Sistemi di numerazione posizionali

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1 Sistemi di numerazione posizionali Sistemi di numerazione posizionali: La base del sistema di numerazione Le cifre del sistema di numerazione Il numero è scritto specificando le cifre in ordine ed il suo valore dipende dalla posizione relativa delle cifre Esempio: Il sistema decimale (Base 10) Cifre : = Posizione:

2 Sistemi in base B La base definisce il numero di cifre diverse nel sistema di numerazione La cifra di minor valore è sempre lo 0; le altre sono, nell ordine, 1,2,,B 1; se B>10 occorre introdurre B 10 simboli in aggiunta alle cifre decimali Un numero intero N si rappresenta con la scrittura (c n c n 1 c 2 c 1 c 0 ) B N = c n B n +c n 1 B n c 2 B 2 +c 1 B 1 +c 0 B 0 c è la n cifra più significativa, c 0 la meno significativa Un numero frazionario N si rappresenta come (0,c 1 c 2 c n ) B N = c 1 B 1 +c 2 B c n B n 2

3 Numeri interi senza segno Con n cifre in base B si rappresentano tutti i numeri interi positivi da 0 a B n 1 (B n numeri distinti) Esempio: base 10 2 cifre: da 0 a = = 100 valori Esempio: base 2 2 cifre: da 0 a = = 4 valori 3

4 Il sistema binario (B=2) La base 2 è la più piccola per un sistema di numerazione Esempi: Cifre: 0 1 bit (binary digit) Forma polinomia (101101) 2 = = = (45) 10 (0,0101) 2 = = 0 + 0, ,0625 = (0,3125) 10 (11,101) 2 = = , ,125 = (3,625) 10 4

5 Dal bit al byte Un byte è un insieme di 8 bit (un numero binario ad 8 cifre) b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 Con un byte si rappresentano i numeri interi fra 0 e = = 256 valori distinti È l elemento base con cui si rappresentano i dati nei calcolatori Si utilizzano sempre dimensioni multiple (di potenze del 2) del byte: 2 byte (16 bit), 4 byte (32 bit), 8 byte (64 bit) 5

6 Da decimale a binario Numeri interi Si divide ripetutamente il numero intero decimale per 2 fino ad ottenere un quoziente nullo; le cifre del numero binario sono i resti delle divisioni; la cifra più significativa è l ultimo resto Esempio: convertire in binario (43) : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = resti bit più significativo (43) 10 = (101011) 2 6

7 Trasformazione di un numero in base 10 a numero binario /2=62 resto 1 62/2=31 resto 0 31/2=15 resto 1 15/2=7 resto 1 7/2=3 resto 1 3/2=1 resto 1 1/2=0 resto in binario è rappresenta 62 Etc. rappresenta 31

8 Da decimale a binario Numeri razionali Si moltiplica ripetutamente il numero frazionario decimale per 2, fino ad ottenere una parte decimale nulla o, dato che la condizione potrebbe non verificarsi mai, per un numero prefissato di volte; le cifre del numero binario sono le parti intere dei prodotti successivi; la cifra più significativa è il risultato della prima moltiplicazione Esempio: convertire in binario (0,21875) 10 e (0,45) 10 0, = 0,4375 0, = 0,875 0,875 2 = 1,75 0,75 2 = 1,5 0,5 2 = 1,0 0,45 2 = 0,9 0,90 2 = 1,8 0,80 2 = 1,6 0,60 2 = 1,2 0,20 2 = 0,4 etc. (0,21875) 10 = (0,00111) 2 (0,45) 10 (0,01110) 2 8

9 Da binario a decimale Oltre all espansione esplicita in potenze del 2 forma polinomia (101011) 2 = = (43) 10 si può operare nel modo seguente: si raddoppia il bit più significativo e si aggiunge al secondo bit; si raddoppia la somma e si aggiunge al terzo bit si continua fino al bit meno significativo Esempio: convertire in decimale (101011) 2 bit più significativo 1 x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = = 43 (101011) 2 = (43) 10 9

10 Esercizi Si verifichino le seguenti corrispondenze: (110010) 2 =(50) 10 ( ) 2 =(117) 10 (1111) 2 =(17) 10 (11011) 2 =(27) 10 (100001) 2 =(39) 10 10

11 Sistema esadecimale La base 16 è molto usata in campo informatico Cifre: A B C D E F La corrispondenza in decimale delle cifre oltre il 9 è Esempio: A = (10) 10 D = (13) 10 B = (11) 10 E = (14) 10 C = (12) 10 F = (15) 10 (3A2F) 16 = = = (14895) 10 11

12 Da binario a esadecimale Una cifra esadecimale corrisponde a 4 bit 0 corrisponde a 4 bit a A B C D E F F corrisponde a 4 bit a 1 Si possono rappresentare numeri binari lunghi con poche cifre (1/4) La conversione da binario ad esadecimale è immediata, raggruppando le cifre binarie in gruppi di 4 (da destra) e sostituendole con le cifre esadecimali secondo la tabella precedente 12

13 Dal bit all hex Un numero binario di 4n bit corrisponde a un numero esadecimale di n cifre Esempio: 32 bit corrispondono a 8 cifre esadecimali D 9 1 B F (D91B437F) 16 Esempio: 16 bit corrispondono a 4 cifre esadecimali F F (00FF) 16 13

14 Da esadecimale a binario La conversione da esadecimale a binario si ottiene espandendo ciascuna cifra con i 4 bit corrispondenti Esempio: convertire in binario il numero esadecimale 0x0c8f 0 c 8 f Notazione usata in molti linguaggi di programmazione (es. C e Java) per rappresentare numeri esadecimali Il numero binario ha 4 4=16 bit 14

15 Esempi La notazione posizionale si applica anche per il calcolo del valore dei numeri frazionari, infatti... (0,872) 10 = = 8/10 + 7/ /1000 = 0,8 + 0,07 + 0,002 Quante cifre occorreranno per rappresentare il numero decimale 36 in base 2? Sappiamo che con n cifre si rappresentano i numeri da 0 a 2 n 1, quindi... per n=1 (con una cifra) si rappresentano ,1 per n=2: per n=3: per n=4: per n=5: per n=6: Effettivamente possiamo verificare che (100100) 2 =(36) 10, infatti = = = 36 con 6 cifre necessarie per la codifica del numero in base 2 15

16 Esempi Quesito: Per quale base B risulterà vera l uguaglianza = 102? Se i numeri sono rappresentati in base B, sappiamo che: (17) B = 1 B 1 +7 B 0 = B+7 (41) B = 4 B 1 +1 B 0 = 4B+1 (22) B = 2 B 1 +2 B 0 = 2B+2 (102) B = 1 B 2 +0 B 1 +2 B 0 = B 2 +2 da cui... B+7+4B+1+2B+2 = 7B+10 = B 2 +2 Si ottiene un equazione di 2 grado: B 2 7B 8 = 0 (7+9)/2 = 8 È la soluzione! Risolvendo: = = 81 B = (7 ± )/2 = (7 9)/2 = 1 Non può essere una base 16

17 La rappresentazione dei dati e l aritmetica degli elaboratori 17

18 Numeri interi positivi I numeri interi positivi sono rappresentati all interno dell elaboratore utilizzando un multiplo del byte (generalmente 4 o 8 byte) Se l intero si rappresenta con un numero di cifre minore, vengono aggiunti zeri nelle cifre più significative Esempio: 12 viene rappresentato in un byte come

19 Numeri con segno Per rappresentare numeri con segno, occorre utilizzare un bit per definire il segno del numero Si possono usare tre tecniche di codifica Modulo e segno Complemento a 1 Complemento a 2 19

20 Modulo e segno Il bit più significativo rappresenta il segno: 0 per i numeri positivi, 1 per quelli negativi Esiste uno zero positivo (00 0) e uno zero negativo (10 0) Se si utilizzano n bit si rappresentano tutti i numeri compresi fra (2 n 1 1) e +2 n 1 1 Esempio: con 4 bit si rappresentano i numeri fra 7 ( (2 3 1)) e +7 (2 3 1) positivi negativi 20

