N.1 Un cilindro di raggio R = 10 cm e massa M = 5 kg è posto su un piano orizzontale scabro (fig.1). In corrispondenza del centro del cilindro è scavata una sottilissima fenditura in modo tale da ridurre in quella zona il raggio al valore r = 6.6 cm; si supponga che questo fatto non alteri il momento d inerzia del cilindro. Al cilindro sono applicate le forze F 1 e F = 15.8 N, come mostrato in figura. Determinare il valore di F 1 affinché il cilindro resti in equilibrio.all istante t = 0 F 1 cessa di agire. Nell ipotesi che il cilindro rotoli senza strisciare determinare il valore della forza di attrito e il minimo valore di μ S che consente il puro rotolamento. N. Un asta di massa M = 1 Kg e lunghezza l = 1 m è inizialmente ferma su un piano orizzontale. Un punto materiale di massa m = 0.5 Kg in moto con una velocità v =1 m/s diretta perpendicolarmente all asta, urta l asta, rimanendovi attaccato, in un punto P distante a = 0.3 m dal suo centro (fig.). Determinare: 1) il moto del sistema dopo l urto; ) la velocità del centro di massa; 3) la velocità angolare del sistema; 4) la distanza a per la quale la velocità angolare risulta massima 5) l energia dissipata nell urto. (v CM = 4m/s, ω = 10.6 rad/s, a = 0.5 m, ΔE K = 17.8 J) fig.1 r R F F 1 B a P fig. F A m v N.3 Un asta di massa M=1 Kg e lunghezza R, libera di ruotare senza attrito attorno ad un asse fisso orizzontale, è connessa rigidamente ad un disco di massa M e raggio R=10 cm. Si imprime al disco un impulso J orizzontale passante per il centro del disco e il sistema asta + disco comincia a ruotare. Calcolare: 1) il momento di inerzia del sistema; ) la posizione del centro di massa del sistema; 3)il minimo valore di J che consente al sistema di compiere un giro completo. (I O = 0.11 Kg m, y CM = 0 cm, J = 4.4 N s)
N. 4 Una sfera di massa M = 10 Kg e raggio R è inizialmente ferma su un piano orizzontale scabro ( μ D =0.1). Un punto materiale di massa m = Kg, in moto con velocità v P = 4m/s diretta lungo la retta parallela al piano passante per il centro della sfera, urta la sfera, rimanendo conficcata nel suo centro (fig.3). Dopo l urto il sistema rotola e striscia e dopo un certo tempo t* incomincia a rotolare senza strisciare. Determinare: 1) la velocità v 0 del sistema subito dopo l urto; ) il tempo t*; 3) la velocità del CM quando comincia il moto di puro rotolamento; 4) il lavoro compiuto dalla forza di attrito. 5) Successivamente il moto prosegue su un piano inclinato liscio, raccordato al piano orizzontale con un arco di circonferenza liscio. Determinare la massima altezza raggiunta dal centro del disco, calcolata rispetto alla sua posizione iniziale. Specificare se il moto successivo sul piano orizzontale è di puro rotolamento. (t* = 1.0s, v 0 = 4m/s, v F = 3 m/ s, W A = 8.5J, h = 0.46m) v P fig.3 y x fig.4 N.5 Una molla di costante elastica k = 100 N/m è disposta su un piano scabro inclinato di un angolo α = 30 0 rispetto all' orizzontale e ha un estremo fissato ad una parete posta alla fine del piano inclinato (fig.4). L' altro estremo della molla è attaccato all' asse orizzontale passante per il centro di massa di un disco di massa m = 4 kg e raggio r. Il sistema è inizialmente tenuto fermo con la molla compressa di un tratto Δx = 0.6 m rispetto alla sua posizione di riposo. Lasciando libero il sistema, si vede che il disco rotola senza strisciare sul piano inclinato. Calcolare: 1) l' accelerazione del disco nell' istante iniziale; ) il valore minimo del coefficiente di attrito affinché il moto del disco sia sin dall' inizio di puro rotolamento. 3) Supponendo che la molla cessi di agire nell' istante in cui raggiunge la lunghezza di riposo, calcolare la velocità del disco in quell' istante. ( a CM = 6.7 m/s, F A = 13.5 N, μ SMIN = 0.4, v CM = 1.44 m/s) N.6 Un asta di massa m = kg e lunghezza L = 1 m può ruotare attorno ad un asse orizzontale passante per un suo estremo O. L asta, inizialmente ferma nella sua posizione di equilibrio, viene colpita con un impulso orizzontale J in un punto distante d = 3/4 L da O. Determinare il minimo valore dell impulso J che deve essere applicato all asta affinché essa compia un giro completo. Calcolare in tali condizioni, la velocità acquistata dal centro di massa dell asta, l impulso della reazione dell asse, la reazione vincolare dell asse nella posizione corrispondente a θ = 180. ( J MIN = 6.8 N s, v CM = 3.83 m/s, J A = 0.87N s,r =19.6N)
