Appunti di Teoria dei Gruppi

Appunti di Teoria dei Gruppi Alessandro Ghigi 13 dicembre 2004 Indice 1 Operazioni 1 2 Gruppi 4 3 La somma su Z n 9 4 Permutazioni 12 5 Sottogruppi e Teorema di Lagrange 13 6 Il prodotto su Z n 20 Riferimenti bibliografici 25 1 Operazioni Definizione 1 Una operazione su un insieme X è una legge che associa ad una coppia di elementi di X un terzo elemento di X. Pertanto una operazione su X è una applicazione X X X. (1) Esempio 2 Tutti conoscono (o dovrebbero conoscere) le operazioni aritmetiche, cioè la somma e il prodotto di numeri interi, razionali o reali. Per esempio, la somma è un operazione su N perché la legge che associa a due numeri naturali x, y la loro somma x + y è una applicazione N N N (2) (x, y) x + y. 1

Lo stesso vale per la somma di numeri interi anziché naturali, o per il prodotto di numeri interi, o per la somma o il prodotto di numeri razionali o reali. Esempio 3 Altri esempi di operazioni sono l unione e l intersezione di insiemi. Se S è un insieme, indichiamo con P(S) l insieme delle parti di S: P(S) = {A : A S} = {sottoinsiemi di S}. (3) Allora l unione e l intersezione sono operazioni su P(S), infatti ad una coppia di elementi di P(S) associano uno ed un solo elemento di P(S): : P(S) P(S) P(S) (A, B) A B : P(S) P(S) P(S) (A, B) A B. Queste sono le cosiddette operazioni insiemistiche. Esempio 4 Sia X un insieme, e si indichi con Z l insieme formato da tutte le applicazioni di X in sé, cioè Z = {f : f è una applicazione da X in X}. La composizione di funzioni dà allora luogo ad una applicazione : Z Z Z (4) (f, g) f g. Pertanto la composizione di funzioni è una operazione su Z. Il più delle volte per indicare una operazione su un insieme si sceglie un simbolo, per esempio (o +,, ecc.), e si indica con x y l immagine della coppia (x, y) mediante l operazione: (x, y) x y. (5) Se si parla della operazione su X, si intende che è l applicazione X X X che associa alla coppia (x, y) l elemento x y X. 2

Definizione 5 Un operazione su un insieme X è detta associativa se per ogni terna di elementi x, y, z appartenenti ad X si ha che (x y) z = x (y z). (6) L operazione è invece detta commutativa se per ogni coppia di elementi x, y X x y = y x. (7) Tutte le operazioni degli Esempi 2 e 3 sono tanto associative che commutative. La composizione di funzioni, considerata nell Esempio 4 è associativa, ma in generale non commutativa (vedi l Esercizio 3 a pag. 6). Esempio 6 Si consideri l operazione sull insieme Z che associa alla coppia di interi (x, y) il numero x + 2y. Poniamo cioè x y : = x + 2y. Questa operazione non è né associativa, né commutativa. Definizione 7 Sia X un insieme e un operazione su X. Diciamo che e X è un elemento neutro per l operazione se per ogni x X x e = e x = x. (8) Definizione 8 Sia X un insieme, una operazione su X ed e X un elemento neutro per. Dato un elemento x X, diciamo che un altro elemento y X è un inverso sinistro di x se Diciamo invece che y è un inverso destro di x se y x = e. (9) x y = e. (10) Infine diciamo che un elemento y X è un inverso bilatero di x se è simultaneamente un inverso sinistro e un inverso destro di x, cioè se y x = x y = e. (11) Esempio 9 Consideriamo la somma di numeri naturali (dunque X = N e x y = x + y). Il numero 0 N è un elemento neutro per la somma. Non esiste un inverso del numero 1 N. Infatti un tale inverso sarebbe un numero y N tale che 1 + y = 0. Ma se y N, allora y 0, dunque 1 + y 1 + 0 = 1. Quindi 1 + y non può essere uguale a 0. Per trovare un inverso additivo (cioè un inverso per la somma) del numero 1, bisogna 3

considerare la somma di numeri interi anziché di numeri naturali. In questo caso ogni numero x Z ammette un inverso bilatero, infatti il numero x è ancora un elemento di Z e senz altro x + ( x) = ( x) + x = 0. Questa è l equazione che definisce l inverso di x nel caso dell addizione di interi (basta sostituire e = 0 e x y = x + y nella (11)). 2 Gruppi Definizione 10 Un gruppo è un insieme non vuoto, provvisto di una operazione associativa, per la quale esiste un elemento neutro e tale che ogni elemento ammetta un inverso bilatero. Se l operazione è commutativa, diciamo che il gruppo è commutativo o abeliano. Per i gruppi si usa per lo più la notazione moltiplicativa: l immagine della coppia (x, y) mediante l operazione di gruppo è indicata con x y o xy. In generale l operazione non avrà nulla a che fare col prodotto di numeri. Possiamo riformulare la Definizione 10, dicendo che un gruppo è una coppia (G, ), nella quale il primo elemento è un insieme e il secondo è un operazione su di esso, in modo tale che le seguenti condizioni siano soddisfatte: a) g 1 G, g 2 G, g 3 G : (g 1 g 2 ) g 3 = g 1 (g 2 g 3 ) (associatività); b) e G: g G : g e = e g = g (esistenza dell elemento neutro); c) g G : h G : h g = g h = e (esistenza dell inverso). Esempio 11 (Z, +) è un gruppo abeliano. Infatti Z è un insieme non vuoto, l operazione + è un operazione associativa e commutativa, 0 Z è un elemento neutro per la somma, ed ogni elemento m Z ammette un inverso bilatero, che è semplicemente il numero m. Lo stesso vale per (Q, +) e (R, +). Esempio 12 Sia X = Q {0} = {x Q : x 0}. Se indica l usuale prodotto di numeri, allora (X, ) è un gruppo abeliano. Lo stesso vale per (R {0}, ), (Q +, ) ed (R +, ), dove Q + : = {x Q : x > 0} e R + = {x R : x > 0}. 4

