Rappresentazione dell Informazione
Gli strumenti di elaborazione e memorizzazione a cui un computer ha accesso hanno solo 2 stati Rappresentazione delle informazioni in codice binario: Caratteri, Naturali e Reali positivi, Interi, Razionali I computer hanno memoria finita L'insieme dei caratteri / numeri che si possono rappresentare è FINITO
Rappresentazione del testo Una stringa di bit per ogni simbolo (caratteri maiuscoli, caratteri minuscoli, cifre,...) ANSI (American National Standards Institute) ha adottato il codice ASCII (American Standard Code for Information Interchange): 7 bit per ogni simbolo + 0 come bit piu significativo =un byte
TABELLA ASCII (256 caratteri)
WIDE CHARACTERS Nel caso sia necessario rappresentare più caratteri, per esempio caratteri usati in lingue asiatiche, esiste la codifica UNICODE che associa 2 byte ad ogni carattere. In questo modo si possono rappresentare 65536 caratteri diversi
Rappresentare numeri Il codice ASCII e inefficiente: per rappresentare numeri con n cifre servono n byte Meglio usare metodi che sfruttano la notazione binaria (base 2) Base 2: solo le cifre 0 e 1 invece che 0, 1,..., 9 (base 10)
Rappresentazione decimale Base 10 cifre da 0 a 9 Sequenza di cifre decimali d k-1 d 1 d 0 numero intero d k-1 x 10 k-1 + d 1 x 10 + d 0 Esempio: 102 in base 10 e 1x100+0x10+2x1 In generale: j=0 k-1 d j 10 j
Rappresentazione binaria Base 2 cifre 0 e 1 Sequenza di cifre binarie d k-1 d 1 d 0 numero intero (stesso procedimento ma su base 2) j=0 k-1 d j 2 j Esempio: 0101101 2 = 1 2 5 + 1 2 3 + 1 2 2 + 1 2 0 = 32 + 8 + 4 + 1 = 45 10
Basi più usate DECIMALE (base 10) (134)10 = 1x102 + 3x101 + 4x100 BINARIA (base 2) (101)2 = 1x22 + 0x21 + 1x20 = (5)10 OTTALE (base 8) (647)8 = 6x82 + 4x81 + 7x80 = (423)10 ESADECIMALE (base 16) (123)16 = 1x162 + 2x161 + 3x160 = (291)10
Ottale ed esadecimale I numeri binari sono molto lunghi rispetto alla quantità di info che rappresentano Le rappresentazioni ottali e esadecimali sono versioni compatte di numeri binari: OTTALE (a tre a tre) (1 100 111 010)2 = (1472)8 ESADECIMALE (a quattro a quattro) (11 0011 1010)2 = (33A)16 N.B. Le cifre da 10 a 15 si rappresentano con le lettere A,,F
Rappresentazione binaria Valore minimo di una sequenza di n cifre binarie: 000 0 (n volte) = 0 10 Valore massimo: 1111 111 (n volte) = 2 n-1 + 2 n-2 + + 2 2 + 2 1 + 2 0 = 2 n 1 Esempio con n=3: 111 = 2 2 + 2 + 1 = 7 = 2 3-1 Da 0 a 8: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000
Una proprietà dei numeri binari 1001001= 73 100100 = 36 = 73/2 e questo è il resto Eliminare il bit più a destra corrisponde a dividere per 2 il valore, ed il bit eliminato è il resto
Trasformazione di un numero in base 10 a numero binario 125 125/2=62 resto 1 62/2=31 resto 0 31/2=15 resto 1 15/2=7 resto 1 7/2=3 resto 1 3/2=1 resto 1 1/2=0 resto 1 125 in binario è 1111101 rappresenta 62 Etc. rappresenta 31
Esercizio Scrivere la rappresentazione binaria dei numeri decimali: 30 36 15
Correzioni Scrivere la rappresentazione binaria dei numeri decimali: 30 11110 36 100100 15 1111
Esercizio Scrivere la rappresentazione decimale dei numeri binari: 1000 1010 01011 10111
Correzioni Scrivere la rappresentazione decimale dei numeri binari: 1000 8 1010 10 01011 11 10111 23
Rappresentazione degli interi Generalmente (dipende dalla macchina e dal contesto d'uso) un intero viene rappresentato in 4 byte = 32 bit Quindi si possono rappresentare 2^32 (circa 4 miliardi e 300 milioni) interi diversi Si potrebbero quindi rappresentare tutti gli interi non negativi nell'intervallo [0, 2^32-1] E i negativi?
