Laurea in Matematica Esercitazioni di Geometria - 9 gennaio 014 1. Una cubica irriducibile del piano proiettivo P C) priva di punti singolari possiede a) non più di tre flessi; b) più di tre flessi ma non più di sei; c) più di sei flessi ma non più di nove; d) più di nove flessi. Soluzione. Sappiamo che possono essere scelte coordinate [X 0 : X 1 : X ] in modo che una cubica irriducibile Γ di P C) abbia un flesso P di coordinate [0 : 0 : 1] con tangente VX 0 ) ed i restanti punti di coordinate [1 : x : y] soddisfacenti l equazione y = xx 1)x c) per qualche numero complesso c distinto da 0 e 1, cioè Γ = VF ) con F X = X 1 X 1 X 0 )X 1 cx 0 ) X 0 X, ove si ponga X = X 0, X 1, X ). Poiché X 0 X = cx 0 X 1 1 + c)x1 X ; X 1 X = cx0 c + 1)X 0 X 1 + 3X X X = X 0 X ; la curva hessiana VH F ), che interseca Γ precisamente nei suoi punti di flesso 1, è definita dal polinomio ) cx 1 cx 0 1 + c)x 1 X H F X = det F X i X j X = det cx 0 1 + c)x 1 6X 1 c + 1)X 0 0 X 0 X 0 = 8 ) c X0 3 cc + 1)X0 X 1 + c c + 1)X 0X1 + c + 1)X 0X 3X 1X. Poiché P è l unico punto di Γ giacente su VX 0 ), i flessi di Γ diversi da P devono ricercarsi tra i punti della cubica affine d equazione H F 1, x, y) = 0, cioè sono quelli le cui coordinate x, y) risolvono il sistema d equazioni { fx, y) := F 1, x, y) = 0; hx, y) := 1 8 H 1) F 1, x, y) = 0. 1 ; ovvero il sistema { cx 1 + c)x + x 3 y = 0; c cc + 1)x + c c + 1)x + c + 1)y 3xy = 0. ) La risultante di f ed h rispetto a y è il polinomio R C[x] dato dal determinante della matrice cx 1 + c)x + x 3 0 c cc + 1)x + c c + 1)x 0 0 cx 1 + c)x + x 3 0 c cc + 1)x + c c + 1)x 1 0 c + 1 3x 0, 0 1 0 c + 1 3x 1 ricordiamo che stiamo supponendo Γ priva di singolarità. 1
ovvero, sviluppando secondo la prima riga, Rx) = cx 1 + c)x + x 3) cx 1 + c)x + x 3 0 c cc + 1)x + c c + 1)x 0 c + 1 3x 0 + 1 0 c + 1 3x c cc + 1)x + c c + 1)x ) 0 cx 1 + c)x + x 3 c cc + 1)x + c c + 1)x 1 0 0 0 1 c + 1 3x = cx 1 + c)x + x 3) c + 1 3x) + cx 1 + c)x + x 3) c cc + 1)x + c c + 1)x ) c + 1 3x)+ c cc + 1)x + c c + 1)x ) = 3x 4 + 4c + 1)x 3 3cx c + 1) x + c c + 1)x + c ) = 3x 4 4c + 1)x 3 + 6cx c ). La teoria ci dice che per ogni radice ξ di R i polinomi fξ, y) e hξ, y) di C[y] condividono una radice η, cioè abbiamo una soluzione x, y) = ξ, η) del sistema d equazioni 1), quindi un flesso di Γ di coordinate [1 : ξ : η]. Abbiamo così che il numero di flessi di Γ distinti da [0 : 0 : 1] è pari al doppio del numero di radici distinte di R, ove si tenga conto che se ξ, η) risolve il sistema d equazioni ) anche ξ, η) lo risolve. Rimane così da stabilire quante radici distinte ha R. Il discriminante g) di un polinomio g in una indeterminata è, per definizione, la risultante di g e del suo polinomio derivata g 3 : tale risultante è 0 esattamente quando g e g non condividono alcuna radice, ovvero se e solamente se g non ha radici multiple. Per gx) = 3x 4 4c + 1)x 3 + 6cx c si ha g x) = 1 x 3 c + 1)x + cx ) e quindi g) = det = c 4 c 1) 4. c 0 0 0 0 0 0 0 c 0 c 0 0 0 6c 0 c c 1 c 0 0 4c 4 6c 0 1 c 1 c 0 3 4c 4 6c 0 1 c 1 c 0 3 4c 4 0 0 1 c 1 0 0 3 0 0 0 1 Poiché c è distinto da 0 e 1, deduciamo che g) 0 e conseguentemente g ha 4 radici semplici: essendo Rx) = gx), R ha 4 radici distinte ciascuna di molteplicità. Si può concludere così che Γ ha un totale di 4 + 1 flessi 4.. Nel piano proiettivo di coordinate complesse [X : Y : Z] si consideri la cubica Γ := VX 3 + Y 3 Z 3 ) e la famiglia di cubiche C a := VY Z X 3 + az 3 ) ottenute al variare di a in C. Si osservi che [0 : 0 : 1], [1 : ξ : η] e [1 : ξ : η] sono allineati sulla retta VξX 0 X 1 ). 3 Si osservi che se g ha grado, sia gx) = ax + bx + c con a 0, allora g x) ax + b e g) = det b a b = 4ac ab a 0 a e si ha g) = 0 b 4ac = 0. 4 Poiché il flesso P è stato scelto del tutto arbitrariamente tra i flessi di Γ, dalla discussione fatta segue che se una retta contiene due flessi di Γ allora ne contiene esattamente un terzo cfr. nota a piè di pagina) cosicché i 9 flessi di Γ si distribuiscono a tre a tre su tre rette.
