Il numero di ferro Introduzione Una competenza fondamentale che si dovrebbe acquisire attraverso lo studio della matematica è quella di costruire modelli che permettano di interpretare la realtà, cogliendo regolarità, differenze e analogie. L esperienza laboratoriale che proponiamo è un esempio di come guidare i ragazzi alla modellizzazione di una situazione concreta con una relazione di proporzionalità diretta e mediante una funzione del tipo y= kx. Questa proposta didattica si colloca alla fine della seconda classe. È necessario che i ragazzi, in una fase preliminare abbiano acquisito alcune conoscenze relative alla proporzionalità e alla costruzione dei grafici e che abbiano affrontato in modo pratico le misure di peso e di volume. Il contesto di riferimento è il campo scientifico - tecnologico. L insegnante coordina e guida il lavoro in classe e le discussioni che portano gli alunni alla determinazione del peso specifico del ferro.
Descrizione attività Premessa L insegnante dispone vari piccoli oggetti sulla cattedra. I solidini possono essere uguali ma composti di materiali diversi, oppure, se non ne abbiamo a disposizione basta che siano abbastanza simili tra loro. Gli oggetti possono essere composti di legno, ferro, plastica, vetro... Si scelgono, tra tutti, due oggetti: uno di sughero e uno di ferro. Gli alunni, guidati dall insegnante, discutono sulla stima dei rispettivi pesi. Il peso degli oggetti sarà lo stesso per i due solidi? Quale sarà secondo voi il più pesante..? Gli alunni riescono facilmente a giungere alla conclusione che in generale, a parità di grandezza, gli oggetti di legno pesano meno di quelli di ferro. Primo problema C è qualcosa che accomuna gli oggetti dello stesso materiale? Per rispondere a questa domanda si effettua le seguente esperienza: si prendono diversi cilindretti di ferro, uguali tra loro: Ad esempio si possono utilizzare i pesi da 50 g della bilancia a piatti. Il lavoro ora consiste nel riportare i dati nella prima e nella terza colonne della tabella: Numero cilindretti Volume (cm 3 ) Peso (g) Tabella 1 in questo modo: Numero Volume Peso (g)
cilindretti (cm3) 1 50 2 100 3 150 4 200 5 250 Secondo problema Qual è il volume dei cilindretti? Si prende un cilindro graduato con una certa quantità di acqua e vi si immerge un cilindretto in modo che resti completamente sommerso. A questo punto è necessario leggere la variazione del livello dell acqua. Il volume dell acqua innalzata è equivalente al volume del cilindretto. Considerando il fatto che i cilindretti sono tutti uguali (a meno che non ci siano difetti di fabbricazione), anche i volumi saranno gli stessi, quindi, può essere facilmente riempita la seconda colonna della tabella in questo modo: Numero cilindretti Volume (cm3) 1 6,5 50 2 13 100 3 19,5 150 4 26 200 5 32,5 250 Peso (g) Nota: la determinazione del volume del cilindretto richiede una certa precisione per cui si forniscono alcuni suggerimenti e consigli pratici che possono agevolare il lavoro: l unità di misura dei cilindri graduati di solito è in millilitri, quindi è indispensabile far ricordare agli alunni l equivalenza 1 ml=1cm 3 è bene riflettere a priori sulla scelta del cilindro graduato da usare, infatti deve essere abbastanza largo da contenere l oggetto da immergere ma deve garantire anche una discreta sensibilità nella scala di misura affinché si abbia la maggiore precisione possibile; ricordare agli alunni che la lettura va effettuata tenendo fermo il cilindro graduato davanti agli occhi per evitare errori prospettici; al posto dei cilindretti di ferro si possono scegliere oggetti fatti con un materiale più leggero, in modo tale da lavorare con volumi maggiori la cui misurazione può risultare più semplice e quindi dare minori errori; lavorare con dei cilindretti tutti uguali, da una parte facilita la scoperta della legge della proporzionalità diretta, ma dall altro lato suscita minore curiosità sull imprevedibilità dei dati, perché è fin dall inizio abbastanza intuitiva. Alla fine di questa esperienza si