Interi Negativi Vedremo tre tipi di codifica per i negativi 1. Bit e segno 2.Complemento a uno 3.Complemento a due
1) Bit e Segno Riserviamo il primo bit (quello più a sx per il segno (0 se positivo, 1 se negativo) I numeri non negativi rappresentabili sono quindi quelli rappresentabili con n-1 bit, cioè 2 n 1 Nell'intervallo [0, -1] Esempio (bit a disposizione 5) N=10100= - (0*2 3 +1*2 2 +0*2+0*1)= -4
1) Bit e segno Con tale decodifica non si può utilizzare il metodo di somma per colonna (es con 3 bit: 101 + 001=??) Ci sono due modi per rappresentare lo zero (es con 3 bit: 000 e 100)
1) Complemento a uno Primo bit riservato per il segno (0 se positivo, 1 se negativo) I numeri non negativi sono quelli rapprentabili utilizzando n-1 bit. Per rappresentare I negativi complementiamo la parte positiva a 2 n - 1
2) Complemento a uno Esempio utilizzando 6 bit rappresentiamo -20 2 n -1 = 63 1 1 1 1 1 1-20=2 2 +2 4 0 1 0 1 0 0 = -20 1 0 1 0 1 1 = (43 10 )
2) Complemento a uno Anche in questo caso due rappresentazioni per lo 0 Esempio utilizzando 6 bit 2 6-1 = 63 1 1 1 1 1 1-0 0 0 0 0 0 0 = - 0 1 1 1 1 1 1
3) Complemento a due Rappresentazione che permette di eseguire le operazioni in modo semplice Rappresentazione univoca dello zero
3) Complemento a due Primo bit per il segno (0 se positivo, 1 se negativo) I numeri non negativi rappresentabili sono quindi quelli rappresentabili con n-1 bit, cioè nell'intervallo [0,2 n-1-1] e ottenibili complementando il numero a (2 n ). Esempio con 6 bit: (2 n )=(2 6 )=64 1 0 0 0 0 0 0-20=2 2 +2 4 0 1 0 1 0 0 = -20 0 1 0 1 1 0 0 Bit di overflow che viene scaricato
3) Complemento a due Unica rappresentazione dello zero: Esempio con 6 bit: (2 n )=(2 6 )=64 1 0 0 0 0 0 0-0 0 0 0 0 0 0 0= -0 1 0 0 0 0 0 0 Bit di overflow che viene scaricato
3) Complemento a due Somma per colonna: (esempio con 6 bit) -1 10 1 1 1 1 1 1 + 1 10 0 0 0 0 0 1= 0 10 0 0 0 0 0 0
3)Complemento a due Consideriamo i valori posizionali (es con 6 bit) 000000 000001 011111 100000 100001 111111 0 1... 31 32 33... 63 se rappresento solo i positivi 0 1... 31-32 -31... -1 Se rappresento i positivi E i negativi in complemento A due
Complemento a due su 3 e 4 bit
Complemento a due Bit piu a sinistra: segno (0 per positivi, 1 per negativi) Confrontiamo k e k: da destra a sinistra, uguali fino al primo 1 incluso, poi una il complemento dell altra (inverto il bit e sommo 1) Esempio (4 bit): 2=0010, -2=1110
Complemento a due: decodifica Se bit di segno =0 positivo, altrimenti negativo Se positivo, basta leggere gli altri bit Se negativo, scrivere gli stessi bit da destra a sinistra fino al primo 1, poi complementare, e poi leggere Es.: 1010 e negativo, rappresenta 110 (6), quindi -6
