Lezione 3: Rappresentazioni
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- Emanuele Pisani
- 4 anni fa
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1 Lezione 3: Rappresentazioni 1
2 Sistemi di numerazione posizionali Sistemi di numerazione posizionali: La base del sistema di numerazione Le cifre del sistema di numerazione Il numero è scritto specificando le cifre in ordine ed il suo valore dipende dalla posizione relativa delle cifre Esempio: Il sistema decimale (Base 10) Cifre : = Posizione:
3 Sistemi in base B La base definisce il numero di cifre diverse nel sistema di numerazione La cifra di minor valore è sempre lo 0; le altre sono, nell ordine, 1,2,,B 1; se B>10 occorre introdurre B 10 simboli in aggiunta alle cifre decimali Un numero intero N si rappresenta con la scrittura (c n c n 1 c 2 c 1 c 0 ) B N = c n B n +c n 1 B n c 2 B 2 +c 1 B 1 +c 0 B 0 c è la n cifra più significativa, c 0 la meno significativa Un numero frazionario N si rappresenta come (0,c 1 c 2 c n ) B N = c 1 B 1 +c 2 B c n B n 3
4 Numeri interi senza segno Con n cifre in base B si rappresentano tutti i numeri interi positivi da 0 a B n 1 (B n numeri distinti) Esempio: base 10 2 cifre: da 0 a = = 100 valori Esempio: base 2 2 cifre: da 0 a = = 4 valori 4
5 Il sistema binario (B=2) La base 2 è la più piccola per un sistema di numerazione Esempi: Cifre: 0 1 bit (binary digit) Forma polinomia (101101) 2 = = = (45) 10 (0,0101) 2 = = 0 + 0, ,0625 = (0,3125) 10 (11,101) 2 = = , ,125 = (3,625) 10 5
6 Dal bit al byte Un byte è un insieme di 8 bit (un numero binario ad 8 cifre) b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 Con un byte si rappresentano i numeri interi fra 0 e = = 256 valori distinti È l elemento base con cui si rappresentano i dati nei calcolatori Si utilizzano sempre dimensioni multiple (di potenze del 2) del byte: 2 byte (16 bit), 4 byte (32 bit), 8 byte (64 bit) 6
7 Da decimale a binario Numeri interi Si divide ripetutamente il numero intero decimale per 2 fino ad ottenere un quoziente nullo; le cifre del numero binario sono i resti delle divisioni; la cifra più significativa è l ultimo resto Esempio: convertire in binario (43) : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = resti bit più significativo (43) 10 = (101011) 2 7
8 Trasformazione di un numero in base 10 a numero binario /2=62 resto 1 62/2=31 resto 0 31/2=15 resto 1 15/2=7 resto 1 7/2=3 resto 1 3/2=1 resto 1 1/2=0 resto in binario è rappresenta 62 Etc. rappresenta 31
9 Da decimale a binario Numeri razionali Si moltiplica ripetutamente il numero frazionario decimale per 2, fino ad ottenere una parte decimale nulla o, dato che la condizione potrebbe non verificarsi mai, per un numero prefissato di volte; le cifre del numero binario sono le parti intere dei prodotti successivi; la cifra più significativa è il risultato della prima moltiplicazione Esempio: convertire in binario (0,21875) 10 e (0,45) 10 0, = 0,4375 0, = 0,875 0,875 2 = 1,75 0,75 2 = 1,5 0,5 2 = 1,0 0,45 2 = 0,9 0,90 2 = 1,8 0,80 2 = 1,6 0,60 2 = 1,2 0,20 2 = 0,4 etc. (0,21875) 10 = (0,00111) 2 (0,45) 10 (0,01110) 2 9
10 Da binario a decimale Oltre all espansione esplicita in potenze del 2 forma polinomia (101011) 2 = = (43) 10 si può operare nel modo seguente: si raddoppia il bit più significativo e si aggiunge al secondo bit; si raddoppia la somma e si aggiunge al terzo bit si continua fino al bit meno significativo Esempio: convertire in decimale (101011) 2 bit più significativo 1 x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = = 43 (101011) 2 = (43) 10 10
11 Esercizi Si verifichino le seguenti corrispondenze: (110010) 2 =(50) 10 ( ) 2 =(117) 10 (1111) 2 =(17) 10 (11011) 2 =(27) 10 (100001) 2 =(39) 10 11
12 Addizione binaria Le regole per l addizione di due bit sono = = = = 0 con riporto di 1 L ultima regola è (1) 2 +(1) 2 = (10) 2 (1+1=2) 10!! Esempio = riporti =
13 Sottrazione binaria 1 Le regole per la sottrazione di due bit sono Esempio = = = = 1 con prestito di 1 dalla cifra precedente a sinistra = = 20 La sottrazione può divenire complicata: quando si ha una richiesta sulla cifra precedente a sinistra, che è uno 0, l operazione si propaga a sinistra fino alla prima cifra ad 1 del sottraendo 13
14 Sistema esadecimale La base 16 è molto usata in campo informatico Cifre: A B C D E F La corrispondenza in decimale delle cifre oltre il 9 è Esempio: A = (10) 10 D = (13) 10 B = (11) 10 E = (14) 10 C = (12) 10 F = (15) 10 (3A2F) 16 = = = (14895) 10 14
15 Da binario a esadecimale Una cifra esadecimale corrisponde a 4 bit 0 corrisponde a 4 bit a A B C D E F F corrisponde a 4 bit a 1 Si possono rappresentare numeri binari lunghi con poche cifre (1/4) La conversione da binario ad esadecimale è immediata, raggruppando le cifre binarie in gruppi di 4 (da destra) e sostituendole con le cifre esadecimali secondo la tabella precedente 15
16 Dal bit all hex Un numero binario di 4n bit corrisponde a un numero esadecimale di n cifre Esempio: 32 bit corrispondono a 8 cifre esadecimali D 9 1 B F (D91B437F) 16 Esempio: 16 bit corrispondono a 4 cifre esadecimali F F (00FF) 16 16
17 Da esadecimale a binario La conversione da esadecimale a binario si ottiene espandendo ciascuna cifra con i 4 bit corrispondenti Esempio: convertire in binario il numero esadecimale 0x0c8f 0 c 8 f Notazione usata in molti linguaggi di programmazione (es. C e Java) per rappresentare numeri esadecimali Il numero binario ha 4 4=16 bit 17
18 Esempi Quesito: Per quale base B risulterà vera l uguaglianza = 102? Se i numeri sono rappresentati in base B, sappiamo che: (17) B = 1 B 1 +7 B 0 = B+7 (41) B = 4 B 1 +1 B 0 = 4B+1 (22) B = 2 B 1 +2 B 0 = 2B+2 (102) B = 1 B 2 +0 B 1 +2 B 0 = B 2 +2 da cui... B+7+4B+1+2B+2 = 7B+10 = B 2 +2 Si ottiene un equazione di 2 grado: B 2 7B 8 = 0 (7+9)/2 = 8 È la soluzione! Risolvendo: = = 81 B = (7 ± )/2 = (7 9)/2 = 1 Non può essere una base 18
19 La rappresentazione dei dati e l aritmetica degli elaboratori 19
20 Numeri interi positivi I numeri interi positivi sono rappresentati all interno dell elaboratore utilizzando un multiplo del byte (generalmente 4 o 8 byte) Se l intero si rappresenta con un numero di cifre minore, vengono aggiunti zeri nelle cifre più significative Esempio: 12 viene rappresentato in un byte come
21 Numeri con segno Per rappresentare numeri con segno, occorre utilizzare un bit per definire il segno del numero Si possono usare tre tecniche di codifica Modulo e segno Complemento a 1 Complemento a 2 21
22 Modulo e segno Il bit più significativo rappresenta il segno: 0 per i numeri positivi, 1 per quelli negativi Esiste uno zero positivo (00 0) e uno zero negativo (10 0) Se si utilizzano n bit si rappresentano tutti i numeri compresi fra (2 n 1 1) e +2 n 1 1 Esempio: con 4 bit si rappresentano i numeri fra 7 ( (2 3 1)) e +7 (2 3 1) positivi negativi 22
23 1) Bit e segno Con tale decodifica non si può utilizzare il metodo di somma per colonna (es con 3 bit: =??) Ci sono due modi per rappresentare lo zero (es con 3 bit: 000 e 100)
24 2) Complemento a uno Primo bit riservato per il segno (0 se positivo, 1 se negativo) I numeri non negativi sono quelli rapprentabili utilizzando n-1 bit. Per rappresentare I negativi complementiamo la parte positiva a 2 n - 1
25 2) Complemento a uno Esempio utilizzando 6 bit rappresentiamo n -1 = = = = (43 10 )
26 2) Complemento a uno Anche in questo caso due rappresentazioni per lo 0 Esempio utilizzando 6 bit = =
27 Complemento a 1 Zero ha due rappresentazioni: e La somma bit a bit funziona quasi sempre (6) = ( 10) ( 4) ( 6) = ( 5) ( 12) 27