21 1) Bit e segno Con tale decodifica non si può utilizzare il metodo di somma per colonna (es con 3 bit: =??) Ci sono due modi per rappresentare lo zero (es con 3 bit: 000 e 100)

22 2) Complemento a uno Primo bit riservato per il segno (0 se positivo, 1 se negativo) I numeri non negativi sono quelli rapprentabili utilizzando n-1 bit. Per rappresentare I negativi complementiamo la parte positiva a 2 n - 1

23 2) Complemento a uno Esempio utilizzando 6 bit rappresentiamo n -1 = = = = (43 10 )

24 2) Complemento a uno Anche in questo caso due rappresentazioni per lo 0 Esempio utilizzando 6 bit = =

25 3) Complemento a due Rappresentazione che permette di eseguire le operazioni in modo semplice Rappresentazione univoca dello zero

26 Complemento a 2 Il complemento a 2 di un numero binario (N) 2 a n cifre è il numero 2 n (N) 2 = 10 0 (N) 2 Il complemento a 2 si calcola { n zeri Effettuando il complemento a 1 del numero di partenza (negazione di ogni cifra): si trasforma ogni 0 in 1 e ogni 1 in 0 Aggiungendo 1 al numero ottenuto Oppure: a partire da destra, lasciando invariate tutte le cifre fino al primo 1 compreso, quindi invertendo il valore delle rimanenti complemento a N N N+1 26

27 Interi in complemento a 2 I numeri positivi sono rappresentati (come) in modulo e segno I numeri negativi sono rappresentati in complemento a 2 la cifra più significativa ha sempre valore 1 Lo zero è rappresentato come numero positivo (con una sequenza di n zeri) Il campo dei numeri rappresentabili varia da 2 n 1 a +2 n 1 1 Esempio: numeri a 4 cifre Nota:

28 3) Complemento a due Primo bit per il segno (0 se positivo, 1 se negativo) I numeri negativi rappresentabili sono quindi quelli rappresentabili con n-1 bit, cioè nell'intervallo [0,2 n-1-1] e ottenibili complementando il numero a (2 n ). Esempio con 6 bit: (2 n )=(2 6 )= = = Bit di overflow che viene scaricato

29 3) Complemento a due Somma per colonna: (esempio con 6 bit) =

30 Complemento a due: decodifica Se bit di segno =0 positivo, altrimenti negativo Se positivo, basta leggere gli altri bit Se negativo, scrivere gli stessi bit da destra a sinistra fino al primo 1, poi complementare, e poi leggere Es.: 1010 e negativo, rappresenta 110 (6), quindi -6

31 Metodo alternativo: codifica e decodifica Intero positivo x complemento a due su n bit: se x 2 n-1-1 scrivo (x) 2, altrimenti non e rappresentabile Esempio: n=4, x=5, (5) 2 =0101, x=8>2 3-1=7 Intero negativo x complemento a due su n bit: se x -2 n-1 calcolo 2 n +(-x)=y e scrivo (y) 2 Esempio: n=4, x=-3 y=2 4-3=16-3=13 (13) 2 =1101 Compl. a due positivo (0 = bit + significativo) decimale: decodifica dal binario Esempio: n=4, 0111=(7) 2 Compl. a due negativo (1 = bit + significativo) decimale: decodifico dal binario a decimale, ottengo y e poi sottraggo y-2 n Esempio 1010 = (10) =-6

32 Interi a 16 bit Numeri interi rappresentati su 16 bit in complemento a 2: Il numero intero positivo più grande è =(32767) x 7 F F F Il numero intero negativo più piccolo è 2 15 =( 32768) x Il numero intero 1 è rappresentato come x F F F F

33 Addizione binaria Le regole per l addizione di due bit sono = = = = 0 con riporto di 1 L ultima regola è (1) 2 +(1) 2 = (10) 2 (1+1=2) 10!! Esempio = riporti =