Esempio 13 Si consideri nuovamente l Esempio 4: sia X un insieme non vuoto, e si indichi con Z l insieme formato da tutte le funzioni di X in sé. La composizione è un operazione associativa su Z. Indichiamo con id X l applicazione identica (o identità ) di X, che è definita dalla formula id X (x) = x x X. Essa è un elemento neutro per la composizione, cioè per ogni f Z si ha f id X = id X f = f. Per concludere che (Z, ) è un gruppo resterebbe da verificare che ogni elemento di Z ammette un inverso bilatero. Un elemento g Z è un inverso bilatero di f Z se f g = g f = id X. Quindi esiste un inverso bilatero di f se e soltanto se f è biunivoca. Se X contiene almeno due elementi, non tutte le applicazioni di X in sé sono biunivoche, pertanto non tutti gli elementi di Z possiedono un inverso bilatero. Di conseguenza (Z, ) non è un gruppo. Esercizio 1 Dato un insieme X contenente almeno due elementi, si caratterizzino gli elementi di Z che possiedono un inverso sinistro, e quelli che possiedono un inverso destro. (Suggerimento: f possiede un inverso sinistro se e soltanto se è iniettiva; possiede un inverso destro se e soltanto se è suriettiva.) Esempio 14 Proseguendo con l esempio precedente, indichiamo con S X il sottoinsieme di Z formato dalle applicazioni biunivoche di X in sé stesso. Se f e g appartengono ad S X anche la composizione f g appartiene ad S X (dimostrare!). Pertanto possiamo considerare la composizione come una operazione su S X, cioè come una applicazione : S X S X S X (12) (f, g) f g. Evidentemente questa operazione è ancora associativa. L applicazione identica appartiene a S X ed è ancora un elemento neutro. Infine, se f S X, l applicazione f 1 è ancora un elemento di S X ed è un inverso bilatero: f 1 f = f f 1 = id X. Dunque (S X, ) è un gruppo, e viene chiamato il gruppo simmetrico su X. Se X = {1,..., n}, S X si indica semplicemente con il simbolo S n, è viene detto il gruppo simmetrico su n elementi. Gli elementi di S n sono chiamati permutazioni di n elementi. 5

Esercizio 2 Si descrivano gli elementi di S 2 e si provi che S 2 è un gruppo abeliano. Esercizio 3 Consideriamo invece S 3, il gruppo simmetrico su 3 elementi, cioè il gruppo formato dalle permutazioni di 3 elementi. Si considerino le due seguenti permutazioni, σ, τ S 3, σ : {1, 2, 3} {1, 2, 3} 1 σ(1) = 2 2 σ(2) = 1 3 σ(3) = 3 τ : {1, 2, 3} {1, 2, 3} 1 τ(1) = 3 2 τ(2) = 2 3 τ(3) = 1. Verificare che σ τ τ σ. Pertanto S 3 non è abeliano. Dedurre che lo stesso succede di S X quando l insieme X contiene almeno 3 elementi. L ultimo esercizio fornisce un esempio di un gruppo finito, cioè di un gruppo (G, ), tale che l insieme G è finito. Se (G, ) è un gruppo, chiamiamo ordine di G la cardinalità dell insieme G. L ordine di un gruppo G si indica con G oppure o(g). Proposizione 15 Sia (G, ) un gruppo. Allora a) l elemento neutro è unico; b) se x G, l inverso bilatero di x è unico e lo indichiamo con x 1 ; c) se y x = e o x y = e, allora y = x 1. Dunque ogni inverso sinistro o destro di un elemento x G è automaticamente un inverso bilatero; d) se x G, (x 1 ) 1 = x; e) se x, y G, (xy) 1 = y 1 x 1. Dimostrazione. (a) Supponiamo che e ed e siano due elementi neutri. Poiché e è un elemento neutro si ha e e = e. Ma anche e è un elemento neutro, pertanto e e = e, dunque e = e e = e. Pertanto l elemento neutro è unico. (b) Supponiamo che y 1 ed y 2 siano due inversi bilateri di un certo elemento x G. Allora in particolare y 1 è un inverso sinistro e y 2 è un inverso destro, dunque y 1 x = e (13) x y 2 = e. (14) 6

Dunque y 1 = y 1 e = = y 1 (x y 2 ) = per la (14) = (y 1 x) y 2 = = e y 2 = per la (13) = y 2. Pertanto l inverso bilatero di x è unico. Lo indichiamo con il simbolo x 1. (c) Supponiamo per esempio che y x = e. Procediamo come nella dimostrazione di (b). Siccome x 1 è un inverso bilatero di x, si ha x x 1 = e. Dunque y = y e = y (x x 1 ) = = (y x) x 1 = e x 1 = = x 1. Se invece x y = e, sfruttiamo il fatto che x 1 x = e: y = e y = (x 1 x) y = = x 1 (x y) = x 1 e = = x 1. In entrambi i casi, sia che y sia un inverso sinistro, sia che esso sia un inverso destro di x, y coincide per forza con l inverso bilatero x 1 di x. (d) Per definizione x 1 è un inverso bilatero di x, dunque in particolare x 1 x = e, cioè x è un inverso destro di x 1. Applicando il punto (c), che abbiamo appena dimostrato, otteniamo che x deve per forza coincidere con l unico inverso bilatero di x 1, cioè (e) Calcoliamo: x = (x 1 ) 1. (x y) (y 1 x 1 ) = ( x (y y 1 ) ) x 1 = = (x e) x 1 = = x x 1 = e Dunque y 1 x 1 è un inverso destro di x y. Pertanto, per il punto (c), y 1 x 1 coincide con l inverso bilatero di x y, cioè y 1 x 1 = (xy) 1. 7

Consideriamo adesso due proprietà semplici ma molto utili di un gruppo. Proposizione 16 Sia (G, ) un gruppo. Allora le equazioni a x = b (15) x a = b (16) hanno una ed una soluzione in G. Inoltre valgono le seguenti leggi di cancellazione: a u = a v = u = v (17) u a = v a = u = v. (18) Dimostrazione. Consideriamo l equazione (15). Si verifica immediatemente che x = a 1 b è una soluzione. Viceversa supponiamo che x G sia una soluzione di (15). Moltiplicando a sinistra ambo i termini dell equazione per a 1 otteniamo x = a 1 (a x) = a 1 b. Dunque ogni soluzione di (15) coincide con la soluzione già trovata. Pertanto la soluzione è unica. Un ragionamento perfettamente analogo prova l esistenza e l unicità della soluzione di (16). In questo caso la soluzione è x = b a 1. Veniamo ora alle leggi di cancellazione, e dimostriamo la prima. Supponiamo che per una terna di elementi a, u, v G si abbia a u = a v. Moltiplichiamo questa uguaglianza a sinistra per a 1 : u = e u = = (a 1 a) u = = a 1 (a u) = = a 1 (a v) = = (a 1 a) v = = e v = = v. È così provata l implicazione in (17). La dimostrazione della (18) è perfettamente identica. 8

Esempio 17 Sia X un insieme, e consideriamo il gruppo simmetrico su X, cioè l insieme S X di tutte le applicazioni biunivoche di X in sé, munito dell operazione di composizione,. In questo caso la prima delle leggi di cancellazione, (17), afferma che se prendiamo tre elementi f, g, h S X, l uguaglianza f g = f h implica che g = h. Questo fatto si può dimostrare direttamente sfruttando il fatto che f, g, h sono applicazioni biunivoche di X in sé, ma si può anche vedere come una conseguenza del fatto che (S X, ) soddisfa gli assiomi di gruppo, e che in ogni gruppo valgono le leggi di cancellazione. Se G è un gruppo e usiamo la notazione moltiplicativa per l operazione di gruppo, cioè (x, y) x y, allora dato x G ed m Z, poniamo x } {{... x} se m > 0 m volte x m : = e se m = 0 (19) x } 1 {{... x 1 } se m < 0. m volte Esercizio 4 Verificare che per m, n Z e x G, si ha x m+n = x m x n. (20) Cioè vale la stessa regola che vale per le potenze di numeri. 3 La somma su Z n Veniamo ora ad un esempio molto importante di gruppo. Sia n un intero positivo. Sull insieme Z consideriamo la relazione di congruenza modulo n: due interi x e y sono congruenti modulo n, in simboli x y mod n, se n (x y) cioè se esiste un intero k tale che x y = k n. Si verifica che questa relazione è riflessiva, simmetrica e transitiva, dunque è una relazione di equivalenza (si veda [F, pagg. 59-71] Per definizione l insieme Z n è il quoziente di Z per la relazione di congruenza modulo n. Dunque per definizione l insieme Z n è formato dalle classi di equivalenza rispetto a questa relazione. Tali classi di equivalenza sono anche chiamate classi di resto modulo n. Se x Z, indichiamo con [x] n la sua classe di equivalenza rispetto alla congruenza modulo n. Quando 9

non si corre il rischio di fare confusione, scriveremo semplicemente [x] per [x] n. Se a Z n, per definizione a è la classe di resto di qualche numero intero, cioè a = [x] n, per qualche x Z. In tal caso diciamo che x è un rappresentante della classe a. Ovviamente ogni classe ammette infiniti rappresentanti. Per esempio, se n = 2, Z 2 consiste di due sole classi di equivalenza: Z 2 = {[0] 2, [1] 2 } [0] 2 = 2Z = {interi pari} [1] 2 = {interi dispari}. Pertanto 0, 2, 4, 6, 88 e tutti i numeri pari sono rappresentanti di [0] 2, mentre 1, 3, 17, 221, 1067 e tutti i numeri dispari sono rappresentanti di [1] 2.È noto inoltre (vedi [F, Lemma 8.4 pag. 68]) che le classi [0],...,[n 1] formano un sistema di rappresentanti completo per Z n cioè ogni classe coincide con una di queste, e queste sono tutte a due a due distinte. In particolare Z n contiene esattamente n elementi. Vogliamo ora definire su Z n una operazione, che chiameremo somma, e che indicheremo con +. Dobbiamo pertanto definire una applicazione di Z n Z n in Z n. Siano dunque a e b due classi di resto: a, b Z n. Scegliamo due rappresentanti qualsiasi x ed y di a e di b rispettivamente, cioè due elementi x, y Z tali che a = [x] e b = [y], e poniamo a + b : = [x + y] n. (21) Dobbiamo però assicurarci che questa definizione non dipenda dalla scelta dei due rappresentanti x ed y. Infatti questi sono scelti a caso. Dobbiamo controllare che se ne scegliamo altri due qualsiasi, il risultato dell operazione non cambia. Siano pertanto x, y Z altri due rappresentanti delle classi a e b, cioè a = [x ], b = [y ]. Dobbiamo mostrare che [x + y ] = [x + y]. Poiché [x] = a = [x ] e [y] = b = [y ], si ha che x x mod n e y y mod n, dunque esistono degli interi h, k tali che x = x + kn y = y + hn. Pertanto x + y = x + y + (k + h)n cioè x + y x + y mod n, per cui [x + y ] = [x + y]. Pertanto nella definizione (21) il risultato della somma a + b non dipende dalla scelta dei 10