riporta un esempio di come poter lavorare per la determinazione del peso specifico del sale da cucina, ma potremmo anche ripetere la ricerca usando dell olio, del legno, o semplicemente delle pietre o dei pezzetti di marmo, nel qual caso non avremmo nella prima colonna 1,2,3... perché sassi uguali non ce ne sono e la congettura della proporzionalità potrebbe essere più complessa, ma la sua messa alla prova più stimolante. Terzo problema Gli alunni rappresentano i dati della tabella 3 in un diagramma cartesiano su carta millimetrata, mettendo sull asse delle x i volumi e sull asse delle y i pesi. Osservando il grafico gli alunni, aiutandosi con un righello, si accorgono dell allineamento dei punti e così, dopo aver osservato il grafico, si può semplicemente procedere per domande: All aumentare del volume, come cambia il peso: aumenta, diminuisce,... rimane sempre uguale? Se il volume raddoppia, come cambia il peso? Se il volume dimezza, come cambia il peso? Se il volume triplica, come cambia il peso? Se il volume diventa un terzo, come cambia il peso? Si fa osservare agli alunni che le grandezze crescono secondo lo stesso fattore moltiplicativo e che le operazioni che si eseguono sono le stesse che si effettuano quando da una frazione si costruisce una sua equivalente. Quindi tra i valori del peso e del volume di ogni riga della tabella il rapporto si mantiene costante. Si può verificare riempiendo adesso anche la colonna dei rapporti.
Numero cilindretti x = Volume (cm 3 ) y = Peso (g) Rapporto y/x g / cm 3 1 6,5 50 7,7 2 13 100 7,7 3 19,5 150 7,7 4 26 200 7,7 5 32,5 250 7,7 Nota: si noti che il rapporto è circa 7,7 mentre il valore del peso specifico del ferro è approssimativamente 7,85 ma, come si è già detto, è molto improbabile raggiungere la massima precisione in esperienze come questa e tale premessa è bene farla agli alunni che si dovrebbero abituare ad accettare un minimo di errori di misura, evitando di "barare" per ottenere dei risultati attesi. Quarto problema A questo punto proponiamo agli studenti il seguente quesito: "Cosa accadrebbe al grafico se studiassimo le situazioni intermedie (numeri decimali sull asse delle ascisse)?" Guidiamo la discussione collettiva. I ragazzi non avranno difficoltà ad individuare altri valori che seguiranno le regole della legge appena scoperta. Dalla discussione che ne consegue si traggono le dovute conclusioni e si procede alla costruzione di un grafico continuo che si ottiene a partire da quello per punti, che oramai sono molto ravvicinati.
Adesso si possono trarre le conclusioni: Qual è il "numero caratteristico" del ferro? (k=p/v 7,7) Conoscendo il valore del volume come ottieni il peso? (Usando il grafico e poi verificando con l operazione dopo aver scritto P =7,7 V) Riconosci nel grafico la rappresentazione di una legge che hai studiato? Ricordi come si scrive in generale la proporzionalità diretta? (y = k x ovvero y/x = k se x 0). Sai scrivere la legge rappresentata graficamente esplicitando il coefficiente di proporzionalità diretta? Se indichiamo con y il peso e con x il volume, esprimi con una formula la relazione tra y e x. Gli alunni concludono che il peso è uguale a k volte il volume, cioè p = k v con k 7,7 g/cm 3 e la legge nel nostro caso si scrive y=7,7x.
Indicazioni metodologiche L esperienza si collega facilmente all interno delle Scienze e come introduzione alla geometria solida, relativamente allo studio delle proprietà della materia e del volume dei corpi. Per la realizzazione sono sufficienti alcuni semplici oggetti: cilindretti di ferro tutti uguali, dinamometro (o bilancia), righelli, carta quadrettata e millimetrata, almeno un cilindro graduato, acqua. L attività si presta ad essere svolta con l intero gruppo classe, in modo che le singole ipotesi possano essere oggetto di discussione collettiva. In questa ottica l insegnante ha il ruolo di moderare e guidare gli interventi, sollecitare gli studenti ad argomentare opportunamente le ipotesi elaborate, valorizzare anche gli interventi errati che permettono di riflettere e trovare soluzioni alternative. L itinerario didattico prevede la costruzione graduale di una tabella e del relativo grafico.
Spunti per un approfondimento disciplinare Proporzionalità e linearità (tratto dall attività "La foto") Il concetto di proporzionalità tra grandezze affonda le sue radici didattiche nei problemi moltiplicativi della scuola elementare: se 3 pacchetti (identici) contengono 75 caramelle, 5 pacchetti conterranno 125 caramelle. Questi problemi richiedono di ridurre all unità per risolvere il quesito (quante caramelle in 1 pacchetto?) e si presentano in modo diverso a seconda di quale numero si chiede di trovare dati 3 valori soltanto tra i 4: 3, 75, 5, 125. Tipicamente tale tipo di problemi fa riferimento a valori discreti (il numero di pacchetti e di caramelle). Altri contesti permettono di considerare valori continui, che possono essere risolti sempre con lo stesso metodo. Ad esempio, se in 3 ore un auto percorre 240 km (procedendo sempre alla stessa velocità), in 5 ore la stessa auto (alla stessa velocità) percorrerà 400 km. In questo ultimo esempio è più evidente che problemi di questo tipo fanno riferimento a due tipi di relazioni: una tra grandezze diverse (la velocità dell auto: 80 km/h), una tra grandezze dello stesso tipo (ore o chilometri in rapporto tra di loro come 5 e 3). La riduzione all unità consiste nel calcolare la prima e poi nell applicare la relazione trovata per risolvere il problema; la seconda permette di risolvere il problema con un solo passaggio (ad es. moltiplicare 240 km per 5/3 in modo da ottenere 400 km), che sintetizza il procedimento applicato nel primo. La proporzionalità viene assorbita in un concetto più moderno e potente, la nozione di funzione lineare, che permette di considerare tutti i vari sottocasi dei problemi di proporzionalità in un unico caso e che costituisce oggetto di insegnamento nella scuola secondaria di primo grado. Ad esempio, il caso dell automobile è modellizzato dalla funzione f: t --> 80t (ovvero s = 80t), dove t rappresenta il tempo (in ore) ed s esprime lo spazio percorso dall auto (in km) in quel tempo, mentre 80 (km/h) è la velocità dell auto. In forma più astratta, la funzione lineare f, il cui grafico è una retta passante per l origine di pendenza 80, permette di modellizzare il problema considerato. In generale tutti i problemi di proporzionalità diretta sono riconducibili a una funzione lineare y = kx (k non nullo). Per approfondire leggi le attività La foto e Mettiamo in equilibrio.
Elementi per prove di verifica 1) Considera questo fermacarte di ferro, come puoi sapere il suo volume senza misurarlo, né immergerlo nell acqua? (Peso specifico 7.8). Spiega a parole il procedimento che useresti. 2) Due grandezze sono direttamente proporzionali se hanno costante: la differenza il prodotto la somma il quoziente non si può sapere. 3) In generale, se due grandezze sono direttamente proporzionali e si aumenta la prima di 5 allora anche la seconda aumenta di 5. Vero Falso Non si può sapere Giustifica in ogni caso la tua risposta. 4) La proporzionalità diretta si rappresenta nel piano cartesiano con una semiretta uscente dall origine. Vero Falso A volte sì, a volte no Non so 5) Se due grandezze sono direttamente proporzionali: quando la prima raddoppia, l altra come varia? Dimezza Raddoppia Triplica Varia in modo casuale Non si può sapere Giustifica in ogni caso la tua risposta. 6) Quali tra queste sono direttamente proporzionali? Lato e perimetro di un triangolo equilatero Il peso delle mele e il suo costo L età di una persona e la sua altezza La velocità tenuta da un automobile in un certo tratto di strada ed il tempo impiegato per percorrere tale tratto.
Spiega il perché delle tue scelte. 7) Quali tra queste relazioni sono di proporzionalità diretta? y = x y = 2x - 2 y = 2 - x y = 2x Spiega il perché delle tue scelte. 8) Quale tra i seguenti grafici esprime una proporzionalità diretta? 9) Un idraulico viene pagato a 20 euro l ora, quale delle seguenti leggi matematiche esprime il legame tra ore di lavoro (x) e compenso (y)? y= y= y= 20 + x y= 20x Spiega il perché della tua scelta.
