3+3+2+2)+(2+2) = 24 disposizioni diverse. Vedi sotto: Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Si ottengono 3 disp.div. Si ottengono 3 disp.div. Si ottengono 2 disp.div. Si ottengono 2 disp.div. Soluzioni_M3_IV-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga (11-12-2008) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 5
Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7 Fig. 8 Si ottengono 3 disp.div. Si ottengono 3 disp.div. Si ottengono 2 disp.div. Si ottengono 2 disp.div. Fig. 9 Fig. 10 Si ottengono 2 disp.div Si ottengono 2 disp.div. Quesito 16 [Ma che rottura.di scatole!!!] (vale 12 punti) La seguente scatola è formata da 9 scomparti rettangolari perfettamente uguali. Si sa che il lato maggiore di ciascuno dei nove scomparti supera il lato minore di 4 cm. Sapendo che il perimetro della scatola misura 120 cm qual è la sua area? Risposta: 864 cm 2. Noto che il perimetro della scatola è formato da 9 volte il lato minore più 4 volte quello maggiore (sempre riferito ad un singolo scomparto). Ma quattro volte l eccedenza di cm 4 fanno cm (4x4) = cm 16. Togliendo questi 16 cm dal perimetro ottengo cm (120-16) = cm 104. Avendo tolto le eccedenze, cm 104 rappresenta la somma di (9+4) = 13 segmenti uguali. Perciò: lato minore = cm (104:13) = cm 8; lato maggiore = cm (8+4) = cm 12. La scatola ha le seguenti dimensioni: la minore = cm (12x2) = cm 24; la maggiore = cm (3x8+12) = cm (24+12) = = cm 36. Quindi l area della scatola sarà di cm 2 (36x24) = cm 2 864. Soluzioni_M3_IV-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga (11-12-2008) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 6