2 Equazioni Cartesiane vs Parametrizzazioni

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1 Complementi ed Esercizi di Geometria Differenziale - A. Sambusetti 1 2 Equazioni Cartesiane vs Parametrizzazioni Il problema che tratteremo è il seguente, fondamentale in matematica: dato un sistema di equazioni del tipo G(X) = 0, dove X = (x 1,..., x n ) R n e G = (G i ) : D R n R m, e cioè: G 1 (x 1,..., x n ) = 0 G 2 (x 1,..., x n ) = 0 G m (x 1,..., x n ) = 0 le soluzioni S R n di tale sistema (se esistono) formano uno spazio di che dimensione? In funzione di quanti parametri possono esprimersi? Tale problema consiste quindi nel cercare di passare da equazioni cartesiane per un insieme S ad una parametrizzazione di S. Notiamo che tale problema è stato risolto nel corso di Algebra Lineare nel caso in cui le G i siano polinomi di primo grado, i.e. (1) sia un sistema lineare: Teorema 2.1 Sia G(X) = G 0 X + b = 0 un sistema lineare in X = (x 1,..., x n ), con G 0 M(m, n, R) e b R m. L insieme S delle soluzioni, se non vuoto, è un sottospazio affine di R n di dimensione d = n rk(g 0 ). Euristicamente, ciò vuol dire che da ogni equazione, che pone un vincolo su (x 1,..., x n ), possiamo ricavare un incognita x i, e dunque se le m equazioni sono indipendenti (cioè rk(g 0 ) = m) le soluzioni si esprimono in funzione di d = n m variabili libere. Reciprocamente, nel corso di Algebra lineare abbiamo visto: Teorema 2.2 Sia F = (F i ) : R d R n una parametrizzazione affine del tipo F (x 1,..., x d ) = P 0 + x 1 v x d v d = P 0 + F 0 X dove {v 1,..., v d } sono d vettori linearmente indipendenti (cioè rk(f 0 ) = d). Allora S = ImF è l insieme delle soluzioni di un sistema del tipo (1), costituito da m = n d equazioni polinomiali di grado 1 indipendenti. Osservazioni 2.3 (Equazioni cartesiane e parametrizzazioni C 0 ) (i) È facile convincersi che, nel caso in cui le equazioni cartesiane G i siano solo funzioni C 0, l insieme delle soluzioni S non ha una naturale dimensione deducibile da n, m. Si pensi al seguente { esempio: detta 0 se r 1 f(r) = r 1 se r 1 sia S k : G k (x, y) = f( x 2 + y 2 ) k = 0. L insieme S k è una circonferenza per ogni k > 0, mentre S 0 è un cerchio, dunque un oggetto bi-dimensionale (nonostante sia definito da un equazione in due variabili). (ii) Analogo problema c è per le parametrizzazioni che sono solo C 0 : la curva di Peano ( è un esempio di parametrizzazione continua F : [0, 1] R 2 tale che S = Im(F ) è un quadrato pieno (dunque un oggetto bi-dimensionale, nonostante sia parametrizzato da una sola variabile). (1)

2 Complementi ed Esercizi di Geometria Differenziale - A. Sambusetti 2 Il Teorema 2.1 si generalizza a equazioni C k qualsiasi (con k 1) a meno di sostituire la condizione rk(g 0 ) = m con rk(dg) P0 = m, fornendo però solamente un enunciato locale : una garanzia, cioè, della possibilià di passare da equazioni cartesiane a parametrizzazioni in un intorno di un punto P 0 fissato: Teorema del Dini 2.4 Sia G = (G i ) : D R n R m n, sia S = Ker(G) e P 0 S. Supponiamo che: (i) G sia di classe C k (con k 1); (ii) l insieme di equazioni G i = 0 sia regolare in P 0, cioè rk(dg) P0 = m (diciamo, per semplicità, che det( Gi j=1,...,m 0) 1. Allora S è una sottovarietà-grafico C k intorno a P 0, di dimensione d = n m; esiste cioè un intorno UP S 0 di P 0 tale che UP S 0 = Im(F ) per una parametrizzazionegrafico di classe C k : F (x m+1,.., x n ) = (f 1 (x m+1,..., x n ),..., f m (x m+1,..., x n ), x m+1,..., x n ) Locuzioni equivalenti (che si usano spesso) sono: S è un grafico rispetto a (x m+1,..., x n ) vicino a P 0, oppure è possibile esplicitare (x 1,..., x m ) in funzione di (x m+1,..., x n ) su S vicino a P 0. Osservazioni 2.5 (i) nel caso G : D R 2 R (dunque d = 1), la condizione sufficiente per poter G esplicitare x i rispetto all altra variabile vicino a P 0 si riduce a: x i P0 0. Questa condizione, come vedremo nel Foglio 3, corrisponde geometricamente a chiedere che lo spazio tangente a C = ker(g) in P 0 sia una retta non parallela all asse x i. (ii) nel caso G : D R 3 R (dunque d = 2), la condizione sufficiente per poter G esplicitare x i rispetto alle altre variabili vicino a P 0 si riduce a: x i P0 0. Questa condizione, come vedremo nel Foglio 3, corrisponde geometricamente a chiedere che lo spazio tangente ad S = ker(g) in P 0 sia un piano non parallelo all asse x i. Corollario 2.6 Sia S = ker(g), con G = (G i ):D R n R m n di classe C k. Se G è regolare in ogni P S, S è una d-sottovarietà differenziabile (C k ) di R n, con d = n m. Esercizio 2.7 Si considerino le quadriche S dell Esercizio 1.8 (Foglio 1). Per ognuna di esse: (i) trovare tutti i punti vicino ai quali non è possibile esplicitare z in funzione di x, y su S; (ii) quali sono i punti in cui non è possibile esplicitare x in funzione di y, z? (iii) Interpretare questi risultati alla luce dell Osservazione 2.5(ii). 1 Le G i sono m, mentre le sono n m: quindi per fare una matrice m m, le G i devono esserci tutte, mentre delle bisogna selezionarne m, che per questo sono scritte in neretto.

