I numeri interi Teorema 1. (divisione in Z) Siano a, b Z, b 0. Allora esistono e sono unici q, r Z tali che (1) a = bq + r () 0 r < b. Si 1 dice che q è il quoziente ed r il resto della divisione di a per b. Definizione 1. Siano a, b Z, b 0. Se il resto della divisione di a per b è 0, si dice che b divide a o che b è un divisore di a o anche che a è un multiplo di b e si scrive: Allora, se a, b Z, b 0, si ha: b a. b a q Z tale che a = bq. Proposizione 1. Per ogni a, b, c Z, a 0 si ha: 1. a b (a ( b) a b a ( b)). (a b a c) a (b ± c) 3. se b 0 (a b b c) a c 4. se b 0 (a b b a) b = ±a 5. a b a bc. Dimostrazione. 1. Siano a, b Z con a 0 e a b. Allora esiste q Z tale che b = qa. Quindi (1) b = ( q)a a ( b) Inoltre a = ( q)b e pertanto a b da cui, usando (1), a ( b).. Siano a, b, c Z con a 0, a b e a c. Allora esistono p, q Z tali che b = pa e c = qa. Quindi b ± c = pa ± qa = (p ± q)a e pertanto a (b ± c) 3. Siano a, b, c Z con a 0, b 0, a b e b c. Allora esistono r, s Z tali che b = ra e c = sb. Segue che c = sb = s(ra) = (sr)a, da cui certamente a c 4. Siano a, b Z con a b e b a. Allora esistono h, k Z tali che b = ha e a = kb. Segue che b = ha = h(kb) = (hk)b e quindi h e k sono due interi il cui prodotto è 1 e pertanto h = k = 1 oppure h = k = 1, ovvero b = ±a. 5. Siano Siano a, b Z con a 0 e a b. Allora esiste q Z tale che b = qa. Allora bc = (qa)c = (qc)a e dunque a bc. Definizione. Siano a, b Z, a, b non entrambi nulli. Si dice massimo comun divisore tra a e b un intero d Z tale che d a d b d Z tale che d a d b si ha d d. Teorema. Siano a, b Z. Allora sicuramente esiste un massimo comun divisore d tra a e b. Inoltre esistono due numeri interi x 0 e y 0 tali che d = ax 0 + by 0 Infine, l unico altro massimo comun divisore è d. (identità di Bézout). La dimostrazione del Teorema si basa sull algoritmo delle divisioni successive: 1
a = bq 1 + r 1 0 r 1 b b = r 1 q + r 0 r r 1 r 1 = r q 3 + r 3 0 r 3 r r n 3 = r n q n 1 + r n 1. r n = r n 1 q n r n = 0. 0 r n r n 1 Osservazione 1. Siano a, b Z, a, b non entrambi nulli. Come conseguenza del Teorema, esiste un unico massimo comun divisore positivo tra a e b che si indica con M.C.D.(a, b). Definizione 3. Siano a, b Z. Si dice minimo comune multiplo tra a e b un intero m Z tale che a m b m m Z tale che a m b m si ha m m. Teorema 3. Siano a, b Z. Se d è un massimo comun divisore tra a e b, allora ab d è un minimo comune multiplo tra a e b. Inoltre se m è un altro minimo comune multiplo tra a e b, allora m = m. Osservazione. Nella stessa situazione del Teorema, esiste un unico minimo comune multiplo positivo tra a e b che si indica con m.c.m.(a, b). Definizione 4. Si dice equazione Diofantea un equazione in Z nelle incognite x, y della forma () ax + by = c dove a, b Z, a, b non entrambi nulli. Teorema 4. Siano a, b, c Z, a, b non entrambi nulli, e sia d = M.C.D.(a, b). Allora si ha: 1. l equazione Diofantea () ha soluzioni se e soltanto se d c. se () ha soluzioni, detta (x 0, y 0 ) una di esse, tutte le altre sono di tipo dove a = a d, b = b d. (x 0 + b h, y 0 a h), h Z, Dimostrazione. Per provare 1. si osservi preliminarmente che a = a d Z, b = b d Z, poichè d è un divisore di a e di b, e si ha (3) a = a d, b = b d. Si suppone che () ammetta soluzioni: sia (x 0, y 0 ) una di esse. Sarà allora ax 0 + by 0 = c. In virtù di (3) a dx 0 +b dy 0 = c da cui d(a x 0 +b y 0 ) = c e pertanto esiste h = a x 0 +b y 0 Z tale che c = dh e quindi d c. Viceversa, sia d c: quindi esiste c Z tale che c = c d. Per l identità di Bezout, esistono x 1, y 1 Z tali che (4) d = ax 1 + by 1. Moltiplicando l identità (4) per c si ha c d = c ax 1 + c by 1, ovvero c = (c x 1 )a + (c y 1 )b e dunque, posto x 0 = c x 1, y 0 = c y 1, risulta evidente che la coppia (x 0, y 0 ) è soluzione di ().
