AM210: Tracce delle lezioni- III Settimana

AM10: Tracce delle lezioni- III Settimana PRODOTTO DI CONVOLUZIONE Indicheremo con C 0 (R) := {f C(R) : R = R f, f 0 fuori di [ R, R]} lo spazio (vettoriale) delle funzioni continue a supporto compatto e con supp(f) la chiusura dell insieme {x : f(x) 0}. In C 0 (R) sono definite le norme f = sup x R Per ogni f, g C 0 (R) é definita in R la funzione (f g)(x) := f(y)g(x y) dy f(x), f 1 := f(x) dx. Tale operazione tra funzioni si chiama prodotto di convoluzione e la funzione f g é detta, semplicemente, convoluzione tra f e g. NOTA. f g é definita anche se g C 0 (R) ed f é integrabile sugli intervalli limitati. Proposizione (i) supp f g supp f + supp g e quindi f g C 0 (R) f, g C 0 (R) (ii) L applicazione (f, g) f g é bilineare e simmetrica. (iii) f g g 1 f f, g C 0 (R) (continuitá ) (iv) f g 1 g 1 f 1 f, g C 0 (R) (Diseguaglianza di Young ) (v) f, g C 0 (R), g C k f g C k (R) (effetto regolarizzante ) (vi) f C 0, p polinomio di grado n f p é un polinomio di grado n. Prova della Proposizione (i) Che f g sia continua deriva dal fatto che (x, y) f(y)g(x y) é continua ed equidominata: f(y)g(x y) f g(y) x, y R. Poi, x / supp f + supp g, y supp f x y / supp g g(x y) = 0 Dunque x / supp f + supp g f(y)g(x y) = 0 y (f g)(x) = 0 supp f g supp f + supp g := {a + b : a supp f, b supp g} 1

(ii) La bilinearitá é evidente. La simmetria segue dal cambio di variabile t = x y: (f g)(x) := (iii) (f g)(x) : f(y)g(x y) dy = f(x y)g(y) dy f f(x t)g(t) dt = (g f)(x) g(y) dy (iv) Per Fubini e l invarianza dell integrale per traslazione, f g 1 = (v) f g (x) dx = g(y) ( = f(x y)g(y) dy ) f(x y) dx dy = f(t) dt dx = g(y) ( g(y) dy = f 1 g 1 f(x y)g(y) dx f(t) dt dy = É una conseguenza del Teorema di derivazione sotto segno di integrale: g C 0 C 1 f(y)g (x y) g f(y) x, y R ) dy d (f g)(x) = d dx Piú in generale (g f)(x) = d dx dx f(t)g(x t)dt = f(t) dg (x t)dt dx g C k 0 f g C k e d j dx j (f g)(x) = (f dj g dx j )(x) j k (vi) Scriviamo p(x y) = n k=0 a k (x y) k = n k=0 b k (y)x k e quindi (f p)(x) = f(y)p(x y)dy = + n k=0 f(y)b k (y)dy x k NOTA. Se f é solo localmente integrabile, f g non sará piú a supporto compatto, ma (ii)-(v)-(vi) continuano a valere; per (iii) basta che f(t) dt <.

REGOLARIZZAZIONE PER CONVOLUZIONE Teorema 1 Data ϕ C 0 (B R ), ϕ 0, ϕ(x)dx = 1 sia ϕ ɛ (x) := 1 ɛ ϕ( x ɛ ) (ϕ nucleo regolarizzante, ϕ n successione regolarizzante) Sia f continua. Allora f ϕ ɛ ɛ 0 f uniformemente sui limitati. Infatti, ϕ ɛ (x) = 0 se x Rɛ, ϕ ɛ (x y) dy = 1, e quindi x M + f(x) (f ϕ ɛ )(x) = f(x)ϕ ɛ (x y) dy f(y)ϕ ɛ (x y) dy f(x) f(y) ϕ ɛ (x y) dy sup x M, x y Rɛ perché f é uniformemente continua in [ R ɛ, R + ɛ]. f(x) f(y) ɛ 0 0 Teorema Siano ϕ n C 0 ([ M, M]), ϕ n 0, con +δ δ ϕ n (x) dx = 1 ϕ n (x) dx n 1 δ > 0 (ϕ n successione regolarizzante). Allora e sup (f ϕ n ((x) f(x) n 0 f C(R), R > 0 [ R,R] Prova. Si ha f(x) (f ϕ n )(x) = δ f(x) f(x y) ϕ n (y) dy = f(x) f(x y) ϕ n (y) dy + δ δ + (f(x) f(x y)) ϕ n (y) dy δ f(x) f(x y) ϕ n (y) dy + f(x) f(x y) ϕ n (y) dy δ > 0. Ma, per la uniforme continuitá di f in [ (R + δ), R + δ], si ha che ɛ, δ ɛ tale che x R δ f(x) f(x y) ϕ n (y) dy ɛ ϕ n (x) dx = ɛ mentre δ +δ δ ϕ n (x)dx n 1 δ 4 sup z [ (R+M),R+M] f(x) f(x y) ϕ n (y)dy+ f(z) δ 3 ϕ n (y) dy + δ f(x) f(x y) ϕ n (y)dy δ ϕ n (y) dy n 0

