Appunti su Equazioni Cartesiane, Parametrizzazioni, Spazio Tangente

Appunti su Equazioni Cartesiane, Parametrizzazioni, Spazio Tangente Corso di Geometria 1 - a.a. 2010/2011 Andrea Sambusetti Sapienza Università di Roma

1 Terminologia Il simbolo indica un riferimento a uno degli esercizi dei fogli on-line. Sia S un sottoinsieme di R n e P 0 = (x 0 1,..., x 0 n) S: Definizioni 1.1 (Intorni, insiemi aperti, domini) un intorno rettangolare aperto (per brevità: un intorno) di P 0 in R n è un prodotto di intervalli aperti U P0 = (x 0 1 ɛ 1, x 0 1+ɛ 1 ) (x 0 n ɛ 1, x 0 n+ɛ 1 ); un intorno U S P 0 di P 0 in S è l intersezione U S P 0 = U P0 S di un intorno U P0 di P 0 in R n con S; un dominio è un sottoinsieme D R n aperto e connesso: cioè, per ogni punto P D esiste un intorno U P contenuto in D (aperto) e per ogni coppia di punti P, Q D esiste una curva continua α : [0, 1] D tale che α(0) = P, α(1) = Q (connesso). Definizioni 1.2 (Continuità e omeomorfismi) un applicazione F : S S tra sottoinsiemi di R n è continua in P 0 S se per ogni successione P n S tale che P n P 0, si ha F (P n ) F (P 0 ); F si dirà continua se è continua in ogni punto di S; un applicazione F : S S tra sottoinsiemi di R n si dice un omeomorfismo tra S ed S se è continua, biiettiva, e la sua inversa F 1 è continua. Definizioni 1.3 (Coni, cilindri, insiemi di rotazione) S = C(B, V ) è un cono di vertice V e base B R n se S = P B r V,P, dove r V,P indica la retta passante per i punti V, P ; [ 6.1, 6.3, 7.7] S = Cyl(B, V ) è un cilindro di asse v e base B R n se S = P B rv P, dove rp v indica la retta di direzione v passante per P ; [ 6.2, 7.7] (per n=3) S è un insieme di rotazione se esiste una retta r dello spazio tale che per ogni piano π ortogonale a r la sezione S π è una circonferenza oppure l insieme vuoto; equivalentemente, se Simm(S) contiene tutte le rotazioni R r,ϑ di asse r e angolo ϑ R; [ 6.1, 6.2, 7.8, 7.10] Definizioni 1.4 (Eq.cartesiane, parametrizzazioni) un insieme di equazioni cartesiane (C k ) per S è una funzione (C k ) G = (G i ) : D R n R m tale che S sia l insieme dei punti che soddisfano il sistema G 1 (P ) =... = G m (P ) = 0, i.e. S = Ker(G) = G 1 (0); l insieme di equazioni cartesiane si dirà regolare in P 0 se il rango di (dg) P0 è massimo 1, [ 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 6.1, 6.2, 6.3, 7.6, 7.7, 7.10, 8.5] 1 nel caso comune in cui m n, ciò significa che rk(dg) P0 = m. 2

una parametrizzazione per S è una funzione F = (F i ) : D R d R n, dove D è un dominio, tale che S = Im(F ); una parametrizzazione (C 1 ) si dice regolare in P se il rango di (df ) P è massimo 2, e si dirà regolare se è regolare in ogni punto; [ 7.3, 7.5, 7.6, 8.5] Un insieme S si dice una curva (risp. una superficie) parametrizzata se ammette una parametrizzazione F : D R R n (risp. F : D R 2 R n ) con S = Im(F ), ed F è almeno C 1 ; S si dirà una curva (risp. una superficie) regolare se ammette una parametrizzazione regolare. [ 7.3, 7.6, 8.5] Definizioni 1.5 (Grafici, rigate) S è un grafico rispetto a x 1,..., x d se ammette una parametrizzazionegrafico 3, cioè S = F (D) dove F : D R d R n è della forma F (x 1,..., x d ) = (x 1,..., x d, f 1 (x 1,..., x d ),..., f n d (x 1,..., x d )) si dice anche che S è il grafico della funzione f = (f i ) : D R d R n d. Un altra locuzione equivalente è: è possibile esplicitare x d+1,..., x n in funzione di x 1,..., x d su S; [ 5.2, 7.6] S è