ANALISI MATEMATICA 3 a prova parziale del 03-04-2017 Regole di comportamento: Il tempo a disposizione per la prova parziale è di un'ora e trenta minuti. Dotarsi esclusivamente di penna nera o blu, matita e righello. Qualsiasi altro materiale non è consentito. Nei fogli consegnati al docente non devono essere presenti testo scritto e graci disegnati a matita. La versione di brutta non deve essere consegnata. Ricordarsi di scrivere nome, cognome e matricola in ogni foglio consegnato. Il testo dell'esame (con nome e cognome) deve essere consegnato al termine della prova (esso sarà reso disponibile via MyLIUC nei giorni successivi al parziale). Conoscere: Informazioni utili alla preparazione della prova parziale: 1. La denizione di vettore e matrice, per quanto riguarda le matrici ricordarsi la denizione di matrice quadrata e non quadrata, matrice simmetrica, diagonale superiore/inferiore, diagonale, identità, singolare e non singolare; 2. Le operazioni fondamentali con vettori e matrici: somma, prodotto scalare, matrice trasposta, prodotto matrice per vettore, moltiplicazione matrice per matrice (ricordarsi la denizione di matrici conformabili rispetto alla moltiplicazione); 3. La denizione di versore, vettori ortogonali e ortonormali; 4. Il modulo di un vettore; 5. La denizione di vettori linearmente indipendenti e linearmente dipendenti. Saper inoltre vericare tramite denizione se due, o più in generale n, vettori sono tra loro linearmente indipendenti; 6. Lo spazio vettoriale R n. La denizione di spazio e sottospazio vettoriale e saper riconoscere quando un insieme di vettori costituisce uno spazio (oppure un sottospazio) vettoriale; 7. La denizione di insieme generatore, base, base ortonormale e base canonica di uno spazio/sottospazio vettoriale; 8. Le denizioni e saper calcolare: il minore di ordine k min (m, n) di una matrice m n, il minore principale, il minore complementare e la matrice dei complementi algebrici; 9. La denizione, il signicato geometrico e saper calcolare il determinante di una matrice quadrata. 10. Le proprietà del determinante; 11. La denizione, il signicato e saper calcolare il rango di una generica matrice n m, Saper inoltre vericare la dipendenza/indipendenza di una insieme di vettori tramite calcolo del rango (o eventualmente determinate); 12. Matrice inversa; 13. I sistemi lineari quadrati e rettangolari; 14. La denizione di sistema di Cramer e saper calcolarne la soluzione. 15. La denizione di sistema lineare determinato, indeterminato e impossibile (o incompatibile); 16. La denizione di sistema lineare omogeneo associato ad un sistema lineare non-omogeneo; 17. La denizione di trasformazione (funzione) lineare; 18. Il nucleo (kernel) e l'immagine di una trasformazione lineare. Saper inoltre calcolare la dimensione di tali spazi vettoriali e saper rappresentarli come insieme di vettori; 19. Le denizioni di trasformazione lineare iniettiva, suriettiva e biettiva; 20. Autovalori e autovettori. E' inoltre fondamentale saperli calcolare; 21. Le denizioni e sapere determinare la molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Conoscere inoltre la denizione e saper determinare l'autospazio associato ad un autovalore. 22. La denizione e saper calcolare la traccia di una matrice; 23. Le denizioni e saper calcolare lo spettro di una matrice e di raggio spettrale di un matrice; 24. La base spettrale di una trasformazione lineare; 25. La denizione di matrici simili, matrice diagonalizzabile, matrici ortogonali 1