ESEMPIO 1. ϕ n (x) = ψn(x) c n χ [ 1,1], ψ n (x) := (1 x ) n, c n = 1 1 ψ n (x)dx. Si tratta di provare che ϕ n n 0 uniformememente in x δ δ > 0. Intanto x δ (1 x ) n (1 δ ) n. Poi, 1 1 (1 x ) n dx = π (in effetti é 1 (1 s ) n ds = 0 0 (1 sin θ) n cos θdθ π [ ] π + ( 1 (n+1) n ) ). Dunque sup ϕ n (x) (1 δ ) n (n + 1) n 0 x δ 0 cos n+1 θ sin θdθ = 1 n + 1 IL TEOREMA DI APPROSSIMAZIONE DI WEIERSTRASS. Sia f C(R). Allora esiste una successione di polinomi che converge uniformemente ad f in [ R, R] quale che sia R, ovvero esistono polinomi p n tali che sup f(x) p n (x) n 0 R > 0. x R Prova. Basta provare (vedi Appendice 1) che se f(x) = 0 per x 3, allora esistono p n polinomi tali che sup f(y) p n (y) 0. y 1 3 Possiamo dunque supporre che f(x) = 0 per x. 3 Ma, allora, p n (x) := (f ϕ n )(x), x [ 1, 1 ] sono polinomi, 3 3 (le ϕ n sono quelle dell Esempio 1) giacché ϕ n = c 1 n ψ n χ [ 1,1] e x 1 3, y 1 x y 3 f(x y) = 0 f(x y)χ [ 1,1] (y) = f(x y) y f(x y)(1 y ) n χ [ 1,1] dy = f(x y)(1 y ) n dy = (f ψ n )(x) che sono appunto polinomi. Dunque la restrizione di p n a [ 1, 1 ] é un polinomo. 3 3 Basta infine osservare che, in virtú del Teorema 1, p n f converge uniformemente sui compatti, e quindi, in particolare, su [ 1, 1 ]), ad f. 3 3 4

CONVOLUZIONE in C π Sia C π := {f C(R), f(t + π) = f(t) t} lo spazio delle funzioni continue π periodiche dotato della norma della convergenza uniforme f := sup f(x) = sup f(x) R x π Un importante sottospazio lineare di C π (R) é quello dei polinomi trigonometrici P := {P N = a n cos(nt) + b n sin(nt) : a n, b n R, N N} n=0 Notiamo esplicitamente che P é una sottoalgebra di C π, ovvero il prodotto di polinomi trigonometrici é un polinomio trigonometrico. Per vederlo, basta mostrare che cos nt cos mt, sin nt sin mt, cos nt sin mt sono polinomi trigonometrici. Verifichiamolo per cos nt cos mt, usando le formule di Eulero: cos nt cos mt = 1 ( e int + e int) 1 ( e imt + e imt) = = 1 ( e i(n+m)t + e i(n m)t + e i(n m)t + e i(n+m)t) = 1 (cos(n + m)t + cos(n m)t) 4 Date f, g C π, il loro prodotto di convoluzione é cosi definito (f g)(t) := 1 π π f(t s)g(s)ds, f, g C π Proposizione. f g C π f, g C π e (i) f g = g f f, g C π (ii) f C π, P N P f P N P. Prova di (i). Cambiando variabile t s := σ, troviamo (f g)(t) = 1 π t+π t f(σ)g(t σ)dσ = 1 π d x+π dx x Prova di (ii). +π f(σ)g(t σ)dσ = (g f)(t) perché h C π (R) h(t)dt = h(x + π) h(x π) 0 x+π Basta osservare che x h(t)dt = π (f P N )(t) = f(t s) a n cos(nt) + b n sin(nt)ds = n=0 5 h(t)dt.

