Dinamica dei Sistemi La realtà è vista come un sistema, cioè come un insieme di elementi/parti fra di loro interconnesse. I sistemi che consideremo sono caratterizzati dal fatto che evolvono nel tempo, come effetto di stimoli esterni e della interdipendenza delle loro parti: sono sistemi dinamici.
Nella Dinamica dei Sistemi i modelli non sono intesi usualmente come modelli predittivi, o almeno non è questo il loro principale scopo. Non hanno come obiettivo la previsione accurata di ciò che avverrà nel futuro in un dato sistema, come accade ad esempio per i modelli per le previsioni atmosferiche. Si propongono invece di essere di aiuto nel prendere decisioni, cioè sono strumenti che servono per individuare linee di azione per risolvere problemi.
Il sistema e i suoi confini Confini del Sistema Realtà esterna Sistema
Andamenti Crescita 14 12 10 8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 50 60 Decrescita 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 10 20 30 40 50 60 Oscillazioni 140 120 100 80 60 40 20 0 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
Passi della modellazione Individuazione delle variabili chiave ed analisi del loro andamento (si tratta delle variabili, spesso una sola, da cui è partita la presa di coscienza dell esistenza di un problema) Individuazione degli elementi più rilevanti del sistema in esame e delle variabili che li rappresentano, o comunque ad essi associate. Individuazione delle relazioni fra le diverse variabili, con particolare riferimento a relazioni causali. Individuazione delle principali catene, o anelli, causali.
Dinamica dei Sistemi Livelli o variabili di stato Flussi Variabili ausiliarie
Un semplice esempio: la dinamica di una popolazione livello: popolazione (numerosità) flussi: numero di nascite e di morti nell unità di tempo (ad esempio all anno) variabili ausiliarie: (tasso di nascita e tasso di mortalità)
Livelli e Flussi Livello(t + t) = Livello(t)+ (F lussoinput(t) F lussooutput(t)) t
Livelli e flussi Nascite Popolazione Morti Popolazione: Natalità: Mortalità: Nascite: Morti: P(t) N M NxP(t) MxP(t)
dp (t) dt dp (t) dt e (N M)t = N P (t) M P (t) = (N M) P (t) (N M) P (t) = 0 dp (t) dt d dt (P (t) e (N M)t ) = 0 (N M) e (N M)t P (t) = 0 t o d ds (P (s) e (N M)s )ds = 0
t o d ds (P (s) e (N M)s )ds = 0 P (t) e (N M)t P (0) = 0 P (t) = P (0) e (N M)t N > M 14 12 10 N < M 1 0.9 0.8 0.7 8 6 0.6 0.5 0.4 4 0.3 2 0.2 0.1 0 0 10 20 30 40 50 60 0 0 10 20 30 40 50 60
Crescita esponenziale Crescita lineare Crescita esponenziale (+.02) tasso del 0.02 0 1.0000 1.0000 1 1.0200 1.0200 2 1.0400 1.0404 3 1.0600 1.0612 4 1.0800 1.0824 5 1.1000 1.1041 6 1.1200 1.1262 7 1.1400 1.1487 8 1.1600 1.1717 9 1.1800 1.1951 10 1.2000 1.2190
Crescita esponenziale Crescita esponenziale Crescita lineare Con un tasso di crescita del 2% annuo, si ha un raddoppio ogni 35 anni
Discretizzazione: dp (t) dt (N M) P (t) = 0 P (t + t) P (t) t = (N M)P (t) P (t + t) = P (t) + P (t)(n M) t Crescita della popolazione =B4+B4*($C$4-$D$4)/1000 5,000 4,500 4,000 3,500 3,000 2,500 2,000 1,500 1,000 500 0 0 20 40 60 80 100 120
P (t + 1) = P (t) + P (t)(n M) = P (t)(1 + N M) ( t = 1) P (t + 0.5) = P (t) + P (t)(n M)0.5 = P (t)(1 + 0.5(N M)) P (t + 1) = P (t + 0.5)(1 + 0.5(N M)) = P (t)(1 + 0.5(N M)) 2 P (t + 0.5) P (t + 1) P (t + 1) P (t) 0 0.5 1
t = 1 t = 0.5
Crescita limitata Consideriamo la crescita di una popolazione, assumendo che ci siano limiti alle risorse utilizzabili.
