UNIVERSITÀ DEGLI STUDI Registro dell insegnamento Anno Accademico 2009/2010 Facoltà Ingegneria Insegnamento Complementi di Analisi Matematica Settore MAT/05 Corsi di Laurea Ingegneria per l Ambiente, le Risorse ed il Territorio (Laurea triennale) Prof. Francesca Bucci Settore Inquadramento MAT/05 (Analisi Matematica) N.B.- Ai sensi dell art.2 della Legge 1-5-1941. n.615, i direttori degli istituti e dei laboratori nei quali si eseguono esperimenti sugli animali dovranno allegare al presente registro delle lezioni anche il registro contenente i dati relativi agli esperimenti di cui sopra.
Anno Accademico 2009/2010 2 Data Mar. 22/9/2009 Totale ore 1...................... Presentazione del corso: introduzione ai temi principali dell insegnamento, prerequisiti. Organizzazione ed informazioni pratiche. Testi consigliati. RICHIAMI. Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO) del primo ordine in forma normale. EDO lineari e non lineari; EDO a variabili separabili, soluzioni stazionarie. Per esercizio: (i) Determinare tutte le soluzioni dell EDO x = x t; (ii) Risolvere il problema di Cauchy x = x 2, x(0) = 1. Data Mer. 23/9/2009 Totale ore 2...................... Introduzione alle EDP. Che cos è un Equazione a Derivate Parziali (EDP). (Notazione: definizione di multi-indice α di ordine n. Lunghezza α del multiindice. Significato dei simboli D α u(x), D k u(x), k N.) Ordine dell equazione. EDP lineari e non lineari. EDP quasi-lineari o completamente non lineari; equazioni semi-lineari. Equazioni di evoluzione. Cosa significa risolvere un EDP. Difficoltà tipiche. Esempi di EDP lineari e non lineari di particolare rilievo: equazioni del trasporto, di diffusione, delle onde, di Laplace; equazione di Burgers, equazione dei mezzi porosi (problemi di filtrazione), equazione eiconale (ottica geometrica), equazioni di Navier-Stokes (moto di un fluido viscoso, incomprimibile).
Anno Accademico 2009/2010 3 Data Ven. 25/9/2009 Totale ore 2...................... Un primo esempio di derivazione di un EDP: descrizione dell evoluzione della concentrazione di una sostanza inquinante in un corso d acqua soggetto a corrente. Leggi generali (di conservazione, di bilancio,... ) e relazioni costitutive (di natura sperimentale). Trasporto e diffusione. L equazione del trasporto u t + cu x = 0. Equazione di diffusione u t = ku xx. Analisi dell equazione u t + cu x = 0. Soluzioni classiche. Interpretazione geometrica: se u = u(x, t) è una soluzione, le rette di equazione x ct = costante sono linee di livello di u. Linee caratteristiche. Soluzione del problema ai valori iniziali: u t + cu x = 0, x R, t > 0, con u(x, 0) = g(x). L equazione u t + c(x)u x = 0 o, più in generale, a(x, y)u x + b(x, y)u y = 0. Ogni soluzione u = u(x, y) è costante sulle curve integrali del campo (a(x, y), b(x, y)). Il metodo delle caratteristiche. Assegnati alcuni ESERCIZI/PROBLEMI relativi al tema Preliminari, EDP del primo ordine (foglio n. 1). Data Mar. 29/9/2009 Totale ore 1...................... L equazione del trasporto u t + cu x = 0 (continuazione). Onde progressive. Esistenza e unicità delle soluzioni dei problemi ai valori iniziali associati; dipendenza continua dai dati. Problemi ben posti (secondo Hadamard). L equazione a(x, y)u x + b(x, y)u y = 0. Sistema caratteristico e curve caratteristiche. RICHIAMI: Esistenza e unicità delle soluzioni dei problemi di Cauchy associati ad un equazione differenziale ordinaria (EDO). Il metodo delle caratteristiche. ESEMPIO: risoluzione del problema u x +xyu y = 0, x, y R, con u(0, y) = y, y R. Lezione Esercitazione Laboratorio Seminario Data Mer. 30/9/2009 Totale ore 2...................... Discussione di alcuni tra gli ESERCIZI assegnati la settimana precedente, relativi a Preliminari, EDP del primo ordine. Trasporto con sorgente distribuita: l equazione (lineare) non omogenea u t + cu x = f(x, t). Principio di sovrapposizione. Il problema ai valori iniziali. Introduzione al Principio di Duhamel per la risoluzione di equazioni lineari non omogenee.