rappresentanti, ma solo dalle classi a e b. Si dice allora che l operazione + : Z n Z n Z n (22) (a, b) a + b. è ben definita. Lemma 18 La somma su Z n è un operazione associativa e commutativa. La classe [0] è un elemento neutro, e per ogni classe a Z n esiste un inverso rispetto alla somma che indichiamo con a. Se a = [x], allora a = [ x]. Pertanto (Z n, +) è un gruppo abeliano. Dimostrazione. Supponiamo che le classi di resto a, b, c Z n siano rappresentate da tre numeri interi x, y, z: a = [x], b = [y], c = [z]. Allora a + (b + c) = [x] + ([y] + [z]) = [x] + [y + z] = = [x + (y + z)] = [(x + y) + z] = = [x + y] + [z] = ([x] + [y]) + [z] = = (a + b) + c. a + b = [x] + [y] = [x + y] = [y + x] = [y] + [x] = = b + a. Sono così provate l associatività e la commutatività della somma su Z n. Esse sono conseguenza diretta delle rispettive proprietà della somma su Z. Allo stesso modo, il fatto che [0] sia un elemento neutro discende facilmente dalla analoga proprietà di 0 in Z: se a = [x] Z n, allora Infine dato a Z n, poniamo a + [0] = [x] + [0] = [x + 0] = [x] = a. a : = [ x]. Allora a + ( a) = [x] + [ x] = [x x] = [0]. Dunque a è un inverso di a rispetto alla somma. Abbiamo pertanto verificato tutti gli assiomi di gruppo per (Z n, +), ed essendo la somma commutativa possiamo concludere che (Z n, +) è un gruppo abeliano finito di ordine n. Si noti che a priori dovremmo dimostrare che l inverso di un elemento è ben definito, cioè che a = [ x] non dipende dalla scelta del rappresentante x a. È facile provare direttamente che effettivamente la classe [ x] non dipende dalla 11

scelta del rappresentante x, ma solo dalla classe [x]. Tuttavia, per gli assiomi di gruppo è sufficiente sapere che ogni elemento ammette almeno un inverso. L unicità è una conseguenza provata nel Lemma 15 (b). Dunque per ogni x a, la classe [ x] è la stessa, perché è l unico inverso della classe a. 4 Permutazioni In questo paragrafo descriveremo alcune proprietà dei gruppi di permutazioni, definiti nell Esempio 14. Si è già visto che per n 3 il gruppo simmetrico su n elementi, S n non è commutativo (vedi Esercizio 3). Gli elementi di S n sono le applicazioni biunivoche dell insieme X = {1,.., n}. Sia α S n. Per identificare α è sufficiente dire quale sia l immagine mediante α di ogni numero i = 1,..., n. L immagine α(i) sarà ancora un elemento di X, cioè un numero intero fra 1 ed n (inclusi). Inoltre le immagini di α devono esaurire tutto l insieme X, cioè α(x) = {α(1),..., α(n)} = X. Possiamo indicare una permutazione α mediante la scrittura ( ) 1 2... n. (23) α(1) α(2)... α(n) Nella prima riga elenchiamo gli elementi di X, nella riga sottostante scriviamo per ogni elemento di X la sua immagine. Ad esempio le permutazioni σ e τ dell Esercizio 3 saranno indicate nel seguente modo: σ = ( ) 1 2 3 2 1 3 ( ) 1 2 3 τ =. (24) 3 2 1 Questa notazione è comoda per calcolare il prodotto di permutazioni. Calcoliamo per esempio il prodotto σ τ. ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 σ τ =. 2 1 3 3 2 1 Per calcolare il prodotto cominciamo scrivendo ( ) 1 2 3 σ τ =. σ(τ(1)) σ(τ(2)) σ(τ(3)) 12

Poi calcoliamo i valori σ(τ(i)) per i = 1, 2, 3, rifacendoci alle definizioni di σ e τ, date in (24): σ(τ(1)) = σ(3) = 3 Quindi σ(τ(2)) = σ(2) = 1 σ(τ(3)) = σ(1) = 2 σ τ = ( ) 1 2 3. 3 1 2 Le permutazioni σ e τ spostano solo due elementi, scambiandoli fra di loro, e fissano il terzo elemento. Più in generale, dati due numeri i, j tali che 1 i < j n, consideriamo la permutazione ( ) 1... i 1 i i + 1... j 1 j j + 1... n τ =. 1... i 1 j i + 1... j 1 i j + 1... n Altrimenti detto, τ è definita nel modo seguente: k se k i e k j, τ(k) = j se k = i, i se k = j. In parole povere, τ scambia i e j fra di loro, e lascia fissi tutti gli altri elementi di X. Diciamo che τ è un 2-ciclo o una trasposizione e la indichiamo con il simbolo (ij). Per esempio, le permutazioni σ e τ considerate poco sopra sono trasposizioni: σ = (12) e τ = (13). 5 Sottogruppi e Teorema di Lagrange Per tutto questo paragrafo (G, ) indica un gruppo. Definizione 19 Un sottoinsieme T G è detto chiuso se per ogni coppia di elemento x, y appartenti ad T, il prodotto x y appartiene ancora ad T. Esercizio 5 Gli insiemi T 1 = N, T 2 = N = N \ {0}, T 3 = 2Z = {numeri pari} ed T 4 = {x Z : x > 75} sono sottoinsiemi chiusi di (Z, +). Invece i sottoinsiemi T 5 = {x Z : x < 5}, T 6 = { 1, 1}, T 7 = 2Z \ {0} non lo sono. Se T G è un sottoinsieme chiuso del gruppo G, l operazione su G si restringe ad una operazione su T. Possiamo cioè definire una operazione su T dichiarando che l immagine della coppia (x, y) T T è l elemento x y T. Diciamo che questa è l operazione indotta su T da G. 13

