Esercizi per il corso di Geometria IV

Esercizi per il corso di Geometria IV 6 giugno 2014 Esercizio 1. Sia E := R 4 \ {0} e si consideri l azione del gruppo (Z, +) su E definita nel modo seguente: m x := 2 m x. 1. Verificare che si tratta di un azione libera. 2. Dimostrare che per ogni x E e per ogni m Z \ {0} si ha m x x x 2. 3. Ricordare la definizione di azione propriamente discontinua e dimostrare che l azione di Z su E è propriamente discontinua. (Suggerimento: ( dato ) un punto x 0 E, considerare per esempio l aperto U := B x 0, x 0. 10 4. Calcolare il gruppo fondamentale di E. 5. Calcolare il gruppo fondamentale dello spazio quoziente X := E/Z. 6. Indicare esplicitamente un sistema di generatori del gruppo π 1 (X, x 0 ) dove x 0 = [(1, 0, 0, 0)]. 7. Consideriamo i seguenti cammini in X: α(t) = [(2t, 0, 0, 1)] β(t) = [(1 + t, 0, 0, 0)] γ(t) = [(cos 2πt, sen 2πt, 0, 0] η(t) = [(1 + 7t, 0, sen 2πt, sen 4πt)] 1

Quali di questi cammini sono lacci? Risposta: Tutti salvo α. 8. Fra quelli che sono lacci, quali sono contraibili? Risposta: Siccome E è semplicemente connesso, sono contraibili quelli il cui sollevamento è un laccio. I sollevamenti sono cammini messi fra parentesi quadr. Dunque solo γ è contraibile. 9. Per ognuno dei lacci non contraibili si esprima la classe di omotopia del laccio in termini dei generatori del gruppo identificati al punto 6. Risposta: [β] è un generatore. [η] = 3 [β]. Esercizio 2. Sia X := S 1 {0} {x = y = 0} R 3 Calcolare il gruppo fondamentale di R 3 X e indicare un sistema di generatori. Esercizio 3. Sia X := S 1 {0} {x 2 +(y 10) 2 = 1, z = 0} e sia Y = {x = 0, (y 2) 2 + z 2 = 1} {x 2 + y 2 = 4, z = 0}. Calcolare i gruppi fondamentali π 1 (R 3 X) e π 1 (R 3 Y ). Esiste un omeomorfismo di R 3 in sé stesso che manda X su Y? Esercizio 4. Siano A = S 1 {0} {x = y = 0} e B = S 1 {0} {x = y = 2}. Poniamo X = R 3 A e Y = R 3 B. Dimostrare che X ed Y sono connessi per archi e calcolare i loro gruppi fondamentali. Esercizio 5. Sia X := S 2 ({(0, 0)} [ 1, 1]) (({0} [0, 1] {0}). Dimostrare che X è connesso per archi e calcolare π 1 (X). Esistono applicazioni f : X T 2 che non sono omotope ad una applicazione costante? Esercizio 6. R n meno un sottospazio vettoriale di codimensione 2 è connesso. Se la codimensione è 3 allora è semplicemente connesso. Esercizio 7. Scrivere esplicitamente un generatore di π 1 (P n (R), x) dove x = (1 : 0 :... : 0). Se H P n (R) è un sottospazio proiettivo di dimensione 1, dimostrare che il morfismo indotto dalla inclusione i : H P n (R) è suriettivo. 2

Esercizio 8. Siano p 0 e p 1 due punti distinti di P 2 (R). Poniamo X = P2 (R) [0, 1] dove è la seguente relazione di equivalenza: x = y x y x = p 0 P 2 (R) e y = 0 [0, 1] x = p 1 P 2 (R) e y = 1 [0, 1]. (Oppure le stesse condizioni con x ed y scambiati.) Consideriamo su X la topologia quoziente, ossia la topologia tale che la proiezione canonica π : X [0, 1] X sia una identificazione. 1. Calcolare π 1 (X). 2. Descrivere almeno due rivestimenti doppi (cioè di grado 2) di X non omeomorfi fra di loro. 3. Identificare il rivestimento universale di X. Esercizio 9. Poniamo S x = {(x, y, z) : y = z = 0, x 0} S y = {(x, y, z) : x = z = 0, y 0} S z = {(x, y, z) : x = y = 0, z 0} Y = S x S y S z. Calcolare il gruppo fondamentale di R 3 \ Y. Esercizio 10. Poniamo T = {((x, y, z) R 3 : ( x2 + y 2 3) 2 + z 2 = 1} S 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1} A = {(x, y, z) R 3 : 1 x 2 + y 2 2 e z = 0} X = T A S 2. Osserviamo che T è l insieme ottenuto ruotando attorno all asse delle z il cerchio C = {(y, z) : (y 3) 2 + z 2 = 1}. 3