Anno Accademico 2009/2010 4 Lezione Esercitazione Laboratorio Seminario Data Ven. 2/10/2009 Totale ore 2...................... Il problema ai valori iniziali u t + cu x = f(x, t), u(x, 0) = g(x) (continuazione). Applicazione del Principio di Duhamel per determinare la soluzione del problema v t + cv x = f(x, t), v(x, 0) = 0. COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: integrali dipendenti da un parametro. Regolarità della funzione F(x) = d f(x, y)dy, x [a, b]. Condizioni c di regolarità su f, α, β sufficienti a garantire la derivabilità della funzione G(x) = β(x) α(x) f(x, y)dy, ed espressione di G (x). Discussione e chiarimenti riguardo a ESERCIZI assegnati la settimana precedente, relativi a Preliminari, EDP del primo ordine. Data Mar. 6/10/2009 Totale ore 1...................... Introduzione alle EDP quasi-lineari del primo ordine. Studio dell equazione a(x, y, u)u x + b(x, y, u)u y = c(x, y, u), con a, b, c C 0 (Ω), Ω aperto di R 3. Se u = u(x, y) è una soluzione dell equazione, il campo di vettori V (x, y, z) = (a(x, y, z), b(x, y, z), c(x, y, z)) è tangente al grafico di u in ogni suo punto. Curve integrali del campo. Sistema di equazioni caratteristiche.
Anno Accademico 2009/2010 5 Data Mer. 7/10/2009 Totale ore 2...................... EDP quasi-lineari del primo ordine (continuazione). Il problema di Cauchy per l equazione a(x, y, u)u x + b(x, y, u)u y = c(x, y, u), (1) con a, b, c C 1 (Ω), Ω R 3. Sistema di equazioni caratteristiche, linee caratteristiche. Il grafico di ogni soluzione è unione di linee caratteristiche; infatti, vale il seguente Lemma (dimostrato). LEMMA. Sia u = u(x, y) una soluzione dell equazione (1). Allora, fissato un punto P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) Ω, con z 0 = u(x 0, y 0 ), la linea caratteristica passante per P 0 giace interamente sul grafico di u. Vale anche il viceversa, cioè l unione di linee caratteristiche forma il grafico di una soluzione di u, purché valga la Condizione di trasversalità (dimostrato). Interpretazione geometrica. Il caso semi-lineare. COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: Invertibilità locale di applicazioni. TEOREMA di invertibilità locale (solo enunciato). Data Ven. 9/10/2009 Totale ore 2...................... Esempi relativi al tema EDP quasi-lineari. 1. Risoluzione del problema ai valori iniziali u x + 2u y = u 2, (x, y) R 2, u(x, 0) = h(x), con h C 1 (R), h 0. Il caso h(x) = x (per esercizio). 2. Un importante esempio: l equazione di Burgers u t + uu x = 0 (dinamica dei gas). Leggi di conservazione. L equazione di Burgers con viscosità. Studio del problema ai valori iniziali uu x + u y = 0, u(x, 0) = h(x): analisi dei casi in cui (i) h è crescente e (ii) h è strettamente decrescente. Fenomeno della catastrofe del gradiente. Assegnati alcuni ESERCIZI/PROBLEMI relativi al tema EDP quasi-lineari (foglio n. 2). Lezione Esercitazione Laboratorio Seminario Data Mar. 13/10/2009 Totale ore 1..................... Discussione di ESERCIZI/PROBLEMI relativi al tema EDP quasi-lineari.