Definizione 20 Un sottogruppo di G è un sottoinsieme H G che è chiuso rispetto al prodotto e che provvisto dell operazione indotta è un gruppo. Esempio 21 Si dimostri che 2Z è un sottogruppo di Z, +). In questo caso l operazione è l addizione, dunque per controllare che 2Z è chiuso dobbiamo verificare che se x, y 2Z, anche x+y Z: pertanto per concludere che 2Z è un sottoinsieme chiuso è sufficiente osservare che la somma di numeri pari è ancora pari. Osserviamo che la somma essendo associativa per le terne di numeri interi, a maggior ragione sarà associativa per le terne di numeri pari: se x, y, z 2Z, allora x, y, z Z e dunque x + (y + z) = (x + y) + z. L elemento neutro additivo, cioè lo 0, è un numero pari, dunque appartiene al sottoinsieme 2Z, e continua a comportarsi come un elemento neutro per l operazione indotta: per ogni x 2Z si ha x + 0 = 0 + x = x. Infine se x è un numero pari, anche x lo è, ed è tale che x + ( x) = 0. Dunque ogni elemento di 2Z ha un inverso in 2Z rispetto all operazione +. Abbiamo quindi verificato che (2Z, +) è un gruppo. Esercizio 6 Dimostrare che per ogni m N l insieme mz = {x Z : m x} = {x Z : k Z : x = km} è un sottogruppo di (Z, +). La dimostrazione è identica a quella dell esercizio precedente. La seguente Proposizione dà un criterio per stabilire quando un sottoinsieme di un gruppo è un sottogruppo. Proposizione 22 Sia H G e supponiamo che valgano le tre condizioni seguenti: 1. H è chiuso rispetto al prodotto di G; 2. e H; 3. se x H, anche x 1 H. Allora H è un sottogruppo di G. 14

Dimostrazione. Seguiremo la stessa strategia usata nei due ultimi esercizi. Per ipotesi sappiamo che H è chiuso. Dunque per provare che H è un sottogruppo, dobbiamo mostrare che è un gruppo rispetto alla operazione indotta. Dobbiamo cioè verificare che questa operazione è associativa, che esiste un elemento neutro, e che ogni elemento di H ammette un inverso in H. Tutte e tre le proprietà saranno conseguenza immediata delle relative proprietà di G e delle tre ipotesi che facciamo su H. Cominciamo dall associatività: dobbiamo provare che per ogni terna x, y, z H si ha x (y z) = (x y) z. (25) Poiché l operazione che stiamo considerando su H è l operazione indotta, il prodotto x (y z) calcolato in H coincide con lo stesso prodotto calcolato in G. D altronde sappiamo che l associatività vale in G, dunque x (y z) = (x y) z. L associatività è così provata. Per ipotesi l elemento neutro e di G appartiene ad H. Se x H, di sicuro x e = e x = x, perché e è l elemento neutro di G. Dunque e è anche l elemento neutro di H. Infine se x H, per ipotesi, x 1 H, dunque ogni elemento di H ammette un inverso. Sono così verificate tutte le proprietà che definiscono un gruppo. (H, ) è un gruppo con l operazione indotta, cioè è un sottogruppo di G. Lemma 23 Sia H un sottogruppo di G. Allora l elemento neutro di G appartiene ad H e coincide con l elemento neutro di H. Se x H, anche x 1 H e coincide con l inverso di x calcolato nel gruppo H. Dimostrazione. Poiché H è un gruppo rispetto all operazione indotta da G, dunque esiste un elemento neutro di H che indichiamo con e H. Si avrà pertanto e H e H = e H perché e H è l elemento neutro di H. Poiché l operazione su H è quella indotta da G, l uguaglianza e H e H = e H vale anche in G. Tuttavia si avrà anche e H e = e H, perché e è l elemento neutro di G. Dunque in G vale l uguaglianza e H e H = e H e. Sfruttando la legge di cancellazione (17) deduciamo che e H = e, per cui e H. Questo prova la prima affermazione. Veniamo alla seconda. Sia x H. Essendo H un gruppo rispetto all operazione indotta, esisterà un inverso di x in H, cioè un elemento x 1 H H tale che x x 1 H = e H = e. Ma questa equazione vale anche in G (perché l operazione su H è indotta da quella di G). Grazie alla Proposizione 15 (b) concludiamo che x 1 H = x 1. 15

Corollario 24 Un sottoinsieme H di un gruppo G è un sottogruppo se e soltanto se sono soddisfatte le tre condizioni seguenti: 1. H è chiuso rispetto al prodotto di G; 2. e H; 3. se x H, anche x 1 H. Dimostrazione. Che le tre condizioni siano sufficienti è il contenuto della Proposizione 22. Che esse siano anche necessarie è invece quanto si afferma nel Lemma 23. Sia G un gruppo, ed x G un suo elemento qualsiasi. Poniamo: x : = {x m m Z}. (26) Segue dalla formula (20) che x è un sottogruppo del gruppo G. x è chiamato il sottogruppo generato da x. Definizione 25 Sia x un elemento di un gruppo G. Si consideri l insieme E = {m N : x m = e}. (27) Se E = diciamo che l ordine di x è infinito e scriviamo o(x) =. Se invece E, per il principio del buon ordinamento, esisterà un elemento minimo di E, cioè un elemento m 0 E, tale che m E, m m 0. In questo caso diciamo che m 0 è l ordine di x, e lo indichiamo con o(x). Esempio 26 L ordine dell elemento neutro è sempre 1: e 1 = e. Se G = S 3, e ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 σ = τ = 2 1 3 2 3 1 allora o(σ) = 2 e o(τ) = 3. Lemma 27 Sia G un gruppo, ed x un elemento di G. Indichiamo con H = x il sottogruppo generato da x. Allora l ordine dell elemento x è uguale alla cardinalità del sottogruppo generato, cioè o(x) = o( x ) = H. 16