28 3) Complemento a due Rappresentazione che permette di eseguire le operazioni in modo semplice Rappresentazione univoca dello zero
29 Complemento a 2 Il complemento a 2 di un numero binario (N) 2 a n cifre è il numero 2 n (N) 2 = 10 0 (N) 2 Il complemento a 2 si calcola { n zeri Effettuando il complemento a 1 del numero di partenza (negazione di ogni cifra): si trasforma ogni 0 in 1 e ogni 1 in 0 Aggiungendo 1 al numero ottenuto Oppure: a partire da destra, lasciando invariate tutte le cifre fino al primo 1 compreso, quindi invertendo il valore delle rimanenti complemento a N N N+1 29
30 Interi in complemento a 2 I numeri positivi sono rappresentati (come) in modulo e segno I numeri negativi sono rappresentati in complemento a 2 la cifra più significativa ha sempre valore 1 Lo zero è rappresentato come numero positivo (con una sequenza di n zeri) Il campo dei numeri rappresentabili varia da 2 n 1 a +2 n 1 1 Esempio: numeri a 4 cifre Nota:
31 3) Complemento a due Primo bit per il segno (0 se positivo, 1 se negativo) I numeri negativi rappresentabili sono quindi quelli rappresentabili con n-1 bit, cioè nell'intervallo [0,2-1] n-1 e ottenibili complementando il numero a (2 n ). Esempio con 6 bit: (2 n )=(2 6 )= = = Bit di overflow che viene scaricato
32 3) Complemento a due Somma per colonna: (esempio con 6 bit) =
33 Riassumendo: codifica e decodifica Intero positivo x complemento a due su n bit: se x 2 n-1-1 scrivo (x) 2, altrimenti non e rappresentabile Esempio: n=4, x=5, (5) 2 =0101, x=8>2 3-1=7 Intero negativo x complemento a due su n bit: se x -2 n-1 calcolo 2 n +(-x)=y e scrivo (y) 2 Esempio: n=4, x=-3 y=2 4-3=16-3=13 (13) 2 =1101 Compl. a due positivo (0 = bit + significativo) decimale: decodifica dal binario Esempio: n=4, 0111=(7) 2 Compl. a due negativo (1 = bit + significativo) decimale: decodifico dal binario a decimale, ottengo y e poi sottraggo y-2 n Esempio 1010 = (10) =-6
34 Sottrazione binaria in complemento a 2 Utilizzando la rappresentazione in complemento a 2, addizione e sottrazione sono trattate come un unica operazione N 1 N 2 = N 1 +(2 n N 2 ) 2 n { complemento a 2 di N 2 : rappresentazione di ( N 2 ) si trascura il bit n +1 Si calcola il complemento a 2 di N 2 Si somma N 1 con il complemento a 2 di N 2 Si trascura il bit più significativo del risultato Esempio: (010001) 2 (000101) 2 = (17) 10 (5) (12) 10 34
35 Overflow L overflow si ha quando il risultato di un operazione non è rappresentabile correttamente con n bit Esempio: 5 bit [ 16,+15] = = = = Per evitare l overflow occorre aumentare il numero di bit utilizzati per rappresentare gli operandi
36 Rappresentazione dei numeri in virgola mobile 36
37 Moltiplicazione binaria Le regole per la moltiplicazione di due bit sono Esempio 0 0 = = = = Moltiplicare per 2 n corrisponde ad aggiungere n zeri in coda al moltiplicando = =
38 Numeri in virgola mobile La rappresentazione dei numeri in virgola mobile è in relazione con la notazione scientifica (es =120) La IEEE ha previsto uno standard per la rappresentazione in virgola mobile singola precisione (32 bit = 4 byte) doppia precisione (64 bit = 8 byte) quadrupla precisione (128 bit = 16 byte) Singola precisione Il valore è Segno bit Esponente (o Caratteristica) ( 1) S 1.M 2 E 127 se E 0 ( 1) S 0.M se E=0 23 bit Mantissa 0 38
39 Numeri in virgola mobile La rappresentazione dei numeri in virgola mobile è in relazione con la notazione scientifica (es =120) La IEEE ha previsto uno standard per la rappresentazione in virgola mobile Lo IEEE, acronimo di Institute of Electrical and Electronic Engineers singola precisione (in italiano: Istituto (32 bit = degli 4 byte) ingegneri elettrici ed elettronici) doppia precisione è un'associazione (64 bit internazionale = 8 byte) di scienziati professionisti quadrupla precisione con l'obiettivo (128 bit della = 16 promozione byte) delle scienze Singola precisione tecnologiche Il valore è Segno bit Esponente (o Caratteristica) ( 1) S 1.M 2 E 127 se E 0 ( 1) S 0.M se E=0 23 bit Mantissa 0 39