1. Dimostrare che X è connesso per archi. 2. Calcolare il gruppo fondamentale di X. Esercizio 11. Sia X uno spazio topologico e sia f : X S n una applicazione non suriettiva. Allora f è omotopa ad una applicazione costante. Esercizio 12. Siano p e q due punti distinti di R 3. Consideriamo gli insiemi Y = R 3 {p, q} A = {(x, y, z) R 3 : x = y = 0, z 1} B = S 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1} C = {(x, y, z) R 3 : 4x 2 + 4y 2 + (2z 1) 2 = 1} X = A B C. 1. X ed Y sono omotopicamente equivalenti? 2. Calcolare il gruppo fondamentale di X. 3. Sia f : X P 3 (R) un applicazione continua. Dimostrare che se f non è suriettiva, allora f è omotopa ad una applicazione costante. Esercizio 13. Fare gli esercizi 11.17, 11.22, 14.1, 14.13, 14.14, 14.16 dal libro di Manetti [1]. Esercizio 14. Siano M 1 ed M 2 varietà topologiche connesse. Siano U i M i degli aperti e siano ϕ i : U i B omeomorfismi, dove B è la palla unitaria aperta in R n centrata nell origine. Poniamo p i := ϕ 1 i (0). Sia B = B {0} e sia ψ : B B ψ(x) := (1 x )x. x Provare che ψ è un omeomorfismo involutivo di B in sé. Poniamo Mi := M i {p i }, Ui := U i {p i } e X := M1 M2. Sia la seguente relazione su X: se x, y X, si ha x y se x = y oppure se x U1, y U2 e ϕ 1 (x) = ψ(ϕ 2 (y)) (oppure la stessa condizione con x ed y scambiati). Sia M := X/. Dimostrare i fatti seguenti. 4

1. π : X M è aperta. 2. π M i è un omeomorfismo sull immagine. 3. M è una varietà topologica (in particolare è uno spazio di Hausdorff). Calcolare il gruppo fondamentale di M in termini dei gruppi fondamentali di M 1 e di M 2. Esercizio 15. Siano α, β Ω(X, x, y). Allora i due isomorfismi α #, β # : π 1 (X, x) π 1 (X, y) differiscono per un automorfismo interno di π 1 (X, x) (o π 1 (X, y)). In particolare, se π 1 (X, x) è abeliano, l isomorfismo π 1 (X, x) = π 1 (X, y) è canonico. Esercizio 16. Se p : X Y è una identificazione aperta. Sia f : Y Z una applicazione a valori in uno spazio topologico Z e sia f := fp. Allora f è aperta se e solo se f è aperta. Esercizio 17. Se A è una matrice 3 3 con coefficienti tutti positivi (a ij > 0) allora A ha un autovalore positivo, vedi [2, p. 159]. Esercizio 18. Sia X uno spazio topologico e A X un sottoinsieme. Sia la relazione che identifica tutti i punti di A ad un solo punto e sia X/A := X/. Dimostrare che se X = [0, 1] S 1 e A = {0} S 1, allora X/A = D 2. Esercizio 19. Dimostrare che D n /S n 1 = S n. Esercizio 20. Sia X uno spazio topologico e sia f : S 1 X una mappa continua. Allora le tre condizioni seguenti sono equivalenti: 1. f è omotopa ad una applicazione costante; 2. f è omotopa ad una applicazione costante rel{1}; 3. esiste F : D 2 X tale che f = F D. Esercizio 21. Sia X uno spazio connesso per archi. Allora X è semplicemente connesso se e solo se ogni applicazione f : S 1 X si estende al disco (cioè esiste F : D 2 X tale che f = F D ). 5

Esercizio 22. Sia S 2 la sfera unitaria in R 3 con centro nell origine. Sia D := {(0, 0)} [ 1, 1] e sia X := S 2 D. Sia σ : X X l applicazione σ(x 1, x 2, x 3 ) := ( x 1, x 2, x 3 ). Sia G = {id X, σ}. Poniamo Y := X/G e consideriamo su Y la topologia quoziente. 1. Calcolare il gruppo fondamentale di X. 2. L azione di G su X è propriamente discontinua? 3. Dimostrare che la proiezione canonica π : X Y non è un rivestimento. 4. Dimostrare che Y è omotopicamente equivalente a P 2 (R). 5. Esistono applicazioni p : X Y che sono rivestimenti? Esercizio 23. Poniamo S x = {(x, y, z) : y = z = 0, x 0} S y = {(x, y, z) : x = z = 0, y 0} S z = {(x, y, z) : x = y = 0, z 0} Y = S x S y S z. E = S 1 {0}. 1. Calcolare il gruppo fondamentale di R 3 \ E. 2. Calcolare il gruppo fondamentale di R 3 \ Y. Esercizio 24. Poniamo T = {((x, y, z) R 3 : ( x2 + y 2 3) 2 + z 2 = 1} S 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1} A = {(x, y, z) R 3 : 1 x 2 + y 2 2 e z = 0} X = T A S 2. Osserviamo che T è l insieme ottenuto ruotando attorno all asse delle z il cerchio C = {(y, z) : (y 3) 2 + z 2 = 1}. 1. Dimostrare che X è connesso per archi. 2. Calcolare il gruppo fondamentale di X. 6

Esercizio 25. Poniamo S 3 = {(x, y, z, t) R 4 : x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = 1} (1) C 1 = S 3 {x = y = 0} C 2 = S 3 {z = t = 0} (2) 1. Calcolare il gruppo fondamentale di X. X = S 3 \ ( C 1 C 2 ). (3) 2. Descrivere esplicitamente dei generatori di π 1 (X). 3. Dire se esistono applicazioni continue f : P 2 (R) X che non sono omotope ad una applicazione costante. Suggerimento: ricordarsi della parametrizzazione ϕ : R 3 S 3 \ {(0, 0, 0, 1)} (4) 1 ϕ(u 1, u 2, u 3 ) = u 2 + 1 (2u 1.2u 2, 2u 3, 1 u 2 ). (5) Esercizio 26. Consideriamo i seguenti insiemi C = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = 1, z 1} D = {(x, y, z) R 3 : x = z = 0, y 1} S 1 = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1, x 0} S 2 = {(x, y) R 2 : x = 0} X = C D Γ = S 1 S 2. 1. Calcolare il gruppo fondamentale di X e indicare un insieme di generatori. 2. Calcolare il gruppo fondamentale di Γ e indicare un insieme di generatori. 3. Sia f : X Γ l applicazione f(x, y, z) = Dimostrare che f è continua. { (x, y) se x 0 ( x, y) se x 0 7

4. Dire se f è omotopa ad una applicazione costante e se esiste un sollevamento f : X Γ di f. ( Γ indica il rivestimento universale di Γ.) Esercizio 27. Sia X = R 3 \ {( 1, 0, 0), (0, 0, 0), (1, 0, 0)}. 1. Calcolare il gruppo fondamentale di X. 2. Sia T = S 1 S 1 il toro bidimensionale e sia f : X T una applicazione continua. Dimostrare che f è omotopa ad una applicazione costante. Esercizio 28. Consideriamo i seguenti sottoinsiemi dello spazio tridimensionale: Poniamo A = {(x, y, z) R 3 : (x + 2) 2 + y 2 + z 2 = 1} B = {(x, y, z) R 3 : (x 2) 2 + y 2 + z 2 = 1} C = {(x, y, z) R 3 : x 2 + (y 1) 2 = 4, z = 0, y 1} D = {(x, y, z) R 3 : x 2 + (y + 1) 2 = 4, z = 0, y 1} E = {(x, y, z) R 3 : x = 2, z = 0, 1 y 1}. X = A C D E Y = A B C D 1. Calcolare il gruppo fondamentale di X e indicare un sistema di generatori. 2. Calcolare il gruppo fondamentale di Y e indicare un sistema di generatori. 3. Può esistere un rivestimento p : E X con E omeomorfo al toro bidimensionale T 2 = S 1 S 1? Motivare la risposta. Esercizio 29. Sia S 2 la sfera unitaria in R 3. Consideriamo i seguenti sottoinsiemi dello spazio tridimensionale: A = {(x, y, z) R 3 : x = y = 0, 1 z 1} B = {(x, y, z) R 3 : x = 0, y 0} C = {(x, y, z) R 3 : x = 0, 1 y 0, z = 0} X = S 2 A Y = S 2 B Z = S 2 B C 8