Conoscere gli enunciati dei seguenti teoremi e dove presente la le relative dimostrazioni le quali possono essere oggetto d'esame (esse, come fatte in aula, sono riportate in questo le): 1. Teorema di Binet. 2. Teorema di Laplace. 3. Teorema di Cramer. 4. Teorema della matrice inversa. 5. Teorema di Kronecker (o dei minori orlati o semplicemente degli orlati). 6. Teorema di Rouché-Capelli. 7. Teorema soluzione generale di un sistema non-omogeneo: soluzioni dell'omogeneo + soluzione particolare. 8. Teorema di rappresentazione delle trasformazioni lineari. 9. Teorema della dimensione. 10. Corollario del Teorema della dimensione e del Teorema di rappresentazione delle trasformazioni lineari 11. Teorema spettrale. E' necessario ricordare i seguenti argomenti relativi alla prima parte: 1. calcolo dei limite, in particolare i limiti notevoli. 2. Proprietà del simbolo di o piccolo e asintotico. 3. Studio di funzione: campo di esistenza, segno, intersezione con l'asse delle ascisse (ricerca degli zeri) e l'asse delle ordinate, calcolo degli asintoti. Ricordasi di utilizzare le proprietà delle funzioni pari e di quelle dispari!!! Questo le contiene delle linee guida per lo studio dell'algebra lineare. Il Terzo parziale include anche il calcolo integrale per il quale si deve far riferimento al le del Prof. De Tullio. Riferimenti. Studiare 1. I capitoli 2 (tutto tranne sezione 2.2) e 6 del libro Matematica: Calcolo Innitesimale e Algegra Lineare di Bramanti, Pagani e Salsa. 2. I capitoli 8 e 9 del libro Analisi Matematica 1 e Algebra Lineare di Boella. 3. Il materiale disponibile nel MyLIUC e gli appunti delle lezioni. 2
Alcuni dei teoremi enunciati e dimostrati a lezione Teorema (di Binet). Siano A e B due matrici n n, allora det (AB) = det (A) det (B). Teorema (di Cramer). Dato il sistema Ax = b con A matrice n n, b R n vettore dei termini noti (assegnato) e x R n vettore delle incognite. Se det (A) 0 il sistema ha una e una sola soluzione (e si dice determinato) data da: x = A 1 b (x) i = det (B i) det (A) dove B i è la matrice ottenuta sostituendo la i-esima colonna di A con il vettore dei termini noti. Teorema (di Kronecker). Condizione necessaria e suciente anché una matrice abbia rango k è che esista un minore di ordine k diverso da zero e siano tutti nulli i minori di ordine k + 1 ottenuti da quello orlando con una qualunque altra riga o colonna. Teorema (di Rouché-Capelli). Condizione necessaria e suciente anché il sistema di m equazioni in n incognite Ax = b abbia soluzione è che rango (A) = rango (A b). Teorema (soluzione generale di un sistema non-omogeneo: soluzioni dell'omogeneo + soluzione particolare ). Se Ax = b, con b 0, sistema di m equazioni in n incognite, ammette una soluzione x 1, le soluzioni del sistema sono i vettori in R n del tipo x 1 + x 0 con Ax 0 = 0 Pertanto il sistema non omogeneo ha n r soluzioni con r = rango (A). Dimostrazione (soluzione generale di un sistema non-omogeneo: soluzioni dell'omogeneo + soluzione particolare). Dobbiamo prima dimostrare che x 1 + x 0, con Ax 1 = b e Ax 0 = 0, sia eettivamente una soluzione del sistema Ax = b e poi dobbiamo dimostrare che per ogni vettore x 2 soluzione del sistema Ax = b, si ha che x 2 = x 1 + x 0. Partiamo dimostrando che x 1 + x 0 è soluzione del sistema Ax = b. In particolare, A (x 1 + x 0 ) = Ax 1 + Ax 0 = b + 0 = b dove la prima uguaglianza segue dalla proprietà distributiva della moltiplicazione matriciale rispetto all'addizione di vettori, la seconda dalla denizione di x 1 e x 0. Abbiamo quindi dimostrato il primo punto. Per dimostrare che ogni vettore soluzione x 2 si può esprimere come x 2 = x 1 +x 0, basta vericare che x 2 x 1 sia soluzione del sistema omogeneo Ax = 0. A tal ne abbiamo che: A (x 1 x 2 ) = Ax 1 Ax 2 = b b = 0 dove la prima uguaglianza segue dalla proprietà distributiva della moltiplicazione matriciale rispetto all'addizione di vettori, mentre la seconda dall'aver ipotizzato x 1 e x 2 entrambi soluzione del sistema Ax = b. Segue che x 2 x 1 è un vettore soluzione del sistema omogeneo Ax 0 = 0 come volevasi dimostrare. La tesi del teorema segue. 3
