Università di Salerno Corso di FONDAMENTI DI INFORMATICA Corso di Laurea Ingegneria Corso B Docente : Ing. Anno Accademico 2-2 Lezione 9 : Algebra di Boole e Codifica Binaria (p. ) Lunedì 29 Novembre 2
Il matematico inglese George Boole (85-64) fondò un campo della matematica e della filosofia chiamato logica simbolica. Il suo nome è rimasto legato ad un insieme di operatori che sono molto utili e molto presenti nel campo dell informatica (sia hardware che software) e che si chiamano operatori booleani. 2
Gli operatori booleani di base sono: AND OR NOT Essi vengono applicati a uno (nel caso del NOT) o due e più (nel caso di AND e OR) argomenti e ritornano dei valori di verità. 3
Sia B è un insieme formato da almeno 2 elementi, si dice algebra booleana avente S come supporto la struttura algebrica costituita da S, da due operazioni binarie su B, OR e AND, da un'operazione unaria NOT su B e da un elemento particolare di B che indichiamo con, i quali godono delle seguenti proprietà: 4
a,b B risulta a OR b = b OR a NOT( NOT(a)) = a a AND b = b AND a NOT (a OR b) = NOT(a) AND NOT(b) a AND = a OR = a Per ogni algebra booleana si definisce l'elemento come il complementare dello : = NOT(). Per esso si deducono le proprietà a B a OR = a AND = a ed in particolare AND = ; OR =. 5
6 Tabelle di verità: (VERO = o FALSO = ) a AND b b a a OR b b a NOT a a
Distributiva di uno verso l altro: a OR (b AND c) = (a OR b) AND (a OR c) a AND (b OR c) = (a AND b) OR (a AND c) Leggi di De Morgan: a AND b = NOT ((NOT a) OR (NOT b)) a OR b = NOT ((NOT a) AND (NOT b)) 7
Regole di precedenza: NOT ha la massima precedenza poi segue AND infine OR Se si vogliono alterare queste precedenze vanno usate le parentesi (a volte usate solo per maggior chiarezza) Per valutare un espressione booleana si usa la tabella di verità Due espressioni booleane sono uguali se e solo se le tabelle della verità sono identiche 8
9 Vediamo un esempio, per l espressione: D = A AND NOT (B OR C) D = A AND NOT (B OR C) C B A
Se conosco la tabella della verità, posso ricostruire la formula logica. Partiamo dalla tabella: A B C NOT A AND B A AND NOT B A AND B C = (NOT A AND B) OR (A AND NOT B) OR (A AND B)
Caratteristiche generali numeri naturali (,2,3,...) + lo zero rappresentabili con diverse notazioni non posizionali (esempio: notazione romana: I, II, III, IV, V,... IX, X, XI...) posizionale (notazione araba):, 2,...,,,...,,... caratteristiche le notazioni non posizionali hanno regole proprie e rendono molto complessa l'esecuzione dei calcoli la notazione posizionale, invece, consente di rappresentare i numeri in modo compatto, e rende semplice l'effettuazione dei calcoli
Notazione posizionale concetto di base di rappresentazione, B rappresentazione del numero come sequenza di simboli, detti cifre appartenenti a un alfabeto composto di B simboli distinti in cui ogni simbolo rappresenta un valore fra e B- il valore di un numero v espresso in questa notazione è ricavabile a partire dal valore rappresentato da ogni simbolo pesato in base alla posizione che occupa nella sequenza 2
Valore di un numero (notazione posizionale) Formalmente, il valore di un numero v espresso in questa notazione è dato dalla formula: B è la base a i (i=,,2, i i ) sono le cifre (comprese fra e B-) QUINDI, una sequenza di cifre non è interpretabile se non si precisa la base in cui è espressa. Esempi i 3
Osservazioni ogni numero è esprimibile in modo univoco in una qualunque base; in particolare: base B=2 due sole cifre: e base B=8 otto cifre:,, 2, 3, 4, 5, 6, 7 base B= dieci cifre:,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 base B=6 sedici cifre:,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Il problema della Conversione di Rappresentazione Ogni numero è espresso, in una base data, da una ben precisa sequenza di cifre Dalla definizione di notazione posizionale segue che, data una rappresentazione sotto forma di sequenza di cifre e una base, il numero corrispondente si può ricavare applicando la formula già vista: i i ma come si ricava la rappresentazione di un dato numero, sotto forma di sequenza di cifre, in una base assegnata? i 4
5