1. Calcolare il gruppo fondamentale di X e indicare un sistema di generatori. 2. Calcolare il gruppo fondamentale di Y e indicare un sistema di generatori. 3. Calcolare il gruppo fondamentale di Z e indicare un sistema di generatori. 4. Fra gli spazi S 2, X, Y e Z quali sono omotopicamente equivalenti? 5. Dimostrare che ogni applicazione continua f : Y T 2 è omotopa ad una applicazione costante (T 2 = R 2 /Z 2 è il toro bidimensionale). Esercizio 30. Poniamo Y := [ 2, 2] {(0, 0)} [ 2, 2] {(0, 1)} {(0, 1, 0)} e X := [ 2, 2] 3 \ Y. 1. Calcolare il gruppo fondamentale di X. 2. Ricordare la definizione di spazi omotopicamente equivalenti e dire se X e S 1 S 1 sono omotopicamente equivalenti oppure no (motivare opportunamente la risposta). Esercizio 31. Siano p e q due punti distinti di R 3. Consideriamo gli insiemi Y = R 3 {p, q} A = {(x, y, z) R 3 : x = y = 0, z 1} B = S 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1} C = {(x, y, z) R 3 : 4x 2 + 4y 2 + (2z 1) 2 = 1} X = A B C. 1. X ed Y sono omotopicamente equivalenti? 2. Calcolare il gruppo fondamentale di X. 3. Sia f : X P 3 (R) un applicazione continua. Dimostrare che se f non è suriettiva, allora f è omotopa ad una applicazione costante. 9

Esercizio 32. Si considerino i seguenti sottoinsiemi di R 3 : A ={(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 1} B ={(x, y, z) R 3 : z = 0} C ={(x, y, z) R 3 : x = y = 0} X =A B Sia x 0 = (0, 1, 0). Indichiamo con T n il toro n-dimensionale. 1. Verificare che X ed Y sono connessi per archi. 2. Calcolare π 1 (X, x 0 ). 3. Calcolare π 1 (Y, x 0 ). Y =A B C. 4. Le applicazioni continue f : X T 3 sono tutte omotope ad una applicazione costante? Motivare adeguatamente la risposta. 5. Dimostrare che non esistono rivestimenti p : Y T 3. 6. Le applicazioni continue f : T 2 Y sono tutte omotope ad una applicazione costante? Motivare adeguatamente la risposta. Esercizio 33. Poniamo 1. Calcolare π 1 (Y ). 2. Calcolare π 1 (X). A = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 4} D = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1} B = {(x, y, z) R 3 : x = y = 0, z [1, 2]} C = {(x, y, z) R 3 : x = z = 0, y [1, 2]} Y = A C D X = A B C D. Esercizio 34. Consideriamo gli insiemi A := {(x, y, z) R 3 : x = z = 0} B := {(x, y, z) R 3 : x = y = 0, z 0} C := {(x, y, z) R 3 : z = 0, y = 1, x 0} X := R 3 \ (A B) Y := R 3 \ (A B C) 10

1. Calcolare il gruppo fondamentale di X. 2. Calcolare il gruppo fondamentale di Y. Riferimenti bibliografici [1] M. Manetti. Topologia. Springer. xii, 297 p., 2008. [2] E. Sernesi. Geometria 2. Bollati Boringhieri, 1994. 11