Anno Accademico 2009/2010 6 Lezione Esercitazione Laboratorio Seminario Data Mer. 14/10/2009 Totale ore 2..................... Discussione di ESERCIZI/PROBLEMI relativi al tema EDP quasi-lineari (continuazione). Data Ven. 16/10/2009 Totale ore 2..................... Derivazione di un modello per le piccole vibrazioni di una corda: l equazione della corda vibrante u tt (x, t) c 2 u xx (x, t) = 0. Riduzione dell EDP del secondo ordine ad un sistema di due EDP del primo ordine; ogni soluzione u = u(x, t) è della forma u(x, t) = F(x + ct) + G(x ct), con F e G funzioni opportune. Il problema ai valori iniziali u tt c 2 u xx = 0, x, t R, u(x, 0) = ϕ(x), u t (x, 0) = ψ(x), x R. Formula di D Alembert. Data Mar. 20/10/2009 Totale ore 1..................... L equazione della corda vibrante (continuazione). Soluzione generale dell equazione delle onde unidimensionale (u(x, t) = F(x+ct)+G(x ct)) e formula di D Alembert per il problema ai valori iniziali corrispondente. Dipendenza continua dai dati, buona positura del problema ai valori iniziali. Un secondo metodo per la risoluzione dell equazione delle onde unidimensionale: introduzione della trasformazione ξ = x+ct, η = x ct, e riduzione all equazione v ξη = 0 (di facile risoluzione). Si ritrova u(x, t) = F(x+ct)+G(x ct), con F, G arbitrarie. Onde progressive e onde regressive.
Anno Accademico 2009/2010 7 Lezione Esercitazione Laboratorio Seminario Data Mer. 21/10/2009 Totale ore 2..................... Equazione delle onde unidimensionale (continuazione). Dominio di dipendenza di un punto (x, t), dominio di influenza di un punto x 0 ; velocità di propagazione finita. Regola del parallelogramma e soluzioni in senso debole dell equazione delle onde. Propagazione delle singolarità dei dati lungo le caratteristiche. Esercizio: Risoluzione del problema ai valori iniziali seguente: u tt u xx = 0, (x, t) R (0, ), u(x, 0) = 0, u t (x, 0) = ψ(x), x R, ove ψ(x) = U se x a, ψ(x) = 0 altrimenti. Studio della regolarità della soluzione debole. Data Ven. 23/10/2009 Totale ore 2..................... Metodi dell energia. Conservazione dell energia per l equazione delle onde (unidimensionale). L equazione non omogenea v tt c 2 v xx = f(x, t). Applicazione del Principio di Duhamel per la determinazione della soluzione tale che v(x, 0) = v t (x, 0) = 0. Esempio. Determinare una soluzione dell equazione u tt 4u xx = cosx. Assegnati alcuni ESERCIZI/PROBLEMI relativi al tema Equazione delle onde (foglio n. 3). Data Mar. 27/10/2009 Totale ore 1..................... L equazione delle onde (unidimensionale) sulla semiretta [0, ) ( corda semifinita ). Il caso di condizione al bordo di Dirichlet. Calcolo esplicito della soluzione del problema per mezzo (della formula di d Alembert e) della regola del parallelogramma. Onde dirette e onde riflesse. Regolarità dei dati, condizioni di compatibilità.