N.7 Un piccolo disco sottile di raggio r e massa m è incollato rigidamente alla faccia di un altro disco sottile di raggio R e massa M. Il centro del disco piccolo è posto sul bordo del disco grande. Il disco grande può ruotare in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale privo di attrito passante per il suo centro. L insieme viene ruotato di un piccolo angolo θ rispetto alla sua posizione di equilibrio e quindi lasciato libero ( fig. 5). Calcolare: 1) la posizione del centro di massa del sistema costituito dai due dischi; ) la velocità del centro di massa quando passa per la posizione di equilibrio; 3) il periodo delle piccole oscillazioni. mr 4( m + M) gy ( ) y CM =, CM 1 cosθ I v m + CM = y M CM, T = π mr + m + M R m + M gy ( ) ( ) CM N.8 Un' asta omogenea di massa M =1kg e di lunghezza L = 1 m può ruotare in un piano orizzontale attorno ad un asse verticale passante per il suo centro ed è inizialmente ferma. Un proiettile di massa m = 0. K g, in moto con velocità v = 1 m/s, urta elasticamente un estremo dell'asta (fig. 6). a) Calcolare la velocità angolare dell asta e la velocità v del proiettile immediatamente dopo l' urto; b) Supponendo che sull asse agisca un momento di attrito M A =.15 N m costante, calcolare il numero di giri compiuti dall'asta prima di fermarsi. ( ω = 18 rad/s, v = 3 m /s, n 1) O fig.5 m V fig.6 N.9 Una sfera di raggio R=50 cm e massa M=1 Kg è inizialmente ferma su un tavolo scabro. Ad un dato istante riceve un brusco colpo con una stecca tenuta orizzontalmente. La sfera è colpita in un punto distante h =10 cm dalla retta orizzontale che passa per il centro della sfera; l'impulso della forza applicata è J = 7 N s. (a) Determinare la velocità angolare acquistata dalla sfera e la velocità del suo centro di massa. (b) Determinare la velocità angolare della sfera quando raggiunge la condizione di puro rotolamento. (c) Per quale valore di h la condizione di puro rotolamento si verifica immediatamente dopo l'urto? (ω 0 = 7rad/s, v 0 = 7m/s, ω = 1 rad/s, h = 0. m)
N.10 Un asta di massa M= Kg e lunghezza L non vincolata è inizialmente ferma su un piano orizzontale privo di attrito. Un corpo puntiforme di massa m in moto con velocità v ortogonale all asta urta l asta elasticamente in un punto a distanza d=1/6 L dal suo centro. Si determini il valore di m per il quale il corpo rimane fermo dopo l urto. (m = 1.5 Kg) N.11 Un asta rigida ABC di massa m = 4 Kg è inizialmente in quiete su un piano orizzontale liscio. Essa è costituita da due parti AB e BC di uguale lunghezza L e masse una tripla dell altra. Gli estremi A e C vengono colpiti simultaneamente da due proiettili puntiformi di masse m 1 = 00 g ed m = 100 g con velocità v 1 e v orizzontali, perpendicolari all asta ed equiverse (fig.7). I due proiettili rimangono conficcati negli estremi dell asta. In seguito all urto il sistema trasla con velocità v = m/ s. Calcolare i moduli delle velocità v 1 e v e l energia dissipata nell urto. (v( 1 = 7.09 m/s, v = 31.8 m/s, ΔE K = 115 J) v fig.8 fig.7 A B C J v 1 v m 1 m N.1 Un asta di massa M=1 kg e lunghezza L = 1 m è libera di ruotare in un piano verticale attorno ad un asse fisso orizzontale passante per il suo centro, che presenta un momento di attrito costante M A. L asta è inizialmente ferma in posizione orizzontale (fig.8); un impulso verticale J = N s diretto verso il basso viene applicato nel suo estremo A, ponendola in rotazione. Quando l asta raggiunge la posizione verticale con velocità angolare ω = 10 rad/s, un punto materiale di massa m = 0.3 kg e velocità v = 10 m/s diretta orizzontalmente urta l asta nell estremo B, rimanendovi conficcato. Determinare: 1) la velocità angolare ω 0 acquistata inizialmente dall asta; ) il momento di attrito M A ; 3) il modulo e il verso della velocità angolare del sistema