MODELLI DI ASSEGNAZIONE

corso di Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio MODELLI DI ASSEGNAZIONE PROF. ING. UMBERTO CRISALLI Dipartimento di Ingegneria dell Impresa crisalli@ing.uniroma.it

Sistema di modelli per la simulazione dei sistemi di trasporto OFFERTA DI INFRASTRUTTURE E SERVIZI DI TRASPORTO MODELLO DI LOCALIZZAZIONE E LIVELLO DELLE ATTIVITÀ SISTEMI DELLE ATTIVITÀ MODELLO DI OFFERTA Reti di trasporto Attributi di livello di servizio (tempi, costi) MODELLO DI DOMANDA Flussi MODELLI DI ASSEGNAZIONE MATRICI O/D Funzioni di prestazione Valutazione eetti MODELLO DEL SISTEMA DI TRASPORTO Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio

I modelli di assegnazione Calcolo dei lussi di utenti e delle prestazioni per ciascun elemento del sistema di oerta Risultato dell interazione tra: ü lussi di domanda Origine-Destinazione ü comportamenti di scelta del percorso ü reciproche interazioni ra domanda e oerta Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio

Deinizioni ed ipotesi o nodo (zona) origine dello spostamento d nodo (zona) destinazione dello spostamento od coppia Origine-Destinazione I od insieme dei percorsi rilevanti per gli utenti della coppia od A matrice di incidenza archi-percorsi complessiva c vettore dei costi di arco, c l C vettore complessivo dei costi di percorso, ormato dai vettori dei costi di percorso C od relativi a ciascuna coppia od C = A T c Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio

Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio 5 G (N,L) N {(,,,)} L {(,),(,),(,),(,),(,)} Centroidi origine {,,} Centroide destinazione {} 6 Relazione ra costi di arco e costi di percorso C = A T c GRAFO PERCORSI 5 5 5(,) (,) (,) (,) (,) 6 5 A = Deinizioni ed ipotesi = = 6 c A C C = A T c

Deinizioni ed ipotesi Detti: vettore dei lussi di arco, l ; F vettore complessivo dei lussi di percorso, ormato dai vettori dei lussi di percorso F od relativi a ciascuna coppia od; = A F Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio 6

Deinizioni ed ipotesi Relazione ra lussi di arco e lussi di percorso GRAFO 5 PERCORSI 6 5 A = (,) (,) (,) (,) 5(,) = A F = A F G (N,L) 6 7 N {(,,,)} 867 L {(,),(,),(,),(,),(,)} 867 Centroidi origine {,, } Centroide destinazione {} 95 = 79 9 86 8 5 6 Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio 7

Il modello di scelta del percorso d vettore di domanda, le cui componenti sono i valori di domanda d od per le singole coppie O-D. Comportamento di scelta del percorso Modello di utilità casuale p[/od] = Prob[V - V j ε j - ε j Є I od ] od, Modello di utilità deterministico Modello di utilità stocastico ε = ε Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio 8

Matrice di scelta dei percorsi p od = p od (C od ) od P = P(C) p od vettore delle probabilità di scelta dei percorsi che collegano l origine o con la destinazione d P matrice delle probabilità di scelta dei percorsi, con una colonna per ciascuna coppia od e una riga per ciascun percorso ; l elemento generico è dato da p[/od] se il percorso collega la coppia od, altrimenti è nullo Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio 9

Matrice di scelta dei percorsi HP: modello di scelta del percorso stocastico. [ ] p / od α= C 6 = = exp n ( αcod, ) ( αcod,n ) exp.6.9 p p.88 p.867 [ - ] =.7 ; [ - ] = ; [ - ] = [.] Coppie O-D Percorsi P - - -.6.7.867.9 5.88 6. Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio

Flussi di percorso F = D od p[/od] F = P (C) d con F = lusso sul percorso D od = lusso di domanda sulla relazione od p[/od] = probabilità di scelta del percorso F = vettore dei lussi di percorso P = matrice delle probabilità di scelta dei percorsi C = vettore dei costi di percorso d = vettore di domanda A = matrice d incidenza archi-percorsi c = vettore dei costi di arco Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio

Modello di assegnazione = A F = A P (C) d con F = vettore dei lussi di percorso P = matrice delle probabilità di scelta dei percorsi C = vettore dei costi di percorso d = vettore di domanda = vettore dei lussi di arco A = matrice d incidenza archi-percorsi c = vettore dei costi di arco Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio

Funzioni di costo Reti congestionate: c = c() C = A T (c()) costo,,5,,5, γ= γ= γ=,5, 8 5 9 6 6 98 7 lusso Ipotesi sempliicativa (reti non congestionate): c = cost con: = vettore dei lussi di arco A = matrice d incidenza archi-percorsi c = vettore dei costi di arco Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio

Classiicazione dei modelli di assegnazione MODELLI DI ASSEGNAZIONE Modello di scelta del percorso Deterministico Stocastico c = cost DNL (AoN) SNL c = c() equilibrio DUE SUE DNL = Deterministic Networ Loading AoN = All or Nothing SNL = Stochastic Networ Loading DUE = Deterministic User Equilibrium SUE = Stochastic User Equilibrium Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio

Modelli di carico stocastico della rete con costi costanti COSTI DI ARCO FLUSSI DI DOMANDA FLUSSI DI ARCO INCIDENZA ARCHI PERCORSI INCIDENZA ARCHI PERCORSI COSTI DI PERCORSO FLUSSI DI PERCORSO MODELLO DI SCELTA DEL PERCORSO PROBABILITA' DI SCELTA DEL PERCORSO X MODELLO DI CARICO DELLA RETE Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio 5

Modelli di assegnazione SNL Calcolo dei lussi di percorso 6 C = [ - ] =.7 ; [ - ] = ; [ - ] = [.] HP: modello di scelta del percorso stocastico. HP: costi di arco costanti..6.9 p p.88 p.867 Coppie O-D Percorsi - - -.6.7.867.9 5.88 6. [ ] p / od α= exp ( αcod, ) ( αcod,n ) Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio 6 = n exp F = P d " 6 # ".6 # $ 7 % $.7 % $ % $ % " # $ 867 % $.867 % $ 5 % $ % = $ % 79.9 $ % $ % $ % $ 8 % $ % $.88 % & ' $ % $ % & 8 ' &.'

Modelli di assegnazione SNL Calcolo dei lussi di arco NL = NL (c; d) = A P(A T c) d c = A F 6 7 867 867 95 = 79 8 86 8 Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio 7

Modelli di assegnazione SNL d - = 7 7 d - = 5 6 6 6 79 79 867 867 d - = 8 Flussi di arco 8 95 8 867 86 Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio 8

Modelli di assegnazione DNL (AoN) Calcolo dei lussi di percorso HP: modello di scelta del percorso deterministico. HP: costi di arco costanti. Coppie O-D Percorsi - - - 5 6 p p p 6 C = [ - ] = ; [ - ] = ; [ - ] = [ ] F = P d " # " # $ % $ % $ % $ % " # $ % $ % $ 5 % $ % = $ % $ % $ % $ % $ 8 % $ 5% $ % & ' $ % $ % & 8 ' & ' Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio 9

Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio Modelli di assegnazione DNL (AoN) Calcolo dei lussi di arco NL = NL (c; d) = A P(A T c) d c = 8 5 8 5 = A F

Modelli di assegnazione DNL (AoN) d - = d - = 5 5 d - = 8 Flussi di arco 5 8 8 Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio

Classiicazione dei modelli di assegnazione MODELLI DI ASSEGNAZIONE Modello di scelta del percorso Deterministico Stocastico c = cost DNL (AoN) SNL c = c() equilibrio DUE SUE DNL = Deterministic Networ Loading (AoN = All or Nothing) SNL = Stochastic Networ Loading DUE = Deterministic User Equilibrium SUE = Stochastic User Equilibrium Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio

Introduzione al problema dell equilibrio Esempio 9 8 7 6 5 9 8 7 6 5 o c 6 8 c 6 8 d d od = ( ) = +. c 5 ( ) = 5 +. veic h c 5 Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio

Introduzione al problema dell equilibrio Esempio = C = + 5 = C = 5 = 9 C = 75 = C = 55 = 7 C = C = 65 = 65 = 8 c c 9 c 8 c 7 6 5 7 6 8 8 6 L evoluzione si arresta quando i costi sono uguali (in condizioni di equilibrio). Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio

Condizioni di equilibrio stocastico Durante la ase di evoluzione del sistema, gli utenti si spostano sulla rete scegliendo percorsi di minimo costo percepito Ĉ, che in generale è dierente dal costo che essi riscontrano sulla rete dopo la scelta, per eetto degli spostamenti degli utenti da un percorso ad un altro. Il sistema evolve ino a quando tutti gli utenti non hanno percorsi con costo percepito minore su cui spostarsi e pertanto riscontrano sulla rete proprio i costi in base ai quali hanno scelto. La condizione di equilibrio genera la particolare conigurazione di lussi cui corrispondono dei costi di arco che generano dei costi percepiti di percorso Ĉ che l utente poi riscontra eettivamente sulla rete. Questa condizione può essere espressa matematicamente come un problema di punto isso. * = A P [ A T c( *) ] d Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio 5

Modelli di assegnazione all equilibrio con c = c() FUNZIONI DI COSTO-FLUSSO COSTI DI ARCO FLUSSI DI DOMANDA FLUSSI DI ARCO INCIDENZA ARCHI PERCORSI INCIDENZA ARCHI PERCORSI COSTI DI PERCORSO FLUSSI DI PERCORSO MODELLO DI SCELTA DEL PERCORSO PROBABILITA' DI SCELTA DEL PERCORSO MODELLO DI CARICO DELLA RETE X Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio 6

Assegnazione Stocastica di Equilibrio (SUE) Problema di punto isso Determinare * tale che: T = A P A c( ) d S Condizioni di esistenza e unicità: Esistenza di * c() continua Unicità di * J[c()] positiva deinita c si veriica se i i c = c ( ) > i i i ( i ) Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio 7

Algoritmo per il calcolo dei lussi SUE Nel caso di unzioni di costo separabili. ( ) ( ) ( ) ( ) T = c + S d c v dv ij ij ij ij ij ij ij argminz = ij ij ( ) ( ) ( ) T Z = J c AP A c( ) d In corrispondenza di un qualsiasi vettore dell insieme (convesso) di attibilitàz S consideriamo la direzione (ammissibile) h = A P A ( T ( ) c d Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio 8

Algoritmo per il calcolo dei lussi SUE La derivata direzionale della unzione Z in, lungo la direzione h è: Z ' = ( ) ( ), T h = Z h = [ ( T ( ) ] T [ ( )] [ ( T ( ) ] A P A c d J c A P A c d < perchè [ ( )] c J è deinita positiva ( ) x T J x >, x Risulta allora che h è una direzione di discesa. Si noti che h = SNL Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio 9

Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio Algoritmo per il calcolo dei lussi SUE Algoritmo risolutivo genera una sequenza di vettori di lusso: ( ) ( ) ( ) SNL SNL SNL T d c A P A h h + = + = = µ = = + µ = + +

Algoritmo MSA Step Inizializzazione ε max scarto % di arresto = c ij SNL Step ij = c = ij c = c ( ) = A P SNL ij T ( A c( ) ) d Aggiornamenti ( ) ij + Step Calcolo Step + se: max ij = + SNL Test di arresto + ij ij ij < ε STOP altrimenti si torna al passo Step Calcolo SNL SNL = A P T ( A c ) d Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio

Esempio o C C C d d ( ) = +.5 od ( ) = +.5 ( ) = 5 +.5 = ( ) SNL + ( ) SNL + ( ) SNL + ( ) RAMI c 5.8..97.8..97 c 9.7.7 8.59.5.6..8..9 ε%.9.6. c.77.6 9..9.5..5.6.9 ε%... c..67 9...5.9 SNL +..7.9 ε%... Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio

d- = 5 7 Esempio 6 867 6 79 79 867 Deterministico vs Stocastico 6 7 5 - lin lows 8 deterministico 8 8 lin lows 5 d- = 8 8 95 86 867 stocastico Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio!