Condensatore elettrico Sistema di conduttori che possiedono cariche uguali ma di segno opposto armature condensatore La presenza di cariche crea d.d.p. V (tensione) fra i due conduttori Condensatore piano Capacità di un condensatore è: E = σ = Q C Q ΔV [C]= F Farad µf-pf 1F=1C/1V Tra le armature il campo E è uniforme quindi ΔV = E d = Q d E σ allora C = Q ΔV = d 1
Condensatori con dielettrici Dielettrico materiale non conduttore, come gomma, vetro, carta. Se introdotto tra le armature C aumenta di un fattore ε r (costante dielettrica) C= ε r C 0 Condensatore piano ε C = r d C aumenta diminuendo d però fino a quando non si innesca scarica elettrica attraverso il dielettrico Rigidità dielettrica (max V per un certo d) V< V 0 Materiale ε r rigidità V/m ria 1.00059 3x10 6 Carta 3.7 16x10 6 Vetro pirex 5.6 14x10 6 2
Tipi di condensatori lte tensioni Elettrolitico per grandi accumuli carica imbevuta di paraffina Per piccoli condensatori si usano materiali ceramici Sottile strato di dielettrico su metallo, grande capacità ttenzione alla polarità 3
esempi 1) Condensatore a carta. Un condensatore piano ha le armature di dimensioni a=2 cm, b=3 cm, separate da una distanza d=1 mm. Quanto vale la capacita? Qual e la massima tensione applicabile? Per la carta e ε r =3.7, quindi: ε C = S r d = 3.7(8.85 C 2 10-12 Nm )(6 10-4 m 2 ) = 20 pf 2 1 10-3 m Rigidita carta: 16 10 6 V/m, quindi: ΔV max = E max d = (16 10 6 V /m)(1 10-3 m) =16 10 3 V 4
esempi 2) Energia immagazzinata con e senza dielettrico. Sul condensatore C 0 si deposita la carica Q 0 con la batteria V 0. Si stacca poi la batteria e si inserisce una lastra di cost. ε r. L energia immagazzinata in C 0 a vuoto e U 0 = 1 2 2 Q 0 C 0 ll inserimento del dielettrico e senza batteria, Q 0 resta la stessa e quindi l energia sara : U = Q 2 0 2 2C = Q 0 = U 0 < U 0 2ε r C 0 ε r La diminuzione di energia si spiega osservando che il dielettrico inserito, e attratto dalle piastre. La forza ha origine dalla non uniformita del campo ai bordi; la componente orizzontale agisce sulle cariche indotte sulla superficie del dielettrico, dando luogo alla forza diretta verso l interno del condensatore. 5
Riferimento ad interpretazione microscopica. conduttori-dielettrici Conduttori: metalli caratterizzati da struttura cristallina con atomi ai vertici di reticolo poliedrico. La disposizione degli atomi nel reticolo e quindi l andamento spaziale del potenziale della forza che attrae e - ai nuclei e tale che 1-2 e - delle orbite esterne siano liberi ( energia di legame energia di agitazione termia a T amb ). Se si applica E le cariche si muovono. Dielettrici: atomi e molecole con e - ben legati ai nuclei. Per forti interventi localizzati (strofinio), si possono spostare cariche. In genere sono complessivamente neutri. In presenza di campo esterno si puo avere momento di dipolo 0, si dice allora che il dielettrico e polarizzato. 6
Dipolo in campo E Vediamo l effetto di un campo elettrico su di un dipolo elettrico. momento di dipolo elettrico p=q2a Tale momento tende a produrre una rotazione oraria. Le forze agenti sulle cariche F=qE sono opposte R (e) =0; esse esercitano una coppia che tende a ruotare il dipolo per allinearsi al campo. Il momento della forza sulla carica positiva rispetto ad un asse passante per O e F a senθ con a senθ=b braccio di F rispetto ad O. Il momento di F su -q rispetto ad O e ancora F a senθ, quindi: M = 2Fasenθ = 2qEasenθ = pesenθ In forma vettoriale e : M = p E 7