subito dopo l urto. (ω 0 = 1 rad/s, M A = 1.16 N m, ω F = 5 rad/s in verso orario ) N.13 Un disco omogeneo di massa M = 1.6 kg e raggio R = 1 cm, posto in un piano verticale, è libero di ruotare intorno ad un asse orizzontale, passante per il suo centro. Sul bordo del disco è fissata una sferetta di massa m pari ad un terzo di M. A t = 0 il sistema è fermo e la sferetta si trova nella posizione A (α = 30 ) indicata in figura 9. Lasciato libero il sistema, determinare: a) la velocità angolare ω del sistema quando la sferetta passa per la posizione di equilibrio stabile, b) il periodo delle piccole oscillazioni del sistema. Nell'ipotesi che agiscano forze di attrito sull'asse, determinare il momento dell'attrito necessario affinché il sistema non si muova. ( ω = 11.0 rad/s, T = 1.1s, M A = 0.94 N m) X A B
N.14 Un disco di massa M = 3 Kg e raggio R = 0 cm è sostenuto da un asta lunga L = 70 cm imperniata ad un estremo (fig.10) 1) La molla di torsione rappresentata in figura è inizialmente scollegata. Determinare il periodo delle piccole oscillazioni. ) La molla di torsione è ora collegata in modo che all equilibrio la sbarra si trovi in posizione verticale. Scrivere l equazione del moto del disco per piccole oscillazioni e determinare la costante di torsione della molla affinché il nuovo periodo di oscillazione sia 3/4 del precedente. d θ dt Mg( L + R) + k + θ = 0, k = 0.6 N m/ rad I N.15 Una molla di costante elastica K = 30 N/m è collegata tramite una staffa di massa trascurabile all asse di un cilindro di massa m e raggio R, mentre l altra estremità è fissata. Tutto il sistema è appoggiato in quiete su un piano orizzontale scabro con la molla allungata di L = 0.5 m dalla sua posizione di riposo (fig.11). Si sblocca la molla e il cilindro rotola senza strisciare. Determinare l energia cinetica di traslazione e di rotazione del cilindro, quando la molla raggiunge la posizione di riposo. Inoltre, scritte le equazioni del moto del cilindro, determinare l espressione della forza di attrito necessaria affinché esso rotoli senza strisciare e del periodo del moto armonico con cui si muove il suo centro di massa. d x k 1 E KT = 0.65 J, E KR = 0.31 J, + x = 0, F A = kx, dt 3 m 3 T = π 3m k α A fig.9 fig.10 L fig.11 L 0 X R N.16 Un' asta rigida di lunghezza L = 1 m e massa 3m è vincolata a muoversi in un piano verticale avendo un estremo incernierato ad un asse orizzontale liscio. L' asta è disposta verticalmente in posizione di equilibrio stabile ed una molla a spirale si oppone ad una sua eventuale rotazione, sviluppando un momento assiale M = kθ, dove θ è l' angolo tra l' asta e la verticale e k = 1 N m / rad. Una sferetta di massa m = 100 g colpisce normalmente l' asta nell' estremo libero con velocità v rimanendovi attaccata. Sapendo che l' angolo massimo di cui ruota l' asta è θ 0 = π/3, determinare: 1) il lavoro compiuto dalla forza peso e dal momento di torsione relativo alla rotazione del sistema di un angolo θ 0 ; ) la velocità angolare dei sistema subito dopo l' urto; 3) la velocità v della sferetta; 4) l' energia dissipata nell' urto.
(ω = 4.1 rad/ s, v = 8.4 m/s, ΔE K = 1.77 J) N.17 Un sistema rigido è formato da tre masse puntiformi m 1 = m = 1 Kg, m 3 = Kg disposte ai vertici di un triangolo equilatero mediante tre sbarre rigide di massa trascurabile e lunghezza L = 40cm. Il sistema è disposto in un piano verticale e può ruotare senza attrito intorno ad un asse orizzontale fisso passante per O (fig.1). 1)Determinare il momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione e la posizione del centro di massa nella configurazione della figura. Un proiettile di massa m =100 g e velocità v diretta lungo l'asse x colpisce il corpo di massa m 3 elasticamente. 3) Determinare il valore minimo di v affinché il sistema possa compiere una rotazione completa intorno ad O. 4) Se si verifica il caso determinare l'accelerazione del centro di massa e la reazione dell'asse nell'istante in cui il sistema passa per la posizione di equilibrio stabile (fig.10). ( I Z =0.64 Kg m, x CM = 0, y CM = 10 cm, v = 40.6 m / s, R= 49 N) m 1 Y m fig.1 O α X m v m 3