40 Rappresentazione in virgola mobile ESPONENTE Gli otto bit dell esponente sono numeri interi con segno (l esponente può avere segno positivo o negativo), perciò è possibile utilizzare le diverse notazioni per rappresentarli (bit e segno, complemento a uno, complemento a due). Tuttavia, per consentire un confronto più agevole dei numeri reali, lo standard attualmente utilizzato è lo IEEE 754, ufficialmente: IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic (ANSI/IEEE Std ) o anche IEC 60559:1989, Binary floating-point arithmetic for microprocessor systems). Lo standard prevede di rappresentare l esponente come un intero positivo (escludendo le sequenze di bit e , che sono riservate) e di sotrarre 127 all intero positivo rappresentato. Esponente e= e 8 e 7 e 6 e 5 e 4 e 3 e 2 e 1-127
41 Singola precisione Il numero più grande rappresentabile è ( ) Il più piccolo numero positivo è = In totale si rappresentano 2 32 numeri distinti, metà positivi, metà negativi Circa metà dei numeri sono compresi fra 1 e 1 (E 127<0) 2 23 valori 2 23 valori 2 23 valori 2 23 valori
42 Rappresentazione in v. mobile s1 8 e* 23 m N= s 2 e* x 1.m
43 Esempi = 131, quindi esponente = = 4. Quindi = = = =
44 Esercizio Fornire la rappresentazione in virgola mobile normalizzata del valore avendo a disposizione 8 bit per l esponente e 8 per la mantissa. (1) Rappresentiamo 10 in binario 10 = = (1010)2 (2) Rappresentiamo in binario = = = Quindi: = ( ) = = = 0.752
45 (3) Riassumendo: = ( )2 (4) Rappresentazione normalizzata = (5) Rappresentiamo l'esponente 3: e=3=e*-127, quindi e*= = ( )2 Quindi
46 Rappresentazione in virgola mobile Cosa viene rappresentato nel campo esponente con le sequenze di bit (0) e (255)? Categoria esponente mantissa zeri 0 0 Numeri subnormalizzati 0 Non zero Numeri normalizzati qualunque Infiniti I numeri subnormalizzati sono i numeri reali piccoli, ovvero minori in valore assoluto del più piccolo numero NAN (not a number) 255 Non zero rappresentabile utilizzando la notazione normalizzata: Per un numero normalizzato: N = s 2 e* m Per un numero denormalizzato: N = s m Es div di 0 per 0
47 Rappresentazione in virgola mobile Cosa viene rappresentato nel campo esponente con le sequenze di bit (0) e (255)? Categoria esponente mantissa NAN=Not a numer, cioè il risultato Di una operazione eseguita su operandi Non validi. zeri 0 0 Numeri subnormalizzati 0 Non zero I numeri subnormalizzati sono i numeri reali piccoli, Numeri normalizzati qualunque ovvero minori in valore assoluto del più piccolo numero rappresentabile utilizzando la notazione normalizzata: Infiniti Per un numero normalizzato: N = s 2 e* m Per un NAN numero (not a number) denormalizzato: 255 N = s 2Non -126 zero 0.m Es div di 0 per 0
48 Standard IEEE-754 La rappresentazione dell'esponente in eccesso 127 consente una maggior facilità di progettazione dei circuiti della ALU: il confronto avviene, a parte il segno, confrontando semplicemente il resto del numero lessicograficamente. es: il primo numero è più piccolo del secondo 12.34E-03 = E-02 =
49 L aritmetica degli elaboratori 1 L aritmetica interna degli elaboratori differisce notevolmente dall aritmetica classica Sebbene le stesse operazioni possano essere realizzate secondo modalità diverse su elaboratori diversi, si riscontrano alcune caratteristiche comuni: Rappresentazione binaria dei numeri Rango finito dei numeri rappresentabili Precisione finita dei numeri Operazioni espresse in termini di operazioni più semplici 49