Anno Accademico 2009/2010 8 Lezione Esercitazione Laboratorio Seminario Data Mer. 28/10/2009 Totale ore 2..................... Problemi al contorno e ai valori iniziali per l equazione delle onde sulla semiretta [0, ) (continuazione). Condizioni di compatibilità. Estensione dei dati iniziali (per antisimmetria) su (, 0) per la risoluzione del problema. Estensioni pari nel caso di condizioni al bordo di Neumann. Discussione di ESERCIZI/PROBLEMI relativi al tema Equazione delle onde. Data Ven. 30/10/2009 Totale ore 2..................... Corda semi-finita (continuazione). Il caso di condizione al bordo di Neumann. Interpretazione fisica. Relative condizioni di compatibilità. La corda di lunghezza finita: problemi ai valori iniziali e al contorno per l equazione delle onde u tt c 2 u xx = 0, con 0 < x < L, t > 0. Il caso di condizioni al bordo di Dirichlet. Condizioni di compatibilità sui dati. Metodi dell energia e unicità delle soluzioni. Discussione di differenti metodi per l analisi del problema suddetto (con condizioni al bordo omogenee): (i) estensioni dispari (pari, nel caso di condizioni al bordo di Neumann) dei dati iniziali su [ L, 0) e prolungamenti 2L-periodici; (ii) utilizzo della formula di d Alembert e della regola del parallelogramma per la costruzione della soluzione. Discussione esplicita del problema seguente: (assegnato la settimana precedente) u tt u xx = 0, 0 < x < π, t > 0, con u(0, t) = u(π, t) = 0, t 0, e u(x, 0) = 0, u t (x, 0) = 1, 0 x π. (iii) Il metodo di separazione delle variabili. Data Mar. 3/11/2009 Totale ore 1...................... La corda di lunghezza finita, con estremi fissi (continuazione). Introduzione al classico metodo di separazione delle variabili. Problema agli autovalori. Autovalori ed autofunzioni corrispondenti.
Anno Accademico 2009/2010 9 Lezione Esercitazione Laboratorio Seminario Data Mer. 4/11/2009 Totale ore 2...................... Il metodo di separazione delle variabili (continuazione). Applicazione al caso di corda di lunghezza finita, con estremi fissi. Problema agli autovalori. Calcolo degli autovalori e delle autofunzioni corrispondenti. Soluzione candidata come somma di una serie di funzioni. Sviluppi in serie (di Fourier) dei dati iniziali. Discussione di alcuni esercizi. Assegnati nuovi ESERCIZI/PROBLEMI relativi al tema Equazione delle onde, il metodo di separazione delle variabili (foglio n. 4). Data Ven. 6/11/2009 Totale ore 2...................... COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA. Un introduzione elementare alle serie di Fourier. Funzioni periodiche di periodo T > 0. Prolungamenti periodici di periodo T = b a di una funzione definita in un intervallo [a, b]. Funzioni continue a tratti. Funzioni periodiche di periodo T, continue a tratti in R e regolarizzate: lo spazio C T. Il caso T = 2π. Il prodotto scalare (f, g) := T 0 f(t)g(t)dt in C T. Proprietà del prodotto scalare (con dimostrazione della validità delle stesse). Funzioni ortogonali. Le funzioni 1, cosx, sinx, cos(2x), sin(2x),..., cos(nx), sin(nx),... sono a due a due ortogonali in C 2π. Calcolo esplicito degli integrali π π π π cos(nt)cos(mt)dt, m, n 0 ; sin(nt)sin(mt)dt, m, n 1. π π cos(nt)sin(mt)dt, n 0, m 1 ; Il sistema { 1 2π, 1 π cos(nx), 1 } sin(nx) : n = 1, 2, 3,... π è un sistema ortonormale nello spazio C 2π.