Dinamiche di crescita (1) x 0 λ 0 popolazione al tempo 0 massimo tasso di crescita (nel caso di risorse illimitate) λ(x) tasso di crescita in funzione della popolazione m massima popolazione sostenibile, date le risorse
Dinamiche di crescita (2) λ(x) = λ 0 m x m λ(x) λ 0 m x
Dinamiche di crescita (3) dx dt = xλ(x) = xλ m x 0 m x(t) = x 0 e λ 0t 1 + x 0 m (eλ 0t 1) Logistica
Dinamiche di crescita (4) x(t + t) = x(t) + [λ(t)x(t) µx(t)] t Tasso di mortalità Crescita Popolazione Decrescita Lambda0 Lambda Disponibilità Risorse Risorse totali Tasso di mortalità
Dinamiche di crescita (5) + + + Popolazione + Popolazione Crescita + <Decrescita> Crescita + <Decrescita> + - - + - - Lambda + Disponibilità Risorse Lambda + Disponibilità Risorse <Lambda0> <Lambda0> <Risorse totali> <Risorse totali>
Dinamiche di crescita (6) Condizioni di equilibrio x(t + t) = x(t) + [λ(t)x(t) µx(t)] t λ 0 m x m = µ λ 0 m λ 0 x = µm x λ 0 m = λ 0 µ x = m λ 0 µ λ 0 Valore di equilibrio della popolazione
Dinamiche di crescita (7) x(t + t) = x(t) + [λ(t)x(t) µx(t)] t µ = 0.2 λ 0 = 0.5 x = 1000 0.5 0.2 0.5 = 600 1,500 Crescita popolazioni 1,200 900 600 300 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Time (Month) Lambda0 = 0.5 popolazione
Dinamiche di crescita (8) x(t + t) = x(t) + [λ(t)x(t) µx(t)] t µ = 0.2 λ 0 = 1 x = 1000 1 0.2 1 = 800 1,500 Crescita popolazioni 1,200 900 600 300 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Time (Month) Lambda0 = 1 popolazione
Dinamiche di crescita (9) x(t + t) = x(t) + [λ(t)x(t) µx(t)] t µ = 0.2 λ 0 = 2 x = 1000 2 0.2 2 = 900 1,500 Crescita popolazioni 1,200 900 600 300 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Time (Month) Lambda0 = 2 popolazione
Dinamiche di crescita (10) x(t + t) = x(t) + [λ(t)x(t) µx(t)] t µ = 0.2 λ 0 = 3 x = 1000 3 0.2 3 = 933.33 1,500 Crescita popolazioni 1,200 900 600 300 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Time (Month) Lambda0 = 3 popolazione
Dinamiche di crescita (11) x(t + t) = x(t) + [λ(t)x(t) µx(t)] t 1,500 Crescita popolazioni 1,125 750 375 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Time (Month) Lambda0 = 0.5 Lambda0 = 1 Lambda0 = 2 Lambda0 = 3 popolazione popolazione popolazione popolazione
Dinamiche di crescita (12) Per i valori 2 e 3, abbiamo usato un valore di t pari a 0.25. Se avessimo usato il valore 1 avremmo avuto andamenti caotici del tipo di quello riportato sotto: µ = 0.2 λ 0 = 3 t = 1 1,500 1,200 900 600 300 0 Crescita popolazioni 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Time (Month) Lambda0 = 3 popolazione
Diffusione di tecnologie Consideriamo il processo attraverso cui una nuova tecnologia si diffonde. Abbiamo una popolazione di partenza, potenzialmente disponibile ad adottare la tecnologia, ed alcuni individui (gli innovatori) che la hanno già adottata. Possiamo assumere che l adozione avvenga con un processo di contagio. Quando un adottatore potenziale incontra un individuo che ha già adottato, allora viene a conoscenza della tecnologia e dei suoi vantaggi, e con una certa probabilità decide anche lui di adottarla.