Energia potenziale di un dipolo Vogliamo calcolare l energia potenziale di un dipolo elettrico in un campo elettrico esterno in funzione della sua orientazione rispetto al campo. Se il dipolo e allineato con il campo elettrico un agente esterno deve compiere lavoro per ruotare il dipolo fino ad un dato angolo. Il lavoro eseguito e immagazzinato come energia potenziale del sistema dipolo-campo. F Il lavoro dw richiesto ad una forza F per ruotare il dipolo di dθ e : ds φ P si sposta di ds = r dθ O dθ r P dw = F d s = Fsenφrdθ = qesenφr dθ = Mdθ Con M momento di F rispetto ad O, che dalla precedente da M=pE senθ D altra parte il lavoro viene trasformato in energia potenziale U e per una rotazione finita aa θ I a θ f, la variazione U sara : θ f ΔU = U f U i = Mdθ = θ i θ f θ i pesenθdθ = pe( cosθ) θ i θ f = pe(cosθ i cosθ f ) Il termine in cui compare θ i e una costante dipendente dalla posizione iniziale del dipolo. Conviene scegliere θ I =90 0 e quindi: U = pe cosθ = p E Da un confronto con l energia potenziale gravitazionale U=mgh, si nota come nei due casi si modifichi il sistema, una volta in dipendenza dall altezza dell oggetto e nell altra con la rotazione del corpo. In entrambi i casi, se lasciato libero, il corpo tende a tornare nella posizione iniziale, a terra o allineato ad E. 8
Molecole polarizzate Le molecole sono dette polarizzate quando il baricentro delle cariche positive e diverso da quello delle cariche negative. Per la molecola dell acqua questa condizione e sempre verificata, e quindi detta molecola polare. Si ha cosi un momento di dipolo p 0 livello macroscopico l effetto di p non si manifesta poiche le molecole sono orientate a caso <p>=0. Se c e un campo elettrico i dipoli si allineano al campo. Es. Forno a microonde: il forno produce un campo elettrico variabile rapidamente che mette in oscillazione le molecole di acqua ; queste assorbono energia dal campo e per gli urti provocati da tale moto tale energia si converte in energia interna che aumenta la temperatura del corpo. Una molecola simmetrica non ha polarizzazione permanente, ma un momento di dipolo puo essere indotto da una campo esterno. Il campo elettrico sposta la carica - e induce una polarizzazione per deformazione Questo e l effetto dominante nella maggior parte dei materiali usati come dielettrici nei condensatori. 9
Modello dielettrici Nel caso di un condensatore piano riempito di dielettrico di costante ε r e : V= V 0 /ε r e poiche V= E d e E=E 0 /ε r Se il materiale dielettrico tra le armature e costituito da molecole polari, si ha una orientazione casuale in assenza di campo elettrico, che diventa allineamento con la presenza del campo E 0. Il grado di allineamento dipende dalla temperatura e dall intensita del campo. Se le molecole del dielettrico sono non polari il campo elettrico esterno delle armature produce un momento elettrico di dipolo e una polarizzazione per deformazione, con i momenti di dipolo indotti che tendono ad allinearsi con campo elettrico esterno. Possiamo polarizzare qualunque dielettrico. E=E 0 -E ind nel dielettrico E ind E 0 =σ/ E ind = σ ind / Ma E=E 0 / ε r σ = σ σ ind σ ind = ε 1 r σ ε r ε r dato che ε r >1 e σ ind < σ 10
esempi 1) Effetto di una lastra metallica. Un condensatore piano ha le armature di area a distanza d. Una lastra di metallo scarica di spessore a, e inserita al centro. Calcolare C. Sulla lastra viene indotta una carica opposta su ciascuna faccia con stessa densita σ come sulle armature; la carica totale sulla lastra e dunque nulla e E=0. Quindi il condensatore equivale a due condensatori in serie con distanza tra le armature (d-a)/2. 1 C = 1 C 1 + 1 C 2 = 1 (d a) /2 + 1 (d a) /2 C = d a 11
esempi 2) Condensatore parzialmente riempito. Un condensatore piano con armature distanti d ha capacita C 0 in assenza di dielettrico. Si inserisce tra le armature una lastra dielettrica di costante ε r e spessore d/3. C? Nell esempio precedente, potevamo considerare il condensatore come composto da due condensatori in serie indipendentemente dalla posizione della lastra. Inoltre quando lo spessore della lastra tende a 0, C tende a quella in assenza di lastra. Si suppone allora di inserire una lastra metallica sottile sotto la superficie inferiore del dielettrico. C 1 = ε r d /3 C 2 = 2d /3 1 C = d /3 ε r 2d /3 + = d 3 (1+ 2ε r ) ε r C = 3ε r 2ε r +1 d = 3ε r 2ε r +1 C 0 12