un grafico rispetto a x 1,..., x d vicino a P 0 se esiste un intorno UP S 0 di P 0 in S che è un grafico rispetto a x 1,..., x d ; diremo anche, in tal caso, che è possibile esplicitare x d+1,..., x n in funzione di x 1,..., x d su S vicino a P 0 ; [ 8.4] S è una superficie rigata se ha una parametrizzazione F : U = I R R n del tipo F (s, t) = α(s) + tv(s) dove α, v sono due curve parametrizzate e v(s) non è mai nullo (v va pensato geometricamente come un campo di vettori lungo α); [ 6.2, 6.3, 7.9, 8.5, 8.6] 2 Equazioni Cartesiane vs Parametrizzazioni Il problema che tratteremo è il seguente, fondamentale in matematica: dato un sistema di equazioni del tipo G(X) = 0, dove X = (x 1,..., x n ) R n e G = (G i ) : D R n R m, e cioè: G 1 (x 1,..., x n ) = 0 G 2 (x 1,..., x n ) = 0 G m (x 1,..., x n ) = 0 le soluzioni S R n di tale sistema (se esistono) formano uno spazio di che dimensione? In funzione di quanti parametri possono esprimersi? Tale problema consiste quindi nel cercare di passare da equazioni cartesiane per un insieme S ad una parametrizzazione di S. Notiamo che tale problema è stato risolto nel corso di Algebra Lineare nel caso in cui le G i siano polinomi di primo grado, i.e. (1) sia un sistema lineare: 2 nel caso comune in cui d n, ciò significa che rk(df ) P = d. 3 per sua stessa definizione, una parametrizzazione-grafico, se almeno C 1, è sempre regolare, ed è sempre un omeomorfismo F : D S = F (D) (di inversa la proiezione S R n R d ). (1) 3

Teorema 2.1 Sia G(X) = G 0 X + b = 0 un sistema lineare in X = (x 1,..., x n ), con G 0 M(m, n, R) e b R m. L insieme S delle soluzioni, se non vuoto, è un sottospazio affine di R n di dimensione d = n rk(g 0 ). Euristicamente, ciò vuol dire che da ogni equazione, che pone un vincolo su (x 1,..., x n ), possiamo ricavare un incognita x i, e dunque se le m equazioni sono indipendenti (cioè rk(g 0 ) = m) le soluzioni si esprimono in funzione di d = n m variabili libere. Reciprocamente, nel corso di Algebra lineare abbiamo visto: Teorema 2.2 Sia F = (F i ) : R d R n una parametrizzazione del tipo F (x 1,..., x d ) = P 0 + x 1 v 1 + + x d v d = P 0 + F 0 X dove {v 1,..., v d } sono d vettori linearmente indipendenti (cioè rk(f 0 ) = d). Allora S = ImF è l insieme delle soluzioni di un sistema del tipo (1), costituito da m = n d equazioni polinomiali di grado 1 indipendenti. Osservazioni 2.3 (Equazioni cartesiane e parametrizzazioni C 0 ) (i) È facile convincersi che, nel caso in cui le equazioni cartesiane G i siano solo funzioni C 0, l insieme delle soluzioni S non ha una naturale dimensione deducibile da n, m. Si pensi al seguente esempio: detta ß 0 se r 1 f(r) = r 1 se r 1 sia S k : G k (x, y) = f( x 2 + y 2 ) k = 0. L insieme S k è una circonferenza per ogni k > 0, mentre S 0 è un cerchio, dunque un oggetto bi-dimensionale (nonostante sia definito da un equazione in due variabili). (ii) Analogo problema c è per le parametrizzazioni che sono solo C 0 : la curva di Peano (http://it.wikipedia.org/wiki/curva_di_peano) è un esempio di parametrizzazione continua F : [0, 1] R 2 tale che S = Im(F ) è un quadrato pieno (dunque un oggetto bi-dimensionale, nonostante sia parametrizzato da una sola variabile). Il Teorema 2.1 si generalizza a equazioni C k qualsiasi (con k 1) a meno di sostituire la condizione rk(g 0 ) = m con rk(dg) P0 = m, fornendo però solamente un enunciato locale : una garanzia, cioè, della possibilià di