3 Complementi ed Esercizi di Geometria Differenziale - A. Sambusetti 3 È naturale porsi anche il problema inverso: dato un insieme S R n definito come l immagine di una parametrizzazione F, è possibile realizzarlo come l insieme delle soluzioni di un sistema del tipo (1)? Ancora una volta, c è un analogo del Teorema 2.2 che fornisce una risposta positiva sotto simili ipotesi di regolarità per F, e sempre in un senso puramente locale, come descritto qui di seguito: Teorema inverso del Dini 2.8 Sia F = (F i ) : D R d n R n, S = ImF. Supponiamo che: (i) F sia di classe C k (con k 1); (ii) F sia regolare in Q 0, cioè rk(df ) Q0 = d (diciamo, per semplicità, che det( Fi j=1,...,d 0). Allora, esiste un intorno V Q0 R d di Q 0 tale che l insieme S Q0 = F (V Q0 ) S è un grafico rispetto a x 1,..., x d, ed è descritto da m = n d equazioni cartesiane regolari del tipo (1), con G = (G i ) di classe C k e rk(dg) P0 = m. Corollario 2.9 Sia S = ImF, con F = (F i ) : D R d n R n di classe C k. Se F è un embedding, allora S è una sottovarietà differenziabile. Dimostrazione del Corollario 2.9. Poiché F è un embedding, F : D S è un omeomorfismo. Per ogni P S, esiste allora un unico Q D con F (Q) = P ; inoltre, poiché F è regolare in Q, esiste un intorno V Q tale che S Q = F (U Q ) sia un grafico; ma poiché F è un omeomorfismo, S Q è aperto in S e contiene un intorno (rettangolare) di P in S. Dunque ogni P S ha un intorno che è una sottovarietà grafico. Note al Teorema Inverso del Dini 2.10 (i) Il Teorema inverso del Dini non afferma che S Q0 = F (V Q0 ) S è un intorno di P 0 in S, per V Q0 intorno di Q 0 abbastanza piccolo; (ii) Il Teorema non afferma che S = ImF ammette n d equazioni cartesiane (C k, regolari) vicino a P 0 =F (Q 0 ): ciò è vero solo per il sottoinsieme S Q0 =F (V Q0 ); (iii) Il Teorema non afferma che F stessa è una parametrizzazione-grafico, ma solo che S Q0 = F (V Q0 ) ammette una parametrizzazione-grafico F (in genere diversa da F ). La dimostrazione spiega come trovare tale F. Per capire bene questi fatti, consideriamo per esempio F : R R 2 data da F (t) = (sin t, sin 2t), parametrizzazione della curva di Lissajous. Notare che, posto Q 0 = 0 e P 0 = F (0) = O: L = ImF è una curva ad ; se U Q0 è un qualsiasi intervallo piccolo contenente lo zero, l insieme V Q0 = F (U Q0 ) non è un intorno di P 0 (in quanto V Q0 contiene solo uno dei due rami della curva, vicino ad O); per il Teorema inverso del Dini, ciascuno dei due rami della curva L vicino ad O ammette un equazione cartesiana regolare; però, l unione dei due rami non la ammette (questo seguirà dallo studio dello spazio tangente ad L in O: se la ammettesse, come vedremo nella Proposizione 3.6, lo spazio tangente T O L sarebbe uno spazio vettoriale, mentre qui non lo è); è chiaro inoltre che la parametrizzazione F di L, ristretta a qualsivoglia intervallino contenente 0, non è una parametrizzazione-grafico.