Dimostrazione. Consideriamo l applicazione f : Z H (28) m x m. Per la definizione di H, f è suriettiva. Proviamo che se o(x) = allora f è iniettiva. Supponiamo che f(m) = f(n), cioè che x m = x n. Allora x m n x n = x m = x n = e x n. Per la legge di cancellazione si ha x m n = e. Il numero m n può essere positivo, negativo o nullo. Se fosse positivo, esso sarebbe un elemento dell insieme E definito in (27). Ciò è assurdo perché stiamo assumendo o(x) =, ossia E =. Dunque m n non può essere positivo. Se fosse negativo, x n m = (x m n ) 1 = e 1 = e. Quindi n m sarebbe positivo e sarebbe un elemento di E: anche questo è impossibile perché per ipotesi E =. Pertanto si ha necessariamente m n = 0, ossia m = n. Ciò prova che f è iniettiva. Ma allora H è in corrispondenza biunivoca con Z, dunque H = = o(x). Analizziamo ora il caso in cui o(x) = m N. Si indichi con A il sottoinsieme A = {0, 1,..., n 1} Z, e con ϕ la restrizione dell applicazione f definita sopra all insieme A. Vogliamo provare innanzitutto che ϕ è suriettiva. Sia x n un generico elemento di H. Eseguendo la divisione con resto di n per m, otteniamo due numeri q, r Z, tali che Si avrà n = qm + r e 0 r < m. x n = x qm+r = x qm x r = (x m ) q x r = e q x r = x r = ϕ(r) con r A. Dunque ϕ è suriettiva. Proviamo che è anche iniettiva. Dati due elementi h, k A tali che ϕ(h) = ϕ(k) dobbiamo provare che h = k. Supponiamo che h k (il ragionamento nel caso h k è identico). Allora x k h x h = x k = ϕ(k) = ϕ(h) = x h = e x h. Segue dalla legge di cancellazione che x k h = e. Ma 0 k h < m: se k h fosse positivo, esso sarebbe un elemento di E (definito in (27)) più piccolo 17

di m che invece è il minimo di E. Questo è assurdo, quindi k h = 0 e k = h. Pertanto ϕ è iniettiva. Ma allora H è in corrispondenza biunivoca con A che ha esattamente m elementi, dunque H = m = o(x). Sia X un insieme finito ed A, B X due sottoinsiemi disgiunti (cioè tali che A B = ) e tali che X = A B. Allora si ha evidentemente X = A + B. (29) Allo stesso modo, se X è unione di m sottoinsiemi A 1,..., A m a due a due digiunti (cioè tali che A i A j = se i j), allora X = m A i. (30) i=1 Esercizio 7 Dimostrare la formula (30) procedendo per induzione su m, e sfruttando la (29). Teorema 28 (di Lagrange) Sia G un gruppo finito ed H un suo sottogruppo. Allora l ordine di H divide l ordine di G: o(h) o(g). Dimostrazione. Definiamo su G la seguente relazione: x y x 1 y H. (31) Verifichiamo che si tratta di una relazione di equivalenza. Proprietà riflessiva: per ogni x G, x 1 x = e H, perché H è un sottogruppo, dunque contiene l elemento neutro e (vedi Lemma 23). Pertanto x x per ogni x G, cioè è riflessiva. Proprietà simmetrica: Sia x y, cioè x 1 y H. Poiché H è un sottogruppo, anche (x 1 y) 1 H (vedi ancora Lemma 23). Dunque y x. Pertanto la relazione è simmetrica. Proprietà transitiva: Supponiamo che x y e y z. Ciò significa che x 1 y H e y 1 z H. Poiché H è chiuso, anche il prodotto (x 1 y) (y 1 z) H. Ma (x 1 y) (y 1 z) = x 1 ( 1 y y)z = x 1 z. 18

Dunque x 1 z H, cioè x z. Pertanto la relazione è transitiva. Indichiamo con G/H l insieme quoziente di G per la relazione. Poiché stiamo supponendo che G sia finito, anche G/H lo sarà. Indichiamo con m la sua cardinalità. Esisteranno dunque m elementi x 1,..., x m G tali che G/H = {[x 1 ],...,[x m ]}. Le classi [x 1 ],..,[x m ] sono tutte a due a due disgiunte, ed esauriscono tutto l insieme quoziente: ogni altra classe di equivalenza coincide con una ed una sola di queste classi. Poniamo A k = [x k ]. Poiché le classi di equivalenza rispetto ad una relazione di equivalenza sono una partizione di un insieme, l elemento neutro apparterrà ad una ed una sola di queste classi. A meno di rinumerare le classi possiamo supporre che e A 1. Pertanto A 1 = [e] = H (dimostrare!). Vogliamo ora provare che tutte le altre classi A 2,...A k contengono lo stesso numero di elementi di A 1 = H. Consideriamo la seguente applicazione: f k : H A k f k (x) = x k x. Dimostriamo innanzitutto che f k è effettivamente una applicazione da H in A k. Si tratta di controllare che l elemento f k (x) = x k x che a priori sta semplicemente in G, appartiene effettivamente ad A k. Ma A k = [x k ], quindi un generico elemento y di G apparterrà ad A k se e solo se y x k, cioè se e solo se x 1 k y H. Ma x 1 k f k (x) = x 1 k x k x = x, dunque, se x H, f k (x) A k, il che prova che f k è una applicazione da H in A k. Dimostriamo ora che essa è biunivoca. Iniettività: supponiamo che x, y H e che f k (x) = f k (y). Allora x k x = x k y. Per la legge di cancellazione (17) concludiamo che x = y. Dunque f k è iniettiva. Suriettività: sia y A k. Per definizione A k = [x k ], dunque x k y, ossia x 1 k y H. Ma allora f k (x 1 k y) = y. Dunque f k è biunivoca e poiché sono in corrispondenza biunivoca, gli insiemi H ed A k contengono lo stesso numero di elementi: A k = H. Usando il fatto che le classi di equivalenza danno una partizione di G, e applicando (30), troviamo che o(g) = G = m A i. Ma per quanto visto sopra, A k = H, dunque o(g) = m H, cioè o(h) = H divide o(g). 19 i=1

Corollario 29 Sia (G, ) un gruppo di ordine n ed x un elemento di G. Allora x n = e. Dimostrazione. Indichiamo con H = x il sottogruppo di G generato da x. Per il Teorema di Lagrange H divide n, cioè esiste m Z tale che n = m H. D altronde sappiamo dal Lemma 27 che H = o(x). Dunque n = m o(x), per cui x n = x m o(x) = ( x o(x)) m = 1 m = 1. 6 Il prodotto su Z n Oltre alla somma, sull insieme Z n c è un altra operazione, chiamata prodotto, e definita in modo perfettamente analogo: date due classi a, b Z n per definire il loro prodotto (che viene indicato con a b) scegliamo due rappresentanti x, y, cioè due interi tali che [x] = a,[y] = b. A questo punto definiamo a b : = [x y]. (32) Come nel caso della somma resta da verificare che questa è una buona definizione, cioè che a b dipende solo dalle classi a e b e non dai rappresentanti x ed y che sono stati scelti per definirlo. Supponiamo quindi che x, y Z siano degli altri rappresentanti delle classi a e b, cioè a = [x ], b = [y ]. Dobbiamo mostrare che [x y ] = [xy]. Poiché [x] = a = [x ] e [y] = b = [y ], si ha che x x mod n e y y mod n, dunque esistono degli interi h, k tali che x = x + kn y = y + hn. Allora x y = (x + kn)(y + hn) = xy + (ky + hx + khn)n, dunque x y xy mod n, cioè [x y ] = [xy]. Pertanto il prodotto su Z n è ben definito. Lemma 30 1. Il prodotto su Z n è associativo. 2. La classe [1] è un elemento neutro per il prodotto. 20

3. Valgono le leggi distributive: dati a, b, c Z n a (b + c) = ab + ac (a + b) c = ac + bc. (33) 4. Inoltre il prodotto è anche commutativo. Dimostrazione. Tutte queste proprietà seguono immediatamente dalle corrispondenti proprietà di Z esattamente come nella dimostrazione del Lemma 18. L ultimo lemma afferma che Z n è un esempio di una struttura matematica molto importante che ora definiamo. Definizione 31 Sia A un insieme provvisto di due operazioni, che chiamiamo somma e prodotto e che indichiamo rispettivamente con + e. Diciamo che (A, +, ) è un anello se 1. (A, +) è un gruppo abeliano; 2. il prodotto è associativo; 3. esiste un elemento neutro del prodotto, indicato con 1; 4. l elemento neutro moltiplicativo e quello additivo sono distinti: 1 0; 5. Valgono le leggi distributive: dati a, b, c A a (b + c) = ab + ac (a + b) c = ac + bc. (34) Se poi il prodotto è anche commutativo, diciamo che A è un anello commutativo. Esempio 32 Gli esempi più semplici sono (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ). Sono tutti anelli commutativi. Abbiamo appena visto che anche (Z n, +, ) è un anello commutativo. La classe [0] è l elemento neutro additivo, [1] è l elemento neutro moltiplicativo. Per questo useremo spesso le scritture abbreviate 0 ed 1 per [0] e [1]. Nel corso di Matematica discreta - Complementi saranno trattate le matrici, che sono importante esempio di anello non commutativo. Definizione 33 Sia (A, +, ) un anello commutativo. Diciamo che A è un campo se per ogni x A, x 0 esiste un inverso moltiplicativo, cioè un elemento y A tale che xy = 1. 21

Lemma 34 Se A è un anello, poniamo A = A \ {0}. Se A è un campo, (A, ) è un gruppo abeliano. Dimostrazione. Verifichiamo innanzitutto che se x 1, x 2 A, anche il prodotto x 1 x 2 appartiene a A (cioè non è nullo). Infatti se x 1, x 2 A, allora esistono inversi moltiplicativi, cioè y 1, y 2 A tali che Se fosse x 1 x 2 = 0, si avrebbe x 1 y 1 = 1 x 2 y 2 = 1. 0 = 0 y 1 y 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 = x 1 y 1 x 2 y 2 = 1 1 = 1. Invece per la definizione di anello, 1 0. Dunque x 1 x 2 0, cioè x 1 x 2 A. Poiché il prodotto di due elementi di A è ancora un elemento di A, il prodotto è effettivamente un operazione su A. A questo punto è facile concludere che (A, ) è un gruppo (abeliano). Infatti il prodotto è associativo, 1 A è un elemento neutro moltiplicativo, e per la definizione di campo, ogni elemento di A ammette un inverso, che appartiene ancora a A. Abbiamo dimostrato sopra che per ogni n N l insieme Z n provvisto della somma e del prodotto è un anello commutativo. Ci chiediamo ora se può essere un campo. Il seguente esempio mostra che in generale non lo è. Esempio 35 Consideriamo l anello Z 6, e consideriamo i due elementi [2], [3]. Poiché 2 e 3 non sono divisibili per 6, [2] [0] e [3] [0]. Tuttavia il prodotto [2] [3] = [6] = [0]. In altre parole il prodotto di due elementi di A è nullo, quindi non appartiene ad A. Pertanto A non può essere un gruppo. Segue dal Lemma 34 che A non è un campo: se lo fosse A, sarebbe un gruppo. Si noti che l anello considerato nell esempio è Z 6, e che 6 non è primo, ciò che è stato sfruttato per costruire i due elementi non nulli con prodotto nullo. Teorema 36 L anello Z n è un campo se e soltanto se n è un numero primo. Dimostrazione. Dimostriamo innanzitutto che Z n è un campo solo se n è primo. Dobbiamo cioè provare che se Z n è un campo, allora n è primo. Se non lo fosse, esisterebbe una fattorizzazione non banale, cioè potremmo scrivere n = h k 22

