3.4 Esercizi proposti

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1 se X è prossimo a 0 tale pressione è bassa e questo fatto riduce la mortalità degli individui del livello Y in modo che se X = 0 si ha TdM = TdM; se X è prossimo a X max tale pressione è alta e questo fatto aumenta la mortalità degli individui del livello Y in modo che se X = X max si ha TdM = 2 TdM 3.4 Esercizi proposti La presente sezione, come altre similari contenute alla fine di altri capitoli, contiene alcuni esercizi la cui soluzione consiste nella definizione di un modello Vensim che soddisfa certe specifiche e che si basa sull applicazione, in certi casi creativa, dei concetti esposti nel presente capitolo. Esercizio Si implementi il modello schematizzato nell esempio il tempo di decadimento della sostanza X è pari a T X = 2 giorni; - il tempo di decadimento della sostanza Y è pari a T Y = 3 giorni; - la capacità massima del mezzo è pari a m = 1000 unità della sostanza X. Si valuti cosa accade al variare di m, di T X e T Y a partire dai valori dati. Si traccino nel tempo gli andamenti delle variabili X e Y e li si usi per fare le valutazioni richieste. Esercizio Si implementi il modello schematizzato nell esempio i valori iniziali dei due stadi sono, rispettivamente: X0 = 100 con intervallo di variabilità [20, 200], Y0 = 100 con intervallo di variabilità [20,200]; - come tasso di natalità nello stadio X si ha TdN X = 0.02 con intervallo di variabilità [0.01, 0.07]; - come tasso di mortalità nello stadio X si ha TdN X = 0.02 con intervallo di variabilità [0.01, 0.07]; - come tempo medio di transito dallo stadio X allo stadio Y si ha T XY = 15 con intervallo di variabilità [5, 20]; 120

2 - si assuma Year come unità di misura del tempo e una unità di misura Nelle suddette relazioni con [a,b] si definisce un intervallo di valori in cui a è il valore minimo e b è il valore massimo. Si valutino gli andamenti di X e Y al variare dei parametri TdN X e TdM Y. Esercizio Si implementi il modello schematizzato nell esempio i valori iniziali delle sostanze X e Y sono, rispettivamente: X0 = 10 con intervallo di variabilità [0,100], Y0 = 0 con intervallo di variabilità [0,100]; - con m X si denota la massima quantità di sostanza assorbile con intervallo di variabilità [100, 500]; - con in X (0) si indica il flusso di sostanza sversata sulla superficie del mezzo permeabile; - con α X si indica la frazione di sostanza effettivamente assorbibile; - con in X = α X in X (0) si indica il flusso di sostanza effettivamente assorbita; - con T XY [10,20] si denota il tempo medio necessario perché una unità di sostanza X si trasformi in una unità di sostanza Y; - con T Y [5,30] si denota il tempo medio necessario perché una unità di sostanza Y decada ed esca dal nostro modello; - con α XY si indica un coefficiente che descrive l influenza della sostanza X sul decadimento della sostanza Y. Per in X (0) si ipotizzi un andamentoapiacere privilegiandoandamenti, anche periodici, che mantengano valori non nulli per tutta la durata della simulazione. Si facciano, inoltre, le seguenti assunzioni semplificative: α X = m X X m X (3.66) α XY = X (3.67) X +Y Si assuma Minute come unità di misura del tempo e una unità di misura 121

3 Esercizio Si implementi il modello schematizzato nell esempio fissando i valori dei parametri necessari sulla scorta di quanto visto nell esercizio Esercizio Avendo presente il modello sviluppato nell esercizio si implementi il modello schematizzato nell esempio i valori iniziali delle sostanze nei due strati X e Y sono, rispettivamente: X0 = 0 con intervallo di variabilità [0,100], Y0 = 0 con intervallo di variabilità [0,100]; - per i parametri in X (0), in X, m X e α X si rimanda a quanto detto nell esercizio 3.4.3; - con α YX si indica un coefficiente che descrive l influenza della sostanza presente nello strato più profondo Y sul passaggio in esso della sostanza X dallo strato superficiale. - con T Y [5,30] si denota il tempo medio necessario perché una unità di sostanza Y decada ed esca dal nostro modello. Si assuma, per semplicità, la seguente espressione: α YX = m Y Y m Y (3.68) se con m Y si denota la massima quantità di sostanza assorbile nello strato profondo con intervallo di variabilità [100, 500]. Se out X denota il flusso in uscita da X si assuma che sia definito nel modo seguente: out X = max(0,k X) (3.69) nella quale: - il parametro k [0.3,0.7] definisce la frazione di sostanza X che, in assenza di impedimenti, transita nello strato più profondo per effetto della gravità; - la funzione max(a,b) restituisce il maggiore dei due valori a e b. Si assuma Minute come unità di misura del tempo e una unità di misura 122

4 Esercizio Si implementi il modello schematizzato nell esempio fissando i valori dei parametri necessari sulla scorta di quanto visto nell esercizio Esercizio Si progetti e implementi la struttura di un modello Vensim che descrive la situazione seguente. Si suppone di avere una sostanza inquinante che viene periodicamente dispersa a lotti (dove per lotto si intende una quantità prefissata e indivisa di materia) su un terreno per un periodo di tempo costante T [1,3], con una periodo di ripetiozione costante T s [5,12] e in una quantità costante S 0 [100,1000]. Dopo un tempo di trasferimento T t [1,6] ogni lotto di sostanza si trasferisce nella falda acquifera dove si accumula e permane per un po disgregandosi con un tempo di decadimento pari a T d [1,10]. Si scrivano le possibili equazioni che definiscono i flussi in ingresso e in uscita ai due livelli. Si assuma Month come unità di misura del tempo e una unità di misura Esercizio Si progetti e implementi la struttura di un modello Vensim che descrive la situazione seguente. Si suppone di avere una quantità iniziale L 1 (0) [100,1000] di una sostanza che si trasforma in un altra L 2 (inizialmente assente ovvero con L 2 (0) = 0) con un tempo di decadimento pari a T 1 [3,10]. Si scrivano le possibili equazioni che definiscono i flussi in ingresso e in uscita agli eventuali livelli. Si modifichi il modello suddetto in modo da tenere conto del fatto che la sostanza L 1 è caratterizzata da un tasso di volatilità pari a α 1 [0.1,0.8] e che la porzione di sostanza che si volatilizza non decade. Si modifichi ulteriormente il modello in modo da descrivere il fatto che anche la seconda sostanza L 2 decade con un tempo di decadimento pari a T 2 [3,10] ma diffondendosi in un ambiente molto vasto per cui non siamo interessati a descriverne l accumulazione. Si assuma Month come unità di misura del tempo e una unità di misura Esercizio Siano date le seguenti equazioni: dx dt = λ 0 X X Y (3.70) Y = λ 0 m 123 X (3.71)

5 insieme ai valori iniziali: X(0) = X 0 (3.72) Y(0) = λ 0 m X 0 (3.73) e con m e λ 0 costanti indipendenti sia dal tempo e sia da X sia da Y. Si progetti e implementi la struttura di un Vensim corrispondente e l associato diagramma causale. 124