34 Sottrazione binaria 1 Le regole per la sottrazione di due bit sono Esempio = = = = 1 con prestito di 1 dalla cifra precedente a sinistra = = 20 La sottrazione può divenire complicata: quando si ha una richiesta sulla cifra precedente a sinistra, che è uno 0, l operazione si propaga a sinistra fino alla prima cifra ad 1 del sottraendo 34

35 Sottrazione binaria 2 Utilizzando la rappresentazione in complemento a 2, addizione e sottrazione sono trattate come un unica operazione N 1 N 2 = N 1 +(2 n N 2 ) 2 n { complemento a 2 di N 2 : rappresentazione di ( N 2 ) si trascura il bit n +1 Si calcola il complemento a 2 di N 2 Si somma N 1 con il complemento a 2 di N 2 Si trascura il bit più significativo del risultato Esempio: (010001) 2 (000101) 2 = (17) 10 (5) (12) 10 35

36 Sono utili perché l operazione di somma algebrica può essere realizzata non curandosi del bit di segno In complemento a 1 (più semplice da calcolare) Zero ha due rappresentazioni: e Rappresentazioni in complemento La somma bit a bit funziona quasi sempre (6) = ( 10) ( 4) In complemento a ( 6) = ( 5) ( 12) Zero ha una sola rappresentazione La somma bit a bit funziona sempre 36

37 Overflow L overflow si ha quando il risultato di un operazione non è rappresentabile correttamente con n bit Esempio: 5 bit [ 16,+15] = = = = Per evitare l overflow occorre aumentare il numero di bit utilizzati per rappresentare gli operandi

38 Errore di overflow Si può dimostrare che una somma di due numeri di n cifre in complemento a 2 dà (errore di) overflow se e solo se i riporti in colonna n e n +1 sono diversi

39 Moltiplicazione binaria Le regole per la moltiplicazione di due bit sono Esempio 0 0 = = = = Moltiplicare per 2 n corrisponde ad aggiungere n zeri in coda al moltiplicando = =

40 Numeri in virgola mobile La rappresentazione dei numeri in virgola mobile è in relazione con la notazione scientifica (es =120) La IEEE ha previsto uno standard per la rappresentazione in virgola mobile singola precisione (32 bit = 4 byte) doppia precisione (64 bit = 8 byte) quadrupla precisione (128 bit = 16 byte) Singola precisione Il valore è Segno bit Esponente (o Caratteristica) ( 1) S 1.M 2 E 127 se E 0 ( 1) S 0.M se E=0 23 bit Mantissa 0 40

41 Rappresentazione normalizzata Solitamente si usa la rappresentazione normalizzata in cui la parte intera ha un'unica cifra diversa da zero: es 1,859* 10 1

42 Analogamente per i binari: = = = Rappresentazione normalizzata = = La rappresentazione in virgola mobile normalizzata ha sempre parte intera uguale a 1

43 Per registrare un numero reale x in memoria si adotta la rappresentazione binaria in virgola mobile normalizzata: x = s(+/-) 2 e 1.b -1 b -2 b -3 b -4 Naturalmente non e` possibile memorizzare la sequenza possibilmente infinita di bit della parte frazionaria ma si memorizzano soltanto i primi bit. Anche per l esponente si utilizzano un numero finito di bit. Generalmente per rappresentare un numero reale si usano 4 byte nel modo Seguente: +/- e 8 e 7 e 6 e 5 e 4 e 3 e 2 e 1 b -1 b -2 b -3 b -4 b -21 b -22 b bit 8 bit 23 bit Segno Esponente Mantissa (parte frazionaria del Numero nella rap. normalizzata)

44 Rappresentazione in virgola mobile ESPONENTE Gli otto bit dell esponente sono numeri interi con segno (l esponente può avere segno positivo o negativo), perciò è possibile utilizzare le diverse notazioni per rappresentarli (bit e segno, complemento a uno, complemento a due). Tuttavia, per consentire un confronto più agevole dei numeri reali, lo standard attualmente utilizzato è lo IEEE 754, ufficialmente: IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic (ANSI/IEEE Std ) o anche IEC 60559:1989, Binary floating-point arithmetic for microprocessor systems). Lo standard prevede di rappresentare l esponente come un intero positivo (escludendo le sequenze di bit e , che sono riservate) e di sotrarre 127 all intero positivo rappresentato. Esponente e= e 8 e 7 e 6 e 5 e 4 e 3 e 2 e 1-127