4 Complementi ed Esercizi di Geometria Differenziale - A. Sambusetti 4 Esercizio 2.11 Rispondere alle domande seguenti in ciascuno dei tre casi : S = {F (t) = (e t cos t, e t sin t) t R } (spirale logaritmica) C + = {F (t, ϑ) = (t cos ϑ, t sin ϑ, t) t 0, ϑ R } (semicono) E = {F (t, s) = (t cos s, t sin s, s) t, s R } (elicoide circolare) (i) in quali punti le parametrizzazioni non sono regolari; (ii) in quali punti non è possibile esplicitare x in funzione di y; (Rispondere alla luce dell Osservazione 2.5) (iii) il Teorema Inverso del Dini assicura l esistenza di equazioni cartesiane per S, C + ed E? (iv) gli insiemi S, C +, E ammettono un equazione cartesiana? Regolare ovunque? Daremo una dimostrazione dei due Teoremi 2.4&2.8 usando un risultato 2 di base visto nel corso di Analisi Matematica II, che supporremo acquisito: Teorema della Funzione Inversa 2.12 Sia D dominio, e F : D R k R k un applicazione con F (P 0 ) = Q 0 tale che (i) F è di classe C k (con k 1); (ii) F è regolare in P 0, cioè det(df ) P0 0. Allora, esistono intorni U P0, V Q0 di P 0, Q 0 R k tali che F UP0 : U P0 V Q0 sia biiettiva e con inversa di classe C k. Dimostrazione del Teorema 2.4. Supponiamo, per semplicità di scrittura, che det( Gi j=1,...,m P 0 = (x 0 1,..., x 0 n). Consideriamo G : D R n R n definita come G(x 1,..., x n ) = (G 1 (x 1,..., x n ),..., G m (x 1,..., x n ), x m+1,..., x n ). 0, e sia Chiamiamo O l origine in R m, e Q 0 = G(P 0 ) = (O, x 0 m+1,..., x 0 n). Notiamo che G(S) O R d, dove d = n m. Per ipotesi det(d G) P0 = det( Gi j=1,...,m 0, dunque il Teorema della Funzione Inversa ci fornisce intorni U P0, V Q0 rispettivamente di P 0, Q 0 R n tali che G UP0 : U P0 V Q0 sia biiettiva e con inversa C k, denotata F : V Q0 U P0. Poiché F inverte G su V Q0, essa è della forma: F (x 1,..., x n ) = ( F 1 (x 1,..., x n ),..., F m (x 1,..., x n ), x m+1,..., x n ). Pertanto, se V = V Q0 (O R d ), l applicazione F = F V : V R d S U P0 F (x m+1,..., x n ) = ( F 1 (O, x m+1,..., x n ),..., F m (O, x m+1,..., x n ), x m+1,..., x n ) è una parametrizzazione C k e biiettiva di S U P0, che è quindi un grafico C k rispetto alle d variabili x m+1,..., x n. 2 In realtà, in molti testi si dimostra prima il Teorema del Dini, e poi il Teorema della Funzione Inversa; i due teoremi sono in effetti equivalenti.

5 Complementi ed Esercizi di Geometria Differenziale - A. Sambusetti 5 Dimostrazione del Teorema 2.8. Supponiamo ancora, per semplicità di scrittura, che det( Fi Consideriamo F : D R d R d definita come F (x 1,..., x d ) = (F 1 (x 1,..., x d ),..., F d (x 1,..., x d )) j=1,...,d 0. e sia P 0 = F (Q 0 ). Per ipotesi det(d F ) Q0 = det( Fi j=1,...,d 0, dunque il Teorema della Funzione Inversa ci fornisce intorni V Q0, U P0 rispettivamente di Q 0, P 0 R d tali che F VQ0 : V Q0 U P0 sia biiettiva e con inversa C k, denotata G : U P0 V Q0. Sia allora S Q0 = F (V Q0 ). Detta F = F G : U P0 R d R n, si ha F (V Q0 ) = S Q0 e (poiché G inverte F su U P0 ), la parametrizzazione F è della forma F (x 1,.., x d ) = (x 1,..., x d, F d+1(x 1,.., x d ),..., F n(x 1,.., x d )) sicché S Q0 è un grafico C k rispetto a x 1,..., x d. Pertanto S Q0 ha equazioni cartesiane: G 1 (x 1,..., x n ) = x d+1 F d+1 (x 1,.., x d ) = 0 G 2 (x 1,..., x n ) = x d+2 F d+2 (x 1,.., x d ) = 0 G m (x 1,..., x n ) = x n F n(x 1,.., x d ) = 0 e G = (G i ) è chiaramente regolare in P 0.