Il modello Potenziali adottanti Nuovi adottanti + + + + - Adottanti Numero iniziale di adottanti Tasso Incontri c Probabilità di adozione i Populazione totale N
Andamento delle adozioni della nuova tecnologia 1,000 750 500 250 0 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 Time (Day) Adottanti : Current People
Un altro modello di crescita di una popolazione Popolazione totale Tasso di crescita Tasso di invecchiamento Giovani Adulti Vecchi Nascite Crescita Invecchiamento Morti Fertilità Donne adulte Mortalità Frazione Femmine
Giovani: da 0 a 16 anni Adulti: da 17 a 42 Ipotesi Vecchi: da 42 in poi, con una età media della popolazione di 72 anni Le morti avvengono solo fra la popolazione vecchia Il numero di nati è determinato dal numero di donne adulte e dal tasso di fertilità
Il numero di giovani che ogni anno diventano adulti è pari ad 1/16 dei giovani presenti. Si tratta di una semplificazione accettabile se la popolazione non varia velocemente. Crescita(t) = Giovani(t) x Tasso_di_crescita Tasso_di_crescita = 1/16
Invecchiamento(t) = Adulti(t) x Tasso_di_invecchiamento Tasso_di_invecchiamento = 1/25 Morti(t) = Vecchi(t) x Mortalità Mortalità = 1/30
200 2 figli per donna adulta 170 140 110 80 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Time (Month) Giovani Adulti Vecchi
600 3 figli per donna adulta 450 300 150 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Time (Month) Giovani Adulti Vecchi
2,000 4 Figli per donna adulta 1,500 1,000 500 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Time (Month) Giovani Adulti Vecchi
4,000 5 Figli per donna adulta 3,000 2,000 1,000 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Time (Month) Giovani Adulti Vecchi
Ciclo positivo Ciclo negativo Tasso di crescita Giovani + Crescita + Adulti + Vecchi Morti + - Invecchiamento Mortalità Nascite + + Tasso di invecchiamento Fertilità Donne adulte Frazione Femmine
Nel modello abbiamo assunto che le morti avvengano solamente fra la popolazione vecchia. Si tratta di una ipotesi semplificativa. In realtà c è un tasso di mortalità non nullo anche tra i giovani e gli adulti. Si modifichi il modello inserendo un tasso di mortalità di valore 0.02 per i giovani e di valore 0.03 per gli adulti. Si ripetano poi gli esperimenti in questa nuova situazione.
Il modello Preda-Predatore Il modello Preda-Predatore è stato sviluppato dal matematico italiano Vito Volterra (1860-1940) per studiare un fenomeno che era stato evidenziato dallo zoologo Umberto D'Ancona. Analizzando le statistiche relative alla pesca nel nord dell'adriatico, D Ancona aveva osservato che durante gli ultimi anni della prima guerra mondiale e negli anni immediatamente seguenti si era verificato un sostanziale aumento della percentuale dei predatori (Selaci) pescati. L unica circostanza che appariva collegabile a questo incremento era la diminuzione dell'attività di pesca causata dalle attività belliche.
Le variabili di livello P rede(t + t) = P rede(t) + (Nascite P rede(t) Morti P rede(t)) t P redatori(t + t) = P redatori(t)+ (N ascite P redatori(t) M orti P redatori(t)) t Nascite Prede Prede Morti Prede Nascite Predatori Predatori Morti Predatori
Le variabili di flusso Nascite P rede(t) = A P rede(t) Morti P rede(t) = P rede Catturate(t) + P rede P escate(t) Morti P redatori(t) = C P redatori(t) + P redatori P escati(t) Nascite P redatori(t) = D Incontri P rede P redatori(t)
Le variabili ausiliarie P rede Catturate(t) = B Incontri P rede P redatori(t) Incontri P rede P redatori(t) = P rede(t) P redatori(t) P rede P escate(t) = ε P rede(t) P redatori P escati(t) = ε P redatori(t)
Il modello completo A Nascite Prede Prede Morti Prede Prede Catturate B Prede Pescate Incontri Prede Predatori epsilon D Predatori Pescati Nascite Predatori Predatori Morti Predatori C
Andamento delle popolazioni 400,000 600 300,000 450 200,000 300 100,000 150 0 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Time (Week) Prede : Predatori1RK Predatori : Predatori1RK