45 Singola precisione Il numero più grande rappresentabile è ( ) Il più piccolo numero positivo è = In totale si rappresentano 2 32 numeri distinti, metà positivi, metà negativi Circa metà dei numeri sono compresi fra 1 e 1 (E 127<0) 2 23 valori 2 23 valori 2 23 valori 2 23 valori

46 Rappresentazione in v. mobile s e* m N= s 2 e* x 1.m

47 Esempi = 131, quindi esponente = = 4. Quindi = = = =

48 Esercizio Fornire la rappresentazione in virgola mobile normalizzata del valore avendo a disposizione 8 bit per l esponente e 8 per la mantissa. (1) Rappresentiamo 10 in binario 10 = = (1010)2 (2) Rappresentiamo in binario = = = Quindi: = ( ) = = = 0.752

49 (3) Riassumendo: = ( )2 (4) Rappresentazione normalizzata = (5) Rappresentiamo l'esponente 3: e=3=e*-127, quindi e*= = ( )2 Quindi

50 Rappresentazione in virgola mobile Cosa viene rappresentato nel campo esponente con le sequenze di bit (0) e (255)? Categoria esponente mantissa zeri 0 0 Numeri subnormalizzati 0 Non zero Numeri normalizzati qualunque Infiniti I NAN numeri (not subnormalizzati a number) 255 sono i numeri reali Non piccoli, zero ovvero minori in valore assoluto del più piccolo numero rappresentabile utilizzando la notazione normalizzata: Per un numero normalizzato: N = s 2 e* m Per un numero denormalizzato: N = s m Es div di 0 per 0

51 Rappresentazione in virgola mobile Cosa viene rappresentato nel campo esponente con le sequenze di bit (0) e (255)? Categoria esponente mantissa zeri 0 0 Numeri subnormalizzati NAN=Not a numer, cioè il risultato Di una operazione eseguita su operandi Non validi. 0 Non zero Numeri normalizzati qualunque I numeri subnormalizzati sono i numeri reali piccoli, ovvero Infiniti minori in valore 255assoluto del più 0 piccolo numero rappresentabile utilizzando la notazione normalizzata: Per un NAN numero (not a number) normalizzato: 255 N = s 2Non e*-127 zero 1.m Per un numero denormalizzato: N = s m Es div di 0 per 0

52 Standard IEEE-754 La rappresentazione dell'esponente in eccesso 127 consente una maggior facilità di progettazione dei circuiti della ALU: il confronto avviene, a parte il segno, confrontando semplicemente il resto del numero lessicograficamente. es: il primo numero è più piccolo del secondo 12.34E-03 = E-02 =

53 L aritmetica degli elaboratori 1 L aritmetica interna degli elaboratori differisce notevolmente dall aritmetica classica Sebbene le stesse operazioni possano essere realizzate secondo modalità diverse su elaboratori diversi, si riscontrano alcune caratteristiche comuni: Rappresentazione binaria dei numeri Rango finito dei numeri rappresentabili Precisione finita dei numeri Operazioni espresse in termini di operazioni più semplici 53

54 L aritmetica degli elaboratori 2 Rango finito dei numeri rappresentabili Qualunque sia la codifica utilizzata, esistono sempre il più grande ed il più piccolo numero rappresentabile I limiti inferiore e superiore del rango di rappresentazione dipendono sia dal tipo di codifica, sia dal numero di bit utilizzati Se il risultato di un operazione non appartiene al rango dei numeri rappresentabili, si dice che si è verificato un overflow (un underflow, più precisamente, se il risultato è più piccolo del più piccolo numero rappresentabile) 54

55 L aritmetica degli elaboratori 3 Precisione finita dei numeri La precisione della rappresentazione di un numero frazionario è una misura di quanto essa corrisponda al numero che deve essere rappresentato Negli elaboratori, i numeri frazionari sono rappresentati in virgola mobile (floating point), utilizzando un numero finito di bit È plausibile che un numero reale non ammetta una rappresentazione finita, quindi dovrà essere codificato in maniera approssimata Negli elaboratori si rappresentano soltanto numeri razionali (fino ad una data precisione) 55