con h e k entrambi diversi da n, quindi in particolare 0 < h < n e 0 < k < n. Pertanto h e k non sarebbero divisibili per n e le classi [h] e [k] sarebbero entrambe non nulle. Ma il loro prodotto sarebbe invece nullo: [h] [k] = [hk] = [n] = [0]. Se Z n è un campo, questo non può succedere, dunque non esistono fattorizzazioni non banali di n, il che prova che n è primo. È così dimostrata la prima implicazione. Ora dobbiamo provare che - viceversa - se n è primo, allora Z n è un campo. Sia dunque n un numero primo, ed [x] una classe di Z n non nulla. Ciò significa che x non è divisibile per n, per cui M.C.D.(n, x) = 1. Ma allora, per il Teorema di Bézout, esistono interi m, k Z tali che Prendiamo le classi di questa equazione: 1 = mx + kn. (35) [1] == [mx + kn] = [mx] + [kn] = [mx] = [m] [x]. Pertanto la classe [m] è un inverso moltiplicativo di [x]. Siccome [x] è un elemento arbitrario di A, abbiamo dimostrato che Z n è campo. Se n non è primo, l insieme Z n {[0]} non è chiuso rispetto al prodotto. Tuttavia possiamo considerare un sottoinsieme più piccolo. Definizione 37 Se n è un naturale positivo, indichiamo con U n l insieme degli elementi di Z n che possiedono un inverso moltiplicativo: U n = {[x] Z n [y] Z n : [x] [y] = [1]}. (36) Lemma 38 Se a, b U n, anche il prodotto a b è un elemento di U n. Dunque possiamo considerare su U n l operazione data dal prodotto, e (U n, ) è un gruppo abeliano. Dimostrazione. Per ipotesi esistono degli inversi di a e di b, che possiamo indicare con c e d rispettivamente: ac = bd = 1. Pertanto ab cd = ac bd = 1 1 = 1. Dunque anche ab U n, e l applicazione U n U n U n (37) (a, b) ab è un operazione su U n. Essa è evidentemente associativa e commutativa, e [1] U n è un elemento neutro. Per la definizione stessa di U n ogni elemento possiede un inverso, quindi (U n, ) è un gruppo abeliano. 23

Lemma 39 Gli elementi di U n sono esattamente le classi [x] degli interi x che sono primi con n. Dimostrazione. Sia [x] Z n e proviamo che allora x ed n sono coprimi, cioè M.C.D.(n, x) = 1. Per ipotesi esiste una classe [y] tale che ossia cioè ancora [x] [y] = [1] xy 1 mod n xy = 1 + kn per qualche k Z. Ma allora 1 = yx kn. Dalla dimostrazione dell esistenza del massimo comun divisore sappiamo che M.C.D.(x, n) è il minimo intero positivo che si scrive nella forma sx+tn per qualche s, t Z. Abbiamo appena visto che 1 si scrive in questa forma, dunque per forza M.C.D.(x, n) = 1. Abbiamo così provato che se [x] U n, allora x è primo con n, cioè x ed n sono coprimi. Viceversa, supponiamo che x sia primo con n, e verifichiamo che allora [x] è un elemento di U n. Poiché M.C.D.(x, n) = 1, di nuovo per il Teorema di Bézout, possiamo trovare degli interi s, t Z tali che 1 = sx + tn. Prendendo le classi di questa equazione troviamo [1] = [sx + tn] = [sx] + [tn] = [sx] = [s] [x]. Quindi la classe [s] è un inverso moltiplicativo di [x], per cui [x] U n. Poniamo ora ϕ(n) : = U n. (38) Questa funzione si chiama funzione ϕ di Eulero. Se n è primo, U n = Z n \ {[0]} = {[1],...,[n 1]}, dunque ϕ(n) = n 1. Se invece n non è primo, è alquanto difficile calcolare ϕ(n) quando n è un numero un po grosso. Applicando il Teorema di Lagrange e i suoi corollari ai gruppi moltiplicativi U n si ottengono importanti risultati artimetici. 24

Teorema 40 (Eulero) Sia n un numero naturale positivo. Se x Z è primo con n, allora x ϕ(n) 1 mod n. (39) Dimostrazione. Per il Lemma 39 la classe [x] appartiene ad U n. Poiché la cardinalità di U n è (per definizione) ϕ(n), applicando il Corollario 29 si ottiene la tesi. Teorema 41 (piccolo Teorema di Fermat) Se p è un primo ed x è un intero qualsiasi, allora x p x mod p. Dimostrazione. Distinguiamo due casi, a seconda che p divida o non divida x. Nel primo caso, se p x, anche x p è divisibile per p. Pertanto anche la differenza x p x è un multiplo di p. Quindi effettivamente x p è congruo ad x modulo p. Se invece p x, allora [x] U p, e applicando il Teorema di Eulero, poiché ϕ(p) = p 1, si conclude che x p 1 1 mod p. Moltiplicando entrambi i lati dell equivalenza per x si ottiene la tesi anche in questo caso. Riferimenti bibliografici [F] Facchini, Algebra e Matematica discreta, Decibel-Zanichelli, Padova, 2000. 25