Teorema (di rappresentazione delle trasformazioni lineari). Per ogni trasformazione lineare f : R n R m, considerando le basi canoniche di R n e R m esiste un'unica matrice A di dimensione n m (detta anche matrice di rappresentazione della trasformazione lineare f rispetto alle basi canoniche di R n e R m ) denita come segue A := [ f ( e 1), f ( e 2),..., f (e n ) ] dove e 1, e 2,..., e n sono i vettori della base canonica di R n, tale che la trasformazione lineare può essere scritta nella forma f (x) = Ax, x R n. Dimostrazione (Teorema di rappresentazione delle trasformazioni lineari ). Se esiste una matrice A := [ a 1, a 2,..., a n] per cui f (x) = Ax, x R n, deve essere f ( e i) = Ae i i = 1,..., n. Notano che Ae i = a i si ha che se A esiste, i vettori colonna che la compongono non possono essere altro che f ( e i), ossia a i = f ( e i), i = 1, 2,..., n. Abbiamo dimostrato l'unicità di A. Verichiamo ora che Ax =f (x), x R n. Se x = [x 1, x 2,..., x n ], da x = x 1 e 1 + x 2 e 2 +... + x n e n, segue, sfruttando la proprietà di linearità di f, che Ax = A ( x 1 e 1 + x 2 e 2 +... + x n e n) = x 1 Ae 1 + x 2 Ae 2 +... + x n Ae n = x 1 a 1 + x 2 a 2 +... + x n a n = x 1 f ( e 1) + x 2 f ( e 2) +... + x n f (e n ) = f ( x 1 e 1 + x 2 e 2 +... + x n e n) = f (x) Abbiamo dimostrato che la trasformazione lineare può essere scritta nella forma f (x) = Ax e quindi A rappresenta la suddetta trasformazione lineare. Il Teorema è dimostrato. Teorema (della dimensione (in alcuni testi noto anche come teorema del rango o di nullità più rango) ). Sia f : R n R m una trasformazione (funzione) lineare. Allora dim (kernel (f)) + dim (Im (f)) = dim (R n ) Dimostrazione (Teorema della dimensione). Per il teorema di rappresentazione delle trasformazioni lineari sappiamo che esiste una matrice A di dimensioni m n tale che f (x) = Ax. Segue che Im (f) è l'insieme di tutti i possibili vettori combinazione lineare dei vettori colonna di A = [ a 1, a 2,..., a n], ossia Im (f) = span { a 1, a 2,..., a n}. Segue che dim (Im (f)) = rango (A), ossia il massimo numero di vettori colonna tra loro linearmente indipendenti che posso estrarre dai vettori colonna di A. Inoltre, per denizione di nucleo, o kernel, abbiamo che kernel (f) = {x f (x) = 0}. Notiamo che f (x) = 0 equivale a Ax = 0, da cui segue che il kernel è l'insieme soluzione di un sistema lineare omogeneo il quale sappiamo essere un sottospazio vettoriale di R n di dimensione n rango (A). Notando che dim (R n ) = n, il teorema è dimostrato. Corollario (del Teorema della dimensione e del Teorema di rappresentazione delle trasformazioni lineari ). Sia f : R n R m un trasformazione lineare: [1] Il nucleo di f, ossia kernel (f), è un sottospazio vettoriale del dominio R n [2] L'immagine di f, ossia Im (f), è un sottospazio vettoriale del codominio R m ; [3] Sia A la matrice di rappresentazione della trasformazione lineare f, allora dim (Im (f)) = rango (A) e dim (kernel (f)) = n rango (A) 4
Teorema (spettrale). Sia A la matrice di rappresentazione della trasformazione lineare f : R n R n (relativamente alla base canonica). Siano λ 1,..., λ h gli autovalori distinti di f (di A) e U λ1,..., U λh i relativi autospazi. Allora le seguenti aermazioni sono equivalenti: 1 R n ammette una base spettrale relativa a f; 2 A è diagonalizzabile; 3 h i=1 mg (λ i) = n; 4 R n = U λ1,..., U λh ; 5