50 L aritmetica degli elaboratori 2 Rango finito dei numeri rappresentabili Qualunque sia la codifica utilizzata, esistono sempre il più grande ed il più piccolo numero rappresentabile I limiti inferiore e superiore del rango di rappresentazione dipendono sia dal tipo di codifica, sia dal numero di bit utilizzati Se il risultato di un operazione non appartiene al rango dei numeri rappresentabili, si dice che si è verificato un overflow (un underflow, più precisamente, se il risultato è più piccolo del più piccolo numero rappresentabile) 50
51 L aritmetica degli elaboratori 3 Precisione finita dei numeri La precisione della rappresentazione di un numero frazionario è una misura di quanto essa corrisponda al numero che deve essere rappresentato Negli elaboratori, i numeri frazionari sono rappresentati in virgola mobile (floating point), utilizzando un numero finito di bit È plausibile che un numero reale non ammetta una rappresentazione finita, quindi dovrà essere codificato in maniera approssimata Negli elaboratori si rappresentano soltanto numeri razionali (fino ad una data precisione) 51
52 L aritmetica degli elaboratori 4 Operazioni espresse in termini di operazioni più semplici La maggior parte degli elaboratori non possiede circuiti in grado di eseguire direttamente tutte le operazioni: La sottrazione si realizza per mezzo di una complementazione e di un addizione La moltiplicazione si realizza per mezzo di una successione di addizioni e di shift (traslazioni) La divisione si realizza per mezzo di una successione di shift e sottrazioni Le operazioni più semplici sono eseguite direttamente da appositi circuiti (in hardware); le operazioni più complesse sono realizzate mediante l esecuzione di successioni di operazioni più semplici, sotto il controllo di programmi appositamente realizzati, e generalmente memorizzati permanentemente (in firmware) 52
53 Oltre ai numeri, molte applicazioni informatiche elaborano caratteri (simboli) Gli elaboratori elettronici trattano numeri Codifica dei caratteri alfabetici 1 Si codificano i caratteri e i simboli per mezzo di numeri Per poter scambiare dati (testi) in modo corretto, occorre definire uno standard di codifica A $
54 Codifica dei caratteri alfabetici 2 Ovvero quando si scambiano dati, deve essere noto il tipo di codifica utilizzato La codifica deve prevedere le lettere dell alfabeto, le cifre numeriche, i simboli, la punteggiatura, i caratteri speciali per certe lingue (æ, ã, ë, è, ) Lo standard di codifica più diffuso è il codice ASCII, per American Standard Code for Information Interchange 54
55 Codifica ASCII Definisce una tabella di corrispondenza fra ciascun carattere e un codice a 7 bit (128 caratteri) I caratteri, in genere, sono rappresentati con 1 byte (8 bit); i caratteri con il bit più significativo a 1 (quelli con codice dal 128 al 255) rappresentano un estensione della codifica La tabella comprende sia caratteri di controllo (codici da 0 a 31) che caratteri stampabili I caratteri alfabetici/numerici hanno codici ordinati secondo l ordine alfabetico/numerico A 65 B 66. Y 89 Z 90 a 97 b 98. y 121 z 122 cifre maiuscole minuscole 55
56 Caratteri di controllo ASCII I caratteri di controllo (codice da 0 a 31) hanno funzioni speciali Si ottengono o con tasti specifici o con una sequenza Ctrl+carattere Ctrl Dec Hex Code Nota ^@ 0 0 NULL carattere nullo ^A 1 1 SOH partenza blocco ^G 7 7 BEL beep ^H 8 8 BS backspace ^I 9 9 HT tabulazione orizzontale ^J 10 A LF line feed (cambio linea) ^K 11 B VT tabulazione verticale ^L 12 C FF form feed (alim. carta) ^M 13 D CR carriage return (a capo) ^Z 26 1A EOF fine file ^[ 27 1 B ESC escape ^_ 31 1F US separatore di unità 56
57 Tabella ASCII estesa 57
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