Da k a -k
Notazione in complemento a 2 n bit per la notazione Nella realta n=32 Per comodita noi supponiamo n=4 Numeri positivi 0 si rappresenta con n zeri 0000 1 0001, 2 0010 e cosi come gia visto fino al massimo positivo rappresentabile 0111 7 Numeri negativi -1 si rappresenta con uni 1111-1 -2 -> 1110, -3 1101 fino al minimo negativo rappresentabile 1000-8 Gli interi rappresentabili [-2 n-1, 2 n-1-1] Nell esempio [-2 4-1,2 4-1 -1]=[-8,7]
Metodo alternativo: codifica e decodifica Intero positivo x complemento a due su n bit: se x 2 n-1-1 scrivo (x) 2, altrimenti non e rappresentabile Esempio: n=4, x=5, (5) 2 =0101, x=8>2 3-1=7 Intero negativo x complemento a due su n bit: se x -2 n-1 calcolo 2 n +(-x)=y e scrivo (y) 2 Esempio: n=4, x=-3 y=2 4-3=16-3=13 (13) 2 =1101 Compl. a due positivo (0 = bit + significativo) decimale: decodifica dal binario Esempio: n=4, 0111=(7) 2 Compl. a due negativo (1 = bit + significativo) decimale: decodifico dal binario a decimale, ottengo y e poi sottraggo y-2 n Esempio 1010 = (10) 2 10-16=-6
Somma in complemento a due Come normale Anche per sottrazione basta avere i circuiti per somma e complemento Es. (4 bit): 7-5 = 7 +(-5) = 0111 + 1011 = 0010 5 = 0101-5 = 1011 L eventuale n+1-simo bit generato a sinistra dal riporto deve essere troncato Esempio 0111+1011=10010 7-5 2
Esempi di somme
Sottrazione E' facile con la rappresentazione in complemento a due eseguire la sottrazione: Es 12-14= 12 + (-14) con 6 bit 14 = 001110-14= 1 1 0 0 1 0 + 12= 0 0 1 1 0 0= 1 1 1 1 1 0 = -2
Overflow Si sommano due numeri positivi tali che il risultato e maggiore del massimo numero positivo rappresentabile con i bit fissati (lo stesso per somma di due negativi) Si ha overflow se: Sommando due positivi si ottiene un numero che inizia per 1: 0101+0100=1001, 5+4=-7 Sommando due negativi viene un numero che inizia per 0: 1011+1100= (1)0111, -5+(-4)= 7 Nei computer c e overflow con valori superiori a 2.147.483.647= 2 31
Errore di overflow Si può dimostrare che una somma di due numeri di n cifre in complemento a 2 dà (errore di) overflow se e solo se i riporti in colonna n e n +1 sono diversi
Reali in notazione binaria b k-1 b k-2 b 2 b 1 b 0, b -1 b -2 b k-1 x 2 k-1 + b k-2 x 2 k-2 + + b 2 x 2 2 + b 1 x 2 + b 0 x 2 0 + b -1 x 2-1 + b -2 x 2-2 + Da decimale a binario: Per la parte intera, come sappiamo fare (metodo delle divisioni)
REALE--> BINARIO cosa significa una parte frazionaria binaria:.1101001 2-1 + 2-2 + 2-4 + 2-7
.1101001 2-1 2-2... moltiplicarlo per 2 significa spostare il punto di un posto a destra 1.101001 2 0 2-1...