Anno Accademico 2009/2010 10 Lezione Esercitazione Laboratorio Seminario Data Mar. 10/11/2009 Totale ore 1..................... Discussione di alcuni esercizi/problemi (contenuti nel foglio n. 4). Data Mer. 11/11/2009 Totale ore 2..................... Serie di Fourier (continuazione). Serie trigonomentriche. Serie di Fourier associata ad una funzioni periodica di periodo T = 2π, continua a tratti. Coefficienti di Fourier. Importante: la serie di Fourier di una funzione pari è una serie di soli coseni, la serie di Fourier di una funzione dispari è una serie di soli seni. Alcuni esempi: calcolo della serie di Fourier delle funzioni f(x), 2π-periodiche, che coincidono in ( π, π] con le funzioni: (i) onda quadra; (ii) (iii) estensioni simmetrica e antisimmetrica di f(x) = x, x [0, π]. Data Ven. 13/11/2009 Totale ore 2..................... Serie di Fourier (continuazione). 1. Espressione dei coefficienti e della serie di Fourier nel caso di periodo T 2π. 2. Serie di Fourier in campo complesso. (Si richiama la formula di Eulero.) 3. Spazi vettoriali dotati di prodotto scalare. Proprietà del prodotto scalare. Norma indotta dal prodotto scalare, proprietà della norma, spazi normati. Alcuni esempi rilevanti: norma euclidea in R n, norma lagrangiana in B(A) (spazio delle funzioni limitate di A R in R). La norma permette di definire una distanza (o metrica). Proprietà della distanza, spazi metrici.
Anno Accademico 2009/2010 11 Data Mar. 17/11/2009 Totale ore 1..................... Richiami e precisazioni riguardo ai temi trattati nella lezione precedente. Definizione di spazio metrico X; proprietà della distanza. Vari esempi (R n con la metrica pitagorica, B(A) con la metrica lagrangiana; metriche integrali di ordine 1 e 2,... ). La metrica consente di introdurre la nozione di intorno di un punto x 0 X, e di convergenza di una successione {x n } n a valori in X. Topologia indotta dalla metrica. Spazi vettoriali (o lineari) su R o C. Spazi normati; assiomi della norma. Esempi. Uno spazio normato è anche metrico. (Attenzione: uno spazio metrico non ha necessariamente una struttura di spazio lineare.) Esempi. Spazi lineari (su R) dotati di prodotto scalare (spazi euclidei). Proprietà del prodotto scalare. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (dimostrata, nella lezione successiva). Uno spazio euclideo è anche normato, con la norma x. = (x, x).
Anno Accademico 2009/2010 12 Data Mer. 18/11/2009 Totale ore 2..................... Spazi normati e spazi euclidei. Un chiarimento riguardo alla questione seguente: Sia X uno spazio normato. Quali condizioni deve soddisfare la norma definita in X affinché X sia uno spazio euclideo, cioè la norma in esso definita sia determinata da un prodotto scalare? Vale la seguente caratterizzazione degli spazi euclidei nella classe degli spazi normati. TEOREMA Affinché uno spazio normato X diventi uno spazio euclideo è necessario e sufficiente che per due qualsiasi elementi x e y in X sia verificata l uguaglianza x + y 2 + x y 2 = 2 ( x 2 + y 2). (2) ESEMPIO: Si può mostrare che X = R n con la norma ( n x p = x x p) 1/p k=1 è uno spazio normato per ogni p 1 (valgono tutti gli assiomi della norma). Tuttavia, (X, p ) è uno spazio euclideo se e solo se p = 2. Infatti, se p 2, la (2) non è soddisfatta con x = (1, 1, 0,..., 0) e y = (1, 1, 0,..., 0). Polinomi trigonometrici. Metrica integrale di ordine 2. PROPOSIZIONE (Proprietà di migliore approssimazione): Sia f una funzione 2πperiodica e continua a tratti in [ π, π], e sia s n (x) la successione delle somme parziali della serie di Fourier ad essa associata. Al variare di σ n tra tutti i polinomi trigonometrici di grado n, lo scarto quadratico medio 1 2π f σ n 2 2 risulta minimo se σ n = s n. Conseguenze (dimostrate): (i) Disuguaglianza di Bessel; (ii) Lemma di Riemann-Lebesgue.