Fissata una soluzione (x 0, y 0 ) di (), si vuol provare che per ogni h Z(x 0 +b h, y 0 a h) è ancora una soluzione di (). Infatti si ha: a(x 0 +b h)+b(y 0 a h) = ax 0 +ab h+by 0 ba h = ax 0 +by 0 +a db b da = ax 0 +by 0 = c. La dimostrazione del fatto le soluzioni di () sono tutte del tipo descritto in. viene omessa. 3 Principio d induzione completa 1 a forma: Siano n 0 Z, A n0 := x Z : x n 0 }. Si supponga che P (n) sia una proprietà che ha senso x A n0. Se sono soddisfatte le seguenti due condizioni: (1) P (n 0 ) è vera () n > n 0, P (n) vera = P (n + 1) vera allora P (x) è vera x A n0 a forma: Si supponga che P (n) sia una proprietà che ha senso x A n0. Se sono soddisfatte le seguenti due condizioni: (1) P (n 0 ) è vera () n > n 0, m A n0, m n, P (m) vera = P (n + 1) vera allora P (x) è vera x A n0. Definizione 5. Sia A un insieme. Si dice successione di elementi di A un applicazione f : N A. In generale si userà la notazione a n = f(n), n N. Delle volte può essere conveniente definire ricorsivamente una succesione: 1. si definisce il primo (o i primi) elementi della successione. definito l elemento (n 1)-mo, si definisce l elemento n-mo, (oppure, definiti gli elementi precedenti si definisce l n-mo). Vediamo alcuni esempi significativi. (1) le potenze: per ogni a R, n N si pone: a 0 = 1 a n = a n 1 a. () il fattoriale: per ogni n N si pone: 0! = 1 n! = (n 1)!n. (3) la progressione aritmetica: per ogni a, d R, d 0, n N si pone: a 0 = a a n = a n 1 + d si osservi che la differenza tra un termine ed il precedente è sempre d. (4) la progressione geometrica: per ogni a, d R, n N si pone: a 0 = a a n = a n 1 d si osservi che il rapporto tra un termine ed il precedente è sempre d. (5) le torri di Hanoi: Su una di tre aste sono posti n dischi di diametro crescente dal basso verso l alto e bisogna spostare gli n dischi su un altra asta, in modo che assumano la stessa disposizione secondo le seguenti regole:
4 (5) (a) i dischi vanno spostati uno per volta (b) un disco di diametro minore non va mai posto sotto un disco di diametro maggiore. Il problema è quello di capire qual è il numero minimo di mosse da fare per spostare i dischi da un asta ad un altra. Si ottiene così la formula ricorsiva: a 0 = 1 a n = a n 1 + 1. (6) i numeri di Fibonacci: a 0 = 0 a 1 = 1 a n = a n 1 + a n. Questa successione venne introdotta dal mercante italiano Fibonacci (Leonardo Pisano, 1180 circa - 150) nel suo Liber Abaci come soluzione del problema delle coppie di conigli. Per le successioni definite per ricorrenza è sempre possibile individuare una formula chiusa, ovvero una formula che descriva direttamente l n-mo termine della successione. Come è ben noto, si ha: a n = a }... a}. n volte Inoltre, il fattoriale si era definito come: n! = n (n 1) (n )... 1. Si vede facilmente che la formula chiusa per la progressione aritmetica è: per la progressione geometrica: a n = a + nd a n = a d n. Per quanto riguarda le torri di Hanoi, si può ricavare la formula chiusa osservando: a n+1 = a n + 1 = (a n 1 + 1) + 1 = 4a n 1 + + 1 = 4(a n + 1) + + 1 = 8a n + 4 + + 1 = 8(a n 3 + 1) + 4 + + 1 = 16a n 3 + 8 + 4 + + 1 che, però, non contempla il caso a 0 = 1. = 16a n 3 + 3 + + 1 + 0 n = i Esercizi 1. Provare, usando il principio di induzione completa, che la successione a n+1 = n i, n N, verifica la formula ricorsiva (5), ovvero che per ogni n N risulta: n+1 i = ( n i) + 1.. Dimostrare, usando il principio di induzione completa, che per ogni n N si ha n i = n+1 1.
In conclusione un altra formula chiusa per la succesione relativa al gioco delle torri di Hanoi è: a n+1 = n+1 1. 3. Utilizzando la a forma del principio di induzione completa dimostrare la seguente proprietà dei numeri di Fibonacci: k N, n N a n+k = a k a n+1 + a k 1 a n. 4. Utilizzando la 1 a forma del principio di induzione completa provare che due numeri di Fibonacci successivi sono coprimi, ossia il loro massimo comun divisore è 1. Si osservi, infine, che la formula chiusa per i numeri di Fibonacci è (senza verifica): (( ) n ( ) n ) a n = 1. 5 1 + 5 1 5 Il numero Φ = 1+ 5 viene chiamato rapporto aureo o proporzione divina. 5