π π a n f(s) cos(nt ns)ds + b n f(s) sin(nt ns)ds n=0 π e che f(s) cos(nt ns)ds = f(s)[cos(nt) cos( ns) sin(nt) sin( ns)]ds = ( ) ( ) π π f(s) cos(ns)ds cos(nt) + f(s) sin(ns)ds sin(nt); ( π f(s) sin(nt ns)ds = π f(s)[sin(nt) cos( ns) + sin( ns) cos(nt)]ds = ) ( ] π f(s) cos(ns)ds sin(nt) f(s) sin(ns)ds cos(nt) Approssimazione per convoluzione Siano g k C π tali che (i) g k (t) 0 t R (ii) 1 π π g k (t)dt = 1 k N (iii) g k k 0 uniformemente in [, δ] [δ, π] δ (0, π) Allora f g k f k 0 f C π Prova. ɛ > 0 δ = δ ɛ > 0, k(δ, ɛ) : s δ, t [, π] f(t s) f(t) π ɛ e g k (s) ds π ɛ e quindi s δ k k(δ, ɛ) (f g k )(t) f(t) = 1 π π 1 π δ δ ESEMPIO. f(t s)g k (s)ds π f(t s) f(t) g k (s) ds + f ɛ ɛ (1 + f ) g k = P k (t) := (c k ) ( ) k 1 1+cos t, ck = (π) 1 Chiaramente vi é solo da provare (iii). Stimiamo c k : πc k = 0 ( ) 1 + cos t k dt 0 ( ) 1 + cos t k sin tdt = f(t)g k (s)ds 4 (k + 1) ( ) k 1+cos t dt. Dunque, ( ) k 1 + cos δ sup P k (t) (c k ) 1 π ( ) k 1 + cos δ (k + 1) k 0 δ t π 6

I POLINOMI TRIGONOMETRICI SONO DENSI IN C π (R) ogni f C π é limite uniforme di successioni di polinomi trigonometrici: ovvero P é denso in C π. Infatti, se f C π e P n sono come nell esempio, i polinomi trigonometrici f P n convergono uniformemente a f. Siccome allora anche i polinomi trigonometrici a coefficenti razionali sono densi in C π, si ha che Corollario. C π é separabile (ovvero ha un sottoinsieme numerabile denso) C π (R, C) ED I POLINOMI TRIGONOMETRICI COMPLESSI I π = {f + ig f, g : R R, π periodiche, limitate e integrabili} C π (R, C) := {f + ig I π : f, g C π (R)} sono spazi vettoriali su C. Se h + ik I π, scriveremo [h(t)+ik(t)]dt := h(t)dt+i k(t)dt. Ad esempio e int dt = 0 n Z\{0}. e n := e int, n Z generano il sottospazio dei polinomi trigonometrici complessi P C := {P N (t) = c n e int, c n := a n ib n, a n, b n R, n Z, N N} P N = P N c n e int = c m e imt a n = a n, b n = b n n m= N Usando le formule di Eulero, vediamo che P N é reale se e solo se si scrive nella forma: a N 0 + a n cos nt + b n sin nt = n=0 a n ib n e int, a n = a n, b n = b n In particolare, se P N, Q M sono due polinomi trigonometrici reali, allora P N + iq M é polinomio trigonometrico complesso. Dal Teorema di approssimazione per funzioni in C π (R) segue quindi la Densitá di P C in C π (R, C): f C π (R, C) P N P C, tali che P N f N 0 7

SPAZI VETTORIALI NORMATI Un insieme V si dice spazio vettoriale (o lineare) su R se sono definite una operazione di addizione V V V, (u, v) u + v una moltiplicazione per scalari R V V, (t, v) tv tali che (V, +) sia gruppo commutativo e risulti, per ogni u, v V, s, t R, (t + s)u = tu + su, t(u + v) = tu + tv, t(sv) = (ts)v, 1v = v Gli elementi di V si chiamano punti o vettori. Nell Appendice 3 si richiamano nozioni di algebra lineare, che useremo in seguito. ESEMPIO: R n, con le operazioni (x 1,..., x n )+(y 1,..., y n ) := (x 1 +y 1,..., x n +y n ), t(x 1,..., x n ) := (tx 1,..., tx n ) Interpretazione geometrica. Come noto, R si rappresenta mediante i punti di un piano cartesiano Oxy. In tale piano, dato v = (x 0, y 0 ) R, l insieme R v := {tv = (tx 0, ty 0 ) : t R} é l insieme dei punti della retta (in forma) parametrica x = tx 0, y = ty 0, retta che passa per l origine O := (0, 0) (quando t = 0) e per v (quando t = 1); infatti, eliminando il parametro t, troviamo l equazione cartesiana y = y 0 x 0 x. Similmente, {tv + u : t R, v = (x 0, y 0 ), u = (x 1, y 1 )} é la (rappresentazione parametrica della ) retta passante per u e parallela alla retta R v, ed infatti, eliminando il parametro, troviamo y = (x x 1 ) y 0 x 0 + y 0. In particolare, u + v é il punto comune alle rette {tu + v : t R} e {u + tv : t R} e si chiama traslazione di u lungo v. Tale interpretazione geometrica si estende al caso generale n >. Altri esempi di spazi (e sottospazi) lineari R = R N = {α : N R} (insieme di tutte le successioni numeriche) con (α + β)(j) := α(j) + β(j) j N, (tα)(j) := tα(j) t R, j N l = {α R sup α(n) < + } c 0 := {α l : α(j) j 0} n l 1 = {α c 0 α(n) < + } (l é l insieme di tutte le successioni numeriche limitate, l 1 é l insieme di tutte le successioni numeriche sommabili) 8

(l p é l insieme delle succes- se p > 0, l p := {α l : j=1 α(j) p < + } sioni di potenza p-esima sommabile). Allora l p c 0 l e sono sottospazi lineari di R (vedi Appendice 3). R [a,b] := {f : [a, b] R} dotato delle operazioni (f + g)(x) := f(x) + g(x) x [a, b], (tf)(x) := tf(x) t R, x [a, b] C([a, b]) := {f : [a, b] R, f continua} C 0 (R), lo spazio delle funzioni continue su R aventi supporto compatto. C k ((a, b)), C ((a, b)) sono sottospazi vettoriali di C((a, b)). Norme su spazi vettoriali, spazi normati Sia V vettoriale. Una applicazione di V in R, v v si dice norma in V se (i) v 0 v V e v = 0 se e solo se v = 0, (positivitá) (ii) tu = t u u V, t R (positiva omogeneitá) (iii) u + v u + v u, v V (diseguaglianza triangolare) Uno spazio vettoriale V, dotato di una norma, si dice Spazio Normato Esempi di norme, di spazi normati. In R n. Se p 1, x p := ( nj=1 x j p) 1 p ; x := max j x j (vedi Appendice 3) In l, α := sup n α n é una norma, e c 0, l p, in quanto sottospazi lineari, possono essere muniti della stessa norma. Ma, se p 1, in l p cé una norma piú naturale: α p := Appendice 3). In C([a, b]): (vedi Appendice 3). ( α n p ) 1 p (vedi f := sup f(x) e, se p 1, f p := ( b a f(x) p dx ) 1 p x [a,b] 9

APPENDICE 1 Per provare che, data f C(R), esiste una successione di polinomi che converge uniformemente ad f in [ R, R] quale che sia R, é sufficente provare che se f(x) = 0 per x, 3 allora esistono p n polinomi tali che sup f(y) p n (y) 0. y 1 3 Infatti, presa ϕ C0 (R), ϕ 1 in [ 1, 1], ϕ(x) = 0 se x, e posto 3 3 3 f R (x) := ϕ(x)f(3rx), é f R (x) = 0 se x, ed esistono allora polinomi p 3 n tali che sup f R (x) p n (x) 0 x 1 3 e quindi sup f(y) p n ( y ) = sup ϕ(x)f(3rx) p 3R n (x) 0 y R x 1 3 Da ció segue infine che esistono polinomi p 1,..., p n,... tali che sup f(x) p 1 (x) 1,..., sup f(x) p n (x) 1... n x 1 x n e quindi, fissato R, sup f(x) p n (x) 1 n x R APPENDICE 1. Verifichiamo che, se c n = an ibn, allora non appena n R. P N := c n e int c n e int (i) (ii) a n = a n, b n = b n P N = a n cos nt + b n sin nt = a 0 + n=0 0< n N (i) : P N = P N c n e int = N c n e int a n ib n e int n:=m = m= N c m e imt c n = c n a n = a n, b n = b n perché due polinomi sono uguali se e solo se hanno gli stessi coefficenti, ovvero P N 0 c n = 0 n e P N 0 c m =< P N, e m >= 0 m Z. (ii) : se P N = N usando le formule di Eulero, P N := N a 0 + a n ib n e int é reale, e quindi a n = a n, b n = b n, troviamo, a n ib n [cos nt + i sin nt] + 10 a n ib n [cos nt + i sin nt] = a n ib n [cos nt i sin nt] =