56 L aritmetica degli elaboratori 4 Operazioni espresse in termini di operazioni più semplici La maggior parte degli elaboratori non possiede circuiti in grado di eseguire direttamente tutte le operazioni: La sottrazione si realizza per mezzo di una complementazione e di un addizione La moltiplicazione si realizza per mezzo di una successione di addizioni e di shift (traslazioni) La divisione si realizza per mezzo di una successione di shift e sottrazioni Le operazioni più semplici sono eseguite direttamente da appositi circuiti (in hardware); le operazioni più complesse sono realizzate mediante l esecuzione di successioni di operazioni più semplici, sotto il controllo di programmi appositamente realizzati, e generalmente memorizzati permanentemente (in firmware) 56

57 Oltre ai numeri, molte applicazioni informatiche elaborano caratteri (simboli) Gli elaboratori elettronici trattano numeri Codifica dei caratteri alfabetici 1 Si codificano i caratteri e i simboli per mezzo di numeri Per poter scambiare dati (testi) in modo corretto, occorre definire uno standard di codifica A $

58 Codifica dei caratteri alfabetici 2 Ovvero quando si scambiano dati, deve essere noto il tipo di codifica utilizzato La codifica deve prevedere le lettere dell alfabeto, le cifre numeriche, i simboli, la punteggiatura, i caratteri speciali per certe lingue (æ, ã, ë, è, ) Lo standard di codifica più diffuso è il codice ASCII, per American Standard Code for Information Interchange 58

59 Codifica ASCII Definisce una tabella di corrispondenza fra ciascun carattere e un codice a 7 bit (128 caratteri) I caratteri, in genere, sono rappresentati con 1 byte (8 bit); i caratteri con il bit più significativo a 1 (quelli con codice dal 128 al 255) rappresentano un estensione della codifica La tabella comprende sia caratteri di controllo (codici da 0 a 31) che caratteri stampabili I caratteri alfabetici/numerici hanno codici ordinati secondo l ordine alfabetico/numerico A 65 B 66. Y 89 Z 90 a 97 b 98. y 121 z 122 cifre maiuscole minuscole 59

60 Caratteri di controllo ASCII I caratteri di controllo (codice da 0 a 31) hanno funzioni speciali Si ottengono o con tasti specifici o con una sequenza Ctrl+carattere Ctrl Dec Hex Code Nota ^@ 0 0 NULL carattere nullo ^A 1 1 SOH partenza blocco ^G 7 7 BEL beep ^H 8 8 BS backspace ^I 9 9 HT tabulazione orizzontale ^J 10 A LF line feed (cambio linea) ^K 11 B VT tabulazione verticale ^L 12 C FF form feed (alim. carta) ^M 13 D CR carriage return (a capo) ^Z 26 1A EOF fine file ^[ 27 1 B ESC escape ^_ 31 1F US separatore di unità 60

61 Caratteri stampabili Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr SPACE P ` p 33 21! A Q a q B R b r # C S c s $ D T d t % E U e u & F V f v G W g w ( H X h x ) I Y i y 42 2A * 58 3A : 74 4A J 90 5A Z 106 6A j 122 7A z 43 2B B ; 75 4B K 91 5B [ 107 6B k 123 7B { 44 2C, 60 3C < 76 4C L 92 5C \ 108 6C l 124 7C 45 2D D = 77 4D M 93 5D ] 109 6D m 125 7D } 46 2E. 62 3E > 78 4E N 94 5E ^ 110 6E n 126 7E ~ 47 2F / 63 3F? 79 4F O 95 5F _ 111 6F o 127 7F DEL Nota: il valore numerico di una cifra può essere calcolato come differenza del suo codice ASCII rispetto al codice ASCII della cifra 0 (es. 5 0 = = 5) 61

62 Tabella ASCII estesa I codici oltre il 127 non sono compresi nello standard originario 62