passare da equazioni cartesiane a parametrizzazioni in un intorno di un punto P 0 fissato: Teorema del Dini 2.4 Sia G = (G i ) : D R n R m n, sia S = Ker(G) e P 0 S. Supponiamo che: (i) G sia di classe C k (con k 1); (ii) l insieme di equazioni G i = 0 sia regolare in P 0, cioè rk(dg) P0 = m (diciamo, per semplicità, che det( Gi P0 ) i=1,...,m j=1,...,m 0). Allora, detto d = n m, S è un grafico C k rispetto a (x 1,..., x d ) vicino a P 0 : esiste cioè un intorno UP S 0 di P 0 tale che UP S 0 = Im(F ) per una parametrizzazionegrafico F (x 1,.., x d ) = (x 1,..., x d, f d+1 (x 1,.., x d ),..., f n (x 1,.., x d )) di classe C k. Esempio 2.5 Trovare tutti i punti P nei quali è applicabile il teorema del Dini, per tutti gli insiemi definiti negli esercizi 7.3, 7.6, 7.7 e 7.10(i)&(ii). Specificare quali variabili sono esplicitabili rispetto alle altre vicino a P. 4

È naturale porsi anche il problema inverso: dato un insieme S R n definito come l immagine di una parametrizzazione F, è possibile realizzarlo come l insieme delle soluzioni di un sistema del tipo (1)? Ancora una volta, c è un analogo del Teorema 2.2 che fornisce una risposta positiva sotto simili ipotesi di regolarità per F, e sempre in un senso puramente locale, come descritto qui di seguito: Teorema inverso del Dini 2.6 Sia F = (F i ) : D R d n R n. Supponiamo che: (i) F sia di classe C k (con k 1); (ii) F sia regolare in Q 0, cioè rk(df ) Q0 = d (diciamo, per semplicità, che det( Fi Q0 ) i=1,...,d j=1,...,d 0). Allora, esiste un intorno U Q0 R d di Q 0 tale che l insieme S = F (U Q0 ) è un grafico rispetto a x 1,..., x d, ed è descritto da m = n d equazioni cartesiane regolari del tipo (1), con G = (G i ) di classe C k e rk(dg) P0 = m. Corollario 2.7 Sia F = (F i ) : D R d n R n di classe C 1 e regolare in Q 0. Allora, F UQ0 : U Q0 F (U Q0 ) è un omeomorfismo, se U Q0 è un intorno di Q 0 abbastanza piccolo. Note al Teorema Inverso del Dini 2.8 (i) Il Teorema inverso del Dini non afferma che F stessa è una parametrizzazionegrafico, ma solo che S = F (U Q0 ) ammette una parametrizzazione-grafico F (in genere diversa da F ). La dimostrazione spiega come trovare tale F. (ii) Lo stesso teorema non afferma che F (D) ammette n d equazioni cartesiane (C k, regolari) nel punto P 0 = F (Q 0 ): ciò è vero solo per l insieme S = F (U Q0 ) F (D), per un intorno U Q0 di Q 0 abbastanza piccolo. 4 Esempio 2.9 Determinare in quali punti (nel rispettivo dominio di definizione) le parametrizzazioni dell esercizio 8.1(ii)&(iii), 8.5 degli insiemi B 1, B 2 ed E sono regolari. Il Teorema Inverso del Dini assicura l esistenza di equazioni cartesiane per B 1, B 2 ed E? Tali equazioni esistono sì o no? Sono regolari ovunque? Daremo una dimostrazione dei due Teoremi 2.4&2.6 usando un risultato 5 di base visto nel corso di Analisi Matematica II, che supporremo acquisito: 4 Attenzione al fatto che F (U Q0 ) non è (in generale) un intorno di P 0 = F (Q 0 ) in F (D). Per es., nell esercizio 8.1(i), dove Q 0 = 0 R, P 0 = O R 2 ed F (D) = B 1 è una curva ad, se U Q0 è un intervallo piccolo contenente lo zero, l insieme F (U Q0 ) non è un intorno di P 0, in quanto (essendo F UQ0 continua e iniettiva) F (U Q0 ) contiene solo uno dei due rami della curva, vicino ad O. Ne segue che ciascuno dei due rami della curva B 1 vicino ad O ammette un equazione cartesiana regolare, ma l unione dei due rami non la ammette (poiché T O B 1 non è uno spazio vettoriale, cp. Proposizione 3.6 e discussione in 3.5(i)). 5 In realtà, in molti testi si dimostra prima il Teorema del Dini, e poi il Teorema della Funzione Inversa; i due teoremi sono in effetti equivalenti. 5