Se abbiamo un valore decimale in base 10: 0.99 come troviamo la sua rappresentazione in base 2? Ragioniamo come segue: Supponiamo che.99 =.b b b...b (binario) 1 2 3 k Allora 2.99 = 1.98 = b 1.b 2 b 3...b k Quindi b 1 è 1 e.98 è rappresentato da.b 2 b 3...b k
Per trovare la rappresentazione binaria di un decimale lo moltiplichiamo per 2 ed osserviamo se 1 appare nella parte intera: rappresentazione binaria di.59.59 2= 1.18.18 2= 0.36.36 2= 0.72.72 2= 1.44.44 2= 0.88.88 2= 1.76....100101... dipende da quanti bit abbiamo
Esempio 18.59 18 10010 (metodo della divisione per 2).59.100101...(metodo della moltiplic. per 2) 10010.100101...
Esercizi Convertire i seguenti numeri binari in formato decimale: 11,01 101,111 10,1 Esprimere i seguenti valori in notazione binaria: 4.5 2.75 Eseguire le seguenti somme binarie: 1010,001+1,101 111,11+0,01
Correzione degli esercizi Convertire i seguenti numeri binari in formato decimale: 11,01 3 +1/4 = 13/4 = 3.25 101,111 5 + 7/8 = 47/8 = 5.87 10,1 2.5 Esprimere i seguenti valori in notazione binaria: 4.5 100,1 2.75 10,11 Eseguire le seguenti somme binarie: 1010,001 + 1,101 1011,110 111,11 + 0,01 1000,00
Esercizi (1) Da complemento a 2 a base 10: 00011, 01111, 11100, 11010, 00000, 10000 Da base 10 a complemento a 2 su 8 bit: 6, -6, 13, -1, 0 Numero piu grande e piu piccolo per la notazione in complemento a 2 su 4, 6, 8 bit
Correzioni (2) Da complemento a 2 a base 10: 00011 3, 01111 15, 11100-4, 11010-6, 00000 0, 10000-16 Da base 10 a complemento a 2 su 8 bit: 6, -6, 13, -1, 0 00000110, 11111010, 00001101, 11111110,00000000 Numero piu grande e piu piccolo per la notazione in complemento a 2 su 4, 6, 8 bit Numero piu piccolo -2 n-1 (n=6-2 5 = -32) Numero piu grande 2 n-1-1 (n=6 2 5-1 = 31)
Rappresentazione in virgola mobile Es 18,59= 1859 * 10-2 1,859* 10 1 0,1859* 10 2 In virgola mobile un numero ha più rappresentazioni possibili
Rappresentazione normalizzata Solitamente si usa la rappresentazione normalizzata in cui la parte intera ha un'unica cifra diversa da zero: es 1,859* 10 1
Analogamente per i binari: 101.01 = 101.01 2 0 = 10.101 2 1 = 1.0101 2 2 Rappresentazione normalizzata = 1010.1 2-1 = 10101 2-2 La rappresentazione in virgola mobile normalizzata ha sempre parte intera uguale a 1
Per registrare un numero reale x in memoria si adotta la rappresentazione binaria in virgola mobile normalizzata: x = s(+/-) 2 e 1.b -1 b -2 b -3 b -4 Naturalmente non e` possibile memorizzare la sequenza possibilmente infinita di bit della parte frazionaria ma si memorizzano soltanto i primi bit. Anche per l esponente si utilizzano un numero finito di bit. Generalmente per rappresentare un numero reale si usano 4 byte nel modo Seguente: +/- e 8 e 7 e 6 e 5 e 4 e 3 e 2 e 1 b -1 b -2 b -3 b -4 b -21 b -22 b -23 1 bit 8 bit 23 bit Segno Esponente Mantissa (parte frazionaria del Numero nella rap. normalizzata)
Rappresentazione in virgola mobile ESPONENTE Gli otto bit dell esponente sono numeri interi con segno (l esponente può avere segno positivo o negativo), perciò è possibile utilizzare le diverse notazioni per rappresentarli (bit e segno, complemento a uno, complemento a due). Tuttavia, per consentire un confronto più agevole dei numeri reali, lo standard attualmente utilizzato è lo IEEE 754, ufficialmente: IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic (ANSI/IEEE Std 754-1985) o anche IEC 60559:1989, Binary floating-point arithmetic for microprocessor systems). Lo standard prevede di rappresentare l esponente come un intero positivo (escludendo le sequenze di bit 00000000 e 11111111, che sono riservate) e di sotrarre 127 all intero positivo rappresentato. Esponente e= e 8 e 7 e 6 e 5 e 4 e 3 e 2 e 1-127 Gli interi rappresentabili sono allora contenuti nel range: (00000001-01111111)=(1-127)=-126 e (11111110-01111111)=(254-127)=127.
Rappresentazione in v. mobile s e* m 1 8 23 N= s 2 e* - 127 x 1.m
Esempi 0 10000011 00111001011000000000000 10000011 = 131, quindi esponente = 131-127 = 4. Quindi 2 4 1.00111001011 = 10011.1001011 = 2 4 + 2 1 + 2 0 + 2-1 + 2-4 + 2-6 + 2-7 = 19.5859375
Esercizio Fornire la rappresentazione in virgola mobile normalizzata del valore 10.543 avendo a disposizione 8 bit per l esponente e 8 per la mantissa. (1) Rappresentiamo 10 in binario 10 = 2 3 + 2 1 = (1010)2 (2) Rappresentiamo 0.543 in binario 0.543 2 = 1.086 0.086 2 = 0.172 0.172 2 = 0.344 Quindi: 0.543 = (0.100010...)2 0.344 2 = 0.688 0.688 2 = 1.376 0.376 2 = 0.752
(3) Riassumendo: 10.543 = (1010.100010...)2 (4) Rappresentazione normalizzata 1.01010001 2 3 = 1010.10001 (5) Rappresentiamo l'esponente 3: e=3=e*-127, quindi e*=130 130 = (10000010)2 Quindi 0 10000010 01010001
Quanti decimali si Rappresentano? Con 32 bit possiamo rappresentare al piu' 2 32 valori distinti. Questi valori però non sono distribuiti uniformemente come gli interi, bensì sono maggiormente concentrati tra -1 e 1 e si diradano sempre più allontanandosi dallo 0
Rappresentazione in virgola mobile Cosa viene rappresentato nel campo esponente con le sequenze di bit 00000000 (0) e 11111111 (255)? Categoria esponente mantissa zeri 0 0 Numeri subnormalizzati 0 Non zero Numeri normalizzati 1-254 qualunque Infiniti 255 0 NAN (not a number) 255 Non zero Es div di 0 per 0 I numeri subnormalizzati sono i numeri reali piccoli, ovvero minori in valore assoluto del più piccolo numero rappresentabile utilizzando la notazione normalizzata: Per un numero normalizzato: N = s 2 e*-127 1.m Per un numero denormalizzato: N = s 2-126 0.m
Standard IEEE-754 La rappresentazione dell'esponente in eccesso 127 (biased) consente una maggior facilità di progettazione dei circuiti della ALU: il confronto avviene, a parte il segno, confrontando semplicemente il resto del numero lessicograficamente. es: il primo numero è più piccolo del secondo 12.34E-03 = 0 01111000 10010100010110110110110 32.87E-02 = 0 01111101 01010000100101101011110
Standard IEEE 754 a 32 bit (estremi degli intervalli) Più grande normalizzato ~2 128 : X 11111110 11111111111111111111111 +/ 2 127 (1.11...1)2 ~2 Più piccolo normalizzato 2-126 : X 00000001 00000000000000000000000 +/ 2 126 (1.00...0)2 = 1 Più grande denormalizzato ~2-126 : X 00000000 11111111111111111111111 +/ 2 126 (0.11...1)2 1 Più piccolo denormalizzato 2-149 : X 00000000 00000000000000000000001 +/ 2 126 (0.00...1)2 = 2-23