Γ è proiettivamente equivalente a) a nessuna delle cubiche C a ; b) ad esattamente una delle cubiche C a ; c) ad esattamente tre delle cubiche C a ; d) a ciascuna delle cubiche C a. Soluzione: Si controlla a vista che tutte le cubiche date sono prive di singolarità per cui l equivalenza proiettiva è stabilita dal modulo delle tangenti condotte da un punto di flesso. Denotata con ξ una radice cubica primitiva di 1, le tangenti a C a che si possono condurre dal suo punto di flesso [0 : 1 : 0] sono le rette VZ), V X 3 az ), V X ξ 3 az ) e V X ξ 3 az ) il cui birapporto è quello dei punti [1 : 0 : 0], [ 3 a : 0 : 1], [ξ 3 a : 0 : 1], [ξ 3 1 a : 0 : 1]: tale birapporto è 1+ξ indipendentemente dal valore del parametro complesso a. Occorre quindi controllare qual è il modulo delle tangenti a Γ condotte da un suo punto di flesso. L hessiana di Γ è la cubica VXYZ) per cui i flessi di Γ sono precisamente i punti [0 : 1 : ξ k ], [ξ k : 0 : 1], [1 : ξ k : 0], k = 0, 1,. Scegliamo uno di questi flessi, per esempio P := [0 : 1 : 1]. La generica retta per P è R [λ: µ] := VλX µy + µz) ottenuta al variare di [λ : µ] in P 1 C). Poiché R [1: 0] interseca Γ in tre punti distinti, precisamente nei punti [0 : 1 : 1], [0 : 1 : ξ], [0 : 1 : ξ ], le tangenti sono da ricercare tra le rette R [λ: 1]. L intersezione R [λ: 1] Γ consiste dei punti di coordinate [X : λx + Z : Z] con [X : Z] soddisfacente l equazione proiettiva X 3 + λ 3 X 3 + 3λ X Z + 3λXZ = 0. L equazione dà come soluzioni [0 : 1], che corrisponde a P, e [1 : z] con z radice del polinomio 1 + λ 3 + 3λ z + 3λz il cui discriminante si annulla per λ = 0 e λ = ξ k 3 4. Pertanto le tangenti per P sono le rette R [0: 1], R [ 3 4: 1], R [ ξ 3 4: 1], R [ ξ 3 ξ 4: 1] il cui birapporto è 1+ξ. Poiché ξ 1+ξ = 1 1 1+ξ, ξ 1 1+ξ individua lo stesso modulo individuato da 1+ξ. 3. Sia C la cubica irriducibile d equazione i+j+k=3 a ijkx i 0X j 1 Xk = 0 del piano proiettivo di coordinate complesse [X 0 : X 1 : X ]. Le condizioni a 300 = a 10 + a 01 = a 111 + a 10 + a 10 = 0 a) garantiscono che il punto di coordinate [1 : 0 : 0] è un punto di flesso di C con tangente VX 1 X ); b) garantiscono che il punto di coordinate [1 : 0 : 0] è una cuspide di C con tangente principale VX 1 X ); c) garantiscono che il punto di coordinate [1 : 0 : 0] è un nodo di C con VX 1 X ) una delle tangenti principali; d) non garantiscono nessuna delle condizioni precedenti. 3
Soluzione: Le coordinate dei punti dell intersezione C VX 1 X ) si ottengono determinando le soluzioni in P 1 C) dell equazione in X 0, X 1 a ijk X0X i j+k 1 = 0, i+j+k=3 equazione che le condizioni poste riducono nella forma j+k=3 a 0jkX j+k 1 = 0. Questa equazione dà solo la soluzione proiettiva [1 : 0 : 0] con molteplicità 3: dunque le condizioni poste sui coefficienti a ijk garantiscono solo che la retta VX 1 X ) interseca C esclusivamente in [1 : 0 : 0] con molteplicità 3, ma ciò non è sufficiente a distinguere se [1 : 0 : 0] è un punto di flesso o un punto singolare. 