Teorema della Funzione Inversa 2.10 Sia D dominio, e F : D R k R k un applicazione con F (Q 0 ) = P 0 tale che (i) F è di classe C k (con k 1); (ii) F è regolare in P 0, cioè det(df ) P0 0. Allora, esistono intorni U Q0, V P0 di Q 0, P 0 R k tali che F UQ0 : U Q0 V P0 sia biiettiva e con inversa di classe C k. Dimostrazione del Teorema 2.4. Supponiamo, per semplicità di scrittura, che det( Gi P0 ) i=1,...,m j=1,...,m P 0 = (x 0 1,..., x 0 n). Consideriamo G : D R n R n definita come G(x 1,..., x n ) = (G 1 (x 1,..., x n ),..., G m (x 1,..., x n ), x m+1,..., x n ). 0, e sia Chiamiamo O l origine in R m, e Q 0 = G(P 0 ) = (O, x 0 m+1,..., x 0 n). Notiamo che G(S) O R d, dove d = n m. Per ipotesi det(d G) P0 = det( Gi P0 ) i=1,...,m j=1,...,m 0, dunque il Teorema della Funzione Inversa ci fornisce intorni U P0, V Q0 rispettivamente di P 0, Q 0 R n tali che G UP0 : U P0 V Q0 sia biiettiva e con inversa C k, denotata F. Poiché F inverte G su V Q0, essa è della forma: F (x 1,..., x n ) = ( F 1 (x 1,..., x n ),..., F m (x 1,..., x n ), x m+1,..., x n ). Pertanto, se U = V Q0 (O R d ), l applicazione F = F U : U R d S U P0 F (x m+1,..., x n ) = ( F 1 (O, x m+1,..., x n ),..., F m (O, x m+1,..., x n ), x m+1,..., x n ) è una parametrizzazione C k e biiettiva di S U P0, che è quindi un grafico C k rispetto alle d variabili x m+1,..., x n. Dimostrazione del Teorema 2.6. Supponiamo ancora, per semplicità di scrittura, che det( Fi Consideriamo F : D R d R d definita come F (x 1,..., x d ) = (F 1 (x 1,..., x d ),..., F d (x 1,..., x d )) Q0 ) i=1,...,d j=1,...,d 0. e sia Q 0 = F (P 0 ). Per ipotesi det(d F ) Q0 = det( Fi Q0 ) i=1,...,d j=1,...,d 0, dunque il Teorema della Funzione Inversa ci fornisce intorni U Q0, V P0 rispettivamente di P 0, Q 0 R d tali che F UQ0 : U Q0 V P0 sia biiettiva e con inversa C k, denotata F 1. Sia allora S = F (U Q0 ). Detta F = F F 1 : V P0 R d R n, si ha S = F (V P0 ) e (poiché F 1 inverte F su U Q0 ), la parametrizzazione F è della forma F (x 1,.., x d ) = (x 1,..., x d, F d+1(x 1,.., x d ),..., F n(x 1,.., x d )) sicché S è un grafico C k rispetto a x 1,..., x d. Pertanto S ha equazioni cartesiane: G 1 (x 1,..., x n ) = x d+1 F d+1 (x 1,.., x d ) = 0 G 2 (x 1,..., x n ) = x d+2 F d+2 (x 1,.., x d ) = 0 G m (x 1,..., x n ) = x n F n(x 1,.., x d ) = 0 e G = (G i ) è chiaramente regolare in P 0. 6

Dimostrazione del Corollario 2.7. Con le stesse notazione della dimostrazione precedente, si noti che F UQ0 è un omeomorfismo (per il Teorema delle Funzione Inversa) ed F anche (in quanto parametrizzazione-grafico, cf. Nota 3 in 1). Dunque F UQ0 = F F UQ0 è un omeomorfismo. 3 Spazio tangente Lo spazio tangente ad un sottoinsieme S R n in un suo punto P 0 è un approssimazione di S come un unione di rette vicino al punto scelto. La natura dello spazio tangente in un punto dà informazioni sul sottoinsieme S nell intorno di tale punto (per esempio permette di distinguere sottoinsiemi molto differenti tra loro) ed è uno strumento fondamentale in geometria algebrica e differenziale. Definizione 3.1 (Vettori tangenti) Sia S R n un sottoinsieme, e sia P 0 S. Un vettore unitario û R n si dice un versore tangente ad S in P 0 se esiste una P 0P n P 0P n = û. successione di punti P n S, P n P 0, tale che lim n Qualsiasi vettore del tipo u = λû si dirà allora un vettore tangente ad S in P 0. Lo spazio tangente ad S in P 0 è l insieme T P0 S = {u R n u vettore tangente ad S in P 0 } ed è anche detto il cono tangente ad S in P 0 (per quanto spiegato sotto in 3.3(i)). Il sottoinsieme T aff P 0 S = P 0 + T P0 S è detto cono affine tangente ad S in P 0. Esempio 3.2 (i) Se S = Q 2, allora T O S = R 2 [ 8.1(i)]. (ii) Se S = {(e t cos t, e t sin t) t R } {O} è una spirale logaritmica, allora T O S = R 2 [ 8.1(iii)]. (iii) Se C + = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 = z 2, z 0} è la falda superiore del cono C = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 = z 2 }, allora T O C + = C [ 8.1(iv)]. Le Proposizioni 3.3, 3.4, 3.6 che seguono aiutano a calcolare T P0 S in molti casi: Proposizione 3.3 Sia S R n e P 0 S: (i) T P0 S (rispettivamente T aff P 0 S) è un cono di vertice O (risp. di vertice P 0 ); (ii) se U S P 0 è un intorno di P 0 in S, si ha T P0 S = T P0 U S P 0 ; (iii) se S = S 1 S 2 e P 0 S 1 S 2, allora T P0 S = T P0 S 1 T P0 S 2. Dimostrazione. (i) Sia TP 1 0 S l insieme dei versori unitari tangenti a S in P 0. T P0 S è il cono di vertice O e base B = TP 1 0 S. Si noti inoltre che un cono traslato è un cono. (ii) Evidentemente T P0 UP S 0 T P0 S; poichè d altra parte ogni û TP 1 0 S è ottenuto da una successione di punti P n S tali che P n P 0, e ogni tale successione è contenuta definitivamente in UP S 0, vale anche l inclusione inversa. 7

(iii) Anche in questo caso si ha chiaramente T P0 S i T P0 S, dunque l inclusione T P0 S 1 T P0 S 2 T P0 S. D altra parte, se û TP 1 0 S è ottenuto da una successione di punti P n S tali che P n P 0, esiste una sottosuccessione P nk dei P n che è tutta contenuta in un S i, quindi û T P0 S i ; da cui l inclusione inversa. Proposizione 3.4 (Spazio tangente per parametrizzazioni regolari) (i) Sia F :D R d R n una parametrizzazione-grafico, P 0 = F (Q 0 ), S = F (D): allora T P0 S è uno spazio vettoriale di dimensione d uguale a Im(dF ) Q0 ; (ii) sia F :D R d R n una parametrizzazione qualsiasi regolare in P 0 = F (Q 0 ), ed S = F (U Q0 ): allora T P0 S è uno spazio vettoriale di dimensione d uguale a Im(dF ) Q0, purché U Q0 sia un intorno abbastanza piccolo di Q 0. Dimostrazione. (i) Mostriamo che Im(dF ) Q0 T P0 S. In effetti, sia v = (df ) q0 (û), dove possiamo supporre û = 1. Allora v = lim 0+t nu) F (Q 0) F (Q n t n, per qualsiasi successione t n 0. Detti Q n = Q 0 + t n u, si ha t n =, e dunque F (Q n ) F (Q 0 ) F (Q 0 )F (Q n ) v = lim = lim n n F (Q 0 )F (Q n ) F (Q 0)F (Q n ) Poiché F (Q n ) S e F (Q n ) F (Q 0 ) = P 0 (per la continuità di F ), il primo quoziente nel limite tende a un versore tangente ˆv T 1 P 0 S; dunque il secondo tende necessariamente a v, sicché (2) mostra che v T P0 S. Viceversa, sia ˆv T P0 S, che possiamo supporre unitario. Esistono allora punti P n = F (Q n ) S con P n P 0 tali che ˆv = lim n P 0 P n P 0 P n = lim n F (Q 0 )F (Q n ) F (Q 0 )F (Q n ) = lim n F (Q 0 )F (Q n ) (2) F (Q 0 )F (Q n ) Poiché F è almeno C 1, si ha F (Q n ) = F (Q 0 ) + (df ) Q0 ( Q 0 Q n ) + o(), dunque v = lim n (df ) Q0 ( Q 0 Q n ) + o() (df ) Q0 ( Q 0 Q n ) + o() Poiché P n = F (Q n ) P 0 = F (Q 0 ), si ha che Q n Q 0 e quindi i versori (3) Q 0Q n Q 0Q n tendono a un versore tangente û T Q0 D = R 2. Da (3) e dall ipotesi che F sia C 1 e regolare segue allora che (df ) Q0 (û) 0 e ˆv = (df ) Q 0 (û) (df ) Q0 (û) Im(dF ) Q 0. (ii) La dimostrazione è identica ad (i). L unica difficoltà supplementare è nel punto in cui si dice che se P n = F (Q n ) P 0 = F (Q 0 ) allora Q n Q 0. Ciò è evidente nel caso in cui F sia una parametrizzazione-grafico, mentre discende dalla continuità di F 1 in questo caso (si ricordi che il Corollario 2.7 assicura che F UQ0 è un omeomorfismo, se U Q0 è un intorno di Q 0 abbastanza piccolo). 8