Spunti per altre attività con gli studenti Il peso specifico del sale Il lavoro che segue è un altro possibile itinerario da poter perseguire per la determinazione del peso specifico, questa volta si propone di lavorare con il sale fino. Gli obiettivi, i metodi e gli strumenti sono quelli già descritti in precedenza nell esperienza del numero di ferro, ci limitiamo quindi a mostrare alcune fasi dell attività, fornendo anche una sintetica visualizzazione. I ragazzi cominciano a fare delle prove, ma sin dall inizio si rendono conto che non è facile equilibrare la quantità di sale che hanno posto sul piatto della bilancia utilizzando solo i pesini della pesiera. Servirebbero delle misure piccole di peso, addirittura di qualche grammo e loro non ne hanno a disposizione. Allora decidono di fare il contrario e cioè prima posizionano un pesino sul piatto della bilancia e poi lo equilibrano con una adeguata quantità di sale. A questo punto riescono a risolvere il loro problema e passano alla misura del volume del sale. Dopo aver annotato i risultati in un apposita tabella decidono di aumentare il peso e si mettono a bilanciare i piatti. Poi, per misurare il volume si servono di un cilindro graduato più grande del precedente e via via che procedono con le misurazioni decidono di servirsi di strumenti più grandi e capienti. annotano le varie letture dei volumi. I quantitativi di sale diventano sempre più grandi, ma i dati che ottengono seguono una regolarità che i ragazzi scoprono e riconoscono: si tratta di una proporzionalità diretta tra peso e volume. Infine non resta che cominciare a tracciare il relativo grafico.
Documentazione e materiali MATERIALI DI SUPPORTO ALL ATTIVITÀ Tabella 1 Tabella 2 Tabella 3 MATERIALI PER LE PROVE DI VERIFICA Scarica la versione cartacea delle prove di verifica in formato.doc o in formato.pdf.
Bibliografia e sitografia BIBLIOGRAFIA AAVV, Matematica 2001. La matematica per il cittadino. Attività didattiche e prove di verifica per un nuovo curriculo di matematica. Scuola primaria. Scuola secondaria di primo grado. http://umi.dm.unibo.it/italiano/matematica2001/matematica2001.html AAVV, Matematica 2003. La matematica per il cittadino. Attività didattiche e prove di verifica per un nuovo curriculo di matematica. Ciclo secondario. http://umi.dm.unibo.it/italiano/matematica2003/matematica2003.html PISA 2003, Valutazione dei quindicenni a cura dell OCSE, Roma, Armando Armando, 2004. SITOGRAFIA Sito dell Unione matematica Italiana (UMI): http://www.dm.unibo.it/umi Sezione Didattica: http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/didattica/didattica.html Matematica 2001: http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/matematica2001/matematica2001.html Matematica 2003: http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/matematica2003/matematica2003.html Dal sito INVALSI OCSE-PISA 2006: http://www.invalsi.it/ric-int/pisa2006/sito/
Protocollo per la sperimentazione Leggere l attività, le indicazioni metodologiche e gli approfondimenti: individuare i principali nodi didattici cui la situazione fa riferimento; esporli sinteticamente per scritto. Aggiungere qualche problema in altri contesti, relativo alle stesse abilità e conoscenze. Sperimentare l unità proposta: fare una ricognizione del contesto scolastico specifico in cui si svolgerà l attività; esplicitare gli adattamenti necessari; formulare il progetto didattico relativo; preparare una prova di verifica adatta a valutare le conoscenze e abilità relative alla situazione didattica posta (anche con riferimento alle prove OCSE-PISA e INVALSI). Scrivere un diario di bordo (narrazione e documentazione del processo di sperimentazione vissuto in classe). L insegnante dovrà elaborare un diario con l esposizione dell esperimento svolto, di come gli studenti hanno reagito alla proposta didattica, delle difficoltà incontrate in particolare nel processo di costruzione di significato e di procedura di soluzione e di come sono state superate le difficoltà. Esplicitare i compiti dati agli studenti e le modalità con cui gli studenti stessi sono stati responsabilizzati all apprendimento.