Anno Accademico 2009/2010 13 Lezione Esercitazione Laboratorio Seminario Data Ven. 20/11/2009 Totale ore 2..................... Convergenza delle serie di Fourier. TEOREMA di convergenza in norma quadratica (s.d.). Identità di Parseval. Esempi di utilizzo dell identità di Parseval per il calcolo della somma di alcune serie numeriche. Convergenza puntuale di successioni e serie di funzioni. Funzioni continue a tratti, condizione di Dirichlet. TEOREMA di convergenza puntuale (s.d.). Illustrazione dell applicazione del teorema: validità della condizione di Dirichlet ed analisi della convergenza delle serie di Fourier nei casi esaminati nella lezione dell 11/11/09. Assegnati ESERCIZI/PROBLEMI relativi al tema Spazi di funzioni, serie di Fourier e loro convergenza (foglio n. 5). Lezione Esercitazione Laboratorio Seminario Data Mar. 24/11/2009 Totale ore 1..................... Svolgimento di un esercizio del foglio n. 5 (Spazi di funzioni, serie di Fourier e loro convergenza): calcolo della serie di Fourier associata al prolungamento 2π-periodico della funzione f(x) = e x, x ( π, π]. Lezione Esercitazione Laboratorio Seminario Data Mer. 25/11/2009 Totale ore 2..................... Convergenza uniforme per successioni di funzioni. Definizione, confronto con la definizione di convergenza puntuale. La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale. TEOREMA che descrive le principali implicazioni della convergenza uniforme: (i) continuità del limite puntuale f, se f n C 0 (I) per ogni n e f n converge a f uniformemente in I; (ii) passaggio al limite sotto il segno di integrale, se I è limitato e f n converge a f uniformemente in I. (iii) d Condizioni sufficienti affinché lim n dt f n(t) = d dt lim n f n (t). Alcuni esempi.
Anno Accademico 2009/2010 14 Data Ven. 27/11/2009 Totale ore 2..................... Serie di funzioni convergenti uniformemente in un insieme A R. Il Criterio di Weierstrass (s.d). Convergenza totale. Convergenza delle serie di Fourier (continuazione). Funzioni regolari a tratti. TEOREMA di convergenza uniforme (dimostrato). Data Mar. 1/12/2009 Totale ore 1...................... Dopo la parentesi dedicata all introduzione delle serie di Fourier e ai relativi criteri di convergenza, si ritorna al problema della ricerca della soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet per l equazione della corda vibrante mediante il metodo di separazione delle variabili. Sviluppi in serie di Fourier dei dati iniziali ed espressione della soluzione (candidata) come serie di funzioni n=1 u n(x, t). Regolarità e condizioni di compatibilità sui dati che garantiscono la convergenza di tale serie alla soluzione classica del problema. Lezione Esercitazione Laboratorio Seminario Data Mer. 2/12/2009 Totale ore 2...................... Discussione di un problema al contorno e ai valori iniziali per l equazione del calore (foglio n. 4 Metodo di separazione delle variabili). Data Ven. 4/12/2009 Totale ore 2...................... L equazione di Laplace. Intepretazione fisica. Funzioni armoniche. Un problema non ben posto per l equazione di Laplace. Ricerca di soluzioni dell equazione di Laplace con qualche proprietà di simmetria: funzioni armoniche radiali. Problemi al contorno per l equazione di Poisson in domini limitati; condizioni al bordo di Dirichlet, Neumann, Robin, miste. Il caso n = 2: calcolo di u in coordinate polari.