4. Nel piano proiettivo di coordinate complesse [X : Y : Z] sia Γ una cubica irriducibile avente un flesso nel punto [0 : 0 : 1] con tangente passante per [1 : 0 : ]. Tra le seguenti condizioni: a) F 1, 0, 1) = 0; b) F 1, 1, 0) = 0; c) X 0, 1, 0) = Y 0, 1, 0) = Z 0, 1, 0) = 0; d) punti distinti [a i : b i : c i ] con a i + b i + c i = F a i, b i, c i ) = 0 per i = 1, ; soddisfatte da un dato polinomio omogeneo F C[X, Y, Z] di grado 3, individuare quella che garantisce che VF ) e Γ non hanno lo stesso sostegno. Soluzione: Le condizioni poste su Γ dicono che la retta R := VY ) è la tangente al punto di flesso [0 : 0 : 1] di Γ e, quindi, che tale punto è l unico che R può avere in comune con Γ: questo implica che VF ) Γ se F soddisfa la a). Le rimanenti condizioni b), c) e d) sono indipendenti dalle condizioni poste su Γ: per esempio, per F X, Y, Z) = Y Z X X + Y ) si ottiene una cubica VF ) avente un flesso nel punto [0 : 0 : 1] con tangente VY ) e che soddisfa le condizioni b) e c), ma anche la d) prendendo, per esempio, a 1 = 1, b 1 = 1, c 1 = 0 e a = 1+ 5, b = 1, c = 3+ 5. 5. Nel piano proiettivo di coordinate complesse [X : Y : Z] si consideri una cubica non singolare Γ := VF ), con F C[X, Y, Z] polinomio omogeneo di grado 3 tale che F X, Y, 0) = X 3, F 0, Y, Z) = Y Z ed F X, Y, ±X) = ±XY. Tra le seguenti rette i) VZ X); ii) VX + iz); iii) VX iz); quelle tangenti a Γ sono a) nessuna; b) esattamente una; c) esattamente due; d) tutte. Suggerimento: si osservi che il punto P := [0 : 1 : 0] giace sulle rette date, oltre che sulle rette VZ), VX), VX Z), VX + Z). ) Soluzione: L ipotesi F X, Y, 0) = X 3 garantisce che la retta VZ) interseca Γ in P := [0 : 1 : 0] con molteplità 3: tenuto conto che Γ è non singolare, ciò significa che VZ) è 4
tangente a Γ in P e che P è un punto di flesso di Γ. Inoltre, le condizioni F 0, Y, Z) = Y Z ed F X, Y, ±X) = ±XY equivalgono a richiedere che VX), VX Z) e VX +Z) siano rette passanti per P tangenti a Γ rispettivamente nei punti [0 : 0 : 1], [1 : 0 : 1] ed [1 : 0 : 1]). Tenuto conto che ciascuna delle rette i), ii) ed iii) passa per P e che le rette tangenti ad una cubica non singolare per un punto di flesso sono 4, possiamo concludere che nessuna delle rette i), ii) ed iii) può essere tangente a Γ. 6. Nel piano proiettivo di coordinate complesse [X : Y : Z] si consideri una cubica C avente singolarità nei punti P = [1 : 0 : 0], Q = [1 : 1 : 0] ed R = [1 : 1 : 1]. Individuare l affermazione falsa: a) T 1 = [1 : : 0] C; b) T = [ : 1 : 1] C; c) T 3 = [1 : 1 : ] C; d) una delle precedenti affermazioni è falsa. Soluzione: Le condizioni poste richiedono che C abbia sostegno nell unione delle rette P + Q = VZ), P + R = VY Z) e Q + R = VX Y ) e si ha T 1 P + Q, T P + R, T 3 Q + R. 5