Osservazioni 3.5 (Retta e piano tangente a curve/superfici regolari) (i) Sia C una curva regolare parametrizzata da F : D R R n, e P 0 = F (Q 0 ). La proposizione precedente assicura che esiste un intorno U Q0 = (Q 0 ɛ, Q 0 +ɛ) tale che T P0 F (U Q0 ) = Im(dF ) Q0 = F (Q 0 )R; da qui il nome di retta tangente per la retta passante per P 0 e avente vettore direzione F (Q 0 ). Ma attenzione: mentre per una curva-grafico C si ha sempre T P0 C = F (Q 0 )R, in generale per una curva regolare qualsiasi si ha solo T P0 C F (Q 0 )R: per esempio, nel caso della curva B 1 fatta ad dell Esercizio 8.1(ii), la proposizione precedente, insieme alla Proprietà 3.3(iii), mostra che T O B 1 è l unione delle due rette y = ±2x. (ii) Se S è una superficie regolare parametrizzata da F : D R 2 R n e P 0 = F (Q 0 ), allora T P0 F (U Q0 ) = Im(dF ) Q0 = Span{F x (Q 0 ), F y (Q 0 )}, da cui il nome di piano tangente per il piano passante per P 0 e avente questa giacitura. Ma mentre per una superficie-grafico S si ha T P0 S = Span{F x (Q 0 ), F y (Q 0 )}, per una superficie regolare qualsiasi si ha solo T P0 S Span{F x (Q 0 ), F y (Q 0 )}: di nuovo, nel caso della superficie S dell Esercizio 8.1(v) (un cilindro di base la curva ad ) la proposizione precedente, insieme alla Proprietà 3.3(iii), mostra che T O S è l unione dei due piani y = ±2x. Proposizione 3.6 (Spazio tangente per equazioni cartesiane regolari) Sia G = (G i ) : D R n R m regolare in P 0, con P 0 S = ker(g): allora T P0 S è uno spazio vettoriale di dimensione n m uguale a ker(dg) P0. Dimostrazione. Per il Teorema del Dini esiste un intorno VP S 0 di P 0 in S che è un grafico: esiste cioè una parametrizzazione-grafico F : U Q0 R d R n con d = n m, F (Q 0 ) = P 0 e F (U Q0 ) = V P0. Per le Proposizioni 3.3&3.4 sappiamo che T P0 S = T P0 V P0 = Im(dF ) Q0. Resta da vedere che Im(dF ) Q0 = ker(dg) P0. Ma poiché G(F (U Q0 )) = 0, differenziando si ottiene (dg) P0 (df ) Q0 = 0, quindi Im(dF ) Q0 ker(dg) P0. D altronde, poiché (df ) Q0 ha rango d e (dg) P0 ha rango m, gli spazi Im(dF ) Q0 e ker(dg) P0 hanno entrambi dimensione uguale a d, e pertanto coincidono. Nota 3.7 Nel caso di un insieme S definito da una equazione cartesiana regolare G(x 1,..., x n ) = 0 (per esempio una curva in R 2 o una superficie in R 3 ), dg = (G x1,..., G xn ) può essere identificato, in ogni punto, ad un vettore detto il gradiente di G, denotato grad(g). Allora T P0 S = ker(dg) P0 = grad P0 (G), ovvero: grad(g) è un vettore normale allo spazio tangente, in ogni punto di S. Esercizio 3.8 Per ogni insieme S degli Esercizi 7.3, 7.6, 7.7, 8.1(iv), 8.1(v): (i) trovare i punti P S in cui l equazione cartesiana è regolare; in tali punti, determinare un equazione cartesiana per T P S, ed un vettore normale a T P S; (ii) trovare i punti P S in cui l equazione cartesiana non è regolare; in tali punti, determinare comunque un equazione cartesiana per T P S, e dire se si tratta di uno spazio vettoriale. 9