a 0 + 1 (ii) : a 0 + 1 [a n cos nt + ia n sin nt ib n cos nt + b n sin nt] + [a n cos nt ia n sin nt + ib n cos nt + b n sin nt] = a n cos nt + b n sin nt n=0 Usando anche qui le formule di Eulero, troviamo che a n := a n, b n := b n P N := a 0 + a n cos nt + b n sin nt = a n ib n a 0 + e int + a n + ib n a n e int + e int e int = a 0 + + b n e int e int i a n ib n = e int + n= 1 a n + ib n e int = a n ib n e int c n C, n Z, N N. Scrivendo c n = a n ib n, le formule di Eulero danno P N = [a n cos nt + b n sin nt] + i 3. Osserviamo che f C π (R, C), P N = N (f P N )(t) := 1 π π c n f(s)e in(t s) ds = 1 π [a n sin nt b n cos nt] c n e int c n π f(s)e ins ds e int cioé la convoluzione di una f C π (R, C) con un polinomio trigonometrico é un polinomio trigonometrico. APPENDICE 3. RICHIAMI DI ALGEBRA LINEARE Combinazioni lineari e lineare indipendenza, sottospazi lineari, basi 1. Se u, v V e s, t R, su+tv é combinazione lineare di u, v con coefficenti s, t. Dato A V, scriveremo < A >:= insieme delle combinazioni lineari di elementi di A. 11

Diremo che v j, j = 1,..., p sono tra di loro linearmente indipendenti se p t j v j = 0 t j = 0 j j=1. V 0 V é sottospazio lineare se u, v V 0, s, t R su + tv V 0. Chiaramente < A > é sottospazio lineare (generato da A). Esempi. Siano l := {α R : sup j α(j) < + }, c 0 := {α R : α(j) j 0} se p > 0, l p := {α R : j=1 α(j) p < + } Allora, l p c 0 l e sono sottospazi lineari di R. Linearitá di l p. Se p > 1, segue dalla convessitá di f(t) = t p, giacché, per convessitá, a + b p 1 ( a p + b p ) a, b che dá appunto α, β l p α + β l p. Se p 1 segue invece dalla diseguaglianza a + b p a p + b p, che, vera se a = 0, é equivalente alla diseguaglianza f(x) := (1 + x) p (1 + x p ) 0 x 0 (ottenuta dalla precedente dividendo per a 0). Tale diseguaglianza é vera perché f(0) = 0, f (x) = p(1 + x) p 1 px p 1 0 x 0 e quindi (1 + x) p (1 + x p ) = f(x) f(0) = 0 x 0 ovvero (1 + x) p 1 + x p x 0 3. Un sistema di vettori linearmente indipendenti v i : i = 1,..., n che generino V si chiama base di V. Ricordiamo che se V ha una base di n elementi, ogni altra base di V ha esattamente n elementi, e tale numero si chiama la dimensione di V. Se v j forma una base per V, allora ogni v V si scrive, in modo unico, nella forma v = n j=1 c j v j. I numeri c j si chiamano componenti o coordinate di v nella base v j. Ad esempio, se e 1 = (1, 0,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1) é la base canonica di R n, un vettore x di R n si scrive x = (x 1,..., x n ) = n j=1 x j e j (x j = componenti o coordinate di x nella base e j ). 1

TRASFORMAZIONI LINEARI. Siano V, W spazi vettoriali su R. L : V W é lineare se L(su + tv) = sl(u) + tl(v) u, v V, s, t R L insieme L(V, W ) delle trasformazioni lineari di V in W é spazio vettoriale. V := L(V, R), insieme delle forme lineari su V, é il duale algebrico di V. Esempio 1. Sia V = R n, e j base canonica di R n. L applicazione π j (x 1,..., x n ) = π j ( j x j e j ) := x j é funzione (forma) lineare da R n in R. Inoltre, se l é forma lineare su R n si ha l(x 1,..., x n ) = j x j l(e j ), e quindi l = l(e j )π j, ovvero π j é base ( base duale ) per (R n ). 1. IL = L(V ) = {L(u) : u V } e KerL := {v V : L(v) = 0} sono sottospazi lineari rispettivamente di W, V.. Se V =< v 1,..., v p >, allora L(V ) =< L(v 1 ),..., L(v p ) >. 3. Se e j é una base per V, allora una trasformazione lineare L di V in W é completamente determinata dai valori (peraltro arbitrari) L(e j ). Infatti, se v = j a j e j, risulta L(v) = j a j L(e j ). Dunque, per assegnare una trasformazione lineare basta definirla su di una base, risultando prolungabile linearmente in modo unico su tutto lo spazio. 4. 0 KerL; inoltre, KerL = {0} L é iniettiva. Infatti L(0) = L(0 + 0) = L(0) + L(0) L(0) = 0. In particolare, se L é iniettiva, deve essere KerL = {0}. Viceversa, se KerL = {0}, allora L(u) = L(v) L(u v) = 0 u v KerL u = v. 5. L iniettiva, u j linearmente indipendenti L(u j ) linearmente indipendenti. Infatti, j a j L(u j ) = 0 L( j a j u j ) = 0 j a j u j = 0 a j = 0 j. 6. Se V, W, Y sono spazi vettoriali e L L(V, W ), U L(W, Y allora U L L(V, Y ). 7. Se L é biiettiva (ovvero invertibile), cioé ker L = {0} e IL = W, allora la funzione inversa L 1 é anch essa lineare. Infatti, dati w j W, w j = L(v j ), da j a j w j = L( j a j v j ), segue L 1 ( j a j w j ) = L 1 (L( j a j v j )) = j a j v j = j a j L 1 (w j ). 13

Definizione Una L L(V, W ) biiettiva si chiama isomorfismo lineare e V e W si dicono (algebricamente) isomorfi. Proposizione Sia V spazio vettoriale di dimensione n. Uno spazio vettoriale W é isomorfo a V se e solo se ha dimensione n. Infatti, se L é isomorfismo da V a W ed e j é base per V, allora f j := L(e j ) sono linearmente indipendenti e generano W = L(V ). Viceversa, se dimw = dimv = n e e j, f j, j = 1,..., n sono basi di V, W, la trasformazione lineare che manda e j in f j é l isomorfismo cercato. Esempio. Sia V = C (R) = W. La trasformazione D che manda f V nella sua derivata, D(f) := f é chiaramente lineare (da V in se), con KerD dato dalle funzioni costanti. Siccome ogni funzione continua é dotata di primitiva, D é suriettivo. Ma, indicato con V 0 il sottospazio di V formato dalle funzioni che si annullano in x = 0, D V0, cioé la restrizione di D a V 0, é un isomorfismo tra V 0 e V. Chiaramente (D V0 ) 1 (g) = x g. 0 Esempio 3. Data A = (a ij ) i=1,...,m;j=1,...,n matrice m n (m righe ed n colonne), n n L A (x) := Ax = ( a 1j x j,..., a mj x j ) j=1 j=1 x = (x 1,..., x n ) R n é funzione (o trasformazione) lineare da R n a R m. Il suo nucleo é l insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo di m equazioni nelle n incognite x 1,..., x n n a ij x j = 0 j=1 i = 1...., m IL A = {y R m : x R n, Ax = y} é il sottospazio lineare di R m generato dai vettori f j := L A (e j ), se e j, j = 1,..., n base (canonica) di R n ; gli f j sono le colonne di A. Quindi la dimensione di IL A é pari al rango di A. Matrice rappresentativa. Viceversa, se e i, i = 1,..., n, f j, j = 1,..., m sono basi di V, W, rispettivamente, ogni trasformazione lineare da V a W si rappresenta mediante una matrice m n. Sia infatti L trasformazione lineare da V a W. Siano, per ogni j, a ij, i = 1,..., m le componenti di Le j nella base f i, cioé m Le j = a ij f i i=1 14

Allora, se u = n j=1 x j e j e v := L(u) = m i=1 y i f i, si ha ( m n n m ) m n v = y i f i = Lu = x j L(e j ) = x j a ij f i = a ij c j f i i=1 j=1 j=1 i=1 i=1 j=1 ovvero, se y = (y 1,..., y m ), x = (x 1,..., x n ), posto A L := (a ij ), si ha y = A L x Cioé, identificando u ed Lu con le loro coordinate x ed y, L opera su x come A L, che si chiama quindi matrice rappresentativa di L nelle basi date. 15