Capitolo 4 Calibrazione di modelli matematici Supponiamo che siano disponibili conteggi o stime di una data popolazione in stagioni successive. Ad esempio, consideriamo i dati per la quantità di piante della specie phlox drummondii in una località del Texas (dati raccolti da Leverich e Levine nel 1979) tempo (mesi) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 piante 996 158 154 151 147 136 105 74 22 I dati dell andamento della popolazione sono nella colonna N x. Il nostro scopo è: decidere quale modello matematico sia il più adatto a descrivere l andamento della popolazione; una volta deciso il modello, stimare nel modo più preciso i parametri del modello. Questa stima dei parametri viene detta calibrazione di dati o fitting del modello. Vediamo come procere nel caso dei dati sulla phlox drummondii. Iniziamo con il riportare i dati su un foglio Excel. Non si tratta di un programma professionale, ma tuttavia è di uso abbastanza agevole oltre che estrema diffusione. 44
Calibrazione di modelli matematici 45 Possiamo usare il comando grafico ( chart nella versione in inglese) per fare un grafico della distribuzione di popolazione. Dal grafico si vede come la distribuzione sembri approssimativamente rispettare il modello malthusiano, cioè la descrescita sia di tipo esponenziale. Ricordiamo che la una legge di tipo malthusiano ha equazione y = ae bt. Per vedere se l andamento è di tipo esponenziale linearizziamo : logaritmo di ambo i membri dell equazione precedente trovando calcoliamo il log y = log a + bt. Perciò in un riferimento semilogaritmico (ascissa t e ordinata log(y)) l equazione diventa lineare. L idea è allora di calcolare (nella colonna C della tabella di Excel) log(y). A tale scopo scriviamo della cella C3 la formula =LN(B3). Selezionando le altre colonne e scegliendo il comando riempimento in basso ( fill down nella versione in inglese) dal menu Modifica ( Edit ) si possono inserire automaticamente i dati per le altre colonne (cioè automaticamente viene inserita la formula =LN(B4) nella quarta riga etc.) Modelli Matematici applicati all Ecologia (3.12.06)
46 Capitolo 4 Disegnamo ora il grafico con chart inserendo come asse delle ascisse il tempo e asse delle ordinate i dati della colonna C. Al tempo stesso inseriamo la retta di regressione trendline ( linea di tendenza nella versione italiana) insieme con la sua equazione. Ricordiamo dal corso di statistica che, dato un insieme di punti nel piano, la retta di regressione lineare rappresenta la retta che passa più vicino ai punti. In termini più precisi, viene minimizzata la somma dei quadrati delle distanze dei punti stessi dalla retta; il grafico fornisce un intuizione del procedimento. Nel caso della distribuzione di phlox drummondii la retta di regressione lineare ha equazione y = 0, 3066x + 6, 4189 Il coefficiente di correlazione, che in questo caso è R 2 = 0, 7261 fornisce una misura di quanto i dati seguono un andamento lineare: 0 R 2 1, il valore 1 è assunto se i dati sono perfettamente allineati e tanto più R 2 si avvicina a 1, tanto più i dati si avvicinano a seguire un andamento lineare. Possiamo concludere che nel nostro caso il modello malthusiano non è ottimale (R 2 non è molto vicino a 1), ma se vogliamo usare tale modello la scelta migliore per i parametri a e b nell equazione y = ae bt S. Console M. Roggero
Calibrazione di modelli matematici 47 è data da log a = 6, 4189, b = 0, 3066. Calcoliamo ora a come EXP(6,4189) e determiniamo i dati secondo il modello malthusiano: scriviamo una nuova colonna con la formula: = H 3*EXP( F 4*(A3)) che ricopiamo in tutta la colonna D usando il comando fill down. Si inserisce il nome della cella tra dollari (ad esempio H 3) affinchè se uno ricopia automaticamente i dati delle celle tale dato non sia aumentato ogni volta di uno come da fill down. Disegnamo ora il grafico dei dati sperimentali in confronto con quelli del modello malthusiano calibrato. Si noti che c è una certa discrepanza, come del resto prevedibile, dato che il coefficiente di correlazione non è molto vicino a 1. Modelli Matematici applicati all Ecologia (3.12.06)
