ESAME DI MATEMATICA 1 PER SCI. AMB. E VCA 11/12/2018 APPELLO HELP TEACHING Nome: Cognome: Matricola: ISTRUZIONI, leggere attentamente. (1) Tempo massimo: 2 ore e mezza. (2) Voto massimo: 30/30. (3) È possibile ritirarsi dall esame, ma non prima di un ora dall inizio. (4) Scrivere la soluzione sotto la traccia. Dove richiesto è necessario spiegare le risposte. Risposte corrette senza spiegazioni o con spiegazioni errate o incoerenti saranno valutate 0. (5) È possibile utilizzare esclusivamente il formulario allegato. (6) Non è permessa nessuna forma di comunicazione con l esterno o con gli altri partecipanti all esame. (7) Gli unici fogli utilizzabili per la brutta o per i calcoli sono quelli alla fine del compito e vanno staccati solo alla fine dell esame. (8) I fogli che verranno presi in considerazione durante la correzione sono solo quelli con le tracce degli esercizi (pagine da 1 a 8). I 3 fogli finali possono essere usati liberamente e vanno staccati solo al momento della consegna. (9) Buon lavoro! 1
2 APPELLO HELP TEACHING Esercizio 1 (5 punti). (1) Per ognuna delle seguenti funzioni, stabilire se è crescente, descrescente, strettamente crescente oppure strettamente decrescente: (a) f(x) = 3 x + 3x + 1 (b) h(x) = 2 (c) g(x) = 2x + 1 (2) Data f(x) = log(x + 3), scrivere l espressione della funzione g(x) che si ottiene traslando il grafico di f di una unità verso il basso e di due unità verso sinistra. (3) Stabilire se la funzione g ottenuta al punto precedente presenta simmetrie. Soluzione: (1) La funzione al punto (a) è strettamente crescente, la funzione al punto (b) è costante e quindi sia crescente che decrescente, la funzione al punto (c) è strettamente decrescente. (2) g(x) = log(x + 5) 1 (3) La funzione g(x) = log(x + 5) 1 non presenta simmetrie. Esercizio 2 (7 punti). Data le seguente funzione. f(x) = ( ) arcsin x 3 x+1 e log(1+x) Calcolare il dominio di f(x). Dom(f)= Calcolare la derivata di f(x). f (x)= Soluzione: Dom(f) = [1, + ) = {x R x 1}. 1 4 1 ( x 3 x+1) 2 ( ) x 3 x+1 e log(x+1) 1 e log(x+1) arcsin (x+1) 2 f (x) = e 2 log(x+1) ( ) 1 = 2 2 (x + 1) arcsin x 3 x+1. 2(x + 1) 2 e log(x+1) x 1 log(x + 1) (x+1) 2 1 2 log(x+1) x+1 = Esercizio 3 (6 punti). Sapendo la funzione in figura ha equazione del tipo f(x) = A cos(x b) + c, determinare a,b e c usando le informazioni contenute nel grafico in figura. Motivare ogni risposta.
ESAME DI MATEMATICA 1 PER SCI. AMB. E VCA 11/12/2018 3 Soluzione: Per le proprità della funzione coseno, b è l ascissa del punto dove la funzione assume valore 6, e cioè il suo primo massimo, quindi b = 2. Per ricavare c, osserviamo che f(x) = c quando cos(x 2) = 0, e cioè per x = 2 + π 2 + k π 2. Quindi, ricaviamo dal grafico che c = 1. Alternativamente, c si ottiene come punto medio tra l ordinata del massimo e quella del minimo, quindi c = (6 4)/2. Infine, da 4 A cos(x 2) + 1 6 ricaviamo che 5 A cos(x 2) 5 e quindi A = 5. Esercizio 4 (6 punti). Si consideri il seguente grafico di f(x)
4 APPELLO HELP TEACHING. Disegnarne la derivata Soluzione:
ESAME DI MATEMATICA 1 PER SCI. AMB. E VCA 11/12/2018 5 Esercizio 5 (6 punti). Rispondere alle seguenti domande, motivando la risposta. (1) Dire se i seguenti vettori sono linearmente dipendenti: (0, 3, 1), (0, 1, 1) e (1, 1, 0). (2) Date le matrici: 0 1 1 A = 2 5 4 2 2 2, B = 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 Calcolare C = AB. (3) Trovare il rango di C. Soluzione: (1) I vettori sono linearmente indipendenti perché la matrice 0 0 1 3-1 -1 1 1 0 (2) ha determinante non nullo (uguale a 4). 0 1 1 0 C = 2 5 4 7 2 2 2 6. 0 1 0 1 (3) det(c) = 0. Quindi la matrice ha rango minore o uguale a 3. Poichè la sottomatrice A = 0 1 1 2 2 2 0 1 0 ha determinante pari a 2, il rango è 3.
6 APPELLO HELP TEACHING Esercizio 6 (4 punti). Stabilire se la seguente matrice è diagonalizzabile e la matrice diagonale associata. A = 1 2 3 0 3 1 0 0 4 Soluzione: Cercando gli autovalori troviamo che det(a λi 3 ) = (1 λ)(3 λ)(4 λ). Gli autovalori sono quindi 1, 3, 4. Avendo tre autovalori di molteplicità uno, A è diagonalizzabile e la matrice diagonale associata è D = 1 0 0 0 3 0. 0 0 4