Anno Accademico 2009/2010 15 Lezione Esercitazione Laboratorio Seminario Data Mar. 8/12/2009 Totale ore 0...................... Festa nazionale Data Mer. 9/12/2009 Totale ore 2...................... L equazione di Laplace (continuazione). Problemi al contorno per l equazione di Poisson in domini limitati con frontiera regolare. Richiami: il Teorema della divergenza; formula (di Green) di integrazione per parti. TEOREMA relativo all unicità delle soluzioni nel caso di condizioni al bordo di Dirichlet e Robin; condizioni di compatibilità sui dati nel caso del problema di Neumann. Il problema di Dirichlet nel disco. Applicazione del metodo di separazione delle variabili. (La lezione è interrotta dieci minuti per consentire la rilevazione relativa alla Valutazione della didattica.) Lezione Esercitazione Laboratorio Seminario Data Ven. 11/12/2009 Totale ore 0..................... La docente aderisce allo sciopero dei lavoratori della conoscenza.
Anno Accademico 2009/2010 16 Data Mar. 15/12/2009 Totale ore 1..................... Il problema di Dirichlet per l equazione di Laplace nel disco (continuazione). Soluzioni della forma U(r, θ) = v(r)w(θ); problema agli autovalori, equazione (di Eulero) soddisfatta da v(r). Espressione della soluzione come somma di una serie; analisi della convergenza. Assegnati ESERCIZI/PROBLEMI relativi al tema L equazione di Laplace (foglio n. 6). Lezione Esercitazione Laboratorio Seminario Data Mer. 16/12/2009 Totale ore 2..................... Il problema di Dirichlet per l equazione di Laplace nel disco (continuazione). Formula di Poisson, regolarità della soluzione. Proprietà della media. Discussione (i) del problema di Neumann per l equazione di Laplace (condizione di compatibilità, non unicità delle soluzioni); (ii) di problemi al contorno per l equazione di Laplace in domini del piano a simmetria radiale, quali: il settore circolare, la corona circolare, la regione esterna ad una circonferenza. Svolgimento di alcuni esercizi del foglio n. 6 (L equazione di Laplace).
Anno Accademico 2009/2010 17 Data Ven. 18/12/2009 Totale ore 2..................... L equazione di Laplace (continuazione). Precisazioni su temi/esercizi affrontati nelle due lezioni precedenti. Polinomi trigonometrici e serie di Fourier ad essi associate. Il Principio del massimo: formulazioni debole e forte (s.d.). L equazione di diffusione o del calore u t = k u (u = u(x, t) rappresenta la temperatura di un corpo nel punto x Ω, all istante t 0). Senza perdita di generalità si considera il caso in cui la costante di diffusione k = 1; infatti a questo caso ci si può ricondurre riscalando la variabile temporale: t kt. L equazione del calore non è invariante rispetto alla trasformazione t t. Problemi al contorno a e ai valori iniziali in un dominio limitato. Si richiama il problema di Cauchy-Dirichlet per l equazione del calore, con x [0, L] (esaminato in una lezione precedente): applicazione del metodo di separazione delle variabili, espressione della soluzione come somma di una serie di funzioni. Coefficienti di Fourier del dato iniziale ed analisi della convergenza della serie alla soluzione del problema. Il caso Ω = R n : il puro problema ai valori iniziali. Cenni (i) al ruolo della trasformata di Fourier (nella variabile x) per la risoluzione del problema, e (ii) al Metodo di similarità per la costruzione di soluzioni speciali dell equazione del calore (e di altre EDP aventi sufficiente simmetria). Soluzione fondamentale dell equazione del calore (o nucleo del calore). Soluzione del problema ai valori iniziali con dati in C b (R n ) (spazio delle funzioni continue e limitate in R n ). Analisi dell integrale di convoluzione e regolarità di u(x, t) per t > 0: u C (R n (0, )). Velocità di propagazione infinita. Suggerimenti per approfondimenti, ad esempio: Classificazione delle EDP lineari del secondo ordine.
Anno Accademico 2009/2010 18 RIEPILOGO Lezioni 31............................... n ore 46... Esercitazioni 13.......................... n ore 16... Laboratori.............................. n ore...... Seminari................................ n ore...... Totale ore 62. FIRMA DEL DOCENTE........................ Visto: IL PRESIDE DELLA FACOLTÀ.....................................