48 Capitolo 4 4.1 Trasformazioni linearizzanti Il procedimento usato per il modello malthusiano può essere applicato in altri casi. Il primo passo è di linearizzare il modello usando trasformazioni linearizzanti Tabella 1: Alcuni modelli e trasformazioni linearizzanti Modello Equazione Linearizzazione Esponenziale y = ae bt log y = log a + bt Logistico y = K/(1 + ae bt ) log(k/y 1) = log a bt Sigmoide y = K/(1 + at b ) log(k/y 1) = log a + b log t La linearizzazione per il modello esponenziale (malthusiano) si ottiene facilmente prendendo il logaritmo di ambo i membri dell equazione y = ae bt. In altre parole, ottengo un grafico lineare in un riferimento semilogaritmico (ascisse t, ordinate log(y)). Per il modello logistico, la linearizzazione si ottiene con i seguenti passaggi algebrici: K y = 1 + ae bt, 1 = 1 + ae bt, y K 1 = 1 + ae bt, y K K = 1 + ae bt, y K y 1 = ae bt, ( ) K log y 1 = log(ae bt ), ( ) K log y 1 = log a bt. I calcoli per il modello sismoide sono molto simili. Vediamo ora come si può calibrare un modello di crescita logistica. 4.2 Calibrazione per un modello di crescita logistica Partiamo dai seguenti dati per una popolazione di parameci aurelia che inseriamo in un foglio elettronico di Excel S. Console M. Roggero
Calibrazione di modelli matematici 49 Possiamo usare il comando chart di Excel per fare un grafico della distribuzione di popolazione. Dal grafico si vede come la distribuzione sembri rispettare il modello logistico. Come prima operazione, vogliamo effettuare un fitting con il modello logistico di crescita mediante trasformazione delle variabili (in modo a ridursi a una equazione lineare) e poi mediante regressione lineare. Ricordiamo che l equazione logistica y = K/(1 + ae bt ) diventa lineare con la trasformazione linearizzante log(k/y 1) = log a bt. Dai dati supponiamo che la popolazione limite (di equilibrio) sia K = 560 (ricordiamoci che è l asintoto orizzantale della funzione logistica). Determiniamo allora a e b mediante regressione lineare. L idea è allora di calcolare (nella colonna C della tabella di Excel) log(k/y 1). A tale scopo scriviamo della cella C2 la formula =LN(560/B2-1). Otteniamo: Modelli Matematici applicati all Ecologia (3.12.06)
50 Capitolo 4 Disegnamo ora il grafico con chart inserendo come asse x i giorni e asse y i dati della colonna C. Al tempo stesso inseriamo la retta di regressione trendline insieme con la sua equazione. Dunque Si trova la curva logistica log(a) = 4, 332, a = 76, 0963, b = 0, 6143. y = 560 1/(1 + 76.0963 exp(.6134 t)). In alternativa si puo effettuare mediante lo strumento analisi di dati (nella versione in inglese si trova sotto il menu Tools e si chiama Data analysis.) Osservazione 4.1. Potrebbe succedere che non si trovi tale opzione tra gli strumenti. Bisogna in primo luogo cercare tra gli Add-ins ( Aggiunte ) e -se lo si trova- aggiungere analisi di dati. Potrebbe pero non trovarsi. In questo caso tale aggiunta non e stata installata (con l installazione standard di Office non viene installata): pertanto e necessario usare il CD di installazione. Vediamo come possiamo ottimizzare la scelta dei parametri usando il Solver ( Risolutore ) di Excel. (Come nel caso di analisi di dati, potrebbe S. Console M. Roggero
Calibrazione di modelli matematici 51 succedere che non si trovi tale opzione tra gli strumenti. Si proceda come nella nota precedente.) Nella seconda colonna inseriamo i dati in base alla formula data dal modello di crescita logistica y = K/(1 + aexp( bt)). Per fare questo, si inserisce ad esempio nella terza colonna la formula scrivendo ad esempio nella 2 riga (relativa a 2 giorni) = H 2/(1+( H 3*EXP(- H 4*A2))). Notare che che uso il parametro K inserito nella cella H2, a inserito nella cella H3, etc. Come le altre volte, se si inserisce il nome della cella tra dollari (come in H 2), usando ( fill down ) il dato non viene cambiato. Successivamente calcoliamo l errore quadratico inserendo in ogni riga della colonna D formule come =(C2-B2)ˆ2 (questo per la cella D2) etc. Otteniamo: Usando il Solver ( risolutore ) di Excel (che si trova sotto il menu Tools Modelli Matematici applicati all Ecologia (3.12.06)
52 Capitolo 4 - Strumenti ) ottimizziamo i parametri K, a e b minimizzando la somma degli scarti quadratici medi. Bisogna impostare il Solver indicando che i parametri sono nelle celle e H2-H4 (e quindi inserendo il comando H 2: H 4 sotto changing cells ) degli scarti quadratici medie la somma degli scarti quadratici medi D16 ( Target cell D16). Si trova: Possiamo infine fare il grafico dei dati misurati e di quelli calibrati. S. Console M. Roggero
Calibrazione di modelli matematici 53 4.3 Esercizi 1. Ripetere la procedura fatta per i parameci aurelia usando il modello sigmoide. 2. Determinare la retta di regressione per la crescita del bacillo aspergillus niger 3. Analizzare in modo analogo Modelli Matematici applicati all Ecologia (3.12.06)
54 Capitolo 4 la crescita del saccharomyces cerevisiae come nella tabella la crescita di